고 3	정답 및 해설	2007학년도 7월 전국연합학력평가

2007학년도 7월 전국연합학력평가	정답 및 해설	고 3

4

2007학년도 7월 고3 전국연합학력평가

정답 및 해설

수리 영역

“가형“ 정답

1	③	2	②	3	①	4	⑤	5	②
6	①	7	②	8	③	9	⑤	10	③
11	①	12	⑤	13	①	14	②	15	④
16	④	17	④	18	[eqn: 11]	19	[eqn: 53]	20	[eqn: 20]
21	[eqn: 16]	22	[eqn: 64]	23	[eqn: 10]	24	[eqn: 33]	25	[eqn: 100]

해설

1. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 계산하기

[eqn: 8 ^{{4} over {3}} TIMES 4 ^{{2} over {3}} ÷2 ^{{1} over {3}} =2 ^{4} TIMES 2 ^{{4} over {3}} ÷2 ^{{1} over {3}}# ```````````````````````````````````````````````````=2 ^{4+ {4} over {3} - {1} over {3}} =2 ^{5}]

2. [출제의도] 정적분의 성질을 이용하여 정적분 계산하기

[eqn: int _{ -a} ^{ ````a} { (2x+3)dx} ``=int _{ -a} ^{ `````a} {``` 2x`dx} `+int _{ -a} ^{ `````a} {``` 3`dx}`` #````````````````````````````````````````````````````````= 3a-(-3a)=6a=6]

∴ [eqn: a=1]

3. [출제의도] 평균변화율과 미분계수의 정의 이해하기

[eqn: x]의 값이 [eqn: 0]부터 [eqn: a]까지 변할 때의 [eqn: f(x)]의 평균변화율은 [eqn: {f(a)-f(0) } over {a-0 } ``=`` { 3a^2 -2a} over { a} =3a-2]

[eqn: x=1]에서의 미분계수 [eqn: f``'(1) =4]이므로

[eqn: 3a-2=4]

∴ [eqn: a=2]

4. [출제의도] 정적분으로 정의된 함수의 극한값 계산하기

[eqn: f(x)]의 한 부정적분을 [eqn: F(x)]라 하면

[eqn: `````````lim _{x -> 2} {} `` {1} over {x-2} int _{2} ^{x} {f(t)} dt ``#= `lim _{x -> 2} {} `` {F(x) -F(2)} over {x-2} =F``'(2) =f(2)]

∴ [eqn: lim _{x -> 2} {} `` {1} over {x-2} int _{2} ^{x} {f(t)} dt ```=15]

5. [출제의도] 로그함수의 역함수 이해하기

[eqn: f(m)=2`]이므로 [eqn: a ^{2} =m]

[eqn: f(n)=3`]이므로 [eqn: a ^{3} =n]

[eqn: f ^{-1} (7)=k]라 하면 [eqn: f(k)=7]

[eqn: k=a^7 =(a^2 )^2 a^3 =m^2 n]

6. [출제의도] 무리방정식의 실근과 무연근 이해하기

[eqn: x-b=- sqrt {ax}]의 실근이 [eqn: alpha],

[eqn: x-b= sqrt {ax}]의 실근이 [eqn: beta]

따라서 [eqn: (x-b)^2 =ax]의 두 실근이 [eqn: alpha, ``beta]

[eqn: x^2 -(2b+a)x +b^2 =0] 에서 근과 계수와의 관계에 의해 두 근의 합 [eqn: a+2b=10]

7. [출제의도] 정의된 행렬의 성질 이해하기

ㄱ. [eqn: pmatrix{1&``0#0&``m}+pmatrix{1&``0#0&``n}=pmatrix{2&````0#0&````m+n}≠pmatrix{1&```0#0&```m+n}]

(거짓)

ㄴ. [eqn: pmatrix{1&``0#0&``m}pmatrix{1&``0#0&``n}=pmatrix{1&```0#0&```mn}] (참)

ㄷ. [eqn: { 1} over {n }pmatrix{n&``0#0&``1}≠ { 1} over {n }pmatrix{1&``0#0&``n}] (거짓)

8. [출제의도] 수학외적상황에서 경우의 수 구하기

먼저 남자 [eqn: 5]명을 좌석에 배치하는 방법의 수는 [eqn: 3]가지 경우가 있다.

남		남
남		남
	남

남		남
	남
남		남

	남
남		남
남		남

여기서 남자끼리 자리를 배치하는 방법은 [eqn: 5!]

비어있는 4자리에 여자를 배치하는 방법은 [eqn: 4!]

∴ (전체 경우의 수)[eqn: =3TIMES4! TIMES 5!] (가지)

9. [출제의도] 도형에서 극한값 계산하기

삼각형 [eqn: rmOAB]에서 내접원의 반지름의 길이를 [eqn: r]이라할 때

삼각형의 넓이 : [eqn: { 1+x+ sqrt { 1 +x^2} } over { 2} r = { 1} over { 2}x]

[eqn: lim _{x -> 0} {{r} over {x}} = lim _{x -> 0} {} {1} over {1+x+ sqrt {1 +x ^{2}}} = { 1} over { 2}]

10. [출제의도] 밑의 범위에 따른 로그함수의 그래프 이해하기

[eqn: 0<x<1`]인 범위에서 [eqn: log _{a`} x>`log _{b`} x`] 이기 위해서는 [eqn: log _{a`} x-log _{b`} x>0]이어야 한다. 따라서,

[eqn: 1<b<a`], [eqn: 0<a<1<b`], [eqn: 0<b<a<1`]

∴ 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

11. [출제의도] 무한등비급수를 이용하여 문제 해결하기

점[eqn: rmA_1`,``A_2`, CDOTS]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmC_1 `,``C_2`,``CDOTS]라 하면 [eqn: n]이 한없이 커질 때, [eqn: {rmA}_n]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: bar{rmOC}_1 `+``bar{rmC_1 C_2} `+``CDOTS]

[eqn: x= {4} over {3} +1+ {3} over {4} + LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{2} + CDOTS = {{4} over {3}} over {1- {3} over {4}} = {16} over {3}]

