나 형	수리 영역

	수리 영역	나 형

8

제 2 교시

성명

1

수험 번호

2008학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 문제지

수리 영역

나    형

[eqn: log _8` `2 sqrt {2}] 의 값은? [2점]

① [eqn: { `1_`} over { 16}]	② [eqn: { 1_`} over { 8`}]	③ [eqn: { 1_`} over { 4`}]	④ [eqn: { 1_`} over { 2`}]	⑤ [eqn: 1]

두 행렬 [eqn: X`], [eqn: Y`]에 대하여

[eqn: X`+Y= PMATRIX {{~~2}`&{1}`#{-1}`&{0}`}], [eqn: Y`=`PMATRIX {{~````1}&{-1}`#{-1}&{~~2}`}]

일 때, [eqn: 2X`]는? [2점]

① [eqn: PMATRIX {{2}&{-4}`#{4}&{~~2}`}]	② [eqn: PMATRIX {{2}&{-2}`#{0}&{~~6}`}]	③ [eqn: PMATRIX {{~~2}``&{0}`#{-2}``&{2}`}]

④ [eqn: PMATRIX {{~~2}``&{4}`#{-6}``&{0}`}]	⑤ [eqn: PMATRIX {{2}&{~~4}`#{0}&{-4}`}]

[eqn: lim _{n -> INF } {{2 BULLET 3 ^n+1 +5_`} over {3 ^n -1}}]의 값은? [2점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 10]

두 상수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 방정식 [eqn: PMATRIX {{a}&{-1}``#{b-1}&{~~`1}``} PMATRIX {{x}``#{y}``} = PMATRIX {{1}``#{2}``}]가 해를 갖지 않을 때, [eqn: a+b`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

두 상수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 행렬 [eqn: A= pmatrix{-1``&a`#b&``2`}]가 [eqn: A ^2 =A]이고

[eqn: a ^2 +b ^2 `=10]일 때, [eqn: (a + b) ^2]의 값은? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

부등식

[eqn: log_{{1_`} over {2}} (x-5)+log _{{1_`} over {2}} (x-6) ＞-1]

의 해가 [eqn: alpha `＜`x`＜` beta `]일 때, [eqn: alpha `+ beta `]의 값은? [3점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 13]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 19]

수렴하는 수열 [eqn: LEFT { a _n ``RIGHT }]에 대하여 [eqn: lim _{n `-> ` INF } {{2a _n -3} over {a _n +1} = {3_`} over {4`}}]일 때,

[eqn: lim _{n `-> ` INF } {a _n}`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: 1≦logn`＜3]인 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: log_2 `n`]이 정수가 되도록 하는 [eqn: n`]의 개수는? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

두 함수 [eqn: y= 2 ^x], [eqn: y=- LEFT ( {1_`} over {2`} RIGHT ) ^x + k`]의 그래프가 서로 다른 두 점

[eqn: rm A,````B]에서 만난다. 선분 [eqn: \AB]의 중점의 좌표가 [eqn: LEFT ( 0,`` {5_`} over {4`} RIGHT )]일 때, 상수 [eqn: k`]의 값은? [3점]

① [eqn: {1_`} over {2`}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3_`} over {2`}]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5_`} over {2`}]

[eqn: 2] 이상인 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: R(a,``b)]를

[eqn: R(a,``b)= `]로 정의할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: R(16,``4)=R(8,``2)] ㄴ. [eqn: R(a,``5) cdotR(b,``5)=R(a`+b,``5)] ㄷ. [eqn: R(a,``b)=k`]이면 [eqn: a= log _k `b`]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 이차정사각행렬 [eqn: A], [eqn: B`]에 대하여 [eqn: A ^2 = A]이고 [eqn: B=-A] 일 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: A ^3 = A `] ㄴ. [eqn: B^2 =-B``] ㄷ. [eqn: A+3E`]는 역행렬을 갖는다. (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.)

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

어느 동아리에 속한 여학생 수와 남학생 수가 같다.

이 동아리에서 [eqn: 3]명의 대표를 선출하려고 한다. 남녀 구분 없이 [eqn: 3]명의 대표를 선출하는 경우의 수가 여학생 중에서 [eqn: 3]명의 대표를 선출하는 경우의 수의 [eqn: 10]배일 때, 이 동아리에 속한 여학생 수는? [3점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

그림과 같이 함수 [eqn: y= 8 ^x]의 그래프가 두 직선 [eqn: y= a], [eqn: y= b`]와 만나는 점을 각각 [eqn: \A], [eqn: \B]라 하고, 함수 [eqn: y= 4 ^x]의 그래프가

두 직선 [eqn: y= a], [eqn: y= b`]와 만나는 점을 각각 [eqn: \C], [eqn: \D]라 하자.

