∙답안지에 성명과 수험번호를 써 넣고, 또 수험번호와 답을 정확히 표시하시오.

∙단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표시하시오.

∙문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

∙계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

고 1	수리 영역

	수리 영역	고 1

8

2006학년도 10월 고1 학업성취도평가 문제지

수리 영역

성명			수험번호						1

제 2 교시

1. 전체집합 [eqn: U``]의 두 부분집합 [eqn: A,~B``]에 대하여 [eqn: A SMALLINTER (A CUP B) ^{c} ``]을 간단히 하면? (단, [eqn: phi ``]은 공집합, [eqn: X ^{c} ``]은 [eqn: X``]의 여집합) [2점]

① [eqn: phi ``]     ② [eqn: A``]     ③ [eqn: B``]     ④ [eqn: A CUP B``]     ⑤ [eqn: A SMALLINTER B``]

2. 실수 전체의 집합에서 두 조건 [eqn: p,~q``]에 대하여 [eqn: p``]는 [eqn: q``]이기 위한 필요조건이지만 충분조건이 아닌 것을 <보기> 에서 모두 고른 것은? [2점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: p``:`x>0,~y>0``] [eqn: q``:`xy>0``] ㄴ. [eqn: p``:`x`<1``] [eqn: q``:`-2 <= x<0``] ㄷ. [eqn: p``:`x+y``]가 유리수 [eqn: q``:`x,~y``]는 모두 유리수

① ㄴ	② ㄱ, ㄴ

③ ㄱ, ㄷ	④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

3. 다음 중 옳지 않은 것은? (단, [eqn: a,~b,~c``]는 실수) [3점]

① [eqn: a<0,~b>0``]일 때, [eqn: sqrt {a ^{2} `b} =`-a sqrt {b}]

② [eqn: a<3``]일 때, [eqn: sqrt {(a-3) ^{2} } +a`=`3``]

③ [eqn: a<0,~b<0``]일 때, [eqn: sqrt {a} sqrt {b} = sqrt {a`b}]

④ [eqn: a<b,~c>0``]이면 [eqn: {a} over {c} < {b} over {c} `]

⑤ [eqn: LEFT | ```a+b``` RIGHT | ` <= LEFT | `a`` RIGHT | `+` LEFT | `b` RIGHT | ``]

4. 다항식 [eqn: 3x ^{3} +ax+b``]를 다항식 [eqn: x ^{2} +x-1``]로 나누었을 때, 나머지가 [eqn: 2x+3``]이면 [eqn: a+b``]의 값은? [3점]

① [eqn: -4]      ② [eqn: -2]      ③ [eqn: 2]      ④ [eqn: 4]      ⑤ [eqn: 6]

5. 복소수 [eqn: z`]에 대하여 [eqn: z= sqrt {-1} sqrt {-4} + {sqrt {18}} over {sqrt {-2}} ``]일 때, [eqn: z` bar{z} ``]의 값은? (단, [eqn: bar{z} ``]는 [eqn: z``]의 켤레복소수) [3점]

① [eqn: 4]      ② [eqn: 7]      ③ [eqn: 1`1]      ④ [eqn: 13]      ⑤ [eqn: 17]

6. 다음은 실수 [eqn: a,~b,~c``]에 대하여 [eqn: a+c=b+c``]이면 [eqn: a=b``]임을 증명하는 과정이다.

		<증 명>
	[eqn: a+c=b+c] [eqn: RARROW] [eqn: (a+c)+(-c)=(b+c)+(-c)] [eqn: RARROW] [eqn: a+ LEFT { c+(-c)RIGHT }=b+ LEFT { c+(-c) RIGHT }``] [eqn: RARROW] [eqn: a+0=b+0] [eqn: RARROW] [eqn: a=b]

위의 증명 과정에서 사용된 실수의 연산에 대한 성질을 <보기>에서 모두 고른 것은? [3점]

		<보 기>
	ㄱ. 덧셈에 대한 결합법칙 ㄴ. 덧셈에 대한 항등원 ㄷ. 덧셈에 대한 역원 ㄹ. 분배법칙

① ㄱ, ㄴ, ㄷ	② ㄴ, ㄷ, ㄹ

③ ㄱ, ㄴ, ㄹ	④ ㄱ, ㄷ, ㄹ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ

7. 전체집합 [eqn: U``]에서 세 조건 [eqn: p,~q,~r``]을 만족하는 집합을 각각 [eqn: P,~Q,~R``]이라 하면 세 집합 [eqn: P,~Q,~R``]사이의 포함관계는 그림과 같다. 다음 명제 중 참인 것은? [3점]

