∙자신이 선택한 유형(‘가’형/‘나’형)의 문제지인지 확인하시오.

∙답안지에 성명과 수험번호를 써 넣고, 또 수험번호, 문제유형,  답을 정확히 표시하시오.

∙단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표시하시오.

∙문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

∙계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

고 2	수리 영역 (나형)

	수리 영역 (나형)	고 2

8

2006학년도 10월 고2 학업성취도평가 문제지

수리 영역 (나형)

성명			수험번호						2

제 2 교시

1. [eqn: LEFT { LEFT ( {9} over {4} RIGHT ) ^{- {4} over {3}} RIGHT } ^{{9} over {8}} TIMES {81} over {16}]의 값은? [2점]

① [eqn: {1} over {2}]       ② [eqn: {2} over {3}]       ③ [eqn: { 3} over {4 }]       ④ [eqn: { 3} over { 2}]       ⑤ [eqn: 2]

2. [eqn: ( sqrt {2} ) ^{log`` _{2``} 9}]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]       ② [eqn: 2]       ③ [eqn: 3`]       ④ [eqn: 4`]       ⑤ [eqn: 5`]

3. 다음 등식을 만족하는 [eqn: a,```b,```c`]에 대하여 [eqn: a+b+c]의 값은? [2점]

[eqn: pmatrix{1&````a#b&````0`} +3 pmatrix{-3&```1#``````a&```5`} = pmatrix{-8&```4#``````1&```c`}]

① [eqn: 13]       ② [eqn: 14]       ③ [eqn: 15]       ④ [eqn: 16]       ⑤ [eqn: 17]

4. [eqn: 2`x,~a,~x,~b] 가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, [eqn: {a} over {b}] 의 값은? (단, [eqn: x != 0]) [3점]

① [eqn: {1} over {2}]       ② [eqn: {3} over {2}]       ③ [eqn: 2]       ④ [eqn: 3]       ⑤ [eqn: 4]

5. 행렬 [eqn: A``=` pmatrix{`2&``1`#`1&``1`}]에 대하여 [eqn: AB````=`B```+`E] 를 만족하는 행렬 [eqn: B``]의 모든 성분의 합은? (단, [eqn: E```]는 단위행렬) [3점]

① [eqn: -2```]      ② [eqn: -1```]      ③ [eqn: 0``]      ④ [eqn: 1]      ⑤ [eqn: 2]

6. 이차함수 [eqn: y=x ^{2} +ax+b]와 두 직선 [eqn: y=x], [eqn: y=2x]는 각각 서로 다른 두 점에서 만난다. 각각의 교점에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 그림과 같이 [eqn: rmA,``B,``C,``D]라 할 때, [eqn: rmLEFT | bar{AB} - bar{CD} `` RIGHT |]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]       ② [eqn: 2]       ③ [eqn: 3]       ④ [eqn: 4]       ⑤ [eqn: 5]

7. 이차정사각행렬 [eqn: A,~B] 에 대하여 [eqn: A`B=B`A] 가 성립할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, [eqn: X ```^{-1}]는 [eqn: X]의 역행렬) [3점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: (A-B) ^{2} =A ^{2} -2`A`B```+B ^{2}] ㄴ. 임의의 자연수 [eqn: n] 에 대하여 [eqn: A ^{n} B=B`A ^{n}] ㄷ. [eqn: A,~B] 의 역행렬이 존재하면 [eqn: (A`B`A) ^{-1} =(A ^{2} `) ^{-1} B ^{-1}]

① ㄱ	② ㄷ

③ ㄱ, ㄴ	④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

8. 길동이는 [eqn: 2006]년 [eqn: 11]월 [eqn: 1]일부터 [eqn: 10]개월간 운영되는 비만탈출프로젝트에 참여하려고 한다. 매월 초에 측정한 몸무게를 기준으로 매월 일정 비율씩 감량하여, [eqn: 100kg]인 몸무게가 프로젝트를 모두 마친 후 [eqn: 80kg]이 되도록 하려면 월 감량 비율을 몇 %로 정해야 하는가? (단, [eqn: log2=0.3010,~][eqn: log9.78=0.9903] ) [4점]

① [eqn: 2.0%]	② [eqn: 2.2%]	③ [eqn: 2.4%]

④ [eqn: 2.6%]	⑤ [eqn: 2.8%]

9. [eqn: log _{2`} 5=a,```log _{3} `2=b]일 때, [eqn: log _{6} `15]를 [eqn: a]와 [eqn: b]로 바르게 나타낸 것은? [3점]

① [eqn: { a+b} over {b+1 }]	② [eqn: { ab+1} over {b+1 }]

③  [eqn: { a} over {b }]	④ [eqn: { a+1} over {b+1 }]

⑤ [eqn: { ab} over {b+1 }]

10. 다음은 수학 시간에 학습한 행렬 단원의 학습자료이다.

