(홀수형)

2007학년도 대학수학능력시험 (수리영역-나형)  정답 및 해설

1.

[eqn: (log_3 27 ) times 8^{1over3} = log_3 3^3 times (2^3 )^{1over3 } = 3times 2 =6]

□ ④

2.

[eqn: A+B= pmatrix{ 1&1 #3 &4 }`]이므로

[eqn: (A+B)^-1 = 1over 4-3 pmatrix{ 4&-1 #-3 &1 } = pmatrix{ 4&-1 #-3 &1 }`]

따라서 구하는 모든 성분의 합은

[eqn: 4-1-3+1=1`]

□ ①

3.

[eqn: lim_n->inf left( 1over 3 right)^n = lim_n->inf left( 1over 2 right)^n =0]이므로

[eqn: lim_n->inf {3 + left( 1over 3 right)^n } over{ 2+ left( 1over 2right)^n }`][eqn: = 3+0 over 2+0 = 3over2`]

□ ②

4.

[eqn: f(x)`]는 [eqn: x=3`]일 때 최대값 [eqn: M= 4^3 = 64]를 갖고,

[eqn: g(x)`]는 [eqn: x=3`]일 때 최소값 [eqn: m= left( 1over 2 right)^3 = 1over 8`]을 갖는다.

∴ [eqn: Mm = 8]

□ ①

5.

[eqn: A subset B`]이면 [eqn: A cap B = A`]이므로

[eqn: P(A|B) = {P(A cap B)} over P(B) = P(A) over P(B) ={1over4} over{ 2over 3} = 3 over 8`]

□ ③

6.

[eqn: a,~0,~b`]가 이 순서로 등차수열을 이루므로

[eqn: a+b =2 cdot 0`]

∴ [eqn: a+b=0`] ⋯ ㉠

[eqn: 2b,~a,~-7`]이 이 순서로 등비수열을 이루므로

[eqn: a^2 = -7× 2b`]

∴  [eqn: a^2 = -14b`] ⋯ ㉡

㉠, ㉡을 연립하면 [eqn: a^2 = 14a`]

∴ [eqn: a=14`] (∵ [eqn: a!=0`])

□ ③

7.

[eqn: (x-a)^5]의 전개식에서 [eqn: x`]항은

[eqn: `_5 C_1 x^1 (-a)^4 =5a^4 x`]

[eqn: (x-a)^5]의 전개식에서 상수항은

[eqn: `_5 C_0 x^0 (-a)^5 = -a^5`]

이 때, [eqn: 5a^4 -a^5 =a^4 (5-a)=0`]이므로

[eqn: a=5`] (∵ [eqn: a!=0`])

□ ⑤

8.

[eqn: log_a c ~:~log_b c = 2:1`]이므로 [eqn: log_a c = 2log_b c`]

이 때, [eqn: 1 over {log_c a} = 2 over {log_c b}`]이므로

[eqn: {log_c b} over{log_c a } = log_a b = 2`]

∴ [eqn: log_a b + log_b a = {log_a b}+ 1over {log_a b} = 2 + 1 over 2 = 5over 2`]

□ ④

9.

세차시간 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: N(30,2^2 )`]을 따르므로 구하는 확률은

[eqn: rm P left( it X≧33 right)={rm P} left( X-30 over 2 ≧ 33-30 over 2 right)`]

[eqn: ={rm P} left( Z ≧ 1.5)`][eqn: =0.5-{rm P} ( 0≦ Z≦1.5)`]

[eqn: =0.5-0.4332=0.0668`]

□ ②

10.

표본의 크기 100이 충분이 크므로 모표준편차 [eqn: sigma`]는 표본표준편차로 대신할 수 있다.

즉, [eqn: sigma = 20], [eqn: n=100`]이고 표본평균이 [eqn: bar X = 245`]이므로 모평균 [eqn: m`]에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간은

[eqn: left[ bar X - 1.96 cdot sigma over root n ,~ bar X +1.96cdot sigma over root n ~ right]`]에서

[eqn: left[ 245- 1.96 cdot 20 over root 100 ,~ 245 +1.96cdot 20 over root 100 ~ right]`]

∴ [eqn: [241.08,~ 248.92]`]

따라서 이 신뢰구간에 속하는 정수는 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248의 7개다.

