8

[eqn: 5^{ 2 over 3} times` 25^{- 5 over 6} `]의 값은? [2점]

① [eqn: 1_` over 25]	② [eqn: {1_`} over {5``}]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 25]

두 행렬 [eqn: A= pmatrix{`1 &```` 1 ``# `1 & ````0``},~ B= pmatrix{`1 & ````2 ``# `3 &```` 4``} `]에 대하여

[eqn: 2A+X = AB``]를 만족시키는 행렬 [eqn: X``]는? [2점]

① [eqn: pmatrix{`1 &~````5 ``# `3& -1``}]	② [eqn: pmatrix{```~`2 &``````4 ``# -1 & ``````2``}]	③ [eqn: pmatrix{`2 &`````` 5 ``# `7&``````0``}]

④ [eqn: pmatrix{`2 &`````` 7 ``# `4 & ``````5``}]	⑤ [eqn: pmatrix{`4 &``````6 ``# `1 &``````2``}]

등차수열 [eqn: \{`a_n ` \}`]에 대하여

[eqn: a_5 =4 a_ 3 `], [eqn: a_2 + a_4`` = 4]

가 성립할 때, [eqn: a_6 `]의	값은? [2점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 11]	④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 16]

사건 전체의 집합 [eqn: S ``]의 두 사건 [eqn: A`]와 [eqn: B``]는 서로 배반사건이고, [eqn: A CUP B=S`], [eqn: \P(A`)=2 \P(B`)`]일 때, [eqn: \P(A`)`]의 값은? [3점]

① [eqn: {2_`} over {3``}]	② [eqn: {1_`} over {2``}]	③ [eqn: {2_`} over {5``}]	④ [eqn: {1_`} over {3``}]	⑤ [eqn: {1_`} over {4``}]

확률변수[eqn: X``]가 이항분포 [eqn: \B`LEFT( 100,`` {1_`} over {5``}RIGHT) `]을 따를 때, 확률변수[eqn: 3X-4`]의	표준편차는? [3점]

① [eqn: 12]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 18]	④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 24]

다음 세 조건을 만족시키는 영행렬이 아닌 모든 이차정사각행렬 [eqn: A`], [eqn: B``]에 대하여 [eqn: B^{3} +2BA^3 `]과 항상 같은 행렬은?	(단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [3점]

(가) [eqn: AB`=BA`]

(나) [eqn: (E - B`)^2 = E - B]

(다) [eqn: AB = - B]

① [eqn: 2A]	② [eqn: -A``]	③ [eqn: E]

④ [eqn: 2B``]	⑤ [eqn: -B``]

수열 [eqn: left{a _n `right}`]이 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: n`＠`a _n `＠`n+1`]을	만족시킬 때, [eqn: lim _{n `->` INF } {n ^2}_` over {a _1 +a _2 +` CDOTS `+a _n} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

연속확률변수 [eqn: X``]가 갖는 값의 범위가 [eqn: 0`□`X``□`3`]이고, 확률밀도함수의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: \P(m`□`X`□`2)= \P(2`□`X`□`3)`]일 때, [eqn: m``]의 값은?

(단, [eqn: 0`＠`m`＠`2`]이다.) [3점]

① [eqn: { SQRT { 2_`} }over {2``}]	② [eqn: { SQRT { 3_`} }over {2``}]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: SQRT { 2_`}]	⑤ [eqn: SQRT { 3_`}]

부등식 [eqn: a^m `＠` a^n` ＠` b^n `＠` b^m``]을 만족시키는 양수 [eqn: a,``b``]와 자연수 [eqn: m,``n``]에 대하여 옳은 것은? [3점]

① [eqn: a`＠`1`＠`b`],[eqn: ``m`Ｂ`n]	② [eqn: a`＠`1`＠`b`],[eqn: ``m`＠`n]

③ [eqn: a`＠`b`＠`1],[eqn: ``m`＠`n]	④ [eqn: 1`＠`a`＠`b`],[eqn: ``m`Ｂ`n]

⑤ [eqn: 1`＠`a `＠`b`],[eqn: ``m`＠`n]

오른쪽 그림은 중심이 [eqn: (1,`` 1)]	이고 반지름의 길이가 각각	[eqn: {1_`} over {3``}], [eqn: {2_`} over {3``}], [eqn: 1], [eqn: {4_`} over {3``}], [eqn: {5_`} over {3``}], [eqn: 2`]	인 [eqn: 6`]개의 반원을 그린 것이다.

