고 1	정답 및 해설	2007학년도 10월 학업성취도평가

2007학년도 10월 학업성취도평가	정답 및 해설	고 1

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2007학년도 10월 고1 학업성취도평가

정답 및 해설

수리 영역

정답

1	③	2	③	3	④	4	①	5	④
6	③	7	③	8	②	9	③	10	⑤
11	④	12	③	13	①	14	④	15	⑤
16	②	17	④	18	⑤	19	②	20	①
21	②	22	[eqn: 15]	23	[eqn: 20]	24	[eqn: 16]	25	[eqn: 72]
26	[eqn: 12]	27	[eqn: 10]	28	[eqn: 32]	29	[eqn: 652]	30	[eqn: 38]

해설

1. [출제의도] 집합의 연산법칙 이해하기

[eqn: A subsetB`]이므로 [eqn: A ∪B=B], [eqn: A ∩B=A],

[eqn: A-B=phi], [eqn: B^C subset A^C], [eqn: A^C ∩B≠phi] 이다.

2. [출제의도] 유리식 계산하기

[eqn: left( 1 over 2 ac^2 right) ×left(- a over b right)^2 ÷left( ac over 4b^2 right)^2]

[eqn: = ac^2 over2 × a^2 over b^2 × 16b^4 over {a^2 c^2}]

[eqn: =8ab^2]

3. [출제의도] 이차부등식의 해 구하기

[eqn: |x+1 |<3]의 해는 [eqn: -4<x<2]

[eqn: x^2 -3x≦0]의 해는 [eqn: 0≦x≦3]이므로

만족하는 정수는 [eqn: 0,1]

따라서, 모든 정수의 합은 [eqn: 1]이다.

4. [출제의도] 충분조건과 필요조건 이해하기

◦삼각형 [eqn: rmABC]가 정삼각형인 것은

[eqn: A=60DEG]이기 위한 충분조건이다.

◦두 삼각형의 넓이가 같은 것은 두 삼각형이

합동이기 위한 필요조건이다.

5. [출제의도] 복소수로의 확장을 이해하기

ㄱ. [eqn: a+b=0`,`a-b=0`]이므로 [eqn: a= 0`,`b= 0]

[eqn: 0∉Q]    (거짓)

ㄴ. [eqn: a+b=3`,`a-b=1`]이므로 [eqn: a= 2 `,`b=1]

[eqn: 3+i inQ]  (참)

ㄷ. [eqn: x inP`]에서 [eqn: a=b= x over 2]라 하면

[eqn: left( x over2 + x over 2 right )+left( x over2 - x over 2 right)i=x inQ]  [eqn: P subset Q] (참)

6. [출제의도] 부분집합의 개수 구하기

집합 [eqn: A] 의 부분집합 중 원소의 개수가 [eqn: 2] 개인 집합은 [eqn: left{ 1 ,`` 2 right}], [eqn: left{ 1 ,`` 3 right}], [eqn: left{ 1 ,`` 4 right}], [eqn: left{ 1 ,`` 5 right}], [eqn: left{ 2 ,`` 3 right}], [eqn: left{ 2 ,`` 4 right}], [eqn: left{ 2 ,`` 5 right}], [eqn: left{ 3 ,`` 4 right}], [eqn: left{ 3 ,`` 5 right}], [eqn: left{ 4 ,`` 5 right}] 이다.

따라서, 두 원소의 합이 짝수인 집합 [eqn: X] 의 개수는 [eqn: 4]개이다.

7. [출제의도] 절대값을 활용한 실생활 문제 해결하기

[eqn: rmA(4,3),`B(1,2),`C(2,1)]이라 하자.

만나는 위치가 [eqn: {rmD}(m,n)]이면

[eqn: {rmbar{DA} + bar{DB} + bar{DC}} ``=|m-4|+|m-1|+|m-2|]

[eqn: +|n-3|+|n-2|+|n-1|]

이므로, [eqn: m=2,``n=2] 일 때 이동 거리의 합이

최소가 된다.

따라서, 만나는 위치는 점[eqn: rmP]이다.

