2007학년도 9월 고1 전국연합학력평가 정답 및 해설

• 수리 영역 •

정 답

1	④	2	①	3	②	4	①	5	①	6	④	7	⑤	8	②
9	③	10	⑤	11	④	12	⑤	13	③	14	⑤	15	③	16	③
17	②	18	④	19	②	20	③	21	①	22	[eqn: 20]	23	[eqn: 13]	24	[eqn: 31]
25	[eqn: 21]	26	[eqn: 15]	27	[eqn: 29]	28	[eqn: 42]	29	[eqn: 17]	30	[eqn: 100]

해 설

1. [출제의도] 이중근호가 있는 식을 이중근호가 없는 식으로 변형할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sqrt {5+ 2sqrt {6} }][eqn: = sqrt {(3+2)+2root{3times2}]

[eqn: = sqrt { 3}+ sqrt { 2}]

∴ [eqn: a+b=5]

2. [출제의도] 분수식을 계산하여 주어진 식을 간단히 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: x over { 1+ 1 over x-1} = {x(x-1)}over{(x-1)+1}]

[eqn: = x-1]

3. [출제의도] 복소수의 계산을 이용하여 복소수의 곱셈에 대한 역원을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: {1-2i} over {5+5i}]의 곱셈에 대한 역원은 [eqn: {5+5i} over{1-2i}]이다.

[eqn: {5+5i} over{1-2i}][eqn: =][eqn: {(5+5i)(1+2i)} over{(1-2i)(1+2i)}]

[eqn: =][eqn: {5`(`-1`+`3`i`)} over {1`+`4}]

[eqn: =][eqn: {-1+3i}]

4. [출제의도] 벤 다이어그램으로 나타낸 부분을 집합의 연산기호를 이용하여 표현할 수 있는가를 묻는 문제이다.

벤 다이어그램의 어두운 부분의 임의의 원소 [eqn: x]는

[eqn: x `in` A `cap` B `] 이고 [eqn: x nin C] 이다.

따라서 어두운 부분을 나타내는 집합은

[eqn: (A cap B )- C]이다.

5. [출제의도] 좌표평면에서 선분의 내분점을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

선분 [eqn: AB`]를 [eqn: 2``:``1`]로 내분하는 점의 좌표는

[eqn: LEFT ( {2 TIMES 5+1 TIMES (-1)} over {2+1} ,~ {2 TIMES (-5)+1 TIMES 4} over {2+1} RIGHT ) ``=`(3,~-2)`]이다.

점 [eqn: (3,~-2)`]가

직선 [eqn: y`=`2`x`+`k`] 위의 점이므로 [eqn: -2= 6+k]

∴ [eqn: k`=`-8]

6. [출제의도] 집합의 포함 관계를 파악하여 명제의 참, 거짓을 판단할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: P∩Q = ∅]이고 [eqn: P` cup`Q `!=` U`]에서 두 집합 [eqn: P,``Q`] 사이의 관계를
나타내면 벤 다이어그램과 같다.

∴ [eqn: Q subset P^C], [eqn: P subset Q^C]

∴ [eqn: q``` RARROW SIM p], [eqn: p `⇒ ∼q]

따라서 옳은 것은 ④이다.

7. [출제의도] 해집합이 주어진 이차부등식을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: ax ^{2} `+`bx`+`c` >= `0`]의 해가 [eqn: x`=`2`] 뿐이므로

[eqn: a`<`0`]이고 [eqn: a`x^{2}`+`b`x`+`c`=`a`(x`-`2)^{2}``][eqn: =a`x^{2}`-4`a`x`+`4`a`]

∴ [eqn: a`<`0`]이고, [eqn: b`=`-4a`,``c`=`4a``]

ㄱ. [eqn: a`<`0`]이다.

ㄴ. [eqn: ax ^{2} `+`bx`+`c` = `0`]이 중근을 가지므로

판별식 [eqn: b ^{2} `-4ac=0]이다.

