◦ 먼저 수험생이 선택한 과목의 문제지인지 확인하시오.

◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦ 답안지에 수험 번호, 선택 과목, 답을 표기할 때에는 반드시 ‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점 또는 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

2006학년도 11월 고2 전국연합학력평가 문제지

수리 영역 (나형)

제 2 교시

성명			수험번호						2

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

수리 영역 (나형)

수리 영역 (나형)

8

[eqn: 3 ^{log _{`3} ``5} +`log _{2} `32]의 값은? [2점]

①  [eqn: 6]

②  [eqn: 7]

③  [eqn: 8]

④  [eqn: 9]

⑤ [eqn: 10]

[eqn: 0]이 아닌 정수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: {9} ^{{1} over {n}}]이 자연수가 되도록 하는 모든 [eqn: n]의 값의 합은? [2점]

①  [eqn: 1]

②  [eqn: 2]

③  [eqn: 3]

④  [eqn: 4]

⑤  [eqn: 5]

임의의 두 양의 실수 [eqn: a,``b]에 대하여 두 연산 ◉, ◈를 다음과 같이 정의한다.

[eqn: a`◉`b=a ^{b}` b ^{a} ``,~~a`◈`b=log _{2}` ab]

이 때, [eqn: LEFT ( 4`◉`2 RIGHT ) `◈` {1} over {2}]의 값은? [3점]

①  [eqn: 1]

②  [eqn: 3]

③  [eqn: 5]

④  [eqn: 7]

⑤  [eqn: 9]

[eqn: log _{10} `30`]의 가수를 [eqn: alpha `]라 할 때, [eqn: 10 ^{alpha } `+10 ^{- alpha } `]의 값은? [3점]

①   [eqn: {2} over {3}]

②   [eqn: {4} over {3}]

③   [eqn: 2]

④  [eqn: {8} over {3}]

⑤ [eqn: {10} over {3}]

거듭제곱근의 성질 중 항상 옳은 것을 <보기>에서 모두 고르면? (단, [eqn: a>0], [eqn: a!= 1]) [3점]

		보 기
ㄱ. [eqn: {sqrt {a}} over {root {4} of {a}} = root {4} of {a}] ㄴ. [eqn: LEFT ( root {3} of {a} `` RIGHT ) ^{``} = root {12} of {a}] ㄷ. [eqn: ` root {3} of {a ^{`} `` `sqrt {a}} = root {6} of {a ^{```}}]

[eqn: 4]

[eqn: 5]

[eqn: 2]

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n}]이 [eqn: S _{n} `=`5 ^{n} `-1`]일 때, [eqn: a _{21}]은 몇 자리 정수인가? (단, [eqn: log _{10} `2`=0.3010]으로 계산한다.)                                                           [3점]

① [eqn: 15]

② [eqn: 16]

③ [eqn: 17]

④ [eqn: 18]

⑤ [eqn: 19]

[eqn: a _{1} =2], [eqn: a _{n} =`a _{1} +`a _{2} +`` CDOTS ``+`a _{n-1}](단, [eqn: n >= 2])로 정의된 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{11} a _{k}]의 값은? [3점]

① [eqn: 2 ^{10}]

② [eqn: 2 ^{11}]

③ [eqn: 2 ^{12}]

④ [eqn: 2 ^{13}]

⑤ [eqn: 2 ^{14}]

두 이차정사각행렬 [eqn: A,``B`]에 대하여 항상 옳은 것을 <보기>에서 모두 고르면? (단, [eqn: E`]는 단위행렬, [eqn: O`]는 영행렬이다.) [3점]

		보 기
ㄱ. [eqn: AB```=O`]이면 [eqn: A=O] 또는 [eqn: B```=O`]이다. ㄴ. [eqn: A ^{2} `=O`]이면 [eqn: E``-A]의 역행렬은 [eqn: E``+A]이다. ㄷ. [eqn: (A+B`) ^{2} ``=``A ^{2} +2AB+B `` ^{2}`]이면 [eqn: AB```=BA]이다.

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

표는 어느 고등학교의 방과 후 학교에 개설된 발명반과 요리반 강좌에 대한 [eqn: A`], [eqn: B``]반 학생들의 수강 인원 및 비용을 나타낸 것이다.

(단위:명)                         (단위:원)

강좌 반	발명반	요리반
[eqn: A]	[eqn: a]	[eqn: b]
[eqn: B`]	[eqn: c]	[eqn: d]

비용 강좌	수강료	재료비
발명반	[eqn: e]	[eqn: f]
요리반	[eqn: g]	[eqn: h]

위의 표를 각각 행렬 [eqn: P``= pmatrix{`a&````b`#`c&````d`} `,````Q``= pmatrix{`e&````f`#`g&````h`}]로 나타낼 때, 두 행렬의 곱 [eqn: P`Q`]의 [eqn: (1,``2)]성분이 나타내는 것은? [3점]

① [eqn: A]반 학생들의 발명반의 수강료의 총합

② [eqn: A]반과 [eqn: B`]반 학생들의 요리반의 재료비의 총합

③ [eqn: A]반 학생들의 발명반과 요리반의 재료비의 총합

④ [eqn: B`]반 학생들의 발명반과 요리반의 재료비의 총합

⑤ [eqn: B`]반 학생들의 발명반과 요리반의 수강료의 총합

양의 실수 [eqn: a,~b]는 다음 조건을 만족시킨다.