12. [출제의도] 미분계수를 이용하여 접선의 기울기 이해하기

점[eqn: rmB]에서의 접선의 기울기는 [eqn: f``'(3)=`-6]

[eqn: rm bar{AD} `:` bar{DB`} ``=3`:`1] 이므로 [eqn: {rmbarBD} ``= k][eqn: (k>0)]라 하면 [eqn: {rmbarAD} ``= 3k]

직선 [eqn: rmBC]의 기울기는 [eqn: {{rmbarCD} } over { -k} =-6]이므로

[eqn: {rmbarCD}=6k]

또, 직선  [eqn: rmAC]의 기울기는 [eqn: {6k} over { 3k} =2]

따라서, [eqn: f``'(a) =-3a^2 +8a -3]에서

[eqn: -3a^2 +8a -3=2], [eqn: 3a^2 -8a+5=0]

∴ 모든 [eqn: a]값들의 곱은 [eqn: { 5} over {3 }]

13. [출제의도] 미분을 이용하여 그래프 이해하기

[eqn: f`'(x)=x^3 +(a+1)x^2 -a #``````````````````````=(x+1)(x^2 +ax -a)=0]

의 서로 다른 세 실근이 [eqn: alpha,`` beta,`` gamma]이다.

따라서 [eqn: alpha =-1]이고, [eqn: x^2 +ax-a=0]의 서로 다른 두 실근이 [eqn: beta,`` gamma]

[eqn: g(x)=x^2 +ax-a]라 하면

[eqn: 0< beta< gamma<3]이므로

[eqn: D>0], [eqn: 0<](대칭축)[eqn: <3], [eqn: g(0)>0], [eqn: g(3)>0]이여야 하므로 만족하는 [eqn: a]의 범위는

∴ [eqn: -{ 9} over { 2}`<a < `-4]

14. [출제의도] 여사건의 확률을 이용하여  확률 구하는 과정 완성하기

[eqn: n]개의 주사위를 동시에 던질 때, 나올 수 있는 모든 경우의 수는 [eqn: 6^n]가지이다.

[eqn: X>1`]의 여사건의 경우는 [eqn: X <= 1`]인 경우로 [eqn: X=0`], [eqn: X=1`]의 두 가지이다.

(ⅰ) [eqn: X=0`]인 경우

[eqn: n`]개의 주사위의 눈이 모두 같아야 되므로 경우의 수는 [eqn: 6]가지이다.

(ⅱ) [eqn: X=1`]인 경우

연속한 두 눈이 나와야 한다. 즉, [eqn: 1`]과 [eqn: 2`], [eqn: 2`]와 [eqn: 3`], [eqn: 3`]과 [eqn: 4`], [eqn: 4`]와 [eqn: 5`], [eqn: 5`]와 [eqn: 6`]이 나와야 한다.

그런데 [eqn: n`]개의 주사위를 던졌을 때 나오는 눈이 [eqn: 1`] 또는 [eqn: 2`]인 것은 [eqn: 2^n]가지이고, 이 중에서 모두 [eqn: 1`]인 것과 [eqn: 2`]인 것은 제외해야 하므로 [eqn: left(2^n][eqn: -2`right)]가지이다. [eqn: 2`]와 [eqn: 3`], [eqn: 3`]과 [eqn: 4`], [eqn: 4`]와 [eqn: 5`], [eqn: 5`]와 [eqn: 6`]인 경우도 마찬가지이므로 모든 경우의 수는 ([eqn: 2^n][eqn: LEFT. -2 RIGHT ) TIMES 5`]이다.

따라서, [eqn: rm P it LEFT ( X <= 1 RIGHT ) = {6+ LEFT ( 2^n -2 RIGHT ) TIMES 5} over {6 ^{n}} `]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여

[eqn: rm P it LEFT ( X>1 RIGHT )`` = rm 1-P it LEFT ( X <= 1 RIGHT ) #````````````````````````````````````````````````````=1- { 5} over { 3^n}+ { 4} over { 6^n}]

15. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질을 이해하기

[eqn: X`]는 정수 부분이 두 자리인 양의 정수이고 상용로그의 가수가 [eqn: x`]이므로

[eqn: log`X=1+x````(0 <= x<1)`]

[eqn: Y`]는 정수 부분이 세 자리인 양의 정수이고 상용로그의 가수가 [eqn: y`]이므로

[eqn: log`Y=2+y````(0 <= y<1)`]

[eqn: XY`]의 정수 부분은 다섯 자리이므로

[eqn: log`XY&=log X + log Y #&= 3+x+y````(1 <= x+y<2)`]

따라서 점 [eqn: (x,``y)]가 존재하는 영역은 그림과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

16. [출제의도] 정적분을 이용하여 수학내적 문제해결하기

[eqn: f _{n} (x)= LEFT ( nx- sum _{k=1} ^{n} `a _{k} RIGHT ) ^{2} =LEFT ( nx- S_n RIGHT ) ^{2}]

ㄱ. [eqn: sum _{k=1} ^{n}`a_k =S_n]라 하면 [eqn: f_n (1) - f_n (0) =-n^3] 에서 [eqn: (n-S_n )^2 -S_n ^2 =-n^3],  [eqn: S_n = {n(n+1) } over {2 }] (참)

ㄴ. [eqn: n=2] 일 때, [eqn: f_2 ``(x)= left(2x - 3 right)^2]

[eqn: f_2 ``(2)= 1] (거짓)

ㄷ. [eqn: f_n (x) =left{nx- { n(n+1)} over { 2} right}^2]는

[eqn: x= { n+1} over { 2}]에 대하여 대칭이므로

[eqn: int _{``0} ^{n+1} {} ``f _{n} (x)dx= 2 int _{``0} ^{{n+1}over {2}} {} ``f _{n} (x)dx] (참)

17. [출제의도] 합성함수의 불연속점 개수 구하기

[eqn: g(f(x))= cases{2```` LEFT ( 0<x< {1} over {2} RIGHT )#0```` LEFT ( {1} over {2} <= x< {7} over {2} RIGHT )#2```` LEFT ( {7} over {2} <= x< {15} over {2} RIGHT )#6```` LEFT ( {15} over {2} <= x< {31} over {2} RIGHT )#12````left( { 31} over { 2}≦x<20 right)}]

따라서 불연속 점의 개수는 [eqn: 4]개이다.