<표[eqn: 1`]>은 [eqn: K]양과 [eqn: L]양이 구입해야 할 선물의 개수를 나타내며

<표[eqn: 2`]>는 [eqn: P], [eqn: Q]백화점에서의 각각의 선물에 대한 단가를 조사한 결과이다.

<표[eqn: 1`]>       (단위 : 개)      <표[eqn: 2]>       (단위 : 만원)

구분	[eqn: K]양	[eqn: L]양
선물[eqn: 1]	[eqn: 3`]	[eqn: 4`]
선물[eqn: 2]	[eqn: 2`]	[eqn: 1`]

구분	선물[eqn: 1]	선물[eqn: 2]
[eqn: P] 백화점	[eqn: 7`]	[eqn: 8`]
[eqn: Q] 백화점	[eqn: 9`]	[eqn: 7`]

<표[eqn: 1`]>, <표[eqn: 2`]>를 각각 행렬 [eqn: A``=` pmatrix{``3&``4`#```2`&`1} `,] [eqn: B``= pmatrix{``7&``8#`9&``7`} `]로 나타낸다.

위 자료에 대하여 학생들이 발표한 내용 중 옳은 것은? [3점]

① 철수 : 행렬 [eqn: AB``]의 [eqn: LEFT ( 1,`~2 RIGHT )] 성분은 [eqn: L] 양이 [eqn: P] 백화점에서 선물[eqn: 1,~2]  를 모두 구입할 경우 지출할 총액이다.

② 영희 : 행렬 [eqn: BA`]의 [eqn: LEFT ( 2,```1 RIGHT )] 성분은 [eqn: K] 양이 [eqn: Q] 백화점에서 선물[eqn: 1,~2]  를 모두 구입할 경우 지출할 총액이다.

③ 영철 : [eqn: P] 백화점에서 선물 [eqn: 1,~2] 를 모두 구입할 경우 [eqn: K] 양의 지출  총액은 [eqn: L]양의 지출 총액보다 적다.

④ 현희 : [eqn: L] 양은 어느 백화점에서 선물[eqn: 1,~2] 를 모두 구입하더라도  지출 총액의 차이는 없다.

⑤ 성진 : 선물[eqn: 1]은 [eqn: Q] 백화점에서, 선물[eqn: 2]는 [eqn: P] 백화점에서 구입하는것이 가장 싸게 구입하는 방법이다.

11. 정수 부분이 두 자리수인 양수 [eqn: a,`~b]에 대하여 [eqn: { 1} over { 2} `log`a]와 [eqn: log``b`]의 가수가 같다. 이 때, [eqn: a`]와 [eqn: b`]사이의 관계식에 대한 그래프의 개형은? [4점]

①                             ②

③                              ④

⑤

12. 그림과 같이 두 직선 [eqn: l,``m]의 교점의 좌표 [eqn: (a,``b)]를 행렬을 이용하여 나타내면 [eqn: pmatrix{a#b} = pmatrix{`````alpha``&```-1 ``# -1&``````beta``} pmatrix{3#4}]이다. 이 때, [eqn: alpha + beta]의 값은?

[3점]

① [eqn: 1]       ② [eqn: 2]       ③ [eqn: 3]       ④ [eqn: 4]       ⑤ [eqn: 5]

13. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: log _{(a-1) ^{2}} (ax ^{2} +ax+2)]가 정의되도록 하는 정수 [eqn: a]의 개수는? [4점]

① [eqn: 4]       ② [eqn: 5]       ③ [eqn: 6]       ④ [eqn: 7]       ⑤ [eqn: 8]

14. 그림과 같이 바둑판 모양의 모눈종이의 정중앙에 [eqn: 1`]부터 시작하여 시계방향으로 자연수를 배열할 때, [eqn: D(k,```k+1)]을 다음과 같이 정의한다.