Ⅰ. [eqn: a]는 정수 부분이 세 자리인 수이다.

Ⅱ. [eqn: log _{10} `b]의 지표는 [eqn: -1]이다.

이 때, [eqn: ab]의 값의 범위는? [3점]

①   [eqn: 1≦ab < 10 ^{2}]

②  [eqn: 10 ≦ ab<10 ^{3}]

③ [eqn: 10^2 ≦ ab<10 ^{4}]

④ [eqn: 10^3 ≦ ab<10 ^{5}]

⑤ [eqn: 10 ^4 ≦ ab<10 ^{6}]

[eqn: log _{10} `2=a,~log _{10} `3=b`]일 때, [eqn: log _{5} `12`]를 [eqn: a]와 [eqn: b]의 식으로 나타낸 것은? [3점]

① [eqn: {2a+b} over {1+a}]

② [eqn: {2a+b} over {1-a}]

③ [eqn: {3a-b} over {1+a}]

④ [eqn: {3a+b} over {1-a}]

⑤ [eqn: {a-3b} over {1+a}]

[eqn: 100]의 모든 양의 약수들을 [eqn: a _{1} ,~a _{2} ,~a _{3} ,~ CDOTS`` ,~a _{9}`]라 할 때, [eqn: log _{10}` a _{1} +log _{10} `a _{2} +log _{10}` a _{3} +`` CDOTS ``+log _{10}` a _{9}]의 값은? [4점]

①  [eqn: 9]

② [eqn: 10]

③ [eqn: 11]

④ [eqn: 12]

⑤ [eqn: 13]

모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

‘[eqn: 2 ^{3 ^{n}} `+1]은 [eqn: 3 ^{n+1}]으로 나누어떨어진다.’ … ㉠

이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

[증명]

(ⅰ) [eqn: n`=1`]일 때,

[eqn: 2 ^{3} `+1]은 [eqn: 3 ^{2}]으로 나누어떨어지므로 ㉠이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n`=k]일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면

[eqn: n=k+1]일 때,

에서 [eqn: 2 ^{3 ^{k}} `]은 [eqn: 3]으로 나누면 나머지가           이고

[eqn: LEFT ( 2 ^{3 ^{k}} RIGHT ) ^{2} `-2 ^{3 ^{k}} `+1]을 [eqn: 3]으로 나누면 나머지는

이므로

[eqn: 2 ^{3 ^{k+1}} `+1]은 [eqn: 3 ^{k+2}]으로 나누어떨어진다.

따라서, [eqn: n=k+1`]일 때에도 ㉠이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

㉠이 성립한다.

[eqn: LEFT ( {`} over {`````````} ```````````````````````````````` RIGHT )]

(가)

[eqn: LEFT { LEFT ( 2 ^{3 ^{k}} RIGHT ) ^{2} `-2 ^{3 ^{k}} `+1 RIGHT }]

[eqn: LEFT ( 2 ^{3 ^{k}} RIGHT ) ^{3}]

[eqn: 2 ^{3 ^{k+1}}]

[eqn: =]

[eqn: =]

[eqn: +1]

[eqn: +1]

(다)

(나)

위의 증명에서 (가) ～ (다)를 바르게 짝지은 것은? [4점]

(가)          (나)         (다)

①    [eqn: 2 ^{3 ^{k}} `-1]           [eqn: 0]             [eqn: 1]

②    [eqn: 2 ^{3 ^{k}} `-1]           [eqn: 0]             [eqn: 2]

③    [eqn: 2 ^{3 ^{k}} `+1]           [eqn: 1]             [eqn: 0]

④    [eqn: 2 ^{3 ^{k}} `+1]           [eqn: 2]             [eqn: 1]

⑤    [eqn: 2 ^{3 ^{k}} `+1]           [eqn: 2]             [eqn: 0]

행렬 [eqn: A= pmatrix{-1&````2#```````0&```3}]에 대하여 행렬 [eqn: B``]가 [eqn: ABA ^{-1} =A``]를 만족시킬 때, 행렬 [eqn: A+B``]는? (단, [eqn: A ^{-1}]는 [eqn: A]의 역행렬이다.) [3점]

① [eqn: pmatrix{-2&````2` #``````` 4&````3`} `]