ㄷ. [eqn: a`+`b`+`c`=`a`+`(-4a)`+`4a`=`a`<`0``]이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다.

8. [출제의도] 두 집합이 서로 같을 조건을 만족시키는 미지수가 세 개인 일차연립방정식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.

집합 [eqn: A`=` LEFT { a`,``b`,``c` RIGHT }``]에 대하여 [eqn: a`<`b`<`c``]라 하자.

이때, 주어진 집합을 원소나열법으로 나타내면

[eqn: LEFT { a`+`b`,``b`+`c`,``c`+`a` RIGHT } ``]이다.

[eqn: a`+`b`<`a`+`c`<`b`+`c``]이므로

[eqn: a`+`b`=`11`]	… ㉠

[eqn: a`+`c`=`13``]	… ㉡

[eqn: b`+`c`=`16``]	… ㉢

㉠[eqn: +]㉡[eqn: +]㉢을 하면 [eqn: 2`(a`+`b`+`c`)`=`40``]

∴ [eqn: a`+`b`+`c`=`20``]	… ㉣

㉣[eqn: -]㉠을 하면 [eqn: c`=`9``]

따라서 집합 [eqn: A``]의 원소 중 가장 큰 수는 [eqn: 9``]이다.

9. [출제의도] 산술평균과 기하평균의 관계를 이용하여 주어진 식의 값의 범위를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: {x+y} over {2} `` >= `` sqrt {xy}]　에서　[eqn: xy` <= 1]

ㄴ.　[eqn: x^2 +y^2 = (x+y ) ^2 -2xy`` = `4-2xy`]에서

[eqn: xy` <= 1]이므로 [eqn: x ^{2} `+`y ^{2} `>=`2]

ㄷ. [eqn: {1} over {x} + {1} over {y} = {x+y} over {xy} = {2} over {xy} ``>= 2]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

10. [출제의도] 선분의 내분점과 수직선 위의 무리수를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: bar {\OP} `=`bar {\OB} `=` root{4^2 `+`4^2 }` =` 4root2]

[eqn: bar {\OD} = 1 over4 bar {\OA}][eqn: =1], [eqn: bar {\DA} = 3], [eqn: bar {\DB} = root {3^2 +4^2} =5] 이므로

[eqn: bar{\OQ}`=`bar{\OD} `+ `bar{\DB}`=`1`+`5`=`6`]

∴ [eqn: {bar{rm OP it}} ^{``2} +` {bar{rm OQ it}} ^{``2} `][eqn: =][eqn: 32`+`36`=`68`]

11. [출제의도] 최대공약수와 최소공배수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A,~B]의 최대공약수가 [eqn: x-1]이므로

[eqn: A=a(x-1),`B=b(x-1)](단, [eqn: a,`b]는 서로소인 일차식)이라 놓을 수 있다.

[eqn: x`A`=`(`x`+`1`)`B`]에서 [eqn: ax(x-1)=b(x+1)(x-1)]

∴ [eqn: a=x+1,`b=x]

ㄱ. [eqn: A=(x+1)(x-1)=x^2 -1]이다.

ㄴ. [eqn: A,~B]의 최소공배수는 [eqn: x(x-1)(x+1)=x^3 -x]이다.

ㄷ. [eqn: B`=`x`(`x`-`1`)`]이므로 [eqn: A`B`=`x`(`x`+`1`)`(`x`-`1`)^2`]이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

12. [출제의도] 실수의 성질을 이용하여 식의 대소 관계를 파악할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a`=`-2`,``b`=`-1`]의 경우 [eqn: 0`<` {b} over {a} `<`1`]은 만족시키지만

[eqn: b`>`a`],  [eqn: {a} over {b} `>` {b} over {a} ``]이므로 ①, ②는 성립하지 않는다.