세 함수

[eqn: y` = log_{1 over 4}` x`]

[eqn: y`= left({2_`} over {3``} right)^x`]

[eqn: y`=3^x``]

의 그래프가 반원과 만나는 교점의 개수를 각각 [eqn: a,``b,``c``]라 하자. [eqn: a,``b,``c``]의 대소 관계를 옳게 나타낸 것은?	(단, [eqn: x`□`1`]이고 반원은 지름의 양 끝점을 포함한다.) [4점]

① [eqn: a`＠`b`＠`c``]	② [eqn: a`＠`c`＠`b``]	③ [eqn: b`＠`c`＠`a``]

④ [eqn: c`＠`a`＠`b``]	⑤ [eqn: c`＠`b`＠`a``]

양수[eqn: a` `]에 대하여 [eqn: loga``]의 지표와 가수를 각각[eqn: f``(a)], [eqn: g`(a)]라 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

[3점]

	<보 기>
□. [eqn: f`(2006 )=3`] □. [eqn: g`(2 )+ g`(6) = g`(12)+1] □. [eqn: f`(ab)=f`(a)+ f`(b)`]이면 [eqn: g`(ab)=g`(a)+ g`(b)`]이다.

① □	② □, □	③ □, □

④ □, □	⑤ □, □, □

좌표평면에서 두 점 [eqn: \A(1, ``sqrt{3_`} )`], [eqn: \B(1, ``-sqrt{3_`})`]에 대하여	다음 두 조건을 만족시키는 점 [eqn: \P(x, ``y`)`]가 나타내는 도형 전체의 길이는? [4점]

(가) [eqn: x^2 + y^2 = 4`]

(나) 선분 [eqn: \AB`] 위의 임의의 점 [eqn: (1,`` a`)`]에 대하여

행렬 [eqn: pmatrix{`x&```y`` # `1&```a``}`]는 역행렬을 갖는다.

① [eqn: {1_`}over {3``}pi`]	② [eqn: {1_`}over {2``}pi]	③ [eqn: pi]

④ [eqn: {4_`}over {3``}pi]	⑤ [eqn: {3_`}over {2``}pi]

두 수열 [eqn: \{a_n `\}], [eqn: \{b_n ` \}`]이 각각

[eqn: a_n `= {1_`}over {2^n-1}^` cos` (n-1)pi_` over 2]

[eqn: b_n `= {1+(-1)^n-1}_` over 2^n]

일 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

	<보 기>
□. 모든 자연수 [eqn: k``]에 대하여 [eqn: a _3k ``＠`0`]이다. □. 모든 자연수 [eqn: k``]에 대하여 [eqn: a_4k-1 +b_4k-1 =0`]이다. □. [eqn: sum _{n=1} ^{INF _` } `` a_n = {3_`}over {5``} sum _{n=1} ^{INF _` } ``b_n]

① □	② □	③ □

④ □, □	⑤ □, □

어느 공장에서 생산되는 제품의 무게가 정규분포

[eqn: z]	[eqn: \P(0 `□ `Z ``□` z`)]
[eqn: 1] [eqn: 2] [eqn: 3]	[eqn: 0.3413] [eqn: 0.4772] [eqn: 0.4987]

[eqn: \N(11,``2^2 `)`]을 따른다고 하자. [eqn: \A]와[eqn: \B] 두 사람이 크기가[eqn: 4`]인 표본을 각각 독립적으로 임의추출하였다.[eqn: \A]와[eqn: \B]가 추출한 표본의 평균이 모두	[eqn: 10] 이상 [eqn: 14] 이하가 될 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점]

① [eqn: 0.8123]	② [eqn: 0.7056]	③	[eqn: 0.6587]

④ [eqn: 0.5228]	⑤ [eqn: 0.2944]

그림과 같이 원점[eqn: \O`]와 점[eqn: \A_1 (0,```8)`]을 이은 선분[eqn: \OA_1 `]을 반지름으로 하고, 중심각의 크기가 [eqn: theta ``]인 부채꼴[eqn: rm OA_1 B_1`]을 그린다.