□ ③

11.

[eqn: I(t) = 10+ 990 times a^-5t `]에 [eqn: I(t)=21]을 대입하면

[eqn: 21=10+990×a^-5t`]이므로 [eqn: a^-5t = 11 over 990 `]

∴ [eqn: a^5t = 990 over 11 = 90`]

∴ [eqn: 5t = log_a 90 = { log 9×10 } over {log a } = {2log3 + 1} over {log a }]

∴ [eqn: t=s= {1+ 2log3 } over {5log a }]

□ ①

12.

ㄱ. [eqn: B^2 = B`]의 양변에 [eqn: B^-1`]을 곱하면 [eqn: B^-1 B^2 = B^-1 B`]

∴ [eqn: B=E`] (참)

ㄴ. [eqn: (E-A)^2 = E-2A+A^2]

[eqn: = E-2A +E = 2(E-A)`]

[eqn: (E-A)^3 = (E-A)^2 (E-A) = "{"2(E-A)"}"(E-A)][eqn: = 2(E-A)^2 = 2^2 (E-A)`]

⋯

∴ [eqn: (E-A)^5 = 2^4 (E-A)`] (참)

ㄷ. [eqn: (E-ABA)^2 = E - 2ABA + (ABA)^2]

이 때,

[eqn: (ABA)^2 = (ABA)(ABA)= ABA^2 BA][eqn: = ABEBA = AB^2 A``][eqn: =ABA`]이므로

[eqn: (E-ABA)^2 = E-2ABA +ABA = E-ABA`] (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

□ ⑤

13.

[eqn: A(n) = left{ x|~0< x <=2^n right} `], [eqn: B(n) = left{ x|~0< x <=4^n right} `]이다.

ㄱ. [eqn: 2^1 = 2`]이므로

[eqn: A(1) = left{x |~ 0<x<=2 right}`] (거짓)

ㄴ. [eqn: 2^4 = 4^2 `]이므로

[eqn: A(4) `][eqn: =][eqn: B(2)`][eqn: = left{ x|~0< x <=16 right} `] (참)

ㄷ. [eqn: A(n) ⊂ B(n)`]이면 [eqn: 0<2^n <= 4^n`]이므로 [eqn: 2^-n ≧ 4^-n`>0]이다.

∴ [eqn: B(-n ) ⊂ A(-n )`] (참)

이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

□ ⑤

14.

3개의 상자 A, B, C에 서로 다른 5개의 공을 임의로 넣는 경우의 수는

[eqn: rm _3 PI_5 =3^5 =243`]

이 때, 상자에 있는 공에 적힌 숫자의 합이 13 이상인 상자는 많아야 1개이므로 공에 적힌 숫자의 합이 13 이상인 경우가 존재하려면 세 상자 중 어느 한 상자에는 3, 4, 5가 적힌 공은 반드시 들어가고 또한, 이 상자에 1, 2가 적힌 공 중 적어도 하나가 들어가야 한다.
따라서 이 경우의 수는

[eqn: `_3 C_1 times (`_3 PI_2 -_2 PI_2 )= 3(9-4)=15`]

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 243-15=228`]

□ ②

다른 풀이

3개의 상자 A, B, C에 서로 다른 5개의 공을 임의로 넣는 경우의 수는

[eqn: rm _3 PI_5 =3^5 =243`]

이 때, 상자에 있는 공에 적힌 숫자의 합이 13 이상인 상자가 존재하는 경우의 수는 다음과 같다.