[eqn: a`=`2`,``b`=`1`]의 경우 [eqn: 0`<` {b} over {a} `<`1`]은 만족시키지만

[eqn: {1} over {b} `>` {1} over {a} `], [eqn: a`b`>`b ^{2} `]이므로 ③, ④는 성립하지 않는다.

한편 [eqn: 0`<`{b}over{a}`<`1`]에서 [eqn: a`<`b`<`0`] 또는 [eqn: 0`<`b`<`a`]이다.

즉, [eqn: a`<`0]일 때 [eqn: a`-`b`<`0] 이고 [eqn: a`>`0`]일 때 [eqn: a`-`b`>`0] 이다.

[eqn: a^2 `-`a`b` =`a`(`a`-`b`)`>`0`] ∴ [eqn: a`b`<`a^{2}`]

따라서 옳은 것은 ⑤이다.

13. [출제의도] 복소수를 계산하여 복소수의 거듭제곱이 갖는 값을 추측할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: z`=` {3`+`root{2}`i}over{root{2}`-`3`i}`]

[eqn: =`{(3`+`root{2}`i)(root{2}`+`3`i)}over{(root{2}`-`3`i)(root{2}`+`3`i)}`]

[eqn: =`i`]

[eqn: omega`=`{i`"{"1`-(-`i)"}"}over{root{2}}`]

[eqn: ={i`(1`+`i)}over{root{2}}`]

[eqn: =`{-1`+`i}over{root{2}}``]

[eqn: omega ^2 =` left({-1`+`i}over{root{2}}`` right)^2][eqn: =`-2i over 2 `=` -i]

∴ [eqn: omega^{4}`=`-1`], [eqn: omega^{8}`=`1`]

따라서 [eqn: n`]이 [eqn: 8`]의 배수일 때 [eqn: omega^{n}`=`1`]이다.

구하는 자연수 [eqn: n]은 [eqn: 8,~16,~24,~cdots,~96]이므로 [eqn: 12`]개이다.

14. [출제의도] 실수의 대소 관계를 이용하여 주어진 영역의 넓이의 대소를 추측할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[그림 [eqn: 1`]]

[그림 [eqn: 2`]]

[그림 [eqn: 3`]]

세 그림에 있는 평행사변형의 넓이는 모두 같으므로 두 평행사변형이 교차하는 부분의 넓이가 작으면 어두운 부분의 넓이는 크다.

[그림 [eqn: 1]]과 [그림 [eqn: 2]]의 경우 두 평행사변형이 교차하는 부분의

넓이는 같다.

∴ [eqn: A = B ``]

[그림 [eqn: 1]]과 [그림 [eqn: 3]]의 경우 두 평행사변형이 교차하는 부분은

정사각형이다. 그런데 교차하는 부분의 정사각형의 한 변의 길이는 [그림 [eqn: 1]]이 더 크다.

따라서 교차하는 부분의 넓이는 [그림 [eqn: 1]]이 [그림 [eqn: 3]]보다 크다.

∴ [eqn: A < C ``]

∴ [eqn: A = B ``][eqn: < C ``]

15. [출제의도] 좌표평면에서 세 선분의 길이의 합의 최소값을 구하는 방법을 이해하고 있는지를 묻는 문제이다.

[eqn: ANGLE rm AOB][eqn: =30°]이므로

[eqn: angle \AOC][eqn: =90°-30°=60°]

그런데 [eqn: angle \AOP][eqn: =][eqn: angle \COQ]이므로

[eqn: angle \QOP][eqn: =][eqn: 60°]

[eqn: TRIANGLE rm AOP][eqn: ==][eqn: TRIANGLE rm COQ]이므로 [eqn: bar{rm AP it}][eqn: =][eqn: bar{rm CQ it}]

[eqn: TRIANGLE rm QOP]가 정삼각형이므로 [eqn: bar{rm OP it}][eqn: =][eqn: bar{rm QP it}]

∴ [eqn: bar{rm AP} `][eqn: +`][eqn: bar{rm OP} `][eqn: +`][eqn: bar{rm BP} `][eqn: =`][eqn: bar{rm CQ it} ``][eqn: +`][eqn: bar{rm QP it`][eqn: +`][eqn: bar{rm BP} `][eqn: >=`][eqn: bar \CB]

따라서 점 [eqn: \P`]에서 세 꼭지점에 이르는 거리의 합의 최소값은

[eqn: bar \CB][eqn: =][eqn: sqrt {2 ^{2} +3 ^{2}} = sqrt {13}]이다.

