2007학년도 9월 고2 전국연합학력평가 정답 및 해설

• 2교시 수리 영역 •

수리‘가’형 정답

1	④	2	①	3	②	4	②	5	③	6	③
7	①	8	③	9	④	10	①	11	⑤	12	⑤
13	④	14	②	15	②	16	①	17	②	18	③
19	③	20	⑤	21	⑤	22	[eqn: 103]	23	[eqn: 12]	24	[eqn: 27]
25	[eqn: 131]	26	[eqn: 17]	27	[eqn: 16]	28	[eqn: 15]	29	[eqn: 195]	30	[eqn: 648]

해 설

1. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 식을 간단히 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: (2 ^{2} TIMES 3) ^{3} TIMES 2 ^{-4} TIMES 3 ^{-2}][eqn: =2 ^{6} TIMES 3 ^{3} TIMES 2 ^{-4} TIMES 3 ^{-2}]

[eqn: = 2^2 TIMES 3][eqn: =12]

2. [출제의도] 행렬의 덧셈과 곱셈을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: AB= ``pmatrix {``{1}``&``{3}``#``{1}``&``{2}``}pmatrix {``{-2}``&``{~~3}``#``{~~1}``&``{-1}``}`` `= pmatrix {``{1}``&``{0}``#``{0}``&``{1}``}``=E``]이므로

[eqn: AB(A+B)``][eqn: =E(A+B)][eqn: =A+B][eqn: = pmatrix {``{`-1}``&``{6}``#``{~~2}``&``{1}``}]

3. [출제의도] 수열의 극한에 대한 성질을 이용하여 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: lim_n->inf {2^n ( 2^n+1 +1)} over { 4^n+1 + 2^n +1][eqn: = lim_n->inf {2^2n+1 + 2^n } over { 2^2n+2 + 2^n +1]

[eqn: = lim_n->inf {2 cdot 2^2n + 2^n } over { 4 cdot 2^2n + 2^n +1 }]

[eqn: = lim_n->inf {2 + 1 over 2^n } over { 4 + 1over 2^n + 1 over 2^2n }][eqn: = 1over 2`]

4. [출제의도] 등차수열의 첫째항과 공차를 구하고 항의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

등차수열 [eqn: LEFT { `a_n `RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a`], 공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: a_6 = a+5d =5] [eqn: cdots ㉠]

[eqn: a_11 = a+10d =3][eqn: cdots ㉡]

㉠, ㉡에서 [eqn: a=7], [eqn: d= - 2over5`]

∴ [eqn: a_21 = a+ 20d][eqn: = 7 + 20 cdot ( - 2 over 5 )][eqn: =-1`]

5. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 상용로그의 가수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: log `20 = 1+ log 2]	∴ [eqn: alpha = log 2]

[eqn: log 300 = 2+ log 3]	∴ [eqn: beta = log 3]

[eqn: log 1200 = log 1.2times10^3 = 3 + log 1.2]이므로

[eqn: log 1200]의 가수는

[eqn: log 1.2 = log`{2^2 times 3 } over 10][eqn: = 2 log2 + log3 -1]

[eqn: = 2 alpha + beta -1]

6. [출제의도] 수열의 극한에 대한 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: lim_n->inf a_n = alpha]라 하면

[eqn: lim_n->inf a_n ``^2 =lim_n->inf a_n ``lim_n->inf a_n = alpha^2`]  ∴ 참

ㄴ. [eqn: lim_n->inf (a_n + b_n ) = alpha], [eqn: lim_n->inf (a_n - b_n ) = beta`]라 하면

[eqn: lim_n->inf (a_n + b_n ) + lim_n->inf (a_n - b_n ) = lim_n->inf 2a_n][eqn: = alpha + beta `]

∴ [eqn: lim_n->inf a_n = { alpha+ beta} over 2`]  ∴ 참

ㄷ. (반례) [eqn: a_n = (-1)^n], [eqn: b_n = (-1)^n+1]이면

[eqn: LEFT { `a_n `RIGHT }], [eqn: left{ `b_n` right}]은 모두 발산하지만

[eqn: lim_n->inf a_n b_n = lim_n->inf (-1)^2n+1 = -1`]  ∴ 거짓

7. [출제의도] 도형에 관련된 수열의 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

피타고라스 정리에 의해  [eqn: rm barAC = it root{1+n^2`}]

직각삼각형 [eqn: rmABC`]의 넓이를 [eqn: S_n]이라 하면

[eqn: S_n = 1 over2 cdot1 cdotn`][eqn: = {1} over {2} n]

[eqn: S_n = 1 over2 cdot1 cdot r_n + 1 over2 cdotn cdot r_n + 1 over2 cdot root{1+n^2 } cdot r_n]

[eqn: {1} over {2} r _{n} (1+n+ sqrt {1+n ^{2}} )][eqn: = {1} over {2} n`]

