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2006학년도 10월 고1 학업성취도평가

정답 및 해설

고 1	정답 및 해설	2006학년도 10월 학업성취도평가

수리 영역

정답

1	①	2	④	3	③	4	③	5	④
6	①	7	⑤	8	②	9	③	10	②
11	⑤	12	②	13	④	14	③	15	①
16	⑤	17	⑤	18	①	19	⑤	20	④
21	④	22	[eqn: 18]	23	[eqn: 21]	24	[eqn: 10]	25	[eqn: 25]
26	[eqn: 125]	27	[eqn: 25]	28	[eqn: 16]	29	[eqn: 75]	30	[eqn: 32]

해설

1. [출제의도] 집합의 연산 이해하기

[eqn: A SMALLINTER (A CUP B) ^{C} =A SMALLINTER A ^{C} SMALLINTER B ^{C} =phi``]

2. [출제의도] 명제의 조건 판별하기

ㄱ. ‘[eqn: x>0,~y>0`]’는 ‘[eqn: xy>0`]’이기 위한 충분조건이지만 필요조건은 아니다.

ㄴ. ‘[eqn: x<1`]’은 ‘[eqn: -2 <= x<0`]’이기 위한 필요조건이지만 충분조건은 아니다.

ㄷ. [eqn: x=1+ sqrt {2} ,~y=1- sqrt {2}]일 때, [eqn: x+y`]는 유리수이지만 [eqn: x,~y`]는 모두 유리수가 아니다. 따라서 ‘[eqn: x+y`]가 유리수’는 ‘[eqn: x,~y`]는 모두 유리수’이기 위한 필요조건이지만 충분조건은 아니다.

∴ ㄴ, ㄷ

3. [출제의도] 실수의 성질 이해하기

③ [eqn: a<0,~b<0`]일 때, [eqn: sqrt {a} sqrt {b} =`- sqrt {ab} `]

4. [출제의도] 다항식의 나눗셈 계산하기

[eqn: 3x``````-3]

[eqn: 3x ^{3} ~~~~~+ax~~~~~+b]

[eqn: 3x ^{3} +3x ^{2} -3x]

[eqn: ``-3x ^{2} +(a+3)x+b]

[eqn: ``-3x ^{2} `````````````````-3x````+3]

[eqn: (a+6)x+b-3]

[eqn: x ^{2} +x-1]

나머지는 [eqn: 2x+3``]이므로 [eqn: a=`-4,] [eqn: b=6``]

∴ [eqn: a+b=2`]

5. [출제의도] 간단한 복소수 계산하기

[eqn: z= sqrt {-1} sqrt {-4} + {sqrt {18}} over {sqrt {-2}} `=`-2-3i]

[eqn: bar{z} =`-2+3i`]

[eqn: THEREFORE z`` bar{z} = LEFT ( -2-3i RIGHT ) LEFT ( -2+3i RIGHT ) =13``]

6. [출제의도] 연산의 성질 이해하기

[eqn: a+c=b+c]

[eqn: RARROW][eqn: (a+c)+(-c)=(b+c)+(-c)]

□결합법칙

□역원

□항등원

[eqn: RARROW][eqn: a+ LEFT { c+(-c) RIGHT } =b+ LEFT { c+(-c) RIGHT } ``]

[eqn: RARROW][eqn: a+0=b+0]

[eqn: RARROW][eqn: a=b]

덧셈에 대한 결합법칙, 덧셈에 대한 항등원 그리고 덧셈에 대한 역원의 성질이 사용되었다.

∴ㄱ, ㄴ, ㄷ

7. [출제의도] 명제 이해하기

[eqn: Q```]

① [eqn: Q`` NSUBSET R`]이므로 [eqn: q`]   [eqn: r`]이다.

② [eqn: Q ^{c} `⊄ P`]이므로 [eqn: SIM q`]   [eqn: p`]이다.

