◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 써 넣으시오.

2007학년도 10월 고1 학업성취도평가 문제지

수리 영역

성명			수험번호						1

제 2 교시

◦ 답안지에 성명과 수험 번호를 써 넣고, 또 수험 번호와 답을 정   확히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

고 1	수리 영역

	수리 영역	고 1

8

1. 전체집합 [eqn: U`]의 서로 다른 두 부분집합 [eqn: A,~B`]에 대하여 [eqn: A SUBSET B`]일 때, 다음 중 옳은 것은? (단, [eqn: X ^{C}`]은 [eqn: X`]의 여집합, [eqn: phi `]는 공집합) [[eqn: 2`]점]

① [eqn: A CUP B=A`]        ② [eqn: A SMALLINTER B=B]        ③ [eqn: A-B= phi]

④ [eqn: A ^{C`} SMALLINTER B= phi]       ⑤ [eqn: A ^{C`} SUBSET B ^{C}]

2. 유리식 [eqn: LEFT ( {1} over {2} ac ^{2} RIGHT ) ` TIMES LEFT ( - {a} over {b} RIGHT ) ^{2} ÷` LEFT ( {ac} over {4b ^{2}} RIGHT ) ^{2}`]을 간단히 하면? [[eqn: 2`]점]

① [eqn: 4`b ^{2}]            ② [eqn: 4`a`c]            ③ [eqn: 8`a`b ^{2}]

④ [eqn: 8`a` b` c^2]          ⑤ [eqn: {a ^{5} `c^4} over {32`b ^{6}]

3. 부등식 [eqn: |`x+1`|<3`]의 해 중에서 [eqn: x ^{2} -3x <= 0`]을 만족하는 모든 정수의 합은? [[eqn: 2`]점]

① [eqn: -2]        ② [eqn: -1]        ③ [eqn: 0]        ④ [eqn: 1]        ⑤ [eqn: 2]

4. 다음 삼각형의 성질에 대하여 (가), (나)에 알맞은 것은? [[eqn: 3`]점]

◦ 삼각형 [eqn: rm ABC`]가 정삼각형인 것은 [eqn: A=60°`]이기 위한

(가)

조건이다.

◦ 두 삼각형의 넓이가 같은 것은 두 삼각형이 합동이기 위한

(나)

조건이다.

	(가)	(나)
①	충분	필요
②	충분	필요충분
③	필요	충분
④	필요	필요
⑤	필요	필요충분

5. 양의 실수 전체의 집합 [eqn: P`]에 대하여 집합 [eqn: Q`]를
[eqn: Q`= LEFT { `(a+b)+(a-b)i`` LEFT | ``a`,``b` IN P`,``i= sqrt {-1} RIGHT } `]라 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [[eqn: 4`]점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: 0` IN `Q] ㄴ. [eqn: 3+i` IN Q] ㄷ. [eqn: P `SUBSET Q]

① ㄴ               ② ㄱ, ㄴ               ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ            ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

6.  집합 [eqn: A``=`` LEFT { 1,``2,``3,``4,``5` RIGHT }] 의 부분집합 [eqn: X] 중에서 [eqn: n(X)=2] 이고, 원소의 합이 짝수인 집합 [eqn: X] 의 개수는? (단, [eqn: n(X)] 는 집합 [eqn: X] 의 원소의 개수) [[eqn: 3`]점]

① [eqn: 2]        ② [eqn: 3]        ③ [eqn: 4]        ④ [eqn: 5]        ⑤ [eqn: 6]

7. 그림은 세 사람의 집 [eqn: rm A,``B,``C`]와 주변 도로망을 좌표평면에 나타낸 것이다. 이 세 사람이 각자의 집에서 도로를 따라 이동하여 세 사람의 이동 거리의 합이 최소가 되는 곳에서 모두 만날 때, 만나는 곳의 위치는? (단, 모든 도로는 [eqn: x`]축 또는 [eqn: y`]축과 평행하고, 도로 폭은 무시한다.) [[eqn: 3`]점]