18. [출제의도] 고차부등식의 해 이해하기

[eqn: (x-1)(x-3)(x-15)<0] 을 만족하는 부등식의 해는 [eqn: x<1] 또는 [eqn: 3<x<15]

따라서 양의 정수해의 개수는 [eqn: 11] (개)

19. [출제의도] 이항분포에서 평균과 분산 구하기

동전 [eqn: 2`]개 모두 앞면이 나올 확률이 [eqn: 1 over 4`]이므로 확률변수 [eqn: X`]는 이항분포 [eqn: B`` left(100, ```1 over 4 right)]을 따른다. [eqn: E(X) = 100 TIMES 1 over 4 = 25`]

[eqn: E(Y) = E( 2X + 3 ) = 2 E(X) + 3 = 53]

20. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 수학외적 문제해결하기

[eqn: GAMMA _{A} = {2} over {100} ,````` GAMMA _{B} = {20} over {100} `]

[eqn: A =20log` {1} over {LEFT | GAMMA _{A} RIGHT |} =20log` {100} over {2}]

[eqn: B =20log` {1} over {LEFT | GAMMA _{B} RIGHT |} =20log` {100} over {20}]

∴ [eqn: left| `A -B``right|` =20]

21. [출제의도] 정적분을 이용하여 실제 움직인 거리 구하기

점 [eqn: rmP]가 출발할 때의 운동방향에 대하여 반대방향으로 움직인 시간은 [eqn: t=1]에서부터 [eqn: t=3]

[eqn: f``'(t)=(t-1)(t-3)]

따라서 반대방향으로 실제 움직인 거리

[eqn: d= int _{ 1} ^{ 3} `{ left | f``'(t) right | ``dt } = { 4} over { 3}]

∴ [eqn: 12d=16]

22. [출제의도] 미분을 이용하여 함수의 성질 이해하기

원점을 지나고 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f(x)=x^4 +ax^3 +bx^2 +cx]에 대해

[eqn: f(2+x)=f(2-x)]이므로 [eqn: x=2]에 대하여 대칭이고, [eqn: x=1]에서 극소이므로 [eqn: x=3]에서 극소이고, [eqn: x=2]에서 극대이다.

[eqn: f``'(x)=4x^3 +3ax^2 +2bx +c]

[eqn: =4(x-1)(x-2)(x-3)]

[eqn: = 4x^3 -24x^2 +44x -24]

따라서 [eqn: a=-8,``b=22,``c=-24]

[eqn: f(x)=x^4 -8x^3 +22x^2 -24x]

[eqn: x=2]에서 극대이고

극대값 [eqn: a=f(2)=-8]

∴ [eqn: a^2 =64]

23. [출제의도] 정적분을 이용하여 무한급수의 극한값 계산하기

[eqn: lim _{ n->inf} { { 1} over { n} } left( {bar{ {rmP}_1 {rmQ}_1 }}^3 ``+``{bar{ {rmP}_2 {rmQ}_2 }}^3 ``+`CDOTS`+`{bar{ {rmP}_n {rmQ}_n }}^3 right)]

[eqn: =lim _{n -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1 } ^{n } left(1+ {2 k} over { n} right)^3 = {1 } over { 2} int _{ 1} ^{ 3} {x^3` dx }=10]

24. [출제의도] 등차수열의 성질을 이용하여 수학외적 문제해결하기

∴ (득점의 최대값) [eqn: =12+12+9=33]

25. [출제의도] 등비수열의 성질을 이용하여 수학외적 문제해결하기

[eqn: a+b=100] …㉠

흘려 내린 물의 양을 [eqn: M`]이라 할 때,

[eqn: B,````C,`````D`] 물의 양은 차례대로

[eqn: M` LEFT ( {a} over {100} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {b} over {100} RIGHT )], [eqn: M `LEFT ( {a} over {100} RIGHT ) LEFT ( {b} over {100} RIGHT ) ^{2}],

[eqn: M`LEFT ( {a} over {100} RIGHT ) LEFT ( {b} over {100} RIGHT )]

[eqn: B,````C,`````D`]가 등비수열을 이루므로

[eqn: LEFT { LEFT ( {a} over {100} RIGHT ) LEFT ( {b} over {100} RIGHT ) ^{2} RIGHT }^{2} = LEFT { LEFT ( {a} over {100} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {b} over {100} RIGHT ) RIGHT } LEFT { LEFT ( {a} over {100} RIGHT ) LEFT ( {b} over {100} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: b ^{2} =100a] …㉡

㉠, ㉡에 의해

[eqn: b=50 sqrt {5}-50]

따라서 [eqn: p=50,``q=50]

∴ [eqn: p+q=100]

미분과 적분 정답

26	②	27	④	28	⑤	29	③	30	[eqn: 108]

26. [출제의도] 삼각함수의 극한값 계산하기

[eqn: lim _{x -> 1} left{{sin(1- sqrt {x} )} over {1- sqrt { x} }}ㆍ -1 over {1+ sqrt { x}}right}= - 1 over 2]

27. [출제의도] 삼각함수의 합성을 이용하여 삼각방정식의 근 구하기

[eqn: sin `x + sqrt3 `cos`x = 2 ` sin left(x + {pi} over 3 right) = `- 1]이므로

[eqn: sin ``left(x + {pi} over 3 right) = `- 1 over 2]의 근은

[eqn: {5} over {6} pi `], [eqn: 3 over 2 pi`], [eqn: 17 over 6 pi`], [eqn: 7 over 2 pi`]이고 근의 개수는 [eqn: 4]이다.