③ [eqn: (P SMALLINTER Q)` ⊄R`]이므로 [eqn: (p`]이고 [eqn: q`)`]   [eqn: r`]이다.

④ [eqn: (P CUP R)` ⊄Q`]이므로 [eqn: (p`] 또는 [eqn: r`)`]   [eqn: q`]이다.

⑤ [eqn: P` SUBSET R ^{C} `]이므로 [eqn: p`` -> `～r`]이다.

따라서 옳은 것은 ⑤이다.

[eqn: ↛]

[eqn: ↛]

[eqn: ↛]

[eqn: ↛]

8. [출제의도] 인수정리 이해하기

[eqn: f(1)=g(1)=0`]이므로 인수정리에 의하여 [eqn: f(x)`]와 [eqn: g(x)`]는 [eqn: x-1`]을 인수로 갖는다. [eqn: f(x)`]와 [eqn: g(x)`]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 이차다항식이고 [eqn: f(x)`g(x)=(x-1) ^{2} (x-3)(x+4)`]이므로

[eqn: cases{f(x)=(x-1)(x-3)##g(x)=(x-1)(x+4)} `]또는 [eqn: cases{f(x)=(x-1)(x+4)##g(x)=(x-1)(x-3)} `]

그런데, [eqn: f(x)h(x)=(x-1)(x+2)(x-3) ^{2} `]이므로 [eqn: f(x)=(x-1)(x-3),~h(x)=(x+2)(x-3)`]이다. ∴[eqn: h(5)=14`]

9. [출제의도] 가비의 리 이해하기

[eqn: {2y+z} over {4} = {z} over {3} = {2x+8y-z} over {10} =k~(k]는 실수[eqn: )]라 하면 [eqn: 2y+z=4k`], [eqn: z=3k`], [eqn: 2x+8y-z=10k]

연립하여 풀면, [eqn: x= {9} over {2} `k], [eqn: y= {1} over {2} `k], [eqn: z=3`k]이다.

[eqn: x,~y`]를 [eqn: {x+y} over {a} =k``]에 대입하면, [eqn: a=5`]

10. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수와의 관계를 이해하기

주어진 이차방정식의 두 실근의 절대값은 같고 부호가 반대이므로 [eqn: alpha + beta =0`,~ alpha beta <0``]이다.

[eqn: alpha + beta =0``]이므로 [eqn: -(a ^{2} -2a-3)=0``]

따라서 [eqn: a=3``] 또는 [eqn: a=`-1``] …㉠

[eqn: alpha beta <0``]이므로 [eqn: -a+1<0``]

따라서 [eqn: a>1``] …㉡

㉠, ㉡ 에 의해 [eqn: a=3``]

[eqn: THEREFORE `a=3``]

11. [출제의도] 복소수 값을 이용하여 식의 값 계산하기

[eqn: z= {1- sqrt {-3}} over {1+ sqrt {-3}} `=`- {1} over {2} - {sqrt {3}} over {2} i`]이므로

[eqn: z ^{2} +z+1=0`]이고 [eqn: z ^{3} =1`]을 만족한다.

따라서 [eqn: (1+z)(1+z ^{2} )(1+z ^{3} )`]

[eqn: =(-z ^{2} )(-z)(1+1)# =2`]

12. [출제의도] 도형의 평행이동 이해하기

구하는 부분의 넓이는

[eqn: ①+②+③+④+⑤+⑥]

[eqn: = {pi } over {2} +2 LEFT ( b-1 RIGHT ) + {pi } over {2} `+2a+1+ {pi } over {4}# =2(a+b)-1+ {5} over {4} pi =9+ {5} over {4} pi]

[eqn: THEREFORE `a+b=5]

13. [출제의도] 규칙을 이해하여 문제 해결하기

[eqn: 4]	[eqn: 1]	[eqn: a]		➡
[eqn: b]			[eqn: 4]
[eqn: 3]	[eqn: c]
		[eqn: 4]	[eqn: d]

[eqn: 4]	[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: 2]
[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 1]	[eqn: 4]
[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 2]	[eqn: 1]
[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 4]	[eqn: 3]

[eqn: a=3,~b=2,`~c=4,~d=3`]

∴ [eqn: a+b+c+d``=12]

14. [출제의도] 평균 이해하기

ㄱ. 모든 삼각형의 넓이를 각각 [eqn: 5`]씩 증가시키면 모든 삼각형의 넓이의 평균은 [eqn: 10+5=15`]가 된다.