	∘자연수 [eqn: k`]의 위에 [eqn: k+1`]이 있으면 [eqn: D(k,```k+1)=1`] ∘자연수 [eqn: k`]의 아래에 [eqn: k+1`]이 있으면 [eqn: D(k,```k+1)=2] ∘자연수 [eqn: k`]의 왼쪽에 [eqn: k+1`]이 있으면 [eqn: D(k,```k+1)=3] ∘자연수 [eqn: k`]의 오른쪽에 [eqn: k+1`]이 있으면 [eqn: D(k,```k+1)=4]

예를 들어, [eqn: 10`]의 오른쪽에 [eqn: 11`]이 있으므로 [eqn: D(10,```11)=4`]이다. 이 때, [eqn: D(100,```101)+D(101,```102)`]의 값은? [4점]

① [eqn: 2]       ② [eqn: 4]       ③ [eqn: 5]       ④ [eqn: 6]       ⑤ [eqn: 8]

15. 넓이가 [eqn: n] 인 직사각형 중에서 가로, 세로의 길이가 자연수인 서로 다른 직사각형의 개수를 [eqn: f``(n)] 이라 하자. <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, 가로, 세로의 길이가 각각 [eqn: a], [eqn: b]인 직사각형과 [eqn: b], [eqn: a]인 직사각형은 같은 것으로 본다.) [3점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: f``(81)=3] ㄴ. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f(2`n)=f``(2) TIMES f``(n)]이다. ㄷ. [eqn: f``(n)=2] 인 [eqn: 10] 이하의 자연수 [eqn: n] 의 개수는 [eqn: 5]개이다.

① ㄱ	② ㄴ

③ ㄱ, ㄷ	④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

16. 다음은 [eqn: A^2 -A`B=E,~B^2 =-E] 를 만족하는 이차정사각행렬 [eqn: A,~B] 에 대하여 [eqn: (A+B)]의 역행렬을 구하는 과정이다. (단, [eqn: E```]는 단위행렬)

	[eqn: A ^{2} -A`B=E] 에서 [eqn: A`(A-B)=E] 이므로 [eqn: (A-B)`A=E] 가 성립한다. ∴ [eqn: A`B``=`] (가) [eqn: A ^{2} -A`B=E] 의 양변에 [eqn: -2B``^2] 를 더하여 정리하면 [eqn: A^2 -A`B-2`B^2 `] [eqn: `=`(A+B)`(A-2`B)``=`] 이다. (나) ∴ [eqn: (A+B)] 의 역행렬은 (다)

위의 과정에서 (가), (나), (다) 에 알맞은 것은? [4점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: A^2]	[eqn: `E]	[eqn: A-2`B]
②	[eqn: A^2]	[eqn: 2`E]	[eqn: 1 over 3 (A-2`B)]
③	[eqn: B`A]	[eqn: 2`E]	[eqn: A-2`B]
④	[eqn: B`A]	[eqn: 3`E]	[eqn: 1 over 3 (A-2`B)]
⑤	[eqn: B`A]	[eqn: 3`E]	[eqn: A-2`B]

17. 다음은 예각 삼각형 [eqn: rm ABC]에 대하여 변 [eqn: rm BC] 위의 점 [eqn: rm P]를 잡아 변 [eqn: rm AB ,~AC]에 대한 점 [eqn: rm P]의 대칭점을 각각 [eqn: rm Q,~R]이라 할 때, 삼각형 [eqn: rm AQR]의 넓이가 최소가 되는 점 [eqn: rm P]의 위치를 찾는 과정이다.

	변 [eqn: rm AB ,~AC]에 대한 점 [eqn: rm P]의 대칭점이 각각 [eqn: rm Q,~R]이므로 [eqn: rm ANGLE BAQ = ANGLE BAP], [eqn: rm ANGLE CA P = ANGLE CAR]이다. [eqn: rm bar{AP} it =l] 이라 할 때, [eqn: {rm bar{AP} = bar{AQ} = bar{AR}}=l]이다. 따라서, [eqn: TRIANGLE rm AQR]은 이등변삼각형이다. [eqn: rm ANGLE BAC = theta] 라 하면 [eqn: rm ANGLE QAR =] , (가) [eqn: TRIANGLE rm AQR]의 높이를 [eqn: h] 라 할 때, [eqn: h=][eqn: l cos theta] 이고 [eqn: rm bar QR =] 이다. (나) 따라서 [eqn: l]이 최소일 때 [eqn: TRIANGLE rm AQR] 의 넓이는 최소값을 갖는다. ∴ 점 [eqn: rm P]는 이다. (다)