28. [출제의도] 여러 가지 함수의  미분법을 이용하여 변화율 이해하기

[eqn: {rm P} (x,~ x^ {3 over 2} )]에 대하여

[eqn: rm bar{OP} it =l= sqrt {x ^{2} +x ^{3}}]

[eqn: dl over dt = 1 over 2 ( x^2 +x^3 )^{ - 1 over 2 } (2x+3x^2 ) dx over dt]

[eqn: x=3]일 때, [eqn: dl over dt = 11]이므로

∴ [eqn: dx over dt =4]

29. [출제의도] 미분을 이용하여 함수의 그래프 이해하기

함수 [eqn: f(x)=e ^{{2} over {x}}]그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: 1]

ㄱ. [eqn: lim _{ n->inf} { ```e^ {{2 } over {x } }} =1] (참)

ㄴ. 극값을 가지지 않는다. (참)

ㄷ. [eqn: x>0]에서 [eqn: f``'(x)<0] (거짓)

30. [출제의도] 미분을 이용하여 수학외적 문제해결하기

[eqn: V(x)= { 1} over { 2} ×left{ 1+ (1+2sin theta) right}× cos theta ×8]

[eqn: V(x)= 8 ({sin theta} cos theta + cos theta )]

[eqn: V ```prime(x) `=8 (1-2sin^2 theta-sin theta )=0] 에서

[eqn: sin theta = { 1} over {2 }]

따라서 [eqn: theta = pi over 6]일 때 부피는 최대가 된다.

∴ [eqn: V =6 sqrt { 3}], [eqn: V^2 = 108]

확률과 통계 정답

26	①	27	⑤	28	⑤	29	④	30	[eqn: 23]

26. [출제의도] 줄기와 잎 그림에서 평균 구하기

중앙값이 [eqn: 44]이므로 [eqn: x=4]

최빈값이 [eqn: 52]이므로 [eqn: y=2]

∴ [eqn: x+y=6]

27. [출제의도] 확률밀도함수의 성질 이해하기

확률밀도함수 [eqn: f(x)]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: 2a]

[eqn: a]

[eqn: a]

[eqn: 2a]

[eqn: 4a]

[eqn: 5a]

[eqn: 6a]

[eqn: x]

[eqn: f(x)]

[eqn: rmO]

전체 넓이가 [eqn: 1]이므로 [eqn: a= 1 over sqrt { 5}]

[eqn: P``` LEFT( a ≦ X ≦ 5a RIGHT) = { 4} over { 5}]

28. [출제의도] 이항분포와 정규분포사이의 관계를 이용하여 문제해결하기

신제품의 무게를 확률변수 [eqn: X]라 할 때, 불량률을 구하면

[eqn: {rm P}(X<=164)= {rm P} LEFT ( Z<= 164-180 over 8 RIGHT )=0.02]

신제품 중 불량품의 개수를 확률변수 [eqn: Y]라 할 때, [eqn: Y∼{rmB`left(2500,`` { 1} over { 50}right)]이고 [eqn: n]이 충분히 크므로

[eqn: Y∼{rmN`left(50,``7^2 right)]

[eqn: {rm P}(Y<=64)= {rm P} LEFT ( Z<= 64-50 over 7 RIGHT )=0.98]

29. [출제의도] 확률의 성질을 이용하여 배반사건과 독립사건 이해하기

ㄱ. [eqn: rm P it (A CUP B CUP C)`=` rm P it (A)+ rm P it (B)+ rm P it (C)#`````````````````````````````````````````````````````````- rm P it (A SMALLINTER B)- rm P it (B SMALLINTER C)# `````````````````````````````````````````````````````````- rm P it (C SMALLINTER A)+ rm P it (A SMALLINTER B SMALLINTER C)]

∴[eqn: rm P it (A CUP B CUP C)`≠` rm P it (A)+ rm P it (B)+ rm P it (C)] (거짓)

ㄴ. [eqn: {rmP}(A∩B∩C)`=`{rmP}(A∩(B∩C))]

[eqn: =`{rmP}(A){rmP}(B∩C) `=`{rmP}(A){rmP}(B){rmP}(C)] (참)

ㄷ. [eqn: {rmP}(A∩B)`=`{rmP}(A){rmP}(B)]이고

[eqn: {rmP}(A∩C)`=`{rmP}(A){rmP}(C)]이므로

[eqn: {rmP}(A∩(B∪C))`=`{rmP}((A∩B)∪(A∩C))]

[eqn: ={rmP}(A∩B)`+{rmP}(A∩C)-{rmP}(A∩(B∩C))]

[eqn: ={rmP}(A) left( {rmP}(B)+{rmP}(C)-{rmP}(B∩C) right)]

[eqn: ={rmP}(A){rmP}(B∪C)] (참)

30. [출제의도] 중앙값을 이용하여 확률 계산하기

중앙값이 [eqn: 7]이므로 [eqn: 1,`2,`3,`4,`5,`6] 중에서 [eqn: 1]장을 뽑고, [eqn: 7]는 반드시 선택하고, [eqn: 8,``9,``10]에서 [eqn: 1]장을 뽑는 경우이다.

따라서 [eqn: q over p = { {}_6 C_1 TIMES _3 C_1 } over { {}_10 C_3 } = 3 over 20]

∴ [eqn: p+q=23]

이산수학 정답

26	④	27	⑤	28	③	29	③	30	[eqn: 36]

26. [출제의도] 행렬로 나타낸 그래프의 연결상태 이해하기

꼭지점에서 변이 3개, 2개, 2개, 1개 연결된 그래프를 찾는다.

27. [출제의도] 세 항사이의 관계를 이용하여 점화관계 구하기

[eqn: a _{1} =1 ,~ a_2 =2]

[eqn: a_n +a_n+1 = a_n+2]

∴ [eqn: a_10 =89]

28. [출제의도] 수에 관한 여러 가지 규칙 이해하기

[eqn: 165=3×5×11]

[eqn: 5]의 배수이므로 [eqn: c=0,~5]

[eqn: 3]의 배수이므로

[eqn: a+b+c=0,~3,~6,~9,ㆍㆍㆍ,~27]

[eqn: 11]의 배수이므로 [eqn: a+b+c=6,~17,~28]

∴ [eqn: a+b+c=6]

29. [출제의도] 여러 가지 그래프의 성질 이해하기

ㄱ. 그래프의 모든 꼭지점의 차수의 합은 그래프의 변의 개수의 [eqn: 2]배이다. (참)

ㄴ. 꼭지점이 [eqn: 4]개인 완전그래프의 변의 개수는 [eqn: {}_4 C_2] (참)

ㄷ. 다섯 개의 꼭지점을 가지는 완전그래프는 평면그래프가 될 수 없다. (거짓)

30. [출제의도] 여러 가지 배열의 수 구하기

서로 다른 3개에서 중복을 허락하여 7개를 뽑는 경우의 수와 같다.