ㄴ. 모든 삼각형의 높이를 각각 [eqn: 2`]배하면 모든 삼각형의 넓이의 평균은 [eqn: 10 TIMES 2=20``]이 된다.

ㄷ. 길이의 비의 제곱이 넓이의 비이므로, 모든 삼각형의 모든 변을 각각 [eqn: 3`]배하면 모든 삼각형의 넓이의 평균은 [eqn: 10 TIMES 3 ^{2} =90`]이 된다.

∴ ㄱ, ㄴ

15. [출제의도] 일차 연립방정식을 이용한 실생활 문제 해결하기

돼지저금통에 들어있는 [eqn: 100`]원짜리 동전의 개수를 [eqn: x`], [eqn: 500`]원짜리 동전의 개수를 [eqn: y`]라 하면,

[eqn: cases{x+y=60#5.4x+7.7y=416`]

연립방정식을 풀면, [eqn: x=20`,] [eqn: y=40`]이다.

따라서 돼지저금통에 들어있는 금액은 [eqn: 22,000`]원이다.

16. [출제의도] 그래프의 개형에 관한 수학 외적 문제 해결하기

순시선이 반원 [eqn: rm{arch{AB``} `}]위에 있을 때, 점 [eqn: rm{X`}]에서 순시선까지 거리는 일정하다. 점 [eqn: rm{X`}]에서 [eqn: rm{bar{BC`} `}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm{H`}]라 하면, 순시선이 [eqn: rm BAR{BH`}`] 위에 있을 때, 점 [eqn: rm{X`}]에서 순시선까지의 거리는 감소하고 순시선이 [eqn: rm{BAR{HC`} `}] 위에 있을 때, 점 [eqn: rm{X`}]에서 순시선까지의 거리는 증가한다. 따라서 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: rm{A`}]에서 [eqn: rm{H`}]까지

이동한 시간

거리

시간

[eqn: rm{O}]

17. [출제의도] 원의 성질을 이용하여 방정식의 근 추론하기

좌표평면에서 점 [eqn: rm {N}`(0,~1)`], [eqn: {rmM}`(`p`,~q`)``]라 하고, 점 [eqn: rm T``]는 선분 [eqn: rm {M`N} ``]의 중점이라 하자.

점 [eqn: rm T``]는 직각삼각형 [eqn: rm N`M`Q``]의 외심이므로 점 [eqn: rm T``]에서 점 [eqn: rm Q,~M,~N``]에 이르는 거리가 같다. 따라서 중심은 [eqn: rm T``]이고 세 점 [eqn: rm Q,~M,~N``]을 지나는 원이 존재한다.

점 [eqn: rm T``]의 [eqn: x``]좌표는 [eqn: {p} over {2} ``]이고, 점 [eqn: rm N``]과 점 [eqn: rm M``]을 지나는 직선의 방정식은 [eqn: y= {q-1} over {p} x+1]이다. 따라서 [eqn: x= {p} over {2} ``]일 때, [eqn: y=``][eqn: {q+1} over {2}]이다.

반지름의 길이를 구하면 [eqn: {sqrt {p ^{2} `+(q-1) ^{2}}} over {2}]이므로 원의 방정식은

[eqn: LEFT ( x- {p} over {2} RIGHT ) ^{2} `+ LEFT ( y- {q+1} over {2} RIGHT ) ^{2} `][eqn: =`][eqn: LEFT ( {sqrt {p ^{2} `+(q-1) ^{2}}} over {2} RIGHT ) ^{2}]이다.