점 [eqn: \B]에서 직선 [eqn: y= a`]에 내린 수선의 발을 [eqn: \E], 점 [eqn: \C]에서

직선 [eqn: y= b`]에 내린 수선의 발을 [eqn: \F]라 하자.

삼각형 [eqn: \AEB]의 넓이가 [eqn: 20]일 때, 삼각형 [eqn: \CDF]의 넓이는?

(단, [eqn: a`＞b＞1]이다.) [3점]

① [eqn: 26]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 30]	④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 34]

다음은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 부등식

[eqn: {1! +2 ! +3 ! + cdots + n!}_` over{(n+1)!} ＜ {``2_`} over {n+1}]

가 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

<증명>

자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a_n = {1! +2 ! +3 ! + cdots + n!}_` over{(n+1)!}]

이라 할 때, [eqn: a_n ＜ {``2_`} over {n+1}]임을 보이면 된다.

(1) [eqn: n=1]일 때, [eqn: a_1 = {1!_`}over{2!} = {1_`} over {2} ＜1]이므로

주어진 부등식은 성립한다.

(2) [eqn: n = k `]일 때, [eqn: a_k ＜ {``2_`} over {k+1}]라고 가정하면

[eqn: n=k+1]일 때,

[eqn: a_k+1 = {1! +2! + 3! + cdots + (k+1)!}_` over{ (k+2)!}]

[eqn: =]       [eqn: left ( 1 + a_k )]

(가)

[eqn: ＜]       [eqn: left ( 1 + {``2_`} over {k+1} right )]

(가)

[eqn: = {1_`} over {k+2} +]

(나)

이다.

자연수 [eqn: k `]에 대하여 [eqn: {``2_`} over {k+1} ≦ 1]이므로

[eqn: ≦ {``1_`} over {k+2}]이고 [eqn: a_k+1 ＜ {``2_`} over {k+2}]이다.

따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 주어진 부등식은 성립한다.

그러므로 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 주어진 부등식은 성립한다.

(나)

위 증명에서 (가), (나)에 들어갈 식으로 알맞은 것은? [3점]

(가)	(나)

① [eqn: {``1_`} over {k+2}]	[eqn: {1_`}over{(k+1)(k+2)}]

② [eqn: {``1_`} over {k+2}]	[eqn: {2_`}over{(k+1)(k+2)}]

③ [eqn: {``1_`} over {k+1}]	[eqn: {1_`}over{(k+1)(k+2)}]

④ [eqn: {``1_`} over {k+1}]	[eqn: {2_`}over{(k+1)(k+2)}]

⑤ [eqn: {``1_`} over {k+1}]	[eqn: {2_`}over{(k+1)^2}]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]이고 중심이

[eqn: \O_1 ,``\O_2 ,``\O_3 ,``⋯]인 원들이 있다. 모든 원들의 중심은 한 직선 위에 있고, [eqn: bar{\O _n \O _n+1} `=1(n=1,``2,``3,`` CDOTS )]이다.

두 원 [eqn: \O_1], [eqn: \O_2]가 만나는 두 점을 각각 [eqn: \P_1], [eqn: \Q_1]이라 하고, 부채꼴 [eqn: \O_2 \P_1 \Q_1]의 넓이를 [eqn: S_1]이라 하자.

두 점 [eqn: \P_1], [eqn: \Q_1]에서 원 [eqn: \O_3]의 중심과 연결한 선분이 원 [eqn: \O_3]과 만나는 두 점을 각각 [eqn: \P_2], [eqn: \Q_2]라 하고, 부채꼴 [eqn: \O_3 \P_2 \Q_2]의 넓이를 [eqn: S_2]라 하자.

두 점 [eqn: \P_2], [eqn: \Q_2]에서 원 [eqn: \O_4]의 중심과 연결한 선분이 원 [eqn: \O_4]와 만나는 두 점을 각각 [eqn: \P_3], [eqn: \Q_3]이라 하고, 부채꼴 [eqn: \O_4 \P_3 \Q_3]의 넓이를 [eqn: S_3]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 부채꼴 [eqn: \O _n+1 \P _n \Q _n]의 넓이를 [eqn: S _n]이라 할 때,[eqn: sum _{n=1} ^{inf}S_n]의 값은? [4점]

[eqn: \O_2][eqn: S_2][eqn: S_1][eqn: \O_3][eqn: \O_4]

① [eqn: {pi_` } over {2}]	② [eqn: {2_`} over {3} pi]	③ [eqn: {5_`} over {6} pi]

④ [eqn: pi]	⑤ [eqn: { 7_`} over {6 } pi]

다음은 [eqn: 19]세기 초 조선의 유학자 홍길주가 소개한 제곱근을 구하는 계산법의 일부를 재구성한 것이다.