∴ [eqn: {}_3+7-1 C_7 =_9 C_7 = _9 C_2 = 36]

“나형“ 정답

1	③	2	②	3	①	4	④	5	②
6	④	7	②	8	③	9	①	10	③
11	①	12	⑤	13	②	14	②	15	④
16	③	17	⑤	18	[eqn: 12]	19	[eqn: 504]	20	[eqn: 20]
21	[eqn: 11]	22	[eqn: 10]	23	[eqn: 10]	24	[eqn: 33]	25	[eqn: 100]
26	⑤	27	④	28	②	29	③	30	[eqn: 19]

해설

1. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 계산하기

[eqn: 8 ^{{4} over {3}} TIMES 4 ^{{2} over {3}} ÷2 ^{{1} over {3}} =2 ^{4} TIMES 2 ^{{4} over {3}} ÷2 ^{{1} over {3}}# ```````````````````````````````````````````````````=2 ^{4+ {4} over {3} - {1} over {3}} =2 ^{5}]

2. [출제의도] 역행렬의 성질을 이용하여 행렬의 곱 계산하기

[eqn: A=B``^-1 ` pmatrix { 2& 1# 5& 3}]에서 [eqn: BA=pmatrix { 2& 1# 5& 3}] 이므로

[eqn: BAB=pmatrix { 2& 1# 5& 3} pmatrix { -1&2 # -3& 2} `=` pmatrix { -5& 6# -14&16 }]

∴ (모든 성분의 합) [eqn: =3]

3. [출제의도] 무리식의 극한값 계산하기

[eqn: lim _{n -> INF } {``n LEFT ( sqrt {n ^{2} -n+1} - sqrt {n ^{2} -n-1} RIGHT )} `]

[eqn: =lim _{n -> INF } {``n LEFT { left(n ^{2} -n+1 right) - left(n ^{2} -n-1 RIGHT ) right} }over { sqrt { n^2 -n +1} + sqrt { n^2 -n -1}]

[eqn: =lim _{n -> INF } { 2n }over { sqrt { n^2 -n +1} + sqrt { n^2 -n -1}]

[eqn: =1]

4. [출제의도] 등차수열의 공차 구하기

수열[eqn: a_{ n }]의 첫째항을[eqn: a]

수열[eqn: b_{ n }]의 첫째항을[eqn: b]라고 할 때,

[eqn: 3a_{ n` } +5b_{ n` } `=`3a`-6(n-1)`+5b+15(n-1)`]

[eqn: ````````````````````=3a+5b+9(n-1)````]

∴ 수열[eqn: left{3a_{ n` } +5b_{ n` } right}]의 공차는 [eqn: 9]

5. [출제의도] 로그함수의 역함수 이해하기

[eqn: f(m)=2`]이므로 [eqn: a ^{2} =m]

[eqn: f(n)=3`]이므로 [eqn: a ^{3} =n]

[eqn: f ^{-1} (7)=k]라 하면 [eqn: f(k)=7]

[eqn: k=a^7 =(a^2 )^2 a^3 =m^2 n]

6. [출제의도] 로그 부등식의 해 구하기

진수 [eqn: x-4>0], [eqn: x-2>0]이므로 [eqn: x>4`]

주어진 로그의 밑이 [eqn: 1`]보다 작으므로

[eqn: (x-4) ^{2} <x-2`],   [eqn: 3<`x<`6`]

따라서 만족하는 로그부등식의 해는

[eqn: 4<x<6`]

∴ [eqn: ab=24]

7. [출제의도] 정의된 행렬의 성질 이해하기

ㄱ. [eqn: pmatrix{1&``0#0&``m}+pmatrix{1&``0#0&``n}=pmatrix{2&````0#0&````m+n}≠pmatrix{1&```0#0&```m+n}]

(거짓)

ㄴ. [eqn: pmatrix{1&``0#0&``m}pmatrix{1&``0#0&``n}=pmatrix{1&```0#0&```mn}] (참)

ㄷ. [eqn: { 1} over {n }pmatrix{n&``0#0&``1}≠ { 1} over {n }pmatrix{1&``0#0&``n}] (거짓)

8. [출제의도] 수학외적상황에서 경우의 수 구하기

먼저 남자 [eqn: 5]명을 좌석에 배치하는 방법의 수는 [eqn: 3]가지 경우가 있다.

남		남
남		남
	남

남		남
	남
남		남

	남
남		남
남		남

여기서 남자끼리 자리를 배치하는 방법은 [eqn: 5!]

비어있는 4자리에 여자를 배치하는 방법은 [eqn: 4!]

∴ (전체 경우의 수)[eqn: =3TIMES4! TIMES 5!] (가지)

9. [출제의도] 직선의 기울기를 이용하여 크기 비교하기

[eqn: A`]는 원점과 점[eqn: rm P`]와의 기울기

[eqn: B`]는 원점과 점[eqn: rm Q`]와의 기울기

[eqn: C`]는 점[eqn: rm P`]와 점[eqn: rm Q`]의 기울기이므로 그림에서

[eqn: rmO]

[eqn: a]

[eqn: 1]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm P]

[eqn: y=2 ^{x} -1]

[eqn: b]

∴ [eqn: A<B<C]

10. [출제의도] 밑의 범위에 따른 로그함수의 그래프 이해하기

[eqn: 0<x<1`]인 범위에서 [eqn: log _{a`} x>`log _{b`} x`] 이기 위해서는 [eqn: log _{a`} x-log _{b`} x>0]이어야 한다. 따라서,

[eqn: 1<b<a`], [eqn: 0<a<1<b`], [eqn: 0<b<a<1`]

∴ 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

11. [출제의도] 무한등비급수를 이용하여 문제 해결하기

점[eqn: rmA_1`,``A_2`, CDOTS]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmC_1 `,``C_2`,``CDOTS]라 하면 [eqn: n]이 한없이 커질 때, [eqn: {rmA}_n]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: bar{rmOC}_1 `+``bar{rmC_1 C_2} `+``CDOTS]