16. [출제의도] 연립이차부등식을 풀고, 조건을 만족시키는 상수 [eqn: k]의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: cases{&|`x`-`2``|`<`k`&~~~~& cdots~㉠#&x ^{2} `-`2x`-`3` <= `0```&~~~~&cdots~㉡} `]

㉠에서 [eqn: -`k`<`x`-`2`<`k`]

∴ [eqn: 2`-`k`<`x`<`2`+`k`]

㉡에서 [eqn: (`x`-`3`)(`x`+`1`)`<=`0`]

∴ [eqn: -1` <= `x` <= `3`]

주어진 연립부등식의 정수해가 세 개가 되려면

[eqn: 0`≦`2`-`k`<`1`]이고 [eqn: 3`<`2`+`k`<=`4]

∴ [eqn: 1`<`k`≦`2``]

따라서 구하는 [eqn: k``]의 최대값은 [eqn: 2`]이다.

17. [출제의도] 도형으로 주어진 조건을 만족시키는 삼차방정식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.

한 모서리의 길이가 [eqn: x`(`rm cm`)`]인 정육면체의 부피는 [eqn: x ^{3}`\(`cm^3`)`]이므로 그림에 주어진 입체의 부피는 [eqn: 4`x^3 ` ( rmcm^3 `)`]이고, 정육면체 [eqn: 4`]개의 [eqn: 24`]개의 면 중에서 6개의 면이 붙어 있으므로 겉넓이는 [eqn: 18`x ^{2} ` ( rmcm^2 `)`]이다.

∴ [eqn: A`=`4x^3], [eqn: B`=`18`x^2]

[eqn: `3`A`=`B`+`24`]에서 [eqn: 12`x ^{3} =`18`x ^{2} `+`24`]

[eqn: 2`x ^{3} `-`3`x ^{2} `-`4`=`0`], [eqn: (`x`-`2`)`(`2`x^2 `+`x`+`2`)`=`0`]

∴ [eqn: x=2 `,~ {-1 `+-` root15 i } over 4]

따라서 [eqn: x=2]이다. (∵ [eqn: x]는 양의 실수)

18. [출제의도] 주어진 조건을 만족시키는 절대값이 있는 일차부등식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.

점 [eqn: \P``]의 좌표를 [eqn: x``]라 하면

[eqn: bar{\AP}`=`|`x`-3`|``], [eqn: bar{\BP}`=`|`x`-`7`|``]

[eqn: bar{\AP}`+`bar{\BP}`=`|`x`-`3`|`+`|`x`-`7`|``]

[eqn: |`x`-`3`|`+`|`x`-`7`|`≦`8``]을 풀면

(ⅰ)　[eqn: x`<`3``]일 때,

[eqn: -(`x`-`3`)`-(`x`-`7`)`≦`8``]에서 [eqn: x`≧`1``]

∴ [eqn: 1≦`x`<`3``]

(ⅱ) [eqn: 3`≦`x`<`7``]일 때,

[eqn: (`x`-`3`)`-(`x`-`7`)`≦`8``]에서 [eqn: 0`≦`4``]이므로 해는 모든 실수이다.

∴ [eqn: 3`≦`x`<`7``]

(ⅲ) [eqn: x` >= `7``]일 때,

[eqn: (`x`-`3`)`+(`x`-`7`)` <= `8``]에서 [eqn: x`≦`9``]

∴ [eqn: 7`≦`x` ≦9``]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: 1`≦`x`≦`9``]

∴ [eqn: 1`≦`bar{\OP}```≦`9``]

따라서 선분 [eqn: \OP`]의 길이의 최대값과 최소값의 합은 [eqn: 10]이다.