점[eqn: \B_1`]에서 [eqn: x``]축에 내린 수선의 발을[eqn: \A_2 `]라 하고, 반지름이 선분[eqn: \OA_2 `]이고 중심각의 크기가[eqn: theta ``]인 부채꼴[eqn: \OA_2 \B_2 `]를 그린다.

점[eqn: \B_2 `]에서 [eqn: y``]축에 내린 수선의 발을[eqn: \A_3 `]이라 하고, 반지름이 선분[eqn: \OA_3 `]이고 중심각의 크기가[eqn: theta ``]인 부채꼴 [eqn: \OA_3 \B_3 `]을 그린다.

이와 같이 시계 방향으로 [eqn: x``]축과 [eqn: y``]축에 번갈아 수선의	발을	내리는 과정을 계속하여 얻은 부채꼴[eqn: \OA_n ` \B_n ``]의 호[eqn: \A_n ` \B_n ``]의 길이를 [eqn: l_n ``]이라 하자. [eqn: sum from { n=1 } to { INF _`} l_n `=12 theta ``]일 때, [eqn: sin theta ``]의 값은?	[eqn: left( 단,`` 0`＠` theta` `＠ {pi_`} over {2``} right)] [4점]

① [eqn: {1_`} over {7``}]	② [eqn: {1_`} over {6``}]	③ [eqn: {1_`} over {5``}]	④ [eqn: {1_`} over {4``}]	⑤ [eqn: {1_`} over {3``}]

다음은 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여

[eqn: SUM from { { k}=1^`} to n_` (5k-3)LEFT( {1_`}over {k``} +{1_`}over k+1 + 1_` over k+2 +…+ {1_`}over {n``}RIGHT)]

[eqn: = {n`(5n+3)_`} over 4]

이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

<증명>

(1) [eqn: n=1`]일 때, (좌변)[eqn: =2], (우변)[eqn: =2`]이므로

주어진 등식은 성립한다.

(2) [eqn: n=m``]일 때 성립한다고 가정하면

[eqn: SUM from { { k}=1^`} to m_` (5k-3)LEFT( {1_`}over {k``} +{1_`}over k+1 + 1_` over k+2 + …+ {1_`}over {m``}RIGHT)]

[eqn: = {m`(5m+3)_`}over 4]

이다. [eqn: n=m+1`]일 때 성립함을 보이자.

[eqn: SUM from { { k}=1^`} to m+1_` (5k-3)LEFT( {1_`}over {k``} +{1_`}over k+1 + …+ {1_`}over {m+1}RIGHT)]

[eqn: = SUM from { { k}=1^`} to m_` (5k-3)LEFT( {1_`}over {k``} +{1_`}over k+1 + …+ {1_`}over {m+1}RIGHT)+ {`} over m+1]

[eqn: =` SUM from { { k}=1^`} to m_` (5k-3)LEFT( {1_`}over {k``} + 1_` over k+1 + …+ {1_`}over {~~~~~``}RIGHT)]

[eqn: +` {1_`} over m+1 SUM from { { k}=1^`} to m_` (5k-3) `+` {`}over {`m+1`}]

[eqn: = {m`(5m+3)_`}over 4 `+` {1_`}over m+1 SUM from { { k}=1^`} to {m+1_`} LEFT(~~``~~ { `} atop {` } RIGHT)]

[eqn: ={(m+1)(5m+8)_`} over 4]

그러므로 [eqn: n=m+1`]일 때도 성립한다.

따라서 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 주어진 등식은 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

(가)           (나)            (다)

① [eqn: 5m-3]	[eqn: m]	[eqn: 5k+2]

② [eqn: 5m-3]	[eqn: m+1]	[eqn: 5k+2]

③ [eqn: 5m+2]	[eqn: m]	[eqn: 5k-3]

④ [eqn: 5m+2]	[eqn: m]	[eqn: 5k+2]

⑤ [eqn: 5m+2]	[eqn: m+1]	[eqn: 5k-3]

다음 그림과 같이 크기가 같은 정육면체 모양의 투명한 유리 상자 [eqn: 12`]개로 직육면체를 만들었다.