[eqn: x= {4} over {3} +1+ {3} over {4} + LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{2} + CDOTS = {{4} over {3}} over {1- {3} over {4}} = {16} over {3}]

12. [출제의도] 확률의 성질을 이용하여 문제해결하기

[eqn: 1]회와 [eqn: 2]회의 시행에서 검은 공과 흰 공을 한번 뽑고, [eqn: 3]회에는 반드시 흰 공을 뽑을 확률이므로

[eqn: BIGCIRC ` TIMES ` BIGCIRC ``: ``{1} over {2} TIMES {2} over {3} TIMES {1} over {3} = {1} over {9}]

[eqn: TIMES ` BIGCIRC ` BIGCIRC ` `: ``{1} over {2} TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {3} = {1} over {12}]

∴ [eqn: {1} over {9} + {1} over {12} = {7} over {36}]

13. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 부등식의 증명 완성하기

[eqn: sum _{i=1} ^{n} LEFT ( {1} over {2i-1} - {1} over {2i} RIGHT ) < {1} over {4} LEFT ( 3- {1} over {n} RIGHT )] …㉠

ⅰ)[eqn: n=2]일 때,

(좌변)[eqn: =LEFT ( 1- {1} over {2} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {3} - {1} over {4} RIGHT ) = {7} over {12}]

(우변)[eqn: ={1} over {4} LEFT ( 3- {1} over {2} RIGHT ) = {5} over {8}]이므로 성립한다.

ⅱ) [eqn: n=k] ([eqn: k >= 2]인 자연수)일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면 [eqn: sum _{i=1} ^{k} LEFT ( {1} over {2i-1} - {1} over {2i} RIGHT ) < {1} over {4} LEFT ( 3- {1} over {k} RIGHT )] …㉡

㉡식의 양변에 [eqn: { 1} over { 2(2k+1)(k+1)}]을 더하면

[eqn: sum _{i=1} ^{k+1} LEFT ( {1} over {2i-1} - {1} over {2i} RIGHT ) < {1} over {4} LEFT ( 3- {1} over {k} RIGHT ) +][eqn: {1} over {2(2k+1)(k+1)}]

한편 [eqn: {1} over {4} LEFT ( 3- {1} over {k} RIGHT ) +][eqn: { 1} over { 2(2k+1)(k+1)}]에서

[eqn: 2(2k+1)>4k`]임을 이용하여

[eqn: {1} over {4} LEFT ( 3- {1} over {k} RIGHT ) +][eqn: {1} over {2(2k+1)(k+1)}]

[eqn: <][eqn: {1} over {4} LEFT ( 3- {1} over {k} RIGHT ) +][eqn: {1} over {4k(k+1)}] [eqn: =] [eqn: {3 } over {4 } - {1} over {4(k+1)}]

따라서 [eqn: n=k+1`]일 때도 ㉠이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 부등식 ㉠은 [eqn: n >= 2]인 모든 자연수에 대하여 성립한다.

14. [출제의도] 여사건의 확률을 이용하여  확률 구하는 과정 완성하기

[eqn: n]개의 주사위를 동시에 던질 때, 나올 수 있는 모든 경우의 수는 [eqn: 6^n]가지이다.

[eqn: X>1`]의 여사건의 경우는 [eqn: X <= 1`]인 경우로 [eqn: X=0`], [eqn: X=1`]의 두 가지이다.

(ⅰ) [eqn: X=0`]인 경우

[eqn: n`]개의 주사위의 눈이 모두 같아야 되므로 경우의 수는 [eqn: 6]가지이다.

(ⅱ) [eqn: X=1`]인 경우

연속한 두 눈이 나와야 한다. 즉, [eqn: 1`]과 [eqn: 2`], [eqn: 2`]와 [eqn: 3`], [eqn: 3`]과 [eqn: 4`], [eqn: 4`]와 [eqn: 5`], [eqn: 5`]와 [eqn: 6`]이 나와야 한다.

그런데 [eqn: n`]개의 주사위를 던졌을 때 나오는 눈이 [eqn: 1`] 또는 [eqn: 2`]인 것은 [eqn: 2^n]가지이고, 이 중에서 모두 [eqn: 1`]인 것과 [eqn: 2`]인 것은 제외해야 하므로 [eqn: left(2^n][eqn: -2`right)]가지이다. [eqn: 2`]와 [eqn: 3`], [eqn: 3`]과 [eqn: 4`], [eqn: 4`]와 [eqn: 5`], [eqn: 5`]와 [eqn: 6`]인 경우도 마찬가지이므로 모든 경우의 수는 ([eqn: 2^n][eqn: LEFT. -2 RIGHT ) TIMES 5`]이다.

따라서, [eqn: rm P it LEFT ( X <= 1 RIGHT ) = {6+ LEFT ( 2^n -2 RIGHT ) TIMES 5} over {6 ^{n}} `]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여

[eqn: rm P it LEFT ( X>1 RIGHT )`` = rm 1-P it LEFT ( X <= 1 RIGHT ) #````````````````````````````````````````````````````=1- { 5} over { 3^n}+ { 4} over { 6^n}]

15. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질을 이해하기

[eqn: X`]는 정수 부분이 두 자리인 양의 정수이고 상용로그의 가수가 [eqn: x`]이므로

[eqn: log`X=1+x````(0 <= x<1)`]

[eqn: Y`]는 정수 부분이 세 자리인 양의 정수이고 상용로그의 가수가 [eqn: y`]이므로

[eqn: log`Y=2+y````(0 <= y<1)`]

[eqn: XY`]의 정수 부분은 다섯 자리이므로

[eqn: log`XY&=log X + log Y #&= 3+x+y````(1 <= x+y<2)`]

따라서 점 [eqn: (x,``y)]가 존재하는 영역은 그림과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

16. [출제의도] 조합의 수 성질을 이용하여 문제해결하기

어두운 부분의 합은

[eqn: sum _{n=2} ^{10} LEFT ( {} _{n} C _{n-2} + _{n} C _{n-1} + _{n} C _{n} RIGHT )]

[eqn: = sum _{n=2} ^{10} LEFT ( {} _{n} C _{2} + _{n} C _{1} +1 RIGHT )]