19. [출제의도] 근의 개념과 인수정리를 이용하여 조건을 만족시키는 삼차방정식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.

(가)에서 [eqn: f``(4)`=`0``]

∴ [eqn: 64`+`16`a`+`4b`+`c`=`0``]	… ㉠

(나)에서 [eqn: x`=`2i]가 근이므로

[eqn: -`8i`-`4a`+`2`b`i`+`c`=`0``]

∴ [eqn: `c`-`4a`+`2`(`b`-`4`)`i`=`0``]	…　㉡

㉡에서 [eqn: c`=`4a`,``b`=`4``]

이것을 ㉠에 대입하면

[eqn: a`=`-`4`,``c`=`-`16``]

∴ [eqn: f``(x)`=`x^{3}`-`4x^{2}`+`4x`-`16``][eqn: =`(x`-`4)(x^{2}`+`4`)``]

[eqn: f(2x)=(2x-4)(4x^2 +4)=8(x-2)(x^2 +1)]

삼차방정식 [eqn: f`(2x)`=`0`]을 풀면

[eqn: 8(x-2)(x^2 +1)=0]

∴ [eqn: x-2=`0`], [eqn: x^2 `+`1` =`0`]

[eqn: f``(2x)`=`0``]의 세 근은 [eqn: 2`,``i`,``-i``]이다.

따라서 구하는 세 근의 곱은  [eqn: 2`times`i`times`(-i)`=`2``]

20. [출제의도] 주어진 조건을 만족시키는 방정식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.

처음 수에서 십만 자리의 숫자를 [eqn: x], [eqn: x]를 제외한 다섯 자리 수를 [eqn: y]라 하면,

처음 수는 [eqn: 10 ^{5`} x`+`y`], 새로운 수는 [eqn: 10y`+x`]이다.

조건에서 [eqn: 3(10 ^{5`} x`+`y`)`=`10y`+x`]이므로

[eqn: 7y=299999`x]

∴ [eqn: y=42857`x]

[eqn: y]는 다섯 자리 수이므로 [eqn: x`=`1] 또는 [eqn: x`=`2]이다.

∴ [eqn: x`=`1,```y`=`42857`] 또는 [eqn: x=2,``y=85714`]

처음 수는 [eqn: 142857] 또는 [eqn: 285714]이므로 [eqn: 6]장의 카드에 적혀 있는 수들은 [eqn: 1`,`2`,`4`,`5`,`7`,`8`]이다.

∴ [eqn: 1`+`2`+`4`+`5`+`7`+`8`=`27`]

21. [출제의도] 누적도수를 나타내는 그래프를 해석하여 표준편차의 대소 관계를 추측할 수 있는가를 묻는 문제이다.

주어진　누적도수를 나타내는 그래프를　이용하여　１, ２, ３반 학생들이 읽은 책 수의 도수분포를 나타내는 그래프를　그리면 다음과 같다.

도수를 나타내는 그래프에서 [eqn: 1, ```2, ```3`]반 학생들이 읽은 책 수의 평균은 모두 [eqn: 3]권이다.

평균에서부터 흩어진 정도를 나타내는 표준편차가 제일 작은 반은

１반이고, 제일 큰 반은 ３반이다.

따라서 작은 반부터 차례로 나열하면　１반, ２반, ３반이다.

22. [출제의도] 근이 주어진 이차방정식의 미정계수의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: x=1+ sqrt { 5 } ``]를 대입하면,

[eqn: (1+ root5 )^2 +a(1+ root5 ) +b =0]

[eqn: (a+b+6)+(a+2) root5 =0]

∴ [eqn: a+b=-6], [eqn: a=-2]

∴ [eqn: a=-2,~b=-4]

따라서 [eqn: a ^{2}`+`b ^{2`}][eqn: =`][eqn: (-2)^2 +(-4)^2 =20]이다.