여기에 [eqn: y=0``]을 대입하면 [eqn: x ^{2} `-p`x`+q`=0``]이므로 이 원이 [eqn: x``]축과 만나는 점 [eqn: rm R``]과 [eqn: rm S``]의 [eqn: x``]좌표가 근이다.

18. [출제의도] 곱셈 공식을 활용하여 추론하기

곱셈공식에 의해

[eqn: a ^{2} `+b ^{2} +c ^{2} ``]

[eqn: =(a+b+c) ^{2} -2(ab+bc+ca)``]

[eqn: =`-d ^{``2} ``]

또한, [eqn: a ^{2} b ^{2} +b ^{2} c ^{2} +c ^{2} a ^{2} ``]

[eqn: =(ab+bc+ca) ^{2} -2abc(a+b+c)``]

[eqn: =d ^{``4} -2abcd``]

따라서, [eqn: a ^{4} `+b ^{4} `+c ^{4}]

[eqn: =`(a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} ) ^{2} -2(a ^{2} b ^{2} +b ^{2} c ^{2} +c ^{2} a ^{2} )``]

[eqn: =`d ^{``4} -2(d ^{4} -2abcd)``]

[eqn: =`-d ^{``4} +4abcd``]

∴[eqn: a ^{`4} +b ^{`4} +c ^{`4} +d ^{`4} =``4abcd]

19. [출제의도] 배수에 관한 수학 외적 문제 해결하기

현재를 기준으로 미래는 오른쪽으로 이동하고 과거는 왼쪽으로 이동한다.

ㄱ. [eqn: 2014=2006+8`]이므로 십간은 “병”에서 [eqn: 8`]칸 오른쪽으로 이동한 “갑”이고, 십이지는 “술”에서 [eqn: 8`]칸 오른쪽으로 이동한 “오”이다.

ㄴ. [eqn: 2006-1988=18=10+8=12+6`]이므로

십간은 “병”보다 왼쪽으로 [eqn: 8`]칸 이동한 “무”이고 십이지는 “술”보다 왼쪽으로 [eqn: 6`]칸 이동한 “진”이다.

ㄷ. [eqn: 2006-1945=61=60+1`]이므로 십간은 “병”에서 [eqn: 1`]칸 왼쪽으로 이동한 “을”이고, 십이지는 “술”에서 [eqn: 1`]칸 왼쪽으로 이동한 “유”이다.

∴ ㄱ, ㄴ, ㄷ

20. [출제의도] 길이와 면적의 비례 관계 이해하기

직선 [eqn: rm {PQ} ``]는 직선 [eqn: rm {AB} ``]와 평행하므로 [eqn: rm bar{PQ} ``]의 기울기는 [eqn: 1``]이다. [eqn: y=x ^{2} `]과 [eqn: y=x+2`]의 교점을 구하면 [eqn: rm A LEFT ( -1,````1 RIGHT ) ,`````B LEFT ( 2,````4 RIGHT ) `]이다. [eqn: rm TRIANGLE OPQ``]□[eqn: rm TRIANGLE OAB``]이고 [eqn: rm TRIANGLE OPQ``]의 넓이가 [eqn: rm TRIANGLE OAB``]의 넓이의 [eqn: {4} over {9} ``]이므로 [eqn: rm bar{PQ} ``]와 [eqn: rm bar{AB} ``]의 닯음비는 [eqn: 2:3``]이다. 따라서 직선 [eqn: rm {PQ} ``]는 [eqn: rm TRIANGLE OAB``]의 무게 중심[eqn: LEFT ( {1} over {3} ,```` {5} over {3} RIGHT ) ``]을 지난다.