이 중에서 [eqn: 4`]개의 유리 상자를 같은 크기의 검은 색 유리 상자로 바꾸어 넣은 직육면체를 위에서 내려다 본 모양이 (가), 옆에서 본 모양이 (나)와 같이 되도록 만들 수 있는 방법의 수는? [4점]

(가)                    (나)

① [eqn: 54]	② [eqn: 48]	③ [eqn: 42]	④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 30]

단 답 형

[eqn: lim _{n `->` INF } {{5 cdot 3 ^n+1 - 2 ^n+1 }_` over { 3 ^n +2 ^n}} `]의 값을 구하시오. [3점]

수열 [eqn: left{ a_n` right}`]에서 [eqn: a_1 =1,`` a_2 =4,`` a_3 =10 `]이고, 수열 [eqn: left{ a_n+1 - a_n``right}`]은 등비수열일 때, [eqn: a_5 `]의 값을 구하시오.

[3점]

두 양수 [eqn: a`], [eqn: b``]에 대하여

[eqn: cases{a` b = 27 # log_3`` b over a = 5}]

가 성립할 때, [eqn: 4log_3 `a`+9log_3`b``]의 값을 구하시오. [3점]

방정식 [eqn: 4^x -7·2^x +12=0`]의 두 근을 [eqn: alpha `], [eqn: beta ``]라 할 때, [eqn: 2^{2 alpha }+2^{2 beta }`]의 값을 구하시오. [3점]

다음은 확률변수 [eqn: X``]의 확률분포표이다.

[eqn: X`]	[eqn: k]	[eqn: 2k]	[eqn: 4k]	계
[eqn: \P(X=x`)]	[eqn: {4_`} over {7``}]	[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: 1]

[eqn: {4_`} over {7``}], [eqn: a`], [eqn: b``]가 이 순서로 등비수열을 이루고[eqn: X``]의 평균이	[eqn: 24`]일 때, [eqn: k``]의 값을 구하시오. [3점]

각 면에 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 2`]의 숫자가 하나씩 적혀 있는 정사면체 모양의 상자가 있다. 이 상자를 던져서 밑면에 적힌 숫자가 [eqn: 1`]이면 오른쪽 그림의 영역[eqn: \A`]에, 숫자가 [eqn: 2`]이면 영역[eqn: \B`]에 색을 칠하기로 하였다.

두 영역에 색이 모두 칠해질 때까지 이 상자를 계속 던질 때, [eqn: 3`]번째에 마칠 확률을[eqn: {q_`}over {p``}`]라 하자. [eqn: p`+q``]의 값을 구하시오.	(단, [eqn: p], [eqn: q``]는 서로소인 자연수이다.)

[4점]

정의역이 [eqn: \{`x```|``1`□`x``□`81 \}`]인 함수

[eqn: y`=(log_3 `x`) (log_{1over3}`x`)+2log_3 `x`+10`]

의 최대값을 [eqn: M`], 최소값을 [eqn: m``]이라 할 때, [eqn: M`+m``]의 값을 구하시오. [4점]

어느 물탱크에 서식하고 있는 박테리아를 제거하기 위하여 약품을 투여하려고 한다. 물탱크에 있는 물 [eqn: 1 \mL`]당 초기 박테리아 수를 [eqn: C_0 `], 약품을 투여한 지 [eqn: t``]시간이 지나는 순간 [eqn: 1 \mL`]당 박테리아 수를 [eqn: C``]라 할 때, 다음 관계식이 성립한다고 하자.