(i) 세 상자 중 어느 한 상자에 1, 3, 4, 5가 들어가고 2는 나머지 두 상자 중 어느 하나에 들어가는 경우의 수는

3×2=6 (가지)

(ii) 세 상자 중 어느 한 상자에 2, 3, 4, 5가 들어가고 1은 나머지 두 상자 중 어느 하나에 들어가는 경우의 수는

3×2=6 (가지)

(iii) 세 상자 중 어느 한 상자에 1, 2, 3, 4, 5가 들어가는 경우의 수는

3 (가지)

따라서 구하는 경우의 수는

243-(6+6+3)=228

15.

[eqn: 3n`]장의 카드 중 [eqn: 2`]장의 카드를 꺼내는 경우의 수는 [eqn: `_3n{rm C}_2`]이다.

[eqn: a=k`] [eqn: (k=1,2,3,cdots,n-1`])이면 [eqn: 3a<b`]를 만족시키는 [eqn: b`]는 [eqn: 3k+1, 3k+2, cdots , 3n`]중의 하나이어야 하므로 [eqn: b`]의 경우의 수는 [eqn: 3n-3k`][eqn: =3(n-k)`]이다.

∴ [eqn: {rm P}_n = {sum_k=1^n-1 {3(n-k)} over {`_3n {rm C}_2 }`}]

이 때,

[eqn: {sum_k=1^n-1 {3(n-k)} `}][eqn: = 3n(n-1)- 3over 2 n(n-1) = 3over2 n(n-1)`]이므로

[eqn: {rm P}_n = {{3over2 n (n-1)}} over {`_3n {rm C}_2 }`]

이 때, [eqn: `_3n {rm C}_2 = 3n(3n-1) over 2`]이므로

[eqn: lim_n->inf {rm P}_n = lim_n->inf {{3n^2 -3n} over 2} over {{9n^2 - 3n } over 2}`][eqn: = 1over 3`]

이상에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은

[eqn: 3(n-k)`], [eqn: 3over2 n(n-1)`], [eqn: 1over 3`]

이다.

□ ①

16.

함수 [eqn: y= k root x `]의 그래프가 정사각형 [eqn: A_n`]과 만날 필요충분조건은 두 점

[eqn: (4n^2 ,~n^2 ),~(n^2 ,~4n^2 )`]을 양 끝점으로 하는 선분과 만날 때이다.

함수 [eqn: y= k root x `]의 그래프가 점 [eqn: (4n^2 ,~ n^2 )`]을 지날 조건은

[eqn: n^2 = k root 4n^2 `]	∴ [eqn: k = n over 2`]

함수 [eqn: y= k root x `]의 그래프가 점 [eqn: (n^2 ,~4 n^2 )`]을 지날 조건은

[eqn: 4n^2 = k root n^2 `]	∴ [eqn: k = 4n `]

따라서 [eqn: a_n`]은 부등식 [eqn: n over 2 ≦ k ≦ 4n`]을 만족하는 자연수 [eqn: k`]의 개수이다.

(i) [eqn: n`]이 홀수일 때

[eqn: a_n = 4n -left( n over 2 + 1over 2 right)+1`][eqn: = 7 over 2 n + 1over 2`]

(ii) [eqn: n`]이 짝수일 때

[eqn: a_n = 4n - n over 2 +1`][eqn: = 7 over 2 n +1`]

∴ [eqn: a_n = cases{ 7 over 2 n + 1over 2 ~``(n이~홀수)#7 over 2 n +1 ~~(n이~짝수)}]

ㄱ. [eqn: a_5 = 7 over2 × 5 + 1over 2`][eqn: =18`] (거짓)

ㄴ. [eqn: a_n+2 = cases{ 7 over 2 (n+2) + 1over 2 =a_n +7~``(n이~홀수)#7 over 2 (n+2) +1 =a_n +7~~(n이~짝수)}]

∴ [eqn: a_n+2 - a_n =7`] (참)

ㄷ.[eqn: sum_k=1^10 a_k = (a_1 +a_2 )+(a_2 +a_3 )+⋯+(a_9 +a_10 )`]

[eqn: = 12+(12+14)+(12+2×14 )+⋯+(12+4×14)`]

[eqn: = 5 over 2 left{ 12+ (12+56)right}`][eqn: =200`] (참)

이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

□ ④

17.