① [eqn: q`` -> `r]	② [eqn: SIM q`` -> `p]

③ [eqn: (`p`이고`q`)` -> `r]	④ [eqn: (`p`또는`r`)` -> `q]

⑤ [eqn: p`` -> ` SIM r]

8. 최고차항의 계수가 [eqn: 1``]인 세 이차다항식 [eqn: f(x)`], [eqn: g(x)`], [eqn: h(x)``]가 다음 세 조건을 모두 만족할 때, [eqn: h(5)``]의 값은? [3점]

	(가) [eqn: f(1)=g(1)=0``] (나) [eqn: f(x)`g(x)=(x-1) ^{2} (x-3)(x+4)``] (다) [eqn: f(x)`h(x)=(x-1)(x+2)(x-3) ^{2} ``]

① [eqn: 13``]      ② [eqn: 14``]      ③ [eqn: 15``]      ④ [eqn: 16``]      ⑤ [eqn: 17``]

9. [eqn: 0``]이 아닌 실수 [eqn: x,~y,~z``]에 대하여

[eqn: {x+y} over {a} = {2y+z} over {4} = {z} over {3} = {2x+8y-z} over {10} ``]를 만족하는 실수 [eqn: a``]의 값은? [eqn: (]단, [eqn: a != 0)] [4점]

① [eqn: -5`]      ② [eqn: 2]      ③ [eqn: 5]      ④ [eqn: 10]      ⑤ [eqn: 12]

10. [eqn: x``]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} +(a ^{2} -2a-3)x-a+1=0``]의 두 실근을 [eqn: alpha ,~ beta ``]라 할 때, 조건 [eqn: □` alpha `□=□ beta `□] , [eqn: alpha ` beta `<`0``]을 만족하는 실수 [eqn: a``]의 값은? [4점]

① [eqn: 5`]      ② [eqn: 3``]      ③ [eqn: 1`]      ④ [eqn: -1`]      ⑤ [eqn: -3]

11. 복소수 [eqn: z= {1- sqrt {-3}} over {1+ sqrt {-3}} ``]에 대하여 [eqn: (1+z)(1+z ^{2} )(1+z ^{3} )``]의 값은? [3점]

① [eqn: -2``]      ② [eqn: -1``]      ③ [eqn: 0]      ④ [eqn: 1``]      ⑤ [eqn: 2``]

12. 양수 [eqn: a,~b``]에 대하여 그림과 같이 원 [eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-2 RIGHT ) ^{2} =1``]을 [eqn: x``]축의 양의 방향으로 [eqn: a``]만큼 평행이동한 후, [eqn: y``]축의 양의 방향으로 [eqn: b``]만큼 평행이동하였다. 원이 지나간 어두운 부분의 넓이가 [eqn: 9+ {5} over {4} pi ``]일 때, [eqn: a+b``]의 값은? [3점]

① [eqn: 4``]      ② [eqn: 5``]      ③ [eqn: 6``]      ④ [eqn: 7``]      ⑤ [eqn: 8``]

13. 표와 같이 정사각형을 [eqn: 16``]개의 칸으로 나눈 다음 굵은 선으로 [eqn: 4``]개의 영역으로 구분하였다. [eqn: 16``]개의 칸에 다음 규칙에 따라 수를 넣으려고 한다.

	(가) 각 영역마다 각각의 칸에 [eqn: 1,````2,``][eqn: 3,````4``]를 한 번씩 넣는다. (나) 어떤 가로줄에도, 어떤 세로줄에도 동일한 숫자를 두 번 이상 사용하지 않는다.

표는 위의 규칙에 따라 만든 결과의 일부를 나타낸 것이다.