8. [출제의도] 약수의 개수 구하기

양의 약수의 개수가 [eqn: 3]개이므로

[eqn: n=p^2`](단, [eqn: p]는 소수)

따라서 [eqn: 50]보다 작은 자연수 중 약수의 개수가

[eqn: 3]개인 것은 [eqn: 4,`9,`25,`49]이므로 [eqn: 4]개이다.

9. [출제의도] 실수의 성질 이해하기

[eqn: k-1 < x <= k`][eqn: (k]는 정수)이면 [eqn: <x> =k`]이다.

ㄱ. [eqn: < -1.2> =-1]  (참)

ㄴ. [eqn: &k-1+n < x+n <= k+n]이므로

[eqn: <x+n> = k+n=<x> +n]이다.  (참)

ㄷ. (반례) [eqn: x=1.5,~y=1.5]이면

[eqn: <x+y> =3,``<x> = 2,`` <y> = 2]이므로

[eqn: <x+y> ≠ <x> + <y>]     (거짓)

10. [출제의도] 다항식의 인수분해 활용하기

[eqn: a^3 +a^2 b+a(b^2 -c^2 )+b^3 -bc^2 =0]

[eqn: a^2 (a+b)+b^2 (a+b)-c^2 (a+b)=0]

[eqn: (a+b)(a^2 +b^2 -c^2 )=0]

[eqn: a^2 +b^2 -c^2 =0]

[eqn: c^2 =a^2 +b^2]

따라서, [eqn: C = 90DEG]인 직각삼각형이다.

11. [출제의도] 점과 직선 사이의 거리 구하기

[eqn: rmP]에서 직선 [eqn: y=-x]까지의 거리가 최대이다.

거리의 최대값은 [eqn: {|3+3 | }over root2 +1 =1+3root2]이다.

12. [출제의도] 무리수 계산하기

[eqn: rmbar{A _{1} C _{1}} = sqrt {2} `,` bar{A _{1} C _{2}} = sqrt {3} ,cdots,bar{A _{1} C _{8}} = sqrt {9} `]이므로

[eqn: rmbar{A_1 B_2}=root2`,`bar{A_1 B_3}=root3`,cdots,`bar{A_1 B_9}=root9`]이다.

[eqn: rmbar{B_1 B_2}`+`bar{B_2 B_3}`+`cdots`+`bar{B_8 B_9}]

[eqn: =( sqrt {2} -1)+( sqrt {3} - sqrt {2} )+cdots+(root9 - root8 `) }]

[eqn: =2]

13. [출제의도] 두 점 사이의 거리를 그래프로 나타내기

시간에 따른 점 [eqn: rmP]까지의 거리에 대한 그래프의   개형은 아래와 같다.

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14. [출제의도] 자료를 통한 평균과 분산 비교하기

ㄱ. 갑의 일본에서의 평균 홈런 개수는 [eqn: 28]

갑의 한국에서의 평균 홈런 개수는 [eqn: 43.75](거짓)

ㄴ. 을의 진출 첫해 홈런 [eqn: 40]개는 7년 동안의 평균 홈런 개수 [eqn: 38]개보다 더 많다.  (참)

ㄷ. 갑의 3년 동안의 분산 [eqn: 132.67]

을의 3년 동안의 분산 [eqn: 18.67]   (참)

15. [출제의도] 다항식의 인수분해 활용하기

[eqn: 2x^3 -7x^2 +(3k+1)x-2=(x^2 -3x+k)(ax-b)]

이므로 [eqn: a=2,`b= 2 over k`]이다.

[eqn: -7x ^{2} = - left ({2} over {k} +6 right)x ^{2}`]이므로 [eqn: k=2]

<별해> [eqn: 2x^3 -7x^2 +(3k+1)x-2=0]의

세 근을 [eqn: alpha,`beta,`gamma`]라 하면,

[eqn: x^2 -3x+k=0] 의 두 근을 [eqn: alpha,`beta`]로 둘 수 있다.