[eqn: R_1`]의 정사각형의 한 변의 길이를 [eqn: a`]라 하면 빗변의 길이는 [eqn: 3a`]이므로 [eqn: 3a= root2`]에서 [eqn: a= root2 over 3 `]

∴ [eqn: S_1 = a^2 = 2 over 9`]

[eqn: R_1`]에서 합동인 [eqn: 2`]개의 직각이등변삼각형의 한 등변의 길이는 [eqn: a= root2 over 3 `]이므로 [eqn: R_1`]에서 새로 색칠된 정사각형의 한 변의 길이는 [eqn: left( root2 over 3 right)^2][eqn: = 2over 9`]이다.

따라서 [eqn: R_1`]에서 새로 색칠한 [eqn: 2`]개의 정사각형의 넓이의 합은 [eqn: 2× left( 2over 9 right)^2`]이다.

∴ [eqn: S_2 = S_1 + 2× left( 2over 9 right)^2`][eqn: = 2 over 9 + 2 over 9 × 4 over 9]

[eqn: R_2`]에서 합동인 [eqn: 2^2`]개의 직각이등변삼각형의 한 등변의 길이는 [eqn: left( root2 over 3 right)^2 = 2over 9`]이므로 [eqn: R_2`]에서 새로 색칠된 정사각형의 한 변의 길이는 [eqn: root2 over 3 times 2over 9`]이다.

따라서 [eqn: R_2`]에서 새로 색칠한 [eqn: 2^2`]개의 정사각형의 넓이의 합은

[eqn: 2^2 ×left( root 2 over 3 × 2 over 9 right)^2 = 4× 2over 9 × left( 2 over 9 right)^2]이다.

∴ [eqn: S_3 = S_2 + 2 over 9 times left( 4 over 9 right)^2 `]

[eqn: = 2 over 9 + 2 over 9 × 4 over 9 + 2 over 9 × left( 4 over 9 right)^2]

⋯

이와 같은 방법으로 수열 {[eqn: S_n`]}은 첫째항이 [eqn: 2over 9`]이고, 공비가 [eqn: 4 over 9`]인 등비수열의 첫째항부터 제 [eqn: n`]항까지의 합과 같음을 추론할 수 있다.

∴ [eqn: lim_n->inf S_n = `][eqn: sum_n=1^inf 2over9 left( 4over 9 right)^n-1 = {2 over 9 } over{ 1- 4 over 9 } = 2 over 5`]

□ ⑤

18.

수열 {[eqn: a_n`]}이 등비수열일 때, [eqn: a_3 ,~a_6 ,~a_9`]도 이 순서로 등비수열을 이루므로

[eqn: (a_6 )^2 = a_3 × a_9`]

∴ [eqn: a_9 = 16^2 over 2 = 128`]

□ [eqn: 128`]

다른 풀이

공비를 [eqn: r`]라 하면 [eqn: a^6 over a^3 = 16 over 2 = r^3]이므로 [eqn: r^3 =8`]이다.

∴ [eqn: a_9 = a^6 × r^3 = 16×8 =128`]

19.

[eqn: (log_2 x)^2 - 4 log_2 x = log_2 x (log_2 x -4) =0`]에서

[eqn: log_2 x= 0`] 또는 [eqn: log_2 x = 4]

∴ [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=2^4 = 16]

∴ [eqn: alpha +beta = 1+16=17`]

□ [eqn: 17`]

20.

등비수열의 수렴조건은 [eqn: -1<(공비)<=1]이므로

[eqn: -1< 2x-1 over 4 <=1`]	∴ [eqn: - 3 over 2 < x≦ 5 over 2`]

따라서 정수 [eqn: x`]의 개수는 [eqn: -1,~0,~1,~2`]의 [eqn: 4`]개다.

∴ [eqn: k=4]

∴ [eqn: 10k = 40`]

□ 40

21.