[eqn: a+b+c+d``]의 값은? [4점]

[eqn: 4]	[eqn: 1]	[eqn: a]
[eqn: b]			[eqn: 4]
[eqn: 3]	[eqn: c]
		[eqn: 4]	[eqn: d]

① [eqn: 9]      ② [eqn: 10]      ③ [eqn: 11]      ④ [eqn: 12]      ⑤ [eqn: 13]

14. 그림과 같은 삼각형 [eqn: 5``]개의 넓이의 평균이 [eqn: 10``]일 때, <보기> 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

		<보 기>
	ㄱ. 모든 삼각형의 넓이를 각각 [eqn: 5``]씩 증가시키면 넓이의 평균은 [eqn: 15``]가 된다. ㄴ. 모든 삼각형의 높이를 각각 [eqn: 2``]배하면 넓이의 평균은 [eqn: 20``]이 된다. ㄷ. 모든 삼각형의 모든 변을 각각 [eqn: 3``]배하면 넓이의 평균은 [eqn: 30``]이 된다.

① ㄴ	② ㄷ

③ ㄱ, ㄴ	④ ㄱ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

15. [eqn: 100``]원짜리, [eqn: 500``]원짜리 두 종류의 동전이 있다. 철수는 매일  돼지저금통에 동전 [eqn: 2``]개를 저금한다. [eqn: 100``]원짜리 동전의 무게는 [eqn: 5.4`][eqn: g``]이고 [eqn: 500``]원짜리 동전의 무게는 [eqn: 7.7`][eqn: g``]이다. 저금을 시작한 지 [eqn: 30``]일 후 저금한 금액이 궁금하여 돼지저금통의 무게를 측정하였더니 [eqn: 416`][eqn: g``]이었다. 철수가 저금한 금액은? (단, 돼지저금통 자체의 무게는 무시한다.) [3점]

① [eqn: 22,000``]원	② [eqn: 22,400``]원

③ [eqn: 22,800``]원	④ [eqn: 23,600``]원

⑤ [eqn: 24,000``]원

16. 독도 순시선은 그림과 같이 독도를 중심으로 [eqn: rm A``]지점에서 [eqn: rm B``]지점까지는 반원모양으로 이동하고, [eqn: rm B``]지점에서 [eqn: rm C``]지점까지는 직선으로 이동하며 순시한다. 독도의 한 지점 [eqn: rm X``]에서 순시선까지 시간에 대한 거리의 변화를 그래프로 나타낼 때, 그래프의 개형으로 옳은 것은? (단, 배는 등속도로 이동한다.) [4점]

➡

①	②

③	④

⑤

17. 다음은 지름의 양 끝점의 좌표가 [eqn: (`][eqn: 0`], [eqn: 1`][eqn: )``], [eqn: (`][eqn: p`,~q`][eqn: )`]인 원이 [eqn: x``]축과 두 점에서 만날 때, 두 점의 [eqn: x``]좌표가 이차방정식 [eqn: x ^{2} `-p`x`+q`=0``]의  근임을 증명한 것이다.

<증명> 좌표평면에서 점 [eqn: rm N`(`0`,~1`)``], [eqn: {rm M}`(`p`,~q`)``]라 하고, 점 [eqn: rm T``]는 선분 [eqn: rm M`N ``]의 중점이라 하자. 점 [eqn: rm T``]는 직각삼각형 [eqn: rm N`M`Q``]의 외심이므로 점 [eqn: rm T``]에서 점 [eqn: rm Q,~M,~N``]에 이르는 거리가 같다. 따라서 중심은 [eqn: rm T``]이고 세 점 [eqn: rm Q,~M,~N``]을 지나는 원이 존재한다.
점 [eqn: rm T``]의 [eqn: x``]좌표는 [eqn: {p} over {2}``]이고, 점 [eqn: rm N``]과 점 [eqn: rm M``]을 지나는 직선의 방정식은 이다. 따라서 [eqn: x= {p} over {2} ``]일 때, [eqn: y=``] 이다. (가) (나) 반지름의 길이를 구하면 이므로 원의 방정식은 (다) [eqn: (x- {p} over {2} ) ^{2} `+(`y-`] [eqn: ) ^{2}`][eqn: =`][eqn: (] [eqn: ) ^{2}] 이다. (나) (다) 여기에 [eqn: y=0``]을 대입하면 [eqn: x ^{2} `-p`x`+q`=0``]이므로 이 원이 [eqn: x``]축과 만나는 점 [eqn: rm R``]과 [eqn: rm S``]의 [eqn: x``]좌표가 근이다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

(가)            (나)              (다)

①  [eqn: y= {q+1} over {p} x+1]      [eqn: {q+1} over {2}]        [eqn: {p ^{2} `+(q-1) ^{2}} over {4}]