∴ [eqn: r_n = n over {1+n+ root{1+n^2 } }`]

∴ [eqn: lim _{ n->inf} { r_n}][eqn: = lim_n->inf n over {1+n+ root{1+n^2 } }`]

[eqn: = lim_n->inf 1 over {1over n + 1+ root{1 over n^2 +1 } }`][eqn: = 1over2`]

8. [출제의도] 거듭제곱근의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: root n of a^2n =a^{ 2n over n } = a^2]  ∴ 참

ㄴ. [eqn: root n of a ``root 2n of a = a^{ 1overn } `` a^{ 1over 2n }][eqn: = a^{1 over n + 1 over 2n}][eqn: = a^{3 over 2n }], [eqn: root 3n of a = a^{1 over 3n }]

이므로 [eqn: root n of a ``root 2n of a ne root 3n of a]  ∴ 거짓

ㄷ. [eqn: {root n of a } ÷ {root n+1 of a} = a^ {1 over n} ÷ a^{1 over n+1}][eqn: = a^{1 over n - 1 over n+1} = a^{1 over n(n+1)}]

[eqn: = root {n(n+1)} of {a} ``]  ∴ 참

9. [출제의도] 등비수열의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

등비수열 [eqn: LEFT { `a_n `RIGHT }]의 첫째항이 [eqn: 3]이고 공비가 [eqn: 2]이므로

[eqn: a_n = 3 cdot 2^n-1]이고 [eqn: 1overa_n = 1over 3 left(1over 2 right)^n-1]이다.

∴ [eqn: A = sum_k=1^10 a_k = { 3(2^10 -1) } over 2-1 = 3 cdot (2^10 -1 )]

∴ [eqn: B =SUM_k=1 ^10 1 over a_k = { 1over3 left( 1- 1over 2^10 right) } over { 1- 1over2 }][eqn: ={ 2over3 left( {2^10 -1} over 2^10 right) }][eqn: = {2^10 -1} over { 3 cdot 2^9 }]

∴ [eqn: A over B = 9 cdot2^9]

10. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 무한등비급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: alpha], [eqn: beta`]가 이차방정식 [eqn: 2x^2 +x-4 =0]의 두 근이므로

근과 계수의 관계에 의해

[eqn: alpha + beta = `- 1over 2], [eqn: alpha beta =-2]

한편, [eqn: {1} over {alpha } + {1} over {beta } = {alpha + beta } over {alpha beta }][eqn: = 1 over4]

[eqn: SUM from { n =1} to inf left(1over alpha + 1over beta right) ^n = SUM from { n =1} to inf left(1over 4 right) ^n][eqn: = { 1over 4 } over{ 1- 1over 4}][eqn: = 1over 3]

11. [출제의도] 직선의 방정식과 등차수열에 관련된 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: l_1 `` : `` x over a_1 + y over b_1 = 1], [eqn: l_2 `` : `` x over a_2 + y over b_2 = 1], [eqn: l_3 `` : `` x over a_3 + y over b_3 = 1]

에서 세 직선이 점[eqn: (2,``1)]을 지나므로

[eqn: 1 over b_1 = 1 - 2 over a_1], [eqn: 1 over b_2 = 1 - 2 over a_2], [eqn: 1 over b_3 = 1 - 2 over a_3]

이때 [eqn: 1 over b_1 ,~ 1over b_2 ,~ 1over b_3]가 등차수열을 이루므로

[eqn: 1 over b_2 - 1over b_1 = 1 over b_3 - 1over b_2]

∴ [eqn: 2 over a_2 = 1over a_1 + 1 over a_3]

12. [출제의도] 거듭제곱근의 대소를 비교하여 식을 간단히 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sqrt {2} =2 ^{{1} over {2}}], [eqn: root 3 of 3 = 3^ {1 over 3}], [eqn: root 5 of 5 = 5^ {1 over 5}]

[eqn: 2 ^{{1} over {2}}], [eqn: 3^ {1 over 3}]에서

[eqn: left (2 ^{ 1over 2} right) ^6 = 2^3 = 8], [eqn: left (3 ^{ 1over 3} right) ^6 = 3^2 = 9]

∴ [eqn: root 2 < root 3 of 3] [eqn: CDOTS ㉠]

[eqn: 2 ^{{1} over {2}}], [eqn: 5^ {1 over 5}]에서

[eqn: left (2 ^{ 1over 2} right) ^10 = 2^5 = 32], [eqn: left (5 ^{ 1over 5} right) ^10 = 5^2 =25]

∴ [eqn: root {5} of {5} < sqrt {2}][eqn: CDOTS ㉡]

㉠, ㉡에서 [eqn: root 5 of 5 <root2 < root 3 of 3]