위의 과정에서 (가), (나), (다) 에 알맞은 것은? [4점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: 2`theta]	[eqn: l` sin theta]	점 [eqn: rm A]에서 변 [eqn: rm BC]에 내린 수선의 발
②	[eqn: 2`theta]	[eqn: 2l` sin theta]	변 [eqn: rm BC] 의 중점
③	[eqn: 2`theta]	[eqn: 2l` sin theta]	점 [eqn: rm A]에서 변 [eqn: rm BC]에 내린 수선의 발
④	[eqn: 3`theta]	[eqn: l` sin 2`theta]	변 [eqn: rm BC] 의 중점
⑤	[eqn: 3`theta]	[eqn: l` sin 2`theta]	점 [eqn: rm A]에서 변 [eqn: rm BC]에 내린 수선의 발

18. 그림과 같이 [eqn: rm TRIANGLE ABC]에서 선분 [eqn: rm AP]는 [eqn: rm ANGLE BAC]의 이등분선, [eqn: rm bar{AP} BOT bar BP] 이고 점 [eqn: rm Q]는 변 [eqn: rm {BC}] 의 중점이다. [eqn: rm bar{AB} =13], [eqn: rm bar{AC} =21] 일 때, [eqn: rm bar{PQ}] 의 길이는? [3점]

① [eqn: 4]       ② [eqn: 5]       ③ [eqn: 6]       ④ [eqn: 7]       ⑤ [eqn: 8]

19. 서로 다른 세 양수 [eqn: a,`~b,`~c`]에 대하여 두 직선 [eqn: {x} over {a} `-` {y} over {b} `=`-1]과 [eqn: {x} over {c} `+` {y} over {b} `=`1`]이 수직으로 만날 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: rm bar{OA} ,~ bar{OB} ,~ bar{OC} `]의 길이가 이 순서대로 등차수열을 이룬다. ㄴ. [eqn: rm bar{OA} ,~ bar{AB} ,~ bar{AC} `]의 길이가 이 순서대로 등비수열을 이룬다. ㄷ. [eqn: c`=`2a`]이면, [eqn: TRIANGLE rm`OAB``,`~ TRIANGLE OBC,~ TRIANGLE ABC]의 넓이는 이 순서대로 등차수열을 이룬다.

① ㄱ	② ㄴ

③ ㄱ, ㄷ	④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

20. 그림과 같이 직각삼각형 [eqn: rm ABC`]에 내접한 정사각형의 한 변과 이 삼각형의 직각을 낀 두 변에 원 [eqn: rm O _{1} `]을 내접시키고 같은 방법으로 직각삼각형 [eqn: rmA _{1} B _{1} C]에 내접하는 정사각형의 한 변과 이 삼각형의 직각을 낀 두 변에 원 [eqn: rm O _{2}]를 내접시킨다. 이러한 과정을 계속 반복하여 만들어지는 원을 [eqn: rmO _{3} ,```O _{4} ,```O _{5}`,…]라 하자. 원 [eqn: rm O _{1} `]과 원 [eqn: rm O _{3}]의 반지름의 길이를 각각 [eqn: 9], [eqn: 4]라 할 때, 원 [eqn: rm O_5]의 반지름의 길이는? [4점]

① [eqn: 4} over {9}]       ② [eqn: {2} over {3}]       ③ [eqn: {8} over {9}]       ④ [eqn: {4} over {3}]       ⑤ [eqn: {16} over {9}]

21. 두 집합 [eqn: A`=` LEFT { LEFT ( `x`,`~y` RIGHT ) ` LEFT | ` pmatrix{a-1``&```-b`#b&``a+1} ` pmatrix{`x`#`y`} ``=` pmatrix{`3x`#`3y`} RIGHT } ,`]

[eqn: B``=` LEFT { LEFT ( `x,``~y` RIGHT ) `□`x ^{2} `+`y ^{2} `` = `1` RIGHT }]에 대하여 [eqn: A` SMALLINTER B```]의 원소의 개수가 [eqn: 2`]개가 되도록 하는 [eqn: a,``b]에 대하여 점 [eqn: LEFT ( `a,`~b` RIGHT )]가 나타내는 도형의 길이는? [3점]

① [eqn: {pi } over {4`} `]	② [eqn: {pi } over {2`} `]	③ [eqn: pi `]

④ [eqn: 2` pi `]	⑤ [eqn: 4 pi ``]

단답형(22～30)