② [eqn: pmatrix{`2&````-2#`0&````-6}]

③ [eqn: pmatrix{-2&````2`#~``````4&````4`}]

④ [eqn: pmatrix{`2&``````````4`#`0&```-6`}]

⑤ [eqn: pmatrix{-2&````4`#``````0&````6`}]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 행렬 [eqn: pmatrix{``x-a&````````2x-1`#``x-1&````````x`}`]가 역행렬을 갖기 위한 상수 [eqn: a]의 값의 범위는? [4점]

① [eqn: -5<``a<`0]

② [eqn: -4<``a<`1]

③ [eqn: ```````1<``a<`5]

④ [eqn: a<1] 또는 [eqn: a>5]

⑤ [eqn: a< -4] 또는 [eqn: a>1]

첫째항이 [eqn: 3]이고 공비가 [eqn: 9]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 있다. [eqn: a_n = 3 ^{b _{n}}`]을 만족시키는 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: b _{10}`]은? [4점]

① [eqn: 19]

② [eqn: 20]

③ [eqn: 21]

④ [eqn: 22]

⑤ [eqn: 23]

[그림 1]은 가로와 세로가 각각 [eqn: 20]개의 칸으로 되어 있는 정사각형에 [eqn: 1]부터 [eqn: 400]까지의 자연수를 차례로 써 넣은 것이다.

		1열	2열	3열	…	20열
		⇩	⇩	⇩		⇩
1행	⇨	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	…	[eqn: 20]
2행	⇨	[eqn: 21]	[eqn: 22]	[eqn: 23]	…	[eqn: 40]
3행	⇨	[eqn: 41]	[eqn: 42]	[eqn: 43]	…	[eqn: 60]
⋮		⋮	⋮	⋮	⋮	⋮
20행	⇨	[eqn: 381]	[eqn: 382]	[eqn: 383]	…	[eqn: 400]

		[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	…	[eqn: 20]
		[eqn: 21]	[eqn: 22]	[eqn: 23]	…	[eqn: 40]
		[eqn: 41]	[eqn: 42]	[eqn: 43]	…	[eqn: 60]
		⋮	⋮	⋮	⋮	⋮
		[eqn: 381]	[eqn: 382]	[eqn: 383]	…	[eqn: 400]

[그림 1]                 [그림 2]

[그림 1]에서 각각의 행과 열에 대하여 중복되거나 빠지지 않게 각 행마다 한 개씩 수를 선택하고자 한다. 예를 들어 [eqn: 1]행의 [eqn: 20]과 [eqn: 3]행의 [eqn: 42]가 이미 선택되었다면, 다른 행의 수를 선택할 때에는 [그림 2]와 같이 [eqn: 20]과 [eqn: 42]가 포함된 행과 열의 어떤 수도 선택할 수 없다.

이와 같이 [eqn: 20]개의 수들을 선택할 때, 선택되어진 수들의 합은?                                                       [4점]

① [eqn: 2090]

② [eqn: 3030]

③ [eqn: 3070]

④ [eqn: 4010]

⑤ [eqn: 4050]

둘레의 길이가 [eqn: 132]이고 세 변의 길이가 등차수열을 이루는 직각삼각형의 빗변의 길이는? [4점]

① [eqn: 49]

② [eqn: 51]

③ [eqn: 53]

④ [eqn: 55]

⑤ [eqn: 57]

반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 [eqn: rm O]가 있다.

원 [eqn: rm O]보다 반지름의 길이가 [eqn: 1%] 늘어난 동심원 [eqn: rm O _{1}]을 그린다.

원 [eqn: rm O _{1}]보다 반지름의 길이가 [eqn: 1%] 늘어난 동심원 [eqn: rm O _{2}]를 그린다.

⋮

이와 같은 방법으로 계속하여 동심원 [eqn: rm O _{it{n}}]을 그렸을 때, 원 [eqn: rm O _{it{n}}]의 반지름의 길이가 [eqn: 2]가 되는 [eqn: n]의 값은? (단, [eqn: log _{10} `1.01=0.0043], [eqn: log_10 ``2=0.3010]으로 계산한다.) [4점]

① [eqn: 70]

② [eqn: 72]

③ [eqn: 74]

④ [eqn: 76]

⑤ [eqn: 78]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 [eqn: a _{1} =2,~a _{n+1} =`3`a _{n} `+`2``(n >= 1)]로 정의될 때, [eqn: a _{20}]은? [4점]

① [eqn: 3 ^{20} -1]

② [eqn: 3 ^{21} -1]

③ [eqn: 3 ^{22} -1]

④ [eqn: 3 ^{23} -1]

⑤ [eqn: 3 ^{24} -1]

다음과 같은 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ,```` LEFT { b _{n} RIGHT } ,`` LEFT { c _{n} RIGHT }]이 있다.