23. [출제의도] 항등식의 미정계수의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a`(`x`+`y`)`+`b`(`x`-`y`)`+`2`=`3`x`-`5`y`+`c`]

[eqn: (`a`+`b`)`x` +` (`a`-`b`)`y`+`2`=`3`x`-`5`y`+`c`]

∴ [eqn: a+b=3], [eqn: a-b=-5], [eqn: c`=`2`]

연립하여 풀면 [eqn: a=-1,~b=4,~c=2`]이다.

∴ [eqn: a+2b+3c=13]

24. [출제의도] 주어진 조건을 만족하는 집합의 개수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

세 조건을 만족하는 집합 [eqn: B]는 집합 [eqn: LEFT { `3,~4,~5,~6,~7`` RIGHT }]의 부분집합

중에서 공집합을 제외한 것이다.

따라서 집합 [eqn: B]의 개수는

[eqn: 2^5 -1= 31](개) 이다.

25. [출제의도] 나머지정리를 이해하고 식의 변형을 이용하여 다항식을 일차다항식으로 나눈 나머지를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f`(`x`)`+`g`(`x`)`]를 [eqn: x-2]로 나눈 나머지가 [eqn: 10]에서

[eqn: f(2)`+g(2)=10]

[eqn: LEFT { `f`(`x`)` RIGHT } ^{2} `+` LEFT { `g`(`x`)` RIGHT } ^{2} ``]를 [eqn: x-2]로 나눈 나머지가 [eqn: 58`]에서

[eqn: LEFT { f(2) RIGHT } ^{2} + LEFT { g(2) RIGHT } ^{2} `=58]

[eqn: LEFT { f(2) RIGHT } ^{2} + LEFT { g(2) RIGHT } ^{2} `= LEFT { f(2)+g(2) RIGHT } ^{2} -2f(2)g(2)]이므로

[eqn: 58`=`10^2 - 2 f(2)g(2)]

∴ [eqn: f(2)`g(2)`=21]

26. [출제의도] 주어진 조건을 만족하는 자료의 평균을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

변량 [eqn: a,``b,``c`]의 평균을 [eqn: m], 분산을 [eqn: S^2`]이라 하면

[eqn: m= {a+b+c}over3 `]

[eqn: S ^2 = {(a-m)^2 +(b-m)^2 +(c-m)^2 }over3]

[eqn: = 1 over 3 LEFT {{a^2 +b^2 + c^2 -2m(a+b+c)+3m^2} RIGHT }]

[eqn: = 1 over 3 (a^2 +b^2 + c^2 )- 2 times 1 over 3 (a+b+c) m+m^2}]

[eqn: = {1} over {3} (a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} )-2m ^{2} +m ^{2}]

[eqn: = {a^2 +b^2 + c^2 } over 3 - m^2}]

[eqn: S ^2 = 10, ~``{a^2 +b^2 +c^2 }over3 = 25`]에서

[eqn: 10`=`25`-`m ^{2}]

[eqn: ∴```m^2 =15~]

27. [출제의도] 도형으로 주어진 조건을 만족시키는 식을 변형하여 식의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

세 선분 [eqn: rm OA], [eqn: rm OB], [eqn: rm OC]의 길이를 각각 [eqn: a,```b,``c]라 하면

[eqn: rm bar{OA} `+` bar{OB} `+` bar{OC} `=`9`]에서 [eqn: a+b+c=9]

세 삼각형 [eqn: rm TRIANGLE OAB`], [eqn: rm TRIANGLE OBC`], [eqn: rm TRIANGLE OCA`]의 넓이의 합은 [eqn: 13`]에서

[eqn: 1over2`ab+ 1over2`bc+ 1over2`ca=13]