[eqn: = sum _{n=2} ^{10} LEFT { {n(n-1)} over {2} +n+1 right}]

[eqn: = sum _{n=2} ^{10} LEFT ( {1} over {2} n ^{2} + {1} over {2} n+1 RIGHT )]

[eqn: =228]

(별해) [eqn: {}_{2} C _{0} `+ _{3} C _{1} + _{4} C _{2} + ``CDOTS``+ _{10} C _{8}=_{11} C _{8}]

[eqn: {}_{1} C _{0} `+ _{2} C _{1} + _{3} C _{2} + ``CDOTS``+ _{10} C _{9}=_{11} C _{9}]이므로

[eqn: {} _{2} C _{1} + _{3} C _{2} + ``CDOTS``+ _{10} C _{9}=_{11} C _{9}-_{1} C _{0} `]

[eqn: 1+ _{1} C _{1} `+ _{2} C _{2} + _{3} C _{3} + ``CDOTS``+ _{10} C _{0}=_{11} C _{10}]이므로

[eqn: {} _{2} C _{2} + _{3} C _{3} + ``CDOTS``+ _{10} C _{0}=_{11} C _{10}-1-_{1} C _{1} `]

따라서 어두운 부분의 합은 [eqn: 228]

17. [출제의도] 무한등비급수를 이용하여 도형의 넓이의 합 구하기

[eqn: l _{n}]

[eqn: {rmP} _{n}]

[eqn: {rm B} it rm _{n}]

[eqn: {rm C} it rm _{n}]

[eqn: {rmA} _{n+1}]

[eqn: {rmD}_n+1]

[eqn: {rmB} _{n+1}]

[eqn: {rmC} _{n+1}]

[eqn: l _{n+1}]

[eqn: △ {rm P }it _{n} {rm B} it _{n} {rm C} it _{n}]의 높이는

[eqn: {sqrt {3}} over {2} l _{n} =l _{n+1} + {sqrt {3}} over {2} l _{n+1}]이므로

[eqn: {l _{n+1}} over {l _{n}} = {sqrt {3}} over {2+ sqrt {3}} =2 sqrt {3} -3]

따라서 첫째항은 [eqn: 16]이고, 공비는 [eqn: LEFT ( 2 sqrt {3} -3 RIGHT ) ^{2}] 인

무한등비급수의 합이다.

[eqn: sum _{ n=1} ^{ inf} S_n = {16} over {1- LEFT ( 2 sqrt {3} -3 RIGHT ) ^{2}} = { 6 sqrt { 3} +10 }]

18. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 계산하기

[eqn: log _{` sqrt {2}} `9 ^{log` _{3} `8} ` =log _{` {2}^ {{ 1} over {2 }} } `3^{2 {log` _{3} `8}} = 2log`_2 ``2^6 =12]

19. [출제의도] 순열의 수를 이용하여 경우의 수 구하기

[eqn: 1]부터 [eqn: 9]까지의 자연수 중에서 서로 다른 두 수 [eqn: a,b]를 선택하는 방법의 수 [eqn: {} _9 C _2 = 36] (가지)

4자리의 암호를 만들기 위해 나열하는 방법은

[eqn: a``b``b``b] : [eqn: { 4!} over { 3!}=4]

[eqn: a``a``b``b] : [eqn: { 4!} over { 2!``2!} =6]

[eqn: a``a``a``b] : [eqn: { 4!} over { 3!}=4] 이므로

[eqn: 36×(4+6+4) =504](가지)

(별해) [eqn: a,b]를 이용하여 만든 네자리수는 [eqn: 2^4 =16]가지, [eqn: a]만, [eqn: b]만 이용하여 만든 네자리수 [eqn: 2]가지이므로

전체 경우의 수는 [eqn: 36×(2^4 -2)=504](가지)

20. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 수학외적 문제해결하기

[eqn: GAMMA _{A} = {2} over {100} ,````` GAMMA _{B} = {20} over {100} `]

[eqn: A =20log` {1} over {LEFT | GAMMA _{A} RIGHT |} =20log` {100} over {2}]

[eqn: B =20log` {1} over {LEFT | GAMMA _{B} RIGHT |} =20log` {100} over {20}]

∴ [eqn: left| `A -B``right|` =20]

21. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질을 이용하여 무한급수의 합 구하기

[eqn: log _{10} `x=left[log _{10} ` {x} right]`]이므로 [eqn: log _{10} `x`]의 가수는 [eqn: 0`]이다. 따라서 [eqn: log _{10} `x=n]([eqn: n`]은 음의 정수)

따라서 [eqn: x= {1} over {10} `,``` {1} over {10 ^{2}} `,``` {1} over {10 ^{3}} `,``` CDOTS `,``` {1} over {10 ^{n}} `,``` CDOTS]

[eqn: S= {1} over {10} + {1} over {10 ^{2}} + {1} over {10 ^{3}} +` CDOTS `+ {1} over {10 ^{n}} `+` CDOTS `= {{1} over {10}} over {1- {1} over {10}} = { 1} over { 9}]

∴ [eqn: `99S=11]

22. [출제의도] [eqn: S _{n}]과 [eqn: a_n]사이의 관계를 이용하여 무한급수의 합 구하기

[eqn: b _{n} =2 ^{n-1} a _{n}`]라 하고,

[eqn: S _{n} =a _{1`} +2a _{2} +2 ^{2} a _{3} + CDOTS +2 ^{n-1} a _{n} =5n] 이라 할 때,

[eqn: b _{n} =S _{n} -S _{n-1} =5``(n >= 2),```b _{1} =S _{1} =a _{1} =5`]즉, [eqn: a _{n} = {5} over {2 ^{n-1}} (n >= 1)]

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} = { 5} over {1- { 1} over { 2} }=10]

23. [출제의도] 수열의 일반항을 이용하여 수열의 합 구하기

[eqn: a _{n} =n(n+x-1)`]이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{10} a_n`=330 + 55x = 880]

[eqn: therefore ``x=10]

24. [출제의도] 등차수열의 성질을 이용하여 수학외적 문제해결하기

∴ (득점의 최대값) [eqn: =12+12+9=33]