[eqn: 1]보다 큰 자연수 [eqn: p`]에서 [eqn: 1]을 뺀 수를 [eqn: p_1]이라 한다.

[eqn: p_1]이 [eqn: 2]보다 크면 [eqn: p_1]에서 [eqn: 2]를 뺀 수를 [eqn: p_2]라 한다.

[eqn: p_2]가 [eqn: 3]보다 크면 [eqn: p_2]에서 [eqn: 3]을 뺀 수를 [eqn: p_3]이라 한다.

[eqn: vdots]

[eqn: p_k-1]이 [eqn: k`]보다 크면 [eqn: p_k-1]에서 [eqn: k`]를 뺀 수를

[eqn: p_k`]라 한다.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 수 [eqn: p_n`]이

[eqn: (n +1)]보다 작으면 이 과정을 멈춘다.

이때, [eqn: 2p_n`]이 [eqn: (n+1)]과 같으면 [eqn: p`]는        이다.

(가)

(가)에 들어갈 식으로 알맞은 것은? [4점]

① [eqn: n+1]	② [eqn: {(n+1)^2 }_` over {2}]	③ [eqn: LEFT { { n(n+1)_`} over {2 }RIGHT }^2]

④ [eqn: 2 ^n+1]	⑤ [eqn: (n+1)!]

한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형과 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정삼각형 [eqn: \ABC]가 있다. [그림 [eqn: 1]]과 같이 정사각형 둘레를 따라 시계 방향으로 정삼각형 [eqn: \ABC]를 회전시킨다. 정삼각형 [eqn: \ABC]가 처음 위치에서 출발한 후 정사각형 둘레를 [eqn: n`]바퀴 도는 동안, 변[eqn: \BC]가 정사각형의 변 위에 놓이는 횟수를 [eqn: a _n`]이라 하자.

예를 들어 [eqn: n=1]일 때, [그림 [eqn: 2]]와 같이 변 [eqn: \BC]가 [eqn: 2]회 놓이므로 [eqn: a_1 =2]이다.

이때,[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{a _3n-2} over n}]의 값은? [4점]

[그림 [eqn: 1]]	[그림 [eqn: 2]]

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

단 답 형

수열 [eqn: LEFT { a_n `RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum from k=1 to n a_k =n^2 +n`]일 때, [eqn: a_47]의 값을 구하시오. [3점]

두 행렬 [eqn: A= PMATRIX {{0}&{a}`#{3}&{3}`}], [eqn: B= PMATRIX {{~~3}&{-5}`#{-1}&{~~2}`}]가 [eqn: AB ^-1 =B ^-1 A]를 만족시킬 때, [eqn: a`]의 값을 구하시오. [3점]

다항식 [eqn: (x-1 )^n]의 전개식에서 [eqn: x`]의 계수가 [eqn: -12]일 때,

[eqn: n`]의 값을 구하시오. [3점]

수열 [eqn: LEFT { a_n `RIGHT }]이 [eqn: a_1 =3]이고 [eqn: a_n+1 -a_n =4n-3]일 때,

[eqn: a_10]의 값을 구하시오. [3점]

함수 [eqn: y = log _2 `` x`]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: a`]만큼 평행이동시킨 그래프가 함수 [eqn: y= log _b ``x`]의 그래프와

점 [eqn: (9,``2)]에서 만날 때, [eqn: 10a`+b`]의 값을 구하시오. [4점]

다음 그림은 동심원 [eqn: \O_1 ,``\O_2 ,``\O_3 ,``⋯]과 직선 [eqn: l _1 ,``l _2 ,``l _3 ,``l _4]의 교점 위에 자연수를 1부터 차례로 적은 것이다.

[eqn: 1][eqn: 12][eqn: 13][eqn: 4][eqn: 3][eqn: 5][eqn: 14][eqn: 17][eqn: 16][eqn: 18][eqn: 20][eqn: 11][eqn: 21][eqn: 23][eqn: 7][eqn: 15][eqn: 9][eqn: 10][eqn: 2][eqn: 6][eqn: 8][eqn: 19][eqn: 24][eqn: 22]

이미 채워진 수들의 규칙에 따라 계속하여 적어 나가면

[eqn: 475]는 원 [eqn: \O _m]과 직선 [eqn: l _n`]의 교점 위에 있다. [eqn: m`+n`]의 값을 구하시오. [4점]

다음 조건을 만족시키는 세 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]를 더한 값을 [eqn: k`]라 할 때, [eqn: k`]의 최대값과 최소값의 합을 구하시오. [4점]