∴ [eqn: |``root 2 - root 3 of 3 ``|+|``root 3 of 3 - root 5 of 5``|+|``root 5 of 5 - root2 ``|``]

[eqn: =` -(``root 2 - root 3 of 3 ``)+(``root 3 of 3 - root 5 of 5``)-(``root 5 of 5 - root2 ``)``]

[eqn: = 2( root 3 of 3 - root 5 of 5 )``]

13. [출제의도] 역행렬과 연립방정식의 관계를 이용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

기계 [eqn: \P``], [eqn: \Q``]가 하루에 생산하는 제품의 개수가 각각 [eqn: p``], [eqn: q``]이므로

[eqn: 39(p+q)<120<=40(p+q)][eqn: THEREFORE p+q=3]  [eqn: cdots`㉠]

[eqn: 14(2p+3q)<120<=15(2p+3q)][eqn: THEREFORE 2p+3q=8]

[eqn: CDOTS `㉡]

㉠, ㉡에서

[eqn: pmatrix{``{1}``&``{1}``#``{2}``&``{3}``} `pmatrix{``{p}``#``{q}``} =pmatrix{``3``#``8``}``] ⇒ [eqn: pmatrix{``{p}``#``{q}``} = {pmatrix{``{1}``&``{1}``#``{2}``&``{3}``}}^-1 `pmatrix{``3``#``8``}``]

⇒ [eqn: pmatrix{``p``#``q``} = pmatrix{``~~3``&```-1``#``-2``&``~~1``} ` pmatrix{``3``#``8``} ``]

∴ [eqn: a=3,``b=1`]

∴ [eqn: a+b=4]

14. [출제의도] 일정한 규칙에 따라 나열된 수열에 관한 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 수를

[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,2 RIGHT )], [eqn: (3,3,3)], [eqn: (4,4,4,4)`], [eqn: (5,5,5,5,5)`], …·

과 같이 묶으면 제[eqn: ``2006`]번 째 묶음까지의 항의 개수는

[eqn: 1+2+cdots +2006 = {2006cdot2007`}over2 = 1003cdot2007`]

이때 [eqn: 1003`]을 [eqn: 5`]로 나눈 나머지가 [eqn: 3`]이고 [eqn: 2007`]을 [eqn: 5`]로 나눈 나머지가 [eqn: 2`]이므로 [eqn: 1003cdot2007`]을 [eqn: 5`]로 나눈 나머지는 [eqn: 1`]이다.

즉, 제[eqn: ``2006`]번 째 묶음의 마지막 수 [eqn: 2006`]이 나타나는 반직선은 [eqn: a`]이므로 [eqn: 2007`]이 처음으로 나타나는 반직선은 [eqn: b`]이다.

15. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수에 관한 성질을 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: log ``x = n + alpha `]([eqn: n`]은 정수, [eqn: 0<= alpha < 1])라 하면

[eqn: log root 10 x = n+ alpha + 1 over 2],  [eqn: log x^2 = 2n + 2 alpha `]

(i) [eqn: 0<= alpha < 1 over 2]이면 [eqn: log``x`]의 지표는 [eqn: n`], [eqn: log`sqrt10`x`]의 지표는 [eqn: n`]이므로 이들의 합은 [eqn: 2n`]이다.

이것은 [eqn: log``x ^{2} `]의 지표와 같다.

(ii) [eqn: 1 over 2 <= alpha < 1]이면 [eqn: log``x`]의 지표는 [eqn: n`]이고 [eqn: log`sqrt10`x`]의 지표는 [eqn: n+1`]이므로 이들의 합은 [eqn: 2n`+1`]이다.

이것은 [eqn: log``x^2`]의 지표와 같다.

따라서 (i), (ii)에 의해 [eqn: log``x`]의 지표와 [eqn: log`sqrt10`x`]의 지표의 합은 [eqn: log``x^2`]의 지표와 같다.

16. [출제의도] 도형과 관련된 무한등비급수의 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

그림과 같이 직각삼각형[eqn: rm TRIANGLE OA _{1} B _{1}]에서 [eqn: C _{1}]의 반지름을 [eqn: r _{1}]이라 하고, 내접원이 [eqn: rm TRIANGLE OA _{1} B _{1}]와 만나는 접점을 각각 [eqn: \P], [eqn: \Q], [eqn: \R]라 하자.