25. [출제의도] 등비수열의 성질을 이용하여 수학외적 문제해결하기

[eqn: a+b=100] …㉠

흘려 내린 물의 양을 [eqn: M`]이라 할 때,

[eqn: B,````C,`````D`] 물의 양은 차례대로

[eqn: M` LEFT ( {a} over {100} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {b} over {100} RIGHT )], [eqn: M `LEFT ( {a} over {100} RIGHT ) LEFT ( {b} over {100} RIGHT ) ^{2}],

[eqn: M`LEFT ( {a} over {100} RIGHT ) LEFT ( {b} over {100} RIGHT )]

[eqn: B,````C,`````D`]가 등비수열을 이루므로

[eqn: LEFT { LEFT ( {a} over {100} RIGHT ) LEFT ( {b} over {100} RIGHT ) ^{2} RIGHT }^{2} = LEFT { LEFT ( {a} over {100} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {b} over {100} RIGHT ) RIGHT } LEFT { LEFT ( {a} over {100} RIGHT ) LEFT ( {b} over {100} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: b ^{2} =100a] …㉡

㉠, ㉡에 의해

[eqn: b=50 sqrt {5}-50]

따라서 [eqn: p=50,``q=50]

∴ [eqn: p+q=100]

26. [출제의도] 역행렬의 성질을 이용하여 행렬 간단히 하기

[eqn: AB+E=O]이므로

[eqn: A=-B ^{-1}], [eqn: B=-A ^{-1}]

[eqn: LEFT ( A+B RIGHT ) LEFT ( A+B RIGHT ) ^{-1} = LEFT ( A+B RIGHT ) LEFT ( A ^{-1} +B ^{-1} RIGHT )]

[eqn: E=E+AB ^{-1} +BA ^{-1} +E]

[eqn: E=E-A ^{2} -B ^{2} +E]

∴ [eqn: `A ^{2} +B ^{2} =E]

27. [출제의도] 무한수열과 무한급수의 성질 이해하기

ㄱ. [eqn: SUM from { { n}=1} to inf a _{n}] 이 수렴이므로 [eqn: lim _{n` -> INF } {} `a _{n} =0]이고,

[eqn: lim _{n` -> INF } {} `b _{n} = beta] (상수)이므로

[eqn: lim _{n` -> INF } {} `a_n b _{n} = lim _{n` -> INF } {} `a_n ×lim _{n` -> INF } {} `b_n = 0× beta =0] (참)

ㄴ. [eqn: SUM from { { n}=1} to inf left(2a _{n} +b_n right) =SUM from { { n}=1} to inf c_n = alpha],

[eqn: SUM from { { n}=1} to inf left(a _{n} -2b_n right) = SUM from { { n}=1} to inf d_n =beta]라 하면

[eqn: a_n ={ 2c_n +d_n } over { 5} , b_n ={ c_n -2d_n } over { 5}]에서

[eqn: SUM from { { n}=1} to inf a _{n} =SUM from { { n}=1} to inf{ 2c_n +d_n } over { 5} = { 2} over {5 } alpha+ { 1} over {5 } beta]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n} = sum _{n=1} ^{INF } {c _{n} -2d _{n}} over {5} = { 1} over { 5} alpha- { 2} over {5 } beta]  (참)

ㄷ. (반례) [eqn: a _{n} = (-1)^n ,``b_n =(-1)^n]

[eqn: lim _{n` -> INF } {} `a _{n} b _{n} =1]이지만 [eqn: lim _{n` -> INF } {} ` a _{n}]과 [eqn: lim _{n` -> INF } {} ` b _{n}]은 모두 수렴하지 않는다. (거짓)

28. [출제의도] 수학외적인 상황에서 확률 구하기

가능한 경우의 수는 6가지

첫 번째 경우  : [eqn: A_1 →A_2 →A_1 →A_2 →A_3 →A_4]

두 번째 경우  : [eqn: A_1 →A_2 →A_3 →A_2 →A_3 →A_4]

세 번째 경우  : [eqn: A_1 →A_6 →A_1 →A_2 →A_3 →A_4]

네 번째 경우  : [eqn: A_1 →A_6 →A_1 →A_6 →A_5 →A_4]

다섯 번째 경우: [eqn: A_1 →A_6 →A_5 →A_6 →A_5 →A_4]

여섯 번째 경우: [eqn: A_1 →A_2 →A_1 →A_6 →A_5 →A_4]

∴  [eqn: { 1} over {2^5 } ×6= { 3} over {16 }]

29. [출제의도] 역행렬의 성질을 이용하여 수학내적 문제해결하기

역행렬을 갖지 않도록 하는 실수 [eqn: x]가 존재해야 하므로

[eqn: D=2 LEFT ( x ^{2} +2x+a ^{2} +b ^{2} RIGHT ) - LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) =0]

즉 [eqn: x ^{2} +4x+2a ^{2} +2b ^{2} +1=0] 이 실근을 가져야 하므로 [eqn: D/4=4- LEFT ( 2a ^{2} +2b ^{2} +1 RIGHT ) >=0]

따라서 [eqn: ``a ^{2} +b ^{2} <= {3} over {2}]

∴ (구하고자 하는 영역의 넓이) [eqn: ={ 3} over { 2}pi]

30. [출제의도] 등차수열의 성질을 이용하여 수학외적 문제해결하기

반지름의 길이가 [eqn: a,``c,``b]순으로 등차수열을 이루고, [eqn: a:b=3:1]이므로 [eqn: a=3k,``b=k,``c=2k]

높이는 [eqn: 4k]

높이가 [eqn: 2k]일 때의 커피잔 [eqn: A]의 부피는

[eqn: V_A =][eqn: {1} over {3} TIMES pi ` LEFT ( {2} k RIGHT ) ^{2} TIMES 4k- {1} over {3} TIMES pi `k ^{2} TIMES 2k= {14} over {3} pi k ^{3}]

커피잔 [eqn: B]의 부피는 [eqn: V_B][eqn: =pi TIMES LEFT ( 2k RIGHT ) ^{2} TIMES 2k=8 pi k ^{3}]

따라서 [eqn: { V_A} over { V_B} = {7} over { 12}= { q} over {p }]

∴ [eqn: p+q=19]