근과 계수와의 관계에서

[eqn: alpha+beta+gamma `=`7 over 2], [eqn: alpha `+ beta``=3] 이므로 [eqn: gamma ``= { 1} over {2 }]

[eqn: alphabetagamma=1], [eqn: alpha beta =k] 이므로 [eqn: k=2]

16. [출제의도] 넓이의 비 계산하기

영역 [eqn: S_1`]의 넓이는 [eqn: {pi} over {2} LEFT { left( {a+b} over {2}right ) ^{2} + {a ^{2}} over {4} - {b ^{2}} over {4} RIGHT }],

영역 [eqn: S_2`]의 넓이는 [eqn: pi over 2 left{left( a+b over 2 right)^2 - a^2 over 4 + b^2 over 4 right}]

[eqn: S_1]의 넓이 : [eqn: S_2]의 넓이

[eqn: =(a^2 + ab) : (b^2 +ab)]

[eqn: =a:b]

17. [출제의도] 산술평균과 기하평균 활용하기

두 직선이 평행할 때

[eqn: a over 3`=`1 over b]이 성립하므로 [eqn: ab=3]이다.

[eqn: a+b≧2rootab =2root3]

[eqn: a+b>=2root3] (단, 등호는 [eqn: a=b=root3])

따라서, 최소값은 [eqn: 2sqrt { 3}]

18. [출제의도] 원의 성질을 이용하여 증명하기

점 [eqn: rm C`]를 중심으로 삼각형 [eqn: rm PBA]를 시계 방향으   로 [eqn: 60 DEG]회전한 삼각형 [eqn: rm QOB]를 만든다.

원주각의 크기는 중심각의 크기의 [eqn: {1} over {2}]이고,

원에 내접하는 사각형의 대각의 합이 [eqn: 180 DEG]이므로

[eqn: rm ANGLE BPC=`]

[eqn: 150DEG]

이다.

[eqn: rm ANGLE CPQ=`]

[eqn: 60DEG]

이므로

[eqn: rm ANGLE BPQ=`]

[eqn: 150DEG]

[eqn: -]

[eqn: 60DEG]

따라서 [eqn: rm bar{BQ} it rm ^{2} = rm bar{PB} it rm ^{2} + rm bar{PQ} it rm ^{2} `]

[eqn: rm bar{BQ} =`]

[eqn: rmbarPA]

이고 [eqn: rm bar{PQ} ``= bar{PC} `] 이므로

[eqn: rmbarPA]

[eqn: ` ^{2} = rm bar{PB} it rm ^{2} + rm bar{PC} it rm ^{2} `] 이 성립한다.

19. [출제의도] 직선의 기울기 이해하기

[eqn: n over m`]은 직선 [eqn: rmAP]의 기울기,

[eqn: b over a`]는 직선 [eqn: rmAC]의 기울기,

[eqn: b-n over a-m`]은 직선 [eqn: rmPC]의 기울기이다.

따라서,  [eqn: b-n over a-m`<`b over a`<`n over m]

20. [출제의도] 이동 거리의 최소값 구하기

[eqn: rmA]에서 [eqn: (2,0)]까지 [eqn: x`]축을 따라 이동,

[eqn: (2,0)]에서 [eqn: (0,2)]까지 원주를 따라 이동,

[eqn: (0,2)]에서 [eqn: rmB]까지 [eqn: y`]축을 따라 이동하는 것이

이동 거리가 최소인 경로이다.

따라서, 이동 거리의 최소값은

[eqn: 2+pi+2=4+pi`]이다.

21. [출제의도] 직선의 방정식 구하기

사각형 [eqn: rmOABC]의 넓이가 [eqn: 72]이므로

사각형 [eqn: rmOAB_1 C_1]의 넓이는 [eqn: 24]이다.

[eqn: 1 over 2 (b+6+b)×6 =24]이므로 [eqn: b=1]

같은 방법으로 [eqn: a=5]

따라서, [eqn: ab =5]

22. [출제의도] 항등식의 성질 이해하기

[eqn: (a-5)x +2a-b=0]이  [eqn: x`]에 대한 항등식이므로,

[eqn: a-5=0`,`2a-b=0]

[eqn: a=5`,`b=10]

따라서, [eqn: a+b=15]

23. [출제의도] 유리식 계산하기

[eqn: x+xy+y=10x-10xy+10y]

[eqn: 9x+9y=11xy]

양변을 [eqn: 9xy]로 나누면 [eqn: 1 over x + 1 over y = 11 over 9]

따라서, [eqn: p+q=20]

24. [출제의도] 나머지 정리 활용하기

[eqn: x^4 -1=(x-1)^2 Q(x)+ax+b]라 하면,

[eqn: R(x)=ax+b] 이다.

[eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: a+b=0] 이므로 [eqn: `b=-a]

[eqn: x^4 -1=(x-1)^2 Q(x)+a(x-1)]

[eqn: x^3 +x^2 +x+1=(x-1) Q(x)+a]

[eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: a=4], [eqn: b=-4]

그러므로, [eqn: R(x)=4x-4]

따라서, [eqn: R(5)=16]

25. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수와의 관계 이해하기

근과 계수와의 관계에서 [eqn: alpha+beta=3,`alphabeta=-5]

[eqn: alpha^3 + beta^3 =(alpha+beta)^3 -3alphabeta(alpha+beta)]

[eqn: =27+45]

[eqn: =72]

26. [출제의도] 복소수의 성질 이해하기

[eqn: z=a+bi`]일 때 [eqn: z^2 =(a^2 -b^2 )+2abi`]이다.

[eqn: z^4] 이 음의 실수이므로 [eqn: z^2]은 순허수이어야 한다.

[eqn: a^2 -b^2`=0`,`ab≠0] 이므로 만족하는  [eqn: (a,b)]는

[eqn: (-3,-3),(-3,3),(-2,-2),(-2,2),(-1,-1),]   [eqn: (-1,1),(1,-1),(1,1),(2,-2),(2,2),(3,-3),]     [eqn: (3,3)]이다.

따라서, [eqn: 12]개이다.

27. [출제의도] 닮음을 이용한 변의 길이 계산하기

[eqn: {rmbarAR } =x]라면 사각형 [eqn: rmAPQR]이 마름모이므로

네 변의 길이는 모두 [eqn: x]이다.

[eqn: rm△BPQ]□[eqn: rm△BAC]이므로,

[eqn: 30:30-x=15:x]

따라서, [eqn: x=10]

28. [출제의도] 점의 직선에 대한 대칭이동 이해하기

[eqn: rmA(7,4)]를 [eqn: y=x]에 대칭이동한 점 [eqn: rmC(4,7)]에

대하여, [eqn: rmbarPA + barPB]가 최소인 점 [eqn: rmP]는 선분 [eqn: rmBC]

와 직선 [eqn: y=x]의 교점이다.

[eqn: y=- 1 over 4 x+8]와 [eqn: y=x]의 교점은 [eqn: left( 32 over 5 , 32 over 5 right)]

따라서, [eqn: 5a=32]

29. [출제의도] 비례식 활용하기

높이가 [eqn: 3rmm]인 직원뿔의 부피를 [eqn: V_1], 높이가 [eqn: 5rmm]   인 직원뿔의 부피를 [eqn: V_2]라 하면,

[eqn: r:s=3:5]이므로 [eqn: s= {5} over {3} r]

[eqn: V _{1} = {1} over {3} pi r ^{2} CDOT3= pi r ^{2}]

[eqn: V_2 = 1 over 3 pis^2 CDOT5= 1 over 3 pi left( 5 over 3 r right)^2 CDOT5 = 125pir^2 over 27]

[eqn: V_1]을 채우는 데 [eqn: 5]분이 걸리므로, [eqn: V_2]를 채우는   데는 [eqn: 625 over 27]분이 걸린다.

따라서, [eqn: p+q=652]

<별해> 도형의 닮음에 의하여

[eqn: V_1 : V_2 = 3^3 : 5^3]이므로 [eqn: V_2 = 125 over 27 V_1]

[eqn: V_1]을 채우는 데 [eqn: 5]분이 걸리므로, [eqn: V_2]를 채우는   데는 [eqn: 625 over 27]분이 걸린다.

30. [출제의도] 원의 성질을 활용한 실생활 문제 해결하기

태풍이 [eqn: rmO]에서 출발하여 [eqn: rmP]지점에 도착하면

섬 전체가 폭풍우권에 들어간다.

[eqn: {rmbarOP`}=`380 (rmkm)]이므로 걸리는 시간은 [eqn: 38]시간