[eqn: rm bar{A _{1} P} = bar{A _{1} R} = it r _{1}], [eqn: rm bar{B _{1} P} = bar{B _{1} Q} =it 6-r _{1}], [eqn: rm bar{OP} = bar{OQ} = it 8-r _{1}]

∴ [eqn: rm bar{OB _{1}} = bar{OQ} + bar{QB _{1}}]=[eqn: 8-r _{1} +6-r _{1} =10]

∴  [eqn: r _{1} =2]

원 [eqn: C _{2}]의 반지름을 [eqn: r _{2}]라 하면

[eqn: rm TRIANGLE OA _{1} B _{1}]□[eqn: rm TRIANGLE OA _{2} B _{2}]이고  [eqn: rm bar{OA _{1}} : bar{OA _{2}} =8:4]

이므로 [eqn: r_1 ``:``r_2 ``=2``:``1``] 즉, [eqn: r_2 = 1 over 2 r_1]

마찬가지 방법으로 원 [eqn: C _{n}]의 반지름을 [eqn: r _{n}]이라 하면,

[eqn: r _{n} = 1over 2 r_n-1]이 성립한다.

∴ [eqn: r_n = 2 cdot left( 1over 2 right)^n-1]	∴ [eqn: S_n = pi cdot 4 cdot left( 1over 4 right)^n-1]

∴ [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} = {4 pi } over {1- {1} over {4}} = {16 pi } over {3}]

17. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 의미를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: log``1 over A = n + alpha``]([eqn: n``]은 정수, [eqn: 0<= alpha <1 ``])라 하면

[eqn: n+ alpha = 5 over 3 =1 + 2 over 3````]	∴ [eqn: n=1``], [eqn: alpha= 2 over 3``]

[eqn: log ``1 over A = 5 over 3 ``], [eqn: - log `` A = 5 over 3 ``]

∴ [eqn: log``A=`- {5} over {3} =`-2+ {1} over {3} ````]

따라서 [eqn: log``A``]의 가수는 [eqn: 1 over 3``]이다.

18. [출제의도] 로그의 성질과 정수의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: log N = a log 2 + b log 3 + 1][eqn: = log (10cdot 2^a cdot 3^b )]

∴ [eqn: N = 10 cdot 2^a cdot 3^b]

[eqn: 10≦ 10 cdot 2^a cdot 3^b ≦100]

∴  [eqn: 1≦ 2^a cdot 3^b ≦10]    [eqn: cdots`㉠]

㉠을 만족하는 음이 아닌 정수 [eqn: a,``b]의 순서쌍

[eqn: (a, ``b)]는 [eqn: (0,0)], [eqn: (0,1)], [eqn: (0,2)], [eqn: (1,0)], [eqn: (1,1)], [eqn: (2,0)], [eqn: (3,0)]

이므로 정수 [eqn: N`]은 [eqn: 7`]개이다.

19. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: theta =0``]일 때 [eqn: k`cdot a^{`0} =64]에서 [eqn: k=64]

[eqn: theta =pi``]일 때 [eqn: k cdot a^pi = 64``a^pi =125]

∴ [eqn: a= LEFT ( 125 over 64RIGHT )^ {1 over pi} = LEFT ( 5 over 4 RIGHT )^{3 over pi}``]

따라서 [eqn: theta = 2 over 3 pi``]일 때

[eqn: f= 64cdot left { LEFT ( 5 over 4 RIGHT )^{3 over pi}``} right}^{2 over 3 pi}``][eqn: = 64 cdot LEFT ( 5 over4 RIGHT )^{2} ``][eqn: =100]

20. [출제의도] 귀납적으로 정의된 수열의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: a_1 = S_1` =1`] 이므로  [eqn: 2S_1 =a_1 a_2`] 에서

[eqn: 2 cdot 1=1 cdot a_2`]   ∴ [eqn: a_2 =2`]  ∴ 참

ㄴ. [eqn: 2S_n = a_n a_n+1`], [eqn: 2S_n-1 =a_n-1 a_n`]에서

[eqn: 2(S_n -S_n-1 )= a_n (a_n+1 -a_n-1 )`]

∴ [eqn: a_n+1 -a_n-1 =2`]  ∴ 참

ㄷ. ㄴ에서 [eqn: left{ a_2n-1 right}], [eqn: left{ a_2n right}]은 모두 공차가 [eqn: 2`]인

등차수열이고, [eqn: a_1 = 1`], [eqn: a_2 = 2`]이므로 [eqn: left{ a_n right}``]은 공차가 [eqn: 1`]인 등차수열이다.  ∴ 참

21. [출제의도] 상용로그를 이용하여 실생활과 관련된 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

처음 박테리아의 수를 [eqn: A]라 하고 매 시간 [eqn: 16`]%씩 증가하여 [eqn: 20]시간이 지난 후 박테리아의 수가 처음의 [eqn: k]배라 하면

[eqn: A `left( 1 + 16 over 100 right)^20 = k A]	∴ [eqn: k = 1.16^20]

양변에 상용로그를 취하면

[eqn: log` k = 20` log `1.16][eqn: =20 TIMES 0.0645]

[eqn: = 1.2900][eqn: = log `19.5]

∴ [eqn: k= 19.5]

22. [출제의도] 자연수의 거듭제곱의 합을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sum _{k=1} ^{6} (k ^{2} +2)]=[eqn: {6` CDOT `7` CDOT `13} over {6} +2 TIMES 6][eqn: =103]