① [eqn: rm B`]       ② [eqn: rm C`]       ③ [eqn: rm P`]       ④ [eqn: rm Q`]       ⑤ [eqn: rm R`]

8. [eqn: 50`]보다 작은 자연수 [eqn: n`]에 대하여 양의 약수의 개수가 [eqn: 3`]개인 [eqn: n`]의 개수는? [[eqn: 3`]점]

① [eqn: 3]        ② [eqn: 4]        ③ [eqn: 5]        ④ [eqn: 6]        ⑤ [eqn: 7]

9. 실수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: a`]보다 크거나 같은 최소의 정수를 [eqn: <a>`]로 나타낼 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [[eqn: 3`]점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: < -1.2> `= `-1] ㄴ. 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: n`]이 정수일 때, [eqn: <x+n>`=`<x>+n`] 이다. ㄷ. 실수 [eqn: x,~y`]에 대하여 [eqn: <x+y>`=`<x>+<y>]이다.

① ㄱ              ② ㄷ             ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ           ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

10. [eqn: bar{rm AB it} =c`,~ bar{rm BC it} =a`,~ bar{rm CA it} =b`]인 삼각형 [eqn: rm ABC`]에서
[eqn: a ^{3} +a ^{2} b+a(b ^{2} -c ^{2} )+b ^{3} -bc ^{2} =0`]이 성립할 때, 삼각형 [eqn: rm ABC`]는 어떤 삼각형인가? [[eqn: 3`]점]

① 정삼각형                     ② [eqn: a=c`]인 이등변삼각형

③ [eqn: b=c`]인 이등변삼각형         ④ [eqn: A=90 DEG]인 직각삼각형

⑤ [eqn: C=90 DEG]인 직각삼각형

11. 두 집합 [eqn: A= LEFT { (x,`y)`|`x ^{2} +y ^{2} =1 RIGHT }], [eqn: `B= LEFT { (3,`0),`(0,`3),`(3,`3) RIGHT }`]에 대하여 집합 [eqn: C= LEFT { (`x _{1} +x _{2} ,``y _{1} +y _{2} )`|`(`x _{1} ,``y _{1} ) IN A,``(`x _{2} ,``y _{2} ) IN B RIGHT }]라 할 때, [eqn: (`a,``b)` `IN `C`]인 점 [eqn: (`a,~b)`]에서 직선 [eqn: y`=`-x`]에 이르는 거리의 최대값은? [[eqn: 4`]점]

① [eqn: -1+3 sqrt {2}]            ② [eqn: 4]            ③ [eqn: sqrt {17}]

④ [eqn: 1+3 sqrt {2}]              ⑤ [eqn: 2+3 sqrt {2}]

12. 한 변의 길이가 [eqn: 1`]인 정사각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1} D _{1}`]이 있다. 그림과 같이 대각선 [eqn: rm A _{1} C _{1}`]의 길이와 같은 길이의 선분 [eqn: rm A _{1} rm B _{2}`]를 가로로 하는 직사각형 [eqn: rm A _{1} B _{2} C _{2} D _{1}`]을 만들고, 같은 방법으로 대각선 [eqn: rm A _{1} C _{2}`]의 길이와 같은 길이의 선분 [eqn: rm A _{1} B _{3} `]을 가로로 하는 직사각형 [eqn: rm A _{1} B _{3} C _{3} D _{1}`]을 만든다. 이와 같은 방법으로 직사각형을 계속 만들 때, [eqn: rm bar{B _{1} B _{2}} `+` bar{B _{2} B _{3}} `+`cdots+` bar{B _{8} B _{9}}`]의 값은? [[eqn: 4`]점]

① [eqn: 1]        ② [eqn: {3} over {2}]        ③ [eqn: 2]        ④ [eqn: {5} over {2}]        ⑤ [eqn: 3]