②  [eqn: y= {q+1} over {p} x+1]      [eqn: {q+3} over {2}]        [eqn: {p ^{2} `+(q+1) ^{2}} over {4}]

③  [eqn: y= {q-1} over {p} x+1]      [eqn: {q+1} over {2}]       [eqn: {sqrt {p ^{2} `+(q+1) ^{2}}} over {2}]

④  [eqn: y= {q-1} over {p} x+1]      [eqn: {q+3} over {2}]       [eqn: {sqrt {p ^{2} `+(q-1) ^{2}}} over {2}]

⑤  [eqn: y= {q-1} over {p} x+1]      [eqn: {q+1} over {2}]       [eqn: {sqrt {p ^{2} `+(q-1) ^{2}}} over {2}]

18. 다음은 [eqn: a+b+c=d``], [eqn: ab+bc+ca=d ^{``2} ``]일 때,

등식 [eqn: a ^{`4} +b ^{`4} +c ^{`4} +d ^{``4} =``] 가 성립함을 증명한 것이다.

(가)

	<증명> 곱셈공식에 의해 [eqn: a ^{2} `+b ^{2} +c ^{2} ``] [eqn: =(a+b+c) ^{2} -2(ab+bc+ca)``] [eqn: =``] (나) 또한, [eqn: a ^{2} b ^{2} +b ^{2} c ^{2} +c ^{2} a ^{2} ``] [eqn: =(ab+bc+ca) ^{2} -2abc(a+b+c)``] [eqn: =d ^{``4} -2abcd``] 따라서, (다) [eqn: =(a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} )^2`-2(a ^{2} b ^{2} +b ^{2} c ^{2} +c ^{2} a ^{2} )``] [eqn: =d ^{``4} -2(d ^{``4} -2abcd)``] [eqn: =`-d ^{``4} +4abcd``] ∴[eqn: a ^{`4} +b ^{`4} +c ^{`4} +d ^{``4} =``] (가)

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

(가)              (나)             (다)

①  [eqn: 4abcd``]          [eqn: -d ^{``2} ``]          [eqn: a ^{4} `+b ^{4} `+c ^{4}]

②  [eqn: 4abcd``]            [eqn: d ^{``2} ``]          [eqn: a ^{4} `+b ^{4} `+c ^{4}]

③  [eqn: 4abcd``]          [eqn: -d ^{``2} ``]          [eqn: a ^{4} `-b ^{4} `-c ^{4}]

④  [eqn: 2abcd``]            [eqn: d ^{``2} ``]          [eqn: a ^{4} `-b ^{4} `-c ^{4}]

⑤  [eqn: 2abcd``]          [eqn: -d ^{``2} ``]          [eqn: a ^{4} `-b ^{4} `+c ^{4}]

19. 연도를 나타낼 때, “십간십이지(十干十二支)”를 사용할 수 있다. 십간은 [eqn: 10``]년에 한 번씩, 십이지는 [eqn: 12``]년에 한 번씩 되돌아온다.

[eqn: 2006``]년은 병술년이고 [eqn: 2007``]년은 정해년일 때, <보기> 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

		<보 기>
	ㄱ. 인천에서 유치하려는 아시안 게임의 개최 연도 [eqn: 2014``]년은 갑오년이다. ㄴ. 서울 올림픽이 개최되었던 [eqn: 1988``]년은 무진년이다. ㄷ. 대한민국이 광복한 [eqn: 1945``]년은 을유년이다.

① ㄱ	② ㄷ

③ ㄱ, ㄴ	④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

20. [eqn: y=x ^{2} ``]과 [eqn: y=x+2``]가 만나는 두 점을 [eqn: rm A,`````B``]라 하고 직선 [eqn: rm AB ``]와 평행인 직선이 [eqn: rm TRIANGLE OAB``]와 만나는 두 점을 [eqn: rm P,`````Q``]라 하자. [eqn: rm TRIANGLE OPQ``]의 넓이가 [eqn: rm TRIANGLE OAB``]의 넓이의 [eqn: {4} over {9} ``]일 때, 직선 [eqn: rm PQ ``]의 방정식은 [eqn: y=ax+b``]이다. [eqn: a+b``]의 값은? [4점]

① [eqn: {4} over {3} ``]      ② [eqn: {5} over {3} ``]     ③ [eqn: 2``]      ④ [eqn: {7} over {3}]     ⑤ [eqn: {8} over {3}]