22. [eqn: 1]이 아닌 양수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: ` root {k} of {a sqrt {a}} `= sqrt {sqrt {sqrt {a}}} `]일 때, [eqn: k``]의 값을 구하시오. [3점]

23. [eqn: 9`]와 [eqn: a]사이에 [eqn: 8]개의 수를 넣어 등차수열을 만들었다. 처음 [eqn: 5`]개 항의 합이 그 다음 [eqn: 5`]개 항의 합의 [eqn: { 1} over {2 }`]과 같을 때, [eqn: a]의 값을 구하시오. [4점]

24. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +…+a _{n} =n ^{2} +4n`]일 때, [eqn: a _{3} +a _{7}]의 값을 구하시오. [3점]

25. 두 점 [eqn: rm O LEFT (0 ,~0 RIGHT ) ,~A LEFT ( {pi } over {2} ,~0 RIGHT ) `]에 대하여 선분 [eqn: rm OA]를 [eqn: 5]등분한 점을 [eqn: {rmP}_k] ([eqn: k=1,`2,`3,`4]) 라 하자. 점 [eqn: {rmP}_k] 를 지나 [eqn: x`]축에 수직인 직선과 곡선 [eqn: y=5`cosx] 와의 교점을 [eqn: {rm Q}` _{k} `]라 할 때, [eqn: bar{rm P _{1} Q _{1} it} ` ^{2} `+bar{rm P _{2} Q _{2} it} ` ^{2} `+`bar{rm P _{3} Q _{3} it} ` ^{2} `+`bar{rm P _{4} Q _{4} it} ` ^{2} `] 의 값을 구하시오. [4점]

26. 홀수를 아래와 같이 배열한 다음  모양의 세 수의 합을 작은 수부터 차례로 배열하여 만든 수열을 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT } `]이라 하자. 예를 들어 [eqn: a _{1} =1+3+15=19,```a _{9} =19+21+33=73`]이다. 이 때, [eqn: a _{26`}]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: 1]	[eqn: 13]	[eqn: 25]	[eqn: 37]	[eqn: 49]	…
[eqn: 3]	[eqn: 15]	[eqn: 27]	[eqn: 39]	[eqn: 51]	…
[eqn: 5]	[eqn: 17]	[eqn: 29]	[eqn: 41]	[eqn: 53]	…
[eqn: 7]	[eqn: 19]	[eqn: 31]	[eqn: 43]	[eqn: 55]	…
[eqn: 9]	[eqn: 21]	[eqn: 33]	[eqn: 45]	[eqn: 57]	…
[eqn: 11]	[eqn: 23]	[eqn: 35]	[eqn: 47]	[eqn: 59]	…

27. 세 수 [eqn: alpha ,`` beta ,`` alpha beta]  ([eqn: -1< alpha <0< beta ``]) 를 적당히 배열하면 등차수열이 되고, 또 다른 방법으로 배열하면 등비수열이 된다. 이 때, [eqn: alpha +90 beta]의 값을 구하시오. [4점]

28. 그림의 원 속에 숫자를 넣어 모든 직선 방향으로 등차수열을 만들려고 한다. 이 때, [eqn: A+2B+3C] 의 값을 구하시오. [3점]

29. 양의 실수 전체의 집합을 정의역으로 하는 두 함수 [eqn: f,``g]를    [eqn: f(x)``= LEFT [ log x RIGHT ]], [eqn: g(x)=``log x- LEFT [ log x RIGHT ]]와 같이 정의할 때,

[eqn: f(21)+g(3)+g(7)-g(21)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x] 를 넘지 않는 최대정수) [3점]

30. 그림과 같은[eqn: ANGLE B=90°,~ ANGLE C=10°]인 직각삼각형 모양의 실험도구가 있다. [eqn: rm B] 에서 발사된 빛이 변 [eqn: rm {AC}] 와 변 [eqn: rm BC] 사이에서 여러 번 반사되어 변 [eqn: rm {AC}] 또는 변 [eqn: rm BC] 에 수직으로 도달하면 다시 [eqn: rm B] 로 되돌아온다고 한다. [eqn: rm B] 에서 각 [eqn: theta] 의 크기로 발사된 빛이 최대한 많은 횟수로 반사되어 [eqn: rm B] 로 되돌아올 때, 각 [eqn: theta] 의 크기를 [eqn: {pi } over {a}]라 하자. 이 때, [eqn: a]의 값을 구하시오. (단, 입사각과 반사각의 크기는 같다.) [4점]

● 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.