13. <그림1>과 같이 크기가 같은 정사각형 [eqn: 6`]개의 모양으로 이루어진 도로망을 <그림2>와 같이 분수대를 설치하여 정비하였다. <그림2>에서 [eqn: rm A`]를 출발한 자동차가 화살표 방향으로 [eqn: rm B,``C,``D,``E`]지점을 거쳐 [eqn: rm P`]에 도착할 때, 시간 [eqn: `t`]에 따른 자동차에서 점 [eqn: rm P`]까지의 직선거리 [eqn: `f(t)`]에 대한 그래프의 개형은? (단, 호 [eqn: rm CE`]는 점 [eqn: rm P`]가 중심인 원의 일부분이고, 자동차가 움직이는 속력은 일정하다.) [[eqn: 4`]점]

①                             ②

③                             ④

⑤

14. 표는 [eqn: 7`]년 동안 한국과 일본에서 활동한 두 야구 선수 갑, 을의 연도별 홈런 개수를 나타내고 있다.

연도		[eqn: 2000]	[eqn: 2001]	[eqn: 2002]	[eqn: 2003]	[eqn: 2004]	[eqn: 2005]	[eqn: 2006]	계
갑	국가	한국	한국	한국	한국	일본	일본	일본
	개수	[eqn: 33]	[eqn: 39]	[eqn: 47]	[eqn: 56]	[eqn: 13]	[eqn: 30]	[eqn: 41]	[eqn: 259]
을	국가	한국	한국	한국	일본	일본	일본	일본
	개수	[eqn: 38]	[eqn: 34]	[eqn: 25]	[eqn: 40]	[eqn: 45]	[eqn: 37]	[eqn: 47]	[eqn: 266]

<보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [[eqn: 3`]점]

		<보 기>
	ㄱ. 갑의 일본에서의 평균 홈런 개수는 한국에서의 평균 홈런 개수보다 많다. ㄴ. 을의 일본 진출 첫해 홈런 개수는 을의 [eqn: 7`]년 동안의 평균 홈런 개수보다 많다. ㄷ. 갑과 을의 최근 [eqn: 3`]년 동안의 홈런 개수에 대한 분산은 갑이 을보다 크다.

① ㄱ                ② ㄴ                 ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ              ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

15. 다항식 [eqn: 2x ^{3} -7x ^{2} +(3k+1)x-2`]가 서로 다른 [eqn: 3`]개의 일차식을 인수로 가지고, 그 중 [eqn: 2`]개의 일차식이 다항식 [eqn: x ^{2} -3x+k`]의 인수일 때, 상수 [eqn: k`]의 값은? [[eqn: 3`]점]

① [eqn: -2]        ② [eqn: -1]        ③ [eqn: 0]        ④ [eqn: 1]        ⑤ [eqn: 2]

16. 선분 [eqn: {rm AC }`]가 지름인 원 안에 길이가 [eqn: a`]인 선분 [eqn: {rm AB }`]를 지름으로 하는 반원과, 길이가 [eqn: b`]인 선분 [eqn: {rm BC}`]를 지름으로 하는 반원으로 그림과 같은 태극 문양을 그렸을 때, 나누어진 두 영역 [eqn: S_1`]과 [eqn: S_2`]의 넓이의 비는? (단, [eqn: a != b`]) [[eqn: 4`]점]

① [eqn: roota `:` rootb]           ② [eqn: a`:`b]           ③ [eqn: b`:`a]

④ [eqn: a ^{2} `:`b ^{2}]                ⑤ [eqn: b ^{2} `:`a ^{2}]

17. 양의 실수 [eqn: a,~b`]에 대하여  두 직선 [eqn: ax+y=3`], [eqn: 3x+by=4`]가 평행할 때, [eqn: a+b`]의 최소값은? [[eqn: 3`]점]

① [eqn: 1]       ② [eqn: 2]       ③ [eqn: 2 sqrt {2}]       ④ [eqn: 2sqrt {3}]       ⑤ [eqn: 4]

18. 평면 위에 두 개의 정삼각형 [eqn: rm ABC`]와 [eqn: rm OBC`]가 있다. 점 [eqn: rm O`]를 중심으로 하고 선분 [eqn: rm OB`]를 반지름으로 하는 원 위의 점 [eqn: rm P`]에 대하여

(다)

[eqn: {`} ^{2} = rm bar{PB} it ^{`2} + rm bar{PC} it ^{`2}`]임을 증명하는 과정이다. (단, 점 [eqn: rm`P`]는 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 내부의 점이다.)