23. [출제의도] 역행렬의 정의를 이해하고 역행렬을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: (A-E)B=E``]에서

[eqn: B=(A-E)^-1``][eqn: = {pmatrix{``{~~1}``&``{-2}``#``{`-5}``&``{``~11}``}}^-1``][eqn: = pmatrix{``{11}``&``{2}``#``{5}``&``{1}``}``]

∴ [eqn: a=11,```d=1`]

∴ [eqn: a+d=12``]

24. [출제의도] 수열의 극한에 대한 성질을 이용하여 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sqrt {9n^2 -1}`<`(n+2)a_n `<` sqrt{9n^2 +4n}]에서

[eqn: {sqrt {9n^2 -1}}over n+2 `<`a_n `<` {sqrt{9n^2 +4n}}over n+2]

[eqn: lim_{n`->`inf} {sqrt{9n^2 -1}}over n+2 =lim_{n`->`inf} {sqrt{9n^2 +4n}}over n+2 =3`]

이므로 [eqn: lim_{n`->`inf} a_n =3`]

[eqn: ∴~lim_{n`->`inf} a_n`^3 =3^3 =27`]

25. [출제의도] 여러 가지 수열의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sum _{k=1} ^{21} a _{k}]=[eqn: a _{1} +(a _{2} +a _{3} )+(a _{4} +a _{5} )+` CDOTS `+(a _{20} +a _{21} )]

[eqn: =1+4+6+cdots +22][eqn: =1+{10(4+22)} over {2}][eqn: =131`]

26. [출제의도] 행렬의 곱셈에 관한 성질을 이해하고  있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: (A+B) ^{2} =A ^{2} +B ^{2}] 이 성립하려면

[eqn: AB+BA=O] 이어야 하므로 [eqn: AB=-BA]이다

[eqn: pmatrix{``1``&``-2``#``x``&``-1``} pmatrix{``~~1``&``2``#``-3``&``y``} =`- pmatrix{``~~1``&``2``#``-3``&``y``} pmatrix{``1``&``-2``#``x``&``-1``}]

[eqn: pmatrix {`` 7``& ``2-2y``# ``x+3``& ``2x-y``}=`- pmatrix {`` ~~1+2x``& ``-4``# ``-3+xy``& ``6-y``}]

[eqn: = pmatrix {`` -1-2x``& ``~~4``# ``~~3-xy``&`` -6+y``}]

두 행렬이 서로 같을 조건에 의해

[eqn: x=`-4,````y=`-1]

∴ [eqn: x ^{2} +y ^{2} =17]

27. [출제의도] 등차수열의 합에 관한 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 100n=100+97+` CDOTS `+ LEFT { 100-3(n+8) RIGHT }]

[eqn: = {(n+9) LEFT { 2` CDOT `100`+(-3)(n+8) RIGHT }} over {2}]

[eqn: n ^{2} +17n-528=0], [eqn: (n+33)(n-16)=0]

[eqn: n`]은 자연수이므로

[eqn: n=16`]

28. [출제의도] 로그가 정의되기 위한 조건을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

밑의 조건에서

[eqn: x>`0], [eqn: x != 1] [eqn: cdots ㉠]

진수 조건에서

[eqn: 8-x-y>`0] [eqn: cdots㉡]

그림에서 ㉠, ㉡을 동시에 만족하는 자연수 [eqn: x,``y`]의 순서쌍

[eqn: (x,``y)]의 개수는 [eqn: 15]개이다.

29. [출제의도] 계차수열을 이용하여 수열의 일반항을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

막대의 길이를 [eqn: 1``]이라 하면, 입체도형 [eqn: A _{2}]는 [eqn: A _{1}]에 막대 [eqn: 3]개를 이어 붙이고 밑변에 길이가 [eqn: 2]인 정삼각형을 붙인 것이다.

입체도형 [eqn: A _{3}]는 [eqn: A _{2}]에 막대 [eqn: 3]개를 이어 붙이고 밑변에 길이가 [eqn: 3]인 정삼각형을 붙인 것이다.

이와 같은 과정을 반복하면 [eqn: A_n`]과 [eqn: A_n+1`]에 사용된 각 막대의 개수 [eqn: a_n]과 [eqn: a_n+1`] 사이에는

[eqn: a_{ n+1} =a_n + 3+ 3(n+1)]

[eqn: =a _{n} +3n+6]

인 관계가 성립한다.

따라서 수열 [eqn: LEFT { `a_n `RIGHT }]의 계차수열의 일반항은 [eqn: 3n+6]이다.