◦ 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 첫째항 [eqn: a _{1}]이 [eqn: 5]이고 공차는 [eqn: 2]이다.

◦ 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]은 첫째항 [eqn: b _{1}]이 [eqn: 2]이고 공차는 [eqn: 3]이다.

◦ 수열 [eqn: LEFT { c _{n} RIGHT }]은 첫째항 [eqn: c _{1}]이 [eqn: 28]이고 공차는 [eqn: -2]이다.

[eqn: a _{i}]( [eqn: i=1,`2,` CDOTS` ,`12]), [eqn: b _{j}]( [eqn: j=1,`2, `CDOTS` ,`12]), [eqn: c _{k}]( [eqn: k=1,`2, `CDOTS` ,`12])가 시계방향 순서대로 적혀 있는 크기가 서로 다른 세 개의 원판이 있다.

각각의 원판은 같은 중심을 축으로 자유롭게 따로따로 회전하도록 되어 있으며, 세 개의 원판이 회전하다가 모두 멈추었을 때는 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { c _{n} RIGHT }]의 각각의 항을 구분하는 직선들은 반드시 일직선상에 놓이게 된다고 하자.

그림은 세 개의 원판이 모두 멈추었을 때, 세 개의 항 [eqn: a _{2}], [eqn: b _{7}], [eqn: c _{3}]이 일렬로 놓인 경우의 예이다.

위의 세 개의 원판들이 회전하다가 모두 멈추었을 때, 세 개의 항 [eqn: a _{3}], [eqn: b _{2}], [eqn: c _{12}]가 일렬로 놓였다면, 일렬로 놓인 세 개의 항 [eqn: a _{i}], [eqn: b _{j}], [eqn: c _{k}]의 합 [eqn: a _{i}+ b_j +c_k`]의 최소값은? [4점]

① [eqn: 10]

② [eqn: 12]

③ [eqn: 15]

④ [eqn: 17]

⑤ [eqn: 19]

단답형 (22 ~ 30)

첫째항이 [eqn: 10], 공차가 [eqn: 7]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서 처음으로 [eqn: 50]보다 크게 되는 것은 [eqn: k`]번째항이다. 이 때, [eqn: k]의 값을 구하시오. [2점]

실수 [eqn: x,``y`]에 대하여 [eqn: pmatrix{`````````1&~~x+y```#``-1&``````2`} ```=`` pmatrix{`````````1&~```4```#``-1&~````xy```}]일 때, [eqn: x ^{3`} +y ^{3}`]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 2k+5 RIGHT )]의 값을 구하시오. [3점]

연립방정식 [eqn: cases{ax+2y=0 _{`}#8x+by=0` ^{`}}`]이 [eqn: x=y=0`]이외의 해를 가질 때, [eqn: log_2 `a +log_2 `b`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a,``b`]는 양의 실수이다.)

[3점]

세 수 [eqn: -8,```x,```y`]는 이 순서대로 등차수열을 이루고 세 수 [eqn: x,```` y ,````64]는 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, [eqn: x`+`y`]의 값을 구하시오. [3점]

그림과 같이 두 직선 [eqn: l _{1} ,````l _{2}`]가 점 [eqn: rm P`]에서 만난다. 두 직선의 교점 [eqn: rm P it (`a,```b`)]를 행렬을 이용하여 구하면, [eqn: pmatrix{`a`#`b`} `=A` pmatrix{`-2`#```````1}]이다. 이 때, 이차정사각행렬 [eqn: A`]의 모든 성분의 합을 구하시오. [4점]

[eqn: rm P it (a,``b) rm]

[eqn: 1]

[eqn: -2]

[eqn: l _{2}]

[eqn: l _{1}]

[eqn: a`]

[eqn: b`]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: rm O]

행렬 [eqn: A `= pmatrix{```````2````&1`#-1```&0`}]에 대하여

[eqn: A+A ^{2} +A ^{3} +`` CDOTS ``+A ^{100} `= pmatrix{`a&````b`#`c&`````d`} `]일 때, [eqn: a+b+c+d`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: A ^{n+1} =A ^{n} A]) [4점]

[eqn: a _{1} = alpha `], [eqn: a _{n+1} -a _{n} = 2n` LEFT ( n≧1 RIGHT )]로 정의된 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{10} =100]일 때, [eqn: alpha `]의 값을 구하시오. [4점]

그림과 같이 [eqn: 1]부터 연속된 자연수가 규칙적으로 배열된 숫자판이 있다. 흰색 부분에 적혀 있는 모든 수들을 작은 수부터 차례대로 나열하여 [eqn: 1,``1,``2,``2,``2,``2,``3,``3,``3,``3,``3,``3,``4,`` CDOTS]와 같은 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }`]을 만들 때, [eqn: a _{2006} `]을 구하시오. [4점]

•

•

•

※ 확인사항

○ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.