[eqn: (A+E)^2 = A^2 +2A + E=A`]이므로

[eqn: A(A+E)=-E`]에서 [eqn: A(-A-E)=E`]

∴ [eqn: A^-1 = -A-E`]

∴ [eqn: A+A^-1 = -E`]

따라서 [eqn: (A+A^-1 ) pmatrix{ p #q } = -E pmatrix{ p # q} = pmatrix{ 3 #-7 }`]이므로

[eqn: pmatrix{ p # q} =- pmatrix{ 3 #-7 }`= pmatrix{ -3 #7 }`]

∴ [eqn: p^2 + q^2 = 9+49=58`]

□ [eqn: 58`]

22.

등차수열 {[eqn: a_n`]}의 공차를 [eqn: d`] ([eqn: d!=0`])라 하면

[eqn: a_n = (n-1)d`]

∴ [eqn: a_n+1 = d n`]

이 때,

[eqn: sum_k=1^n a_k = sum_k=1^n d(k-1)`] [eqn: =d sum_k=1^n-1 k = d × n(n-1) over 2`]

이고,

[eqn: a_n+1 b_n = d n cdot b_n = {d n (n-1)} over 2`]이어야 하므로

[eqn: b_n = n-1 over 2`] (단, [eqn: n=1,2, 3, cdots`])

∴ [eqn: b_27 = 27-1 over 2 = 13`]

□ 13

23.

어른 [eqn: 2`]명은 반드시 앞줄과 뒷줄에 한 명씩 앉아야 하므로 어른을 앉히는 방법의 수는

[eqn: rm `_2 C_1 times _2 P_1 times _3 P_1 =12]

어린이 [eqn: 3`]명을 나머지 [eqn: 3`]개의 자리에 앉히는 방법의 수는

[eqn: 3! = 6`]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 12times 6 = 72`]

□ [eqn: 72`]

다른 풀이

[eqn: 5`]명을 [eqn: 5`]개의 자리에 앉히는 경우의 수는

[eqn: 5! = 120`]

어른 [eqn: 2`]명은 모두 앞줄에 앉고, 어린이 [eqn: 3`]명은 모두 뒷줄에 앉는 경우의 수는

[eqn: 2! times][eqn: 3! `][eqn: =][eqn: 12`]

어른 [eqn: 2`]명은 모두 뒷줄에 앉고, 어린이 [eqn: 3`]명은 나머지 [eqn: 3`]개의 자리에 앉는 경우의 수는

[eqn: rm `_3 P_2 times 3! = 36`]

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 120-(12+36)=72`]

24.

[eqn: 0<= X <=a`]에서 확률밀도함수의 그래프와 [eqn: x`]축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 1이어야 하므로

[eqn: 1 over 2 × a b = 1`] ∴ [eqn: a b = 2`] ⋯ ㉠

[eqn: rm P it left( 0≦ X ≦ a over 2 right)][eqn: = b over 2`][eqn: <`][eqn: rm P it left( 0≦ X ≦ 2 right) = b`]이므로 [eqn: a over 2 < 2`]이다.

이 때,

[eqn: {rm P} left( 0≦ X ≦ a over 2 right) = 1 over 2 × a over 2 × left( b over 2 × a over 2 right) `][eqn: = a over 8 `]

이므로 [eqn: a over 8][eqn: = b over 2`] ∴ [eqn: a= 4b`]

㉠에서 [eqn: a^2 =8`], [eqn: b^2 = 1over2`]

∴ [eqn: a^2 + 4b^2 =8+ 2 =10]

□ [eqn: 10`]

25.

점 [eqn: \P`]의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: alpha`]라 하면

[eqn: k cdot 3^alpha = 3^-alpha`]

따라서 [eqn: k cdot 3^alpha = 1over 3^alpha`]이므로 양변에 [eqn: 3^alpha`]을 곱하여 정리하면

[eqn: left( 3^alpha right)^2 = 3^2alpha = 1over k`]

이 때, 점 [eqn: \Q`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: 2alpha`]이므로

[eqn: k cdot 3^2alpha = -4 cdot 3^2alpha +8`]

이 때, [eqn: 3^2alpha = 1over k`]이므로

[eqn: k cdot 1over k = - 4 cdot 1over k +8`]

[eqn: k>0`]이므로 [eqn: 1= - 4 over k + 8`]

∴ [eqn: k= 4 over 7`]

∴ [eqn: 35k = 20`]

□ 20

26.