∴ [eqn: a _{10} =a _{1} + sum _{k=1} ^{9} (3k+6)]

[eqn: =6+3`cdot` {9`cdot`10} over {2} +6cdot`9][eqn: =195]

30. [출제의도] 지수법칙을 활용하여 도형과 관련된 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A over B = C over D]이므로 [eqn: { 2^a 3^b } over { 2^a-1 3^b+1 } = {2^2a-1 3^b } over { 2^a+1 3^b+1 }]

[eqn: 2 over 3 = 2^a-2 over 3`] ∴ [eqn: a=3`]

∴ [eqn: A= 8 cdot 3^b], [eqn: B= 12 cdot 3^b], [eqn: C= 32 cdot 3^b], [eqn: D= 48 cdot 3^b]

∴[eqn: A+B+C+D = (8+ 12+32+ 48 ) cdot 3^b]

[eqn: = 100 cdot 3^b][eqn: = 90 ^2 `]

[eqn: 3^b = 81][eqn: = 3^4]이므로

[eqn: b = 4`]

∴ [eqn: A= 2^3 cdot 3^4 = 648]

수리‘나’형 정답

1	④	2	①	3	④	4	②	5	③	6	⑤
7	⑤	8	③	9	①	10	③	11	④	12	⑤
13	④	14	②	15	②	16	①	17	②	18	③
19	③	20	②	21	⑤	22	[eqn: 90]	23	[eqn: 12]	24	[eqn: 50]
25	[eqn: 20]	26	[eqn: 17]	27	[eqn: 10]	28	[eqn: 15]	29	[eqn: 26]	30	[eqn: 648]

해 설

1. ‘가’형과 동일

2. ‘가’형과 동일

3. [출제의도] 로그의 정의를 이용하여 식의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a ^{0.6} =64], [eqn: a^{6 over10 } = 2^6], [eqn: a= left( 2^6 right) ^{ 10 over 6 } = 2^10]

∴ [eqn: root a][eqn: =root { 2^10][eqn: = 2^5 = 32]

4. [출제의도] 행렬의 곱셈에 대한 정의를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 행렬을 차례로 [eqn: A``], [eqn: B``], [eqn: C``], [eqn: D``]라 하면

[eqn: A``], [eqn: B``], [eqn: C``], [eqn: D``]는 각각 [eqn: 1×2``], [eqn: 2×1``], [eqn: 1×3``], [eqn: 2×3``]행렬이므로 곱셈이 정의되는 행렬은 [eqn: AB], [eqn: AD], [eqn: BA], [eqn: BC] 의 [eqn: 4]가지이다.

5. ‘가’형과 동일

6. [출제의도] 역행렬의 연산에 관한 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: A( A^-1 - B^-1 )B = (E- AB^-1 ) B]

[eqn: = B -A]  ∴ 참

ㄴ. [eqn: A^2 - A+ E =O]에서 [eqn: A( E-A) =E]

∴ [eqn: A^-1 = E-A]  ∴ 참

ㄷ. [eqn: AB^2 = (AB) B = E]에서

[eqn: B = (AB)^-1 = B^-1 A^-1]  ∴ 참

7. [출제의도] 행렬을 이용하여 두 직선의 교점을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: pmatrix{``{a}``&``{b}``#``{c}``&``{d}``}``pmatrix{``{x}``#``{y}``}`` = pmatrix{``{~~4}``#``{`-2}``}``]에서

[eqn: pmatrix{``{x}``#``{y}``}`` = {pmatrix{``{a}``&``{b}``#``{c}``&``{d}``}}^-1`` pmatrix{``{~~4}``#``{`-2}``}``][eqn: =pmatrix{``{2}``&``{3}``#``{4}``&``{5}``}``pmatrix{``{~~4}``#``{`-2}``}`` = pmatrix{``{2}``#``{6}``}``]

따라서 두 직선의 교점의 좌표는 [eqn: (2,``6)``]이다.

8. ‘가’형과 동일

9. [출제의도] 행렬의 곱셈에 관한 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

선희의 가족이 P식당에서 주문하고 지불해야 할 금액은 [eqn: 3500 TIMES 3+4000 TIMES 5](원)이므로 행렬 [eqn: A,``B] 의 곱

[eqn: AB= pmatrix{``3500``&``4000``#``3000``&``4500``}` pmatrix{``6``&``3``#``4``&``5``}]에서 [eqn: (1,```2)]성분과 같다.

10. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 로그의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: log _{a} 2=][eqn: {log`2} over {log`a} =3]에서  [eqn: log`a= {log`2} over {3}]

[eqn: log _{b} 4=][eqn: {log4} over {log`b} =5]에서  [eqn: log`b`= {2log2} over {5}]

∴ [eqn: log _{a} b= {log`b} over {log`a} = {{2log2} over {5}} over {{log2} over {3}} = {6} over {5}]

11. [출제의도] 함수에 의해 정의된 행렬의 연산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f_1 (1)=1,~f_1`(2)=1`]이므로 [eqn: A_1 = pmatrix { ``1```&` `0``#``1`` &``0`` }]

[eqn: f_2 (1)=2,~f_2`(2)=2`]이므로 [eqn: A_2 = pmatrix { ``0``&`` 1``#``0``&``1``}]

[eqn: f _{3} (1)=1,~f _{3} `(2)=2`]이므로 [eqn: A_3 = pmatrix { ``1``&`` 0``#``0`` &``1 ``}]

[eqn: f_4 (1)=2,~f_4`(2)=1`]이므로 [eqn: A_4 = pmatrix { ``0``&`` 1``#``1`` &``0 ``}]

ㄱ. [eqn: A_1 = pmatrix { ``1```&` `0``#``1`` &``0`` }]  ∴ 참

ㄴ. [eqn: A _{2} A _{3} = pmatrix { ``0``&`` 1``#``0``&``1``} pmatrix { ``1``&`` 0``#``0`` &``1 ``} =pmatrix { ``0``&` `1``#``0`` &``1``}!=A_4]  ∴ 거짓

ㄷ. [eqn: A_2 `^2 =A_2 A_2 = pmatrix { ``0``&`` 1``#``0``&``1``}` pmatrix { ``0``&`` 1``#``0``&``1``}= pmatrix { ``0``&`` 1``#``0``&``1``}=A_2`]

[eqn: A_2 `^3 =A_2 `^2 A_2 = A_2`A_2` = A_2 `^2 =A_2]

이와 같은 방법으로  [eqn: A_2 ^10 = A_2]  ∴ 참

12. ‘가’형과 동일

13. ‘가’형과 동일

14. [출제의도] 행렬의 거듭제곱을 이용하여 식을 간단히 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A^2 = pmatrix{``~~2``&``~~3``#``-1``&``-1``} pmatrix{``~~2``&``~~3``#``-1``&``-1``} =pmatrix{``~~1``&``~~3``#``-1``&``-2``}]

[eqn: A^3 =A`A^2 = pmatrix{``~~2``&``~~3``#``-1``&``-1``} `pmatrix{``~~1``&``~~3``#``-1``&``-2``}][eqn: =pmatrix{``-1``&``~~0``#``0``&``-1``} =-E`]

이므로 [eqn: A^4 = -A , ``A^5 = -A^2 , ``A^6 = E]

∴ [eqn: A+A ^{2} +A ^{3} +A ^{4} +A ^{5} +A ^{6} =O]

또한, [eqn: A ^{6n+1} =A,``A ^{6n+2} =A^2 , ~A^6n+3 = -E]

[eqn: A ^{6n+4} =-A,``A ^{6n+5} =-A^2 , ~A^6n+6` = E] [eqn: (n=0,1,2, CDOTS )]

이다. 그런데 [eqn: 365]를 [eqn: 6`]으로 나눈 나머지가 [eqn: 5`]이므로

(주어진 식)[eqn: =`A+`A ^{2} +A ^{3} + A^4 + A^5]

[eqn: = -A^6][eqn: =` -E]

15. ‘가’형과 동일

16. [출제의도] 연립일차방정식이 무수히 많은 해를 가질 조건을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: pmatrix{``a``&``0``#``b``&``a``} pmatrix{``x``#``y``} ` =` pmatrix{``x-y``#y} ``] ⇔ [eqn: pmatrix{``a``&``0``#``b``&``a``} `pmatrix{``x``#``y``}][eqn: =pmatrix{``1``&-1``#``0``&~~1``} `pmatrix{``x``#``y``}]

⇔ [eqn: pmatrix{``a-1``&``1``#``b``&``a-1``} `pmatrix{``x``#``y``} =`pmatrix{``0``#``0``}]

[eqn: x=0``], [eqn: y=0``]이외의 해를 가지려면 행렬 [eqn: pmatrix{``a-1``&``1``#``b``&``a-1``}]의 역행렬이 존재하지 않아야 하므로

[eqn: (a-1)^2 - b =0`]	∴ [eqn: b= (a-1)^2 `]

따라서 점 [eqn: (a,~b)``]가 그리는 도형을 좌표평면 위에 나타내면 ①과 같다.

17. ‘가’형과 동일

18. ‘가’형과 동일

19. ‘가’형과 동일

20. [출제의도] 로그의 성질과 이차방정식의 근의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

이차방정식이 실근을 가지므로 판별식 [eqn: D`]는

[eqn: D=p ^{2} -4q`>=0`]  [eqn: cdots`㉠]

이고, 근과 계수의 관계에서

[eqn: alpha + beta =-p], [eqn: alpha beta =q`]

한편, [eqn: log_2`( alpha + beta )=`log_2` alpha `+`log_2` beta -1 = log_2` {alpha beta}over2 `]

이므로 [eqn: alpha + beta = {alpha beta}over2 `]

∴ [eqn: -p= q over2`] 즉, [eqn: q=`-2p`] [eqn: cdots㉡]

㉡을 ㉠에 대입하면

[eqn: p^2 -4q = p^2 + 8p][eqn: = p(p+8)>=0]

진수 조건에서 [eqn: -p>0], [eqn: q>0]이므로

[eqn: p<=-8`]이고 [eqn: q>=`16`]이다.