점 [eqn: rm C`]를 중심으로 삼각형 [eqn: rm PBA`]를 시계 방향으로 [eqn: 60 DEG`]회전한   삼각형 [eqn: rm QOB`]를 만든다.

원주각의 크기는 중심각의 크기의 [eqn: 1 over 2`]이고,

원에 내접하는 사각형의 대각의 합이 [eqn: 180 DEG`]이므로

[eqn: rm ANGLE BPC=`]

(가)

이다.

[eqn: rm ANGLE CPQ=`]

(나)

이므로

[eqn: rm ANGLE BPQ=`]

(가)

[eqn: -]

(나)

따라서 [eqn: rm bar{BQ} it rm ^{`2} = rm bar{PB} it rm ^{`2} + rm bar{PQ} it rm ^{`2}`]

[eqn: rm bar BQ =`]

(다)

이고 [eqn: rm bar PQ ``= bar PC`]이므로

(다)

[eqn: {`} ^{2} = rm bar{PB} it ^{`2} + rm bar{PC} it ^{`2}`]이 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [[eqn: 4`]점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: 120 ^{CIRC }]	[eqn: 30 ^{CIRC }]	[eqn: bar{rmBC}]
②	[eqn: 120 ^{CIRC }]	[eqn: 60 ^{CIRC }]	[eqn: bar{rmBC}]
③	[eqn: 150 ^{CIRC }]	[eqn: 30 ^{CIRC }]	[eqn: bar{rmPA}]
④	[eqn: 150 ^{CIRC }]	[eqn: 60 ^{CIRC }]	[eqn: bar{rmBC}]
⑤	[eqn: 150 ^{CIRC }]	[eqn: 60 ^{CIRC }]	[eqn: bar{rmPA}]

19. [eqn: rm bar{AB} it =a,~ rm bar{BC} it =b] 인 직사각형 [eqn: rm ABCD`]에서 그림과 같이 삼각형 [eqn: rm ACD`]의 내부에 점 [eqn: rm P`]를 잡고, 점 [eqn: rm P`]에서 변 [eqn: rm AB,~AD`]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm E,~F`]라 하자. [eqn: rm bar{PE} it =n,~ rm bar{PF} it =m]일 때 ,  <보기> 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [[eqn: 4`]점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: {n} over {m} `<` {b} over {a}] ㄴ. [eqn: {n} over {m} `<` {b-n} over {a-m}] ㄷ. [eqn: {b-n} over {a-m} `<` {b} over {a}]

① ㄱ                ② ㄷ                ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ            ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

20. 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A it (`4,``0),~ rm B it (`0,``4)`]에 대하여 점 [eqn: rm P`]가 점 [eqn: rm A`]에서 점 [eqn: rm B`]까지 원 [eqn: (`x-2) ^{2} +(`y-2) ^{2} =4`]의 내부를 지나지 않고 이동할 때, 점 [eqn: rm P`]의 이동 거리의 최소값은? [[eqn: 3`]점]

① [eqn: 4+ pi]            ② [eqn: 6+ pi]            ③ [eqn: 4+2 pi]

④ [eqn: 8+ pi]            ⑤ [eqn: 6+2 pi]

21. 네 점 [eqn: rm O it (0, ``0),~ rm A it (6,``0),~ rm B it (6,``12),~ rm C it (0,``12)`]를 꼭지점으로 하는 사각형 [eqn: rm OABC`]가 있다. 그림과 같이 두 직선 [eqn: y=x+a`], [eqn: y=x+b`]가 사각형 [eqn: rm OABC`]의 넓이를 삼등분할 때, [eqn: a`b`]의 값은?                                                      [[eqn: 4`]점]