따라서 직선 [eqn: rm {PQ} ``]의 방정식은 [eqn: y=x+ {4} over {3} ``]이다. ∴ [eqn: a+b= {7} over {3}]

[별해] [eqn: rm TRIANGLE OAB``]와 [eqn: rm TRIANGLE OPQ``]는 닯음이고 닯음비는 [eqn: 1:` {2} over {3} ``]이다. 따라서 직선 [eqn: rm {PQ} ``]의 [eqn: y`]절편은 직선 [eqn: rm {AB} ``]의 [eqn: y`]절편의 [eqn: 2 TIMES {2} over {3} `= {4} over {3} `]이다. 따라서 직선 [eqn: rm {PQ} ``]의 방정식은 [eqn: y=x+ {4} over {3} ``]이다.

21. [출제의도] 할선 정리를 이용하여 직선의 방정식 이해하기

[eqn: rm bar{AP`} `․` LEFT ( bar{AP} + bar{PQ} RIGHT ) ```= bar{AO} ^{2} `]이므로 [eqn: rm bar{PQ`} =2`]이고

[eqn: rm bar{HQ`} = {1} over {2} bar{PQ`} `= {1} over {2} TIMES 2=1``]이다.

그러므로 점 [eqn: rm B(0,~3)``]에서 직선 [eqn: rm {AQ`} ``]까지 거리 [eqn: RMbar{BH`} = sqrt {8} `]이다.

한편, 원의 중심 [eqn: rm B`(0,~3)``]에서 직선 [eqn: RM {AQ`} ``]에 내린 수선의 발을 [eqn: RMH``]라 하고, [eqn: rm {AQ`} ``]의 기울기를 [eqn: a``]라 하면 직선 [eqn: rm {AQ`} ``]의 직선의 방정식은

[eqn: y=a(x+ sqrt {15} `)``]이다.

따라서 [eqn: sqrt {8} = {□-3+ sqrt {15} a□} over {sqrt {a ^{2} +1`}} ``]이고

[eqn: 7a ^{2} -6 sqrt {15} a+1=0``]

∴ 기울기의 곱은 [eqn: {1} over {7} `]

22. [출제의도] 집합의 원소의 개수 구하기

[eqn: n(A ^{C} SMALLINTER B ^{C} ` it )=6 `]이므로 [eqn: n(A CUP B` it )=44`]이다.

[eqn: n(A` it )=26`,~n(B)=33`]이고

[eqn: n(A CUP B` it )=n(A` it )+n(B` it )-n(A SMALLINTER B` it )`]이므로

[eqn: n(A SMALLINTER B)=26+33-44`]이다.

따라서 [eqn: n(A SMALLINTER B)=15`]

∴[eqn: n(B-A it )`=n(B it )`-n(A SMALLINTER B it )=18`]

23. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계 이해하기

이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b=0`]의 계수가 유리수이므로, 한 근이 [eqn: -4+ sqrt {3} `]이면 다른 한 근은 [eqn: -4- sqrt {3} `]이다.

두 근의 합이 [eqn: -8`]이므로 [eqn: a=8`]이고,

두 근의 곱이 [eqn: 13`]이므로 [eqn: b=13`]이다.

∴[eqn: a+b=21`]

24. [출제의도] 이중근호를 이용한 연산 법칙 이해하기

[eqn: 14`▣24`=`(a`▣`1)+ sqrt {2} ``]

[eqn: `` sqrt {14+2 sqrt {24}} = sqrt {a+2 sqrt {1}} + sqrt {2} ``]

[eqn: ` sqrt {12} + sqrt {2} = sqrt {a+2} + sqrt {2} ``]

[eqn: THEREFORE `a=10``]

25. [출제의도] 이차부등식 이해하기

[eqn: x]

[eqn: x+1]

[eqn: x+2]

세변의 길이가 삼각형이 되려면

[eqn: x+(x+1)>x+2`]이므로 [eqn: x>1``]  …㉠

주어진 삼각형이 둔각삼각형이 되려면

[eqn: (x+2) ^{2} >x ^{2} +(x+1) ^{2}]이므로 [eqn: -1<x<3``] …㉡

㉠, ㉡에 의해 [eqn: 1<x<3`]