따라서 [eqn: q``-`p`]의 최소값은 [eqn: 24]이다.

21. ‘가’형과 동일

22. [출제의도] 지수법칙을 활용하여 식의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: x^{ { 3} over {2 } }+y ^{ { 3} over {2 } }=12] 의 양변을 제곱하면

[eqn: x^{ 3}+2(xy) ^{ { 3} over {2 } } +y ^{ 3}=144]

[eqn: x^{ 3} +y ^{ 3}=144-2(xy) ^{ { 3} over {2 } }][eqn: =144-2cdot(3 ^{ 2}) ^{ { 3} over {2 } }]

[eqn: =144-54][eqn: =90]

23. ‘가’형과 동일

24. [출제의도] 거듭제곱근이 정수가 되기 위한 조건을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: root 4 of 4^n = 4^{ n over 4}````][eqn: = 2^{ n over 2 }]이므로 [eqn: n`]이 [eqn: 2`]의 배수일 때

[eqn: root {4} of {4 ^{n}} `]이 정수가 된다.

따라서 [eqn: 100]이하의 자연수에서 [eqn: 2]의 배수의 개수는

[eqn: 50]개이다.

25. [출제의도] 역행렬의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A pmatrix{``3``&``5``#``4``&``7``} =B] 의 양변에 [eqn: A ^{-1}]을 곱하면

[eqn: E``` pmatrix{``3``&``5``#``4``&``7``} =A ^{-1`} B]	∴ [eqn: A ^{-1} B= pmatrix{``3``&``5``#``4``&``7``}]

[eqn: A``pmatrix{``3``&``5``#``4``&``7``} =B] 의 양변에 [eqn: B ^{-1}]을 곱하면

[eqn: B ^{-1} A pmatrix{``3``&``5``#``4``&``7``} =B ^{-1```} B]

∴ [eqn: B ^{-1} A][eqn: ={ pmatrix{``3``&``5``#``4``&``7``} } ^{-1}][eqn: = pmatrix{``~~7``&``-5``#``-4``&``~~3``}]

∴ [eqn: A ^{-1} B+B ^{-1} A= pmatrix{``3``&``5``#``4``&``7``} + pmatrix{``~~7``&``-5``#``-4``&``~~3``}= pmatrix{``10``&``0``#``0``&``10``}]

따라서 구하는 모든 성분의 합은 [eqn: 20]이다.

26. ‘가’형과 동일

27. [출제의도] 자연수의 양의 약수의 성질을 이용하여 로그값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: n=2 `^{3} times `3 `^{4}``]의 양의 약수의 개수는

[eqn: (3+1)(4+1)=20]

이 [eqn: 20]개의 약수를 작은 수부터 차례로

[eqn: a _{1}], [eqn: a _{2}], [eqn: a _{3}], … , [eqn: a _{20}] 라 하면

[eqn: a _{1} a _{20} =n], [eqn: a _{2} a _{19} =n], … , [eqn: a _{10} a _{11} =n]

∴ [eqn: M=a _{1} a _{2} `cdots`a _{20} =n^10]

∴ [eqn: log _{n} M=`log _{n} `n ^{10} =10]

28. ‘가’형과 동일

29. [출제의도] 행렬의 연산을 이용하여 이차함수의 최대값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A+B=O`]이므로

[eqn: pmatrix{``1``&``~~a``#``b``&``-1``} + pmatrix{``-1``&``b-10``#``a-10``&``1``} = pmatrix { ``0``&``0``#``0``&``0``}]

[eqn: pmatrix{``0``&``a+b-10``#``a+b-10``&``0``} = pmatrix { ``0``&``0``#``0``&``0``}]

∴[eqn: a+b=10] [eqn: cdots㉠]

[eqn: pmatrix{``1``&``~~a``#``b``&``-1``} pmatrix{``1``&``~~a``#``b``&``-1``} =k` pmatrix{``1``&``0``#``0``&``1``}]

[eqn: pmatrix{``1+ab``&``0``#``0``&``ab+1``} = pmatrix{``k``&``0``#``0``&``k``}]

∴ [eqn: ab+1=k] [eqn: cdots㉡]

㉠, ㉡에서

[eqn: k=ab+1][eqn: = a(10-a)+1][eqn: =-(a-5)^2 +26]

따라서 [eqn: k`]의 최대값은 [eqn: 26]이다.

30. ‘가’형과 동일