[eqn: log {C_`} over C_0 = -k t`]   ([eqn: k``]는 양의 상수)

물 [eqn: 1 \mL`]당 초기 박테리아 수가 [eqn: 8×10^5 `]이고, 약품을 투여한 지 [eqn: 3`]시간이 지나는 순간 [eqn: 1 \mL`]당 박테리아 수는 [eqn: 2×10^5`]이 된다고 한다. 약품을 투여한 지 [eqn: a``]시간 후에 처음으로 [eqn: 1 \mL`]당 박테리아 수가 [eqn: 8×10^3`] 이하가 되었다.	[eqn: a``]의 값을 구하시오.	(단, [eqn: log``2=0.3`]으로 계산한다.) [4점]

5 지 선 다 형

어느 학급은 남학생[eqn: 18`]명, 여학생[eqn: 16`]명으로 이루어져 있다. 이 학급의 모든 학생은 중국어와 일본어 중 한 과목만 수업을 받는다고 한다. 남학생 중에서 중국어 수업을 받는 학생은[eqn: 12`]명이고, 여학생 중에서 일본어 수업을 받는 학생은[eqn: 7`]명이다. 이 학급에서 선택된 한 학생이 중국어 수업을 받는다고 할 때, 이 학생이 여학생일 확률은? [3점]

① [eqn: {1_`} over {7``}]	② [eqn: {2_`} over {7``}]	③ [eqn: {3_`} over {7``}]	④ [eqn: {4_`} over {7``}]	⑤ [eqn: {5_`} over {7``}]

두 행렬[eqn: A= PMATRIX { 1& 1 ``# 0& 1`` } ,~B= PMATRIX { 1& 0 ``# 1& 1`` }]에 대하여 집합 [eqn: S,`` T``]를

[eqn: S``= LEFT { pmatrix{`x```#`y```} leftvert pmatrix{`x```#`y```} `=`A^n` PMATRIX {`1``# ` 1`` },~n`은 ~자연수` RIGHT }]

[eqn: T`= LEFT { pmatrix{`x```#`y```} leftvert pmatrix{`x```#`y```} `=`B ^n` PMATRIX {`1``# ` 1`` } ,~n`은~ 자연수` RIGHT }]

라 하자. <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

	<보 기>
□. [eqn: pmatrix{`a```#`b```} IN S``]이면 [eqn: pmatrix{`b```#`a```} IN T``]이다. □. [eqn: pmatrix{`a```#`b```} IN S ,~ pmatrix{`c```#`d```} IN S``]이면 [eqn: pmatrix{`a `+`c```#`b `+ d```} IN S``]이다. □. [eqn: pmatrix{`a```#`b```} IN S,~ pmatrix{`p``#`q```} IN T``]이면 행렬 [eqn: pmatrix{`a``&```p```#`b``&```q```}]는 역행렬을 갖는다.

① □	② □, □	③ □, □

④ □, □	⑤ □, □, □

[eqn: 1`]부터 [eqn: 30`]까지의 홀수 중에서 서로 다른 두 수를 선택할 때, 두 수의 합이 [eqn: 3`]의 배수가 되는 경우의 수는? [4점]

① [eqn: 43]	② [eqn: 41]	③ [eqn: 39]	④ [eqn: 37]	⑤ [eqn: 35]

[eqn: p`` □ `2`]인 자연수 [eqn: p``]에 대하여 수열 [eqn: \{ a_n ` \}`]이 다음 세 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: a_1 `=`0]

(나) [eqn: a_k+1 =a_k `+1```]([eqn: 1`□`k``□`p-1`])

(다) [eqn: a_k+p `=`a_k `````]([eqn: k` = 1, ```2, ```3, CDOTS `])

<보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

	<보 기>
□. [eqn: a_2k =2a_k] □. [eqn: a_1 +a_2 + CDOTS +a_p `= { p(p-1) _`} over { 2 ``} `] □. [eqn: a_p +a_2p + CDOTS +a_kp `=`k`(p-1)`]

① □	② □	③ □

④ □, □	⑤ □, □, □

단 답 형

다항식 [eqn: 2(x+a`) ^n``]의 전개식에서 [eqn: x ^n-1`]의 계수와 다항식 [eqn: (x-1)(x+a) ^n``]의 전개식에서 [eqn: x ^n-1`]의 계수가 같게 되는 모든 순서쌍 [eqn: (a,```n`)`]에 대하여 [eqn: an``]의 최대값을 구하시오.	(단, [eqn: a``]는 자연수이고, [eqn: n``]은 [eqn: n`□`2`]인 자연수이다.)

[4점]