21. 한 점 [eqn: rm A(- sqrt {15} `,~0)``]에서 원 [eqn: x ^{2} +(y-3) ^{2} =9``]에 이르는 거리가 [eqn: 3``]인 직선을 [eqn: l`,~m``]이라 할 때, 두 직선 [eqn: l`,~m``]의 기울기의 곱은? [4점]

① [eqn: {1} over {4} ``]	② [eqn: {1} over {5} ``]

③ [eqn: {1} over {6} ``]	④ [eqn: {1} over {7} ``]

⑤ [eqn: {1} over {8} ``]

단답형(22～30)

22. 전체집합 [eqn: U``]의 두 부분집합 [eqn: A,~B``]에 대하여

[eqn: n(U)=50,~`n(A)=26,~n(B)=33``], [eqn: n(A ^{c} SMALLINTER B ^{c} )=6``]일 때,

[eqn: n(B-A)``]의 값을 구하시오. [2점]

23. 유리수 [eqn: a,~b``]에 대하여 이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b=0``]의 한 근이 [eqn: -4+ sqrt {3} ``]일 때, [eqn: a+b``]의 값을 구하시오. [3점]

24. 양수 [eqn: x,~y``]에 대하여 연산 [eqn: ▣``]를 [eqn: x`▣`y``=`` sqrt {x+2 sqrt {y}} ``]라고 정의 할 때, [eqn: 14`▣`24`=` LEFT ( a`▣`1 RIGHT ) + sqrt {2} ``]를 만족하는 [eqn: a``]의 값을 구하시오. [3점]

25. 세 수 [eqn: x,~x+1,~x+2``]가 둔각삼각형의 세 변의 길이가 될 [eqn: x``]값의 범위와 이차부등식 [eqn: x ^{2} +ax+b<0``]의 해가 같을 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2} ``]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: x]

[eqn: x+1]

[eqn: x+2]

26. 길이가 [eqn: 60``]인 선분을 두 부분으로 나누어 두 개의 정사각형을 만들었다. 두 정사각형의 넓이의 차가 [eqn: 75``]일 때, 두 정사각형의 넓이의 합을 구하시오. [4점]

27. 그림과 같이 두 원 [eqn: x ^{2} +(y-2) ^{2} =4,``][eqn: `(x-10) ^{2} +(y+3) ^{2} =9``]에 공통내접선을 그을 때, 공통내접선의 기울기는 [eqn: {q} over {p} ``]이다. 이 때, [eqn: p^2`+q^2``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: {q} over {p} ``]는 [eqn: 0``]이 아닌 기약분수이다.) [3점]

28. 화재 재난을 대비해 소방호스로 소방훈련을 하려고 한다. 똑같은 각도와 물의 세기로 물을 뿌리면 물줄기가 이차함수의 곡선을 그리며 뿌려진다고 할 때, 그림과 같이 목표 건물의 [eqn: 6`m``] 앞에서 뿌리면 건물의 [eqn: 12`m``] 지점에 뿌려지고, 건물의 좀 더 높은 곳을 뿌리기 위해 [eqn: 5`m``] 앞에서 뿌리면 건물의 [eqn: 15`m``] 지점에 뿌려진다. 같은 각도와 물의 세기로 물을 뿌릴 때, 이 소방호스로 뿌릴 수 있는 최고의 높이는 몇 [eqn: m``]인지 구하시오.

[3점]

29. 그림에서 원 [eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-1 RIGHT ) ^{2} =4``]와 [eqn: x``]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S _{`1}``], 직선 [eqn: y=ax``]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S _{`2} ``]라 하자. [eqn: S _{`1}= S_{`2}``]일 때, [eqn: 100a``]의 값을 구하시오. [4점]

30. 일직선 위에 있는 점 [eqn: rm A,~B,~C,~D``]에 대하여

[eqn: rm bar{AB``} : bar{BC``} = bar{BC``} : bar{CD``}][eqn: =1:a``]이고, [eqn: rm TRIANGLE PAB``]의 넓이와 [eqn: rm TRIANGLE QCD``]의 넓이가 각각 [eqn: 8,~32``]이다. [eqn: rm TRIANGLE PBC``]의 넓이를 [eqn: S _{1} ``], [eqn: rmTRIANGLE QBC``]의 넓이를 [eqn: S _{2} ``]라 할 때, [eqn: S _{1} +S _{2} ``]의 최소값을 구하시오. [4점]

● 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.