(가) [eqn: 1 ≦ a `≦ 5]

(나) [eqn: log_2 `(b-a)=3]

(다) [eqn: log_2 `(c-b)=2]

할머니, 할아버지, 어머니, 아버지, 영희, 철수 모두 [eqn: 6]명의 가족이 자동차를 타고 여행을 가려고 한다. 이 자동차에는 앉을 수 있는 좌석이 그림과 같이 앞줄에 [eqn: 2]개, 가운데 줄에 [eqn: 3]개, 뒷줄에 [eqn: 1]개가 있다. 운전석에는 아버지나 어머니만 앉을 수 있고, 영희와 철수는 가운데 줄에만 앉을 수 있을 때, 가족

[eqn: 6]명이 모두 자동차의 좌석에 앉는 경우의 수를 구하시오. [4점]

5 지 선 다 형

두 양수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: 5 ^logb = a ^{2log5}]이고

행렬 [eqn: PMATRIX {{~~a}&{-1}``#{-b}&{~~2}``}]가 역행렬을 갖지 않을 때, [eqn: ab`]의 값은? [3점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 16]	④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 27]

함수 [eqn: f`(x)=log_5 ``x`]이고 [eqn: a`＞0], [eqn: b`＞`0]일 때,

<보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: left { f`` LEFT ( { a_`} over {5` } RIGHT ) RIGHT }^2 = left { f`` LEFT ( { 5_`} over {a` } RIGHT ) RIGHT }^2] ㄴ. [eqn: f`(a+1)- f`(a)`＞` f`(a+2)- f`(a+1)] ㄷ. [eqn: f`(a)`＜`f`(b)]이면 [eqn: f`^-1 (a)`＜`f`^-1 (b)]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음 표는 어느 학교에서 한 달 전에 구입한 휴대용 저장 장치의 용량에 따른 [eqn: 1]개당 가격과 개수의 현황을 나타낸 것이다.

용량	[eqn: 128` \MB]	[eqn: 256 \MB]	[eqn: 512` \MB]	[eqn: 1` \GB]	[eqn: 2` \GB]
[eqn: 1]개당 가격	[eqn: a]	[eqn: { 3_`} over { 2`} a]	[eqn: LEFT ({ 3_`} over { 2`} RIGHT )^2 a]	[eqn: LEFT ({ 3_`} over { 2`} RIGHT )^3 a]	[eqn: LEFT ({ 3_`} over { 2`} RIGHT )^4 a]
개수	[eqn: 16b]	[eqn: 8b]	[eqn: 4b]	[eqn: 2b]	[eqn: b]

현재 모든 휴대용 저장 장치의 가격이 한 달 전보다 모두

[eqn: 40%]씩 하락하였다. 이 학교에서 휴대용 저장 장치의 용량과 개수를 위 표와 동일하게 현재의 가격으로 구입한다면 지불해야 하는 금액은? (단, [eqn: a`＞`0]이고 [eqn: b`＞0]이다.) [4점]

① [eqn: { 128_`} over {5 }ab` LEFT { 1- LEFT ( {1_`} over {4`} RIGHT ) ^5 ` RIGHT }]	② [eqn: 32ab` LEFT { 1- LEFT ( {3_`} over {4`} RIGHT ) ^5 ` RIGHT }]

③ [eqn: 32ab` LEFT { 1- LEFT ( {1_`} over {4`} RIGHT ) ^5 ` RIGHT }]	④ [eqn: { 192_`} over {5 }ab` LEFT { 1- LEFT ( {3_`} over {4`} RIGHT ) ^5 ` RIGHT }]

⑤ [eqn: { 192_`} over {5 }ab` LEFT { 1- LEFT ( {1_`} over {4`} RIGHT ) ^5 ` RIGHT }]

[eqn: 1]부터 [eqn: 9]까지의 서로 다른 자연수 [eqn: a,``b,``c,``d,``e`]에 대하여

[eqn: a⋅10^4 +b⋅10^3 +c⋅10^2 +d⋅10+ e`]

로 나타내어지는 다섯 자리의 자연수 [eqn: abcde] 중에서

[eqn: 5]의 배수이고

[eqn: a`＞b`＞c`], [eqn: c`＜d` ＜e`]

를 만족시키는 모든 자연수의 개수는? [4점]

① [eqn: 53]	② [eqn: 62]	③ [eqn: 71]	④ [eqn: 80]	⑤ [eqn: 89]

단 답 형

등차수열 [eqn: \{a_n \}]에서

[eqn: a_1 =4],  [eqn: a_1 -a_2 +a_3 -a_4 +a_5 =28]

일 때, [eqn: lim from { n` ->` inf } { a_n} over {n }]의 값을 구하시오. [4점]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.