그러므로 [eqn: x ^{2} +ax+b<0`]의 해가 [eqn: 1<x<3`]이다. [eqn: a=`-4,~b=`3`] [eqn: THEREFORE `a ^{2} +b ^{2} =25```]

26. [출제의도]  연립방정식 계산하기

두 정사각형의 한 변의 길이를 각각 [eqn: x,~y``(x>y)`]라 하면,

[eqn: cases{4x+4y=60#x ^{2} -y ^{2} =75}]

연립방정식을 풀이하면 [eqn: x=10,~y=5]

∴ [eqn: x ^{2} +y ^{2} =125]

27. [출제의도] 원과 직선의 위치 관계 이해하기

[eqn: rm O]

두 원의 공통내접선과 [eqn: x`]축의 교점을 [eqn: rmC`],

원[eqn: (x-10) ^{2} +(y+3) ^{2} =9`]의 중심에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm{P}`]라 하자.

[eqn: TRIANGLE rmAOC`]와 [eqn: TRIANGLE rmBPC`]는 닯음이고 닯음비는

[eqn: rmbar{AO`} `: bar{BP`} =2:3`]이므로  [eqn: rmbar{OC`} ``= bar{OP`} `` TIMES {2} over {5} `=4`]이고 [eqn: rmC``(4,~0)`]이다.

공통내접선의 방정식의 기울기를 [eqn: m`]이라 하면 직선의 방정식은 [eqn: y=m LEFT ( x-4 RIGHT ) `]이다.

점 [eqn: rmA(0,~2)`]에서 직선까지 거리는 [eqn: 2`]이므로

[eqn: 2=` {□`-2-4m`□} over {sqrt {m ^{2} +1`}} `], [eqn: m=`- {4} over {3} `]

∴ [eqn: p ^{2} +q ^{2} =25`]

28. [출제의도] 이차함수를 이용한 실생활 문제 해결하기

[eqn: rm O]

물줄기에 대한 이차함수를 [eqn: y=ax ^{2} +bx+c``]라 하면 이 함수는 세 점[eqn: LEFT ( 0,````0 RIGHT ) ,``` LEFT ( 6,````12 RIGHT ) ,``` LEFT ( 5,````15 RIGHT ) ``]를 지나므로 [eqn: a=`-1,```b=8,```c=0``]이다.

따라서 [eqn: y=`-x ^{2} +8x]

[eqn: =`- LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2} +16``]

∴ 최대 높이는 [eqn: 16``]

29. [출제의도] 점과 직선 사이의 거리 구하기

[eqn: S _{1} =S _{2} `]이면, 중심[eqn: LEFT ( 3,````1 RIGHT ) `]에서 직선 [eqn: y=ax`]까지 거리는 [eqn: 1`]이다.

따라서 [eqn: 1= {LEFT | 3a-1 RIGHT |} over {sqrt {a ^{2} +1}} ``]이고 [eqn: `a= {3} over {4} `]이다.

∴[eqn: 100a=75]

30. [출제의도] 산술․기하평균 이해하기

[eqn: {rmbar{AB``} : bar{BC``}} =1:a`]이므로

[eqn: rm TRIANGLE PAB`: TRIANGLE PBC it ``=1:a`=8:S _{1}]이다.

[eqn: {rmbar{BC``} : bar{CD``}} =1:a`]이므로

[eqn: rm TRIANGLE QBC`: TRIANGLE QCD it ``=1:a`=S _{2} `:32`]이다.

따라서 [eqn: S _{1} +S _{2} it ```=8a+ {32} over {a}]이고 산술․기하평균을 이용하면 [eqn: 8a+ {32} over {a} >= 2 sqrt {8a TIMES {32} over {a}} =32`]

∴ 최소값은 [eqn: 32`]