① [eqn: 4]         ② [eqn: 5]         ③ [eqn: 6]         ④ [eqn: 7]         ⑤ [eqn: 8]

단답형(22～30)

22. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 등식 [eqn: ax-5x+2a-b=0`]이 항상 성립할 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. [[eqn: 3`]점]

23. [eqn: {x+xy+y} over {x-xy+y} =10`]을 만족하는 두 실수 [eqn: x,~y`]에 대하여
[eqn: {1} over {x} + {1} over {y} = {q} over {p}`]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p,~q`]는 서로소인 자연수) [[eqn: 3`]점]

24. 다항식 [eqn: x ^{4} -1`]을 [eqn: (`x-1) ^{2}`]으로 나눈 나머지를 [eqn: R(`x)`]라 할 때, [eqn: R(`5)`]의 값을 구하시오. [[eqn: 3`]점]

25. 이차방정식 [eqn: x ^{2} `-3x-5=0`]의 두 근을 [eqn: alpha ,`` beta `]라 할 때, [eqn: alpha ^{`3} + beta ^{`3}`]의 값을 구하시오. [[eqn: 3`]점]

26. 집합 [eqn: LEFT { -3,~-2,~-1,~0,~1,~2,~3 RIGHT } `]의 임의의 두 원소 [eqn: a,~b`]에 대하여 복소수 [eqn: z`]를 [eqn: z=a+bi`]로 나타낼 때, [eqn: z` ^{4}] 이 음의 실수가 되는 순서쌍 [eqn: (`a,~b)`]의 개수를 구하시오. (단, [eqn: i= sqrt {-1}]) [[eqn: 4`]점]

27. [eqn: rm bar{AB} it =30,~ rm bar{BC} it =20,~ rm bar{CA} it =15`]인 삼각형 [eqn: rm ABC`]가 있다. 그림과 같이 세 변 [eqn: rm AB`,~BC`,~CA`] 위에 차례로 점 [eqn: rm P,~Q,~R`]을 잡아 만든 사각형 [eqn: rm APQR`]이 마름모일 때, 선분 [eqn: rm AR`]의 길이를 구하시오. [[eqn: 4`]점]

28. 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A it (`7,``4),`` rm B it (`8,``6)`]과 직선 [eqn: y=x`] 위를 움직이는 점 [eqn: rm P`]에 대하여 [eqn: rm bar{PA} + bar{PB}`] 의 값을 최소가 되게 하는 점 [eqn: rm P`]의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: a`]라 할 때, [eqn: 5a`]의 값을 구하시오. [[eqn: 4`]점]

29. 깊이가 [eqn: 5` rm m it`]인 직원뿔 모양의 물탱크에 시간당 일정한 양의 물을 넣고 있다. 물을 넣기 시작하여 물의 깊이가 [eqn: 3` rm m it`]가 될 때까지 [eqn: 5`]분이 걸린다면, 이와 같은 빈 물탱크를 처음부터 가득 채우는 데 걸리는 시간은 [eqn: {q} over {p}`]분이다. 이 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`,~q`]는 서로소인 자연수) [[eqn: 4`]점]

30. 반지름의 길이가 [eqn: 10 rm km`]인 원 모양의 섬이 있다. 현재 태풍의 중심은 이 섬의 중심으로부터 남쪽으로 [eqn: 200 sqrt {2} rm km`], 서쪽으로 [eqn: 200 sqrt {2} rm km`] 떨어진 곳에서 시속 [eqn: 10rmkm`]의 속력으로 북동쪽으로 진행하고 있다. 태풍의 중심에서 [eqn: 30 rm km`]이내가 폭풍우권이라고 할 때, 처음으로 이 섬 전체가 폭풍우권에 들어가는데 걸리는 시간은 몇 시간인지 구하시오. (단, 폭풍우권의 크기는 일정하다.) [[eqn: 4`]점]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.