[eqn: a_1 =2`]이므로 [eqn: a_n+1 = 2a_n +2`]에

[eqn: n=1,2,3,cdots,9`]를 차례로 대입하면

[eqn: a_2 = 2×2+2=6`],

[eqn: a_3 =2×6+2 = 14`],

[eqn: a_4 = 2×14 +2 = 30`],

[eqn: a_5 = 2×30 +2 = 62`],

[eqn: a_6 = 2×62+2 = 126`],

[eqn: a_7 = 2×126+2 = 254`],

[eqn: a_8 = 2×254+2 = 510`],

[eqn: a_9 = 2×510+2 = 1022`],

[eqn: a_10 = 2×1022+2 = 2046`]

□ ④

27.

[eqn: 0<x<1`]일 때, [eqn: 1<10^x <10`]이므로

3으로 나눈 나머지가 2인 자연수 [eqn: 10^x`]는

[eqn: 10^x = 2,~5,~8`]

∴ [eqn: x = log 2 ,~log5 ,~log8`]

따라서 구하는 모든 [eqn: x`]의 값의 합은

[eqn: log2 +log5 +log8 = log 2×5+3log2=1+3log2`]

□ ③

28.

ㄱ. 세 개의 동전을 던질 때 앞면의 수가 1이하일 확률은

[eqn: {rm P(A)} rm =`_3 C_0 left(1over 2 right)^3 +`_3 C_1 left(1over 2 right)^3 `][eqn: = 1over2`] (참)

ㄴ. 3개 모두 같은 면이 나오는 동시에 앞면의 수가 1이하일 확률은

[eqn: {rm P}(A ∩ B)rm = `_3 C_0 left( 1over2 right)^3 = 1over 8`] (참)

ㄷ. 3개 모두 같은 면이 나올 확률은

[eqn: {rm P}(B) rm = 2×`_3 C_0 left( 1over 2 right)^3 = 1over 4`]

∴ [eqn: {rmP}(A ∩ B)={rm P}(A )P(B)`]

따라서 두 사건 [eqn: A,~B`]는 서로 독립이다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

□ ⑤

29.

두 버튼을 누를 확률은 각각 [eqn: 1over 2`]이고, 여섯 번 중에서 채널증가 버튼과 채널감소 버튼을 각각 [eqn: 3`]번씩 눌러야 하므로 구하는 확률은

[eqn: rm `_6 C_3 left( 1over 2 right)^3 left( 1over 2 right)^3 = 20 over 2^6 = 5 over 16`]

□ ②

다른 풀이

[eqn: uparrow `], [eqn: downarrow] 중 중복을 허락하여 6개를 임의로 나열하는 경우의 수는

[eqn: `_2 PI_6 = 2^6]

[eqn: uparrow `] 3개, [eqn: downarrow] 3개를 나열하는 경우의 수는

[eqn: 6! over 3!3!`][eqn: =20]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {5 BULLET 4} over {2 ^{6}} = {5} over {16}]

30.

[eqn: A= pmatrix{ 1& 1# 0&p }`]이므로 [eqn: A^2 = pmatrix{ 1&p # 0&p^2 }`],

[eqn: 5A = pmatrix{5 &5 #0 &5p }`]이다.

∴ [eqn: D(A^2 ) = p^2 ,~D(5A) = 25p`]

따라서 [eqn: p^2 = 25p`]이므로

[eqn: p=0`] 또는 [eqn: p=25`]

따라서 모든 상수 [eqn: p`]의 값의 합은 [eqn: 25`]이다.

□ [eqn: 25`]