∴ [eqn: `ab+ `bc+ `ca=26]

∴ [eqn: rm bar{OA} ` ^{2} + bar{OB} ` ^{2} + bar{OC} ` ^{2} ```][eqn: =][eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2}]

[eqn: =(a+b+c)^{ 2 } -2(ab+bc+ca)``]

[eqn: =81-52]

[eqn: =29]

28. [출제의도] 해가 주어진 이차부등식의 미정계수의 값을 연립방정식으로 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

문제의 조건으로부터

[eqn: x ^{2} -ax+12<=0] ⇔ [eqn: (x- alpha )(x- beta )<=0]

⇔ [eqn: x^2 `- (alpha `+` beta `)`x + `alpha`beta`<=`0`]

∴ [eqn: alpha + beta =a ,` ``alpha beta =12]	[eqn: cdots] ㉠

[eqn: x ^{2} -5x+b>=0] ⇔ [eqn: (x- alpha +1)(x- beta +1) >= 0]

⇔ [eqn: x^2 -( alpha+ beta-2)x+(alpha-1)( beta-1)>=0]

∴ [eqn: alpha + beta -2=5,```(alpha-1)( beta -1)=b]	[eqn: cdots] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: a=7,`b=6]

∴ [eqn: ab=42]

29. [출제의도] 주어진 조건을 만족시키는 유리식을 구하여 연산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

병렬연결된 부분의 전체 저항의 크기를 [eqn: R ``' ``][eqn: (Ω)]이라 하면

[eqn: {1}over{R ``'}`=`{1}over{R`+`1}`+`{1}over{R}`=`{R`+`(R`+`1)}over{R`(R`+`1)}``]

∴ [eqn: R ``'`=`{R^{2}`+`R}over{2`R`+`1}``][eqn: (Ω)]

구하는 전체 저항의 크기는

[eqn: R ``'`+`5R`=`][eqn: {R^{2}`+`R}over{2`R`+`1}`+`5``R`]

[eqn: =`{R^{2}`+`R`+`10`R^{2}`+`5`R}over{2`R`+`1}``]

[eqn: =`{11`R^{2}`+`6`R}over{2`R`+`1}``][eqn: (Ω)]

∴ [eqn: a`=`11`,``b`=`6``]

따라서 [eqn: a`+`b`=`17``]

30. [출제의도] 주어진 조건을 만족시키는 연립방정식을 구하여 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.

상업용 지구와 주거용 지구의 한 변의 길이를 각각 [eqn: x`][eqn: \km`], [eqn: y`][eqn: \km`] (단, [eqn: x`>`0`,``y`>`0``])라 하면

넓이의 합은 [eqn: (2x ^{2} `+`y ^{2} `)`]([eqn: \km^2 `])이므로

[eqn: 2x^{2}`+`y^{2}`=`150``]	… ㉠

도로의 총길이는 [eqn: 8`x`+`4`y`=`4`(2`x`+`y`)`=80]([eqn: \km`])

∴ [eqn: 2x`+`y`=`20`]	…　㉡

㉡에서 [eqn: y`=`20`-`2`x`]를 ㉠에 대입하면

[eqn: 2`x^{2}`+`(`20`-`2`x`)^2`=`150`]

[eqn: 3x^{2}`-`40`x`+`125`=`0`], [eqn: (x-5)(3x-25)=0]

∴ [eqn: x`=`5] 또는 [eqn: x`=`25 over 3 `]

∴ [eqn: x`=`5]일 때 [eqn: y`=`10], [eqn: x`=`25 over 3 `]일 때 [eqn: y= ` 10 over 3`]

그런데 상업용 지구의 넓이는 주거용 지구의 넓이보다 작으므로

[eqn: x`=`5], [eqn: y`=`10]이다.

따라서 주거용 지구의 넓이 [eqn: `y ^{2 }`]은 [eqn: 100]([eqn: \km^2 `])이다.

∴ [eqn: A``=`100]