□ 2교시 수리 영역 □

- -

□가 형□

1	①	2	②	3	⑤	4	②	5	①
6	③	7	⑤	8	①	9	②	10	④
11	⑤	12	④	13	①	14	③	15	④
16	③	17	②	18	⑤	19	②	20	④
21	③	22	[eqn: 3]	23	[eqn: 60]	24	[eqn: 102]	25	[eqn: 70]
26	[eqn: 300]	27	[eqn: 6]	28	[eqn: 81]	29	[eqn: 4]	30	[eqn: 28]

1.＿출제의도ａ 거듭제곱근의 성질 이해하기

＿해설ａ

[eqn: = -3-2-1=-6]

□ ①

2.＿출제의도ａ 로그의 성질 알기

＿해설ａ

[eqn: (1+log_2``5)(1+log_5``2)-(log_{2^2}``5^2 +log_{5^2}``2^2 )]

[eqn: =1+log_2``5+log_5``2+log_2``5log_5``2-log_2``5-log_5``2]

[eqn: =1+log_2``5 CDOT 1over{log_2``5} =2]

□ ②

3.＿출제의도ａ 미지수가 2개인 연립일차방정식을 행렬로 나타내기

＿해설ａ[eqn: (x-y)+(x+y)i=3-5i`]이므로

[eqn: cases{ x-y=3#x+y=-5}]   ∀   [eqn: pmatrix{1 ```-1`#1 ~~~1`}pmatrix{x``#y``} = pmatrix{````````3``#-5``}]

따라서, [eqn: A]는 [eqn: pmatrix{1 ```-1`#1 ~~~1`}]의 역행렬이다.

∴[eqn: A=pmatrix{~~1over2 ~~ 1over2# - 1over2 ~~1over2 }]

따라서, [eqn: A`]의 모든 성분의 합은 [eqn: 1`]이다.

□ ⑤

4.＿출제의도ａ 행렬의 뜻을 이해하고 3×3행렬 구하기

＿해설ａ[eqn: a_11 =4], [eqn: a_22 =2], [eqn: a_33 =3],

[eqn: a_12 = a_21 = 0], [eqn: a_13 = a_31 = 2], [eqn: a_23 =a_32 = 1] 이므로

[eqn: M=pmatrix{4~0~2``# 0~2~1``#2~1~3``}]이다.

□ ②

5.＿출제의도ａ 지수방정식 풀기

＿해설ａ[eqn: LEFT ( 2over3 RIGHT ) ^{x^3 +6} = LEFT { LEFT ( 2over3 RIGHT )^-1 RIGHT } ^{-2x^2 -5x}]이므로

[eqn: LEFT ( 2over3 RIGHT ) ^{x^3 +6} = LEFT ( 2over3 RIGHT ) ^{2x^2 +5x}]

∴ [eqn: x^3 +6 = 2x^2 +5x]

[eqn: x^3 -2x^2 -5x +6 =0]

[eqn: (x-1)(x+2)(x-3)=0]

∴[eqn: x=-2`], [eqn: 1`], [eqn: 3`]이다.

따라서, 모든 [eqn: x``]의 값들의 곱은 [eqn: -6`]이다

□ ①

6.＿출제의도ａ 지수함수의 성질 이해하기

＿해설ａㄱ. [eqn: f`(0)=a^0 -a^0 =1-1 =0]    ∴ 참

ㄴ. [eqn: f`(-x)=a^-x -a^-(-x) =-(a^x -a^-x )=-f`(x)]

∴ 거짓

ㄷ. [eqn: f`(3x)= a^3x - a^ -3x][eqn: =(a^x -a^-x )^3 + 3 ( a^x - a^-x )]

[eqn: = LEFT { f`(x) RIGHT }^3 + 3f`(x)]                 ∴ 참

따라서, 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

□ ③

7.＿출제의도ａ 역행렬을 이용하여 연립일차방정식 풀기

＿해설ａ[eqn: pmatrix{a~b``#c~d``} pmatrix{x``#y``} = pmatrix{s``#t``}], [eqn: pmatrix{e~f``#g~h``} pmatrix{s``#t``} = pmatrix{3``#2``}]이므로

[eqn: pmatrix{e~f``#g~h``} pmatrix{a~b``#c~d``} pmatrix{x``#y``} = pmatrix{3``#2``}]

[eqn: pmatrix{1~0``#0~1``} pmatrix{x``#y``} = pmatrix{3``#2``}]         ∴ [eqn: pmatrix{x``#y``} = pmatrix{3``#2``}]

따라서, [eqn: x+y=5`]이다.

□ ⑤

8.＿출제의도ａ 무한급수의 수렴과 발산을 이해하기

＿해설ａ

□ ①

9.＿출제의도ａ 무한수열의 극한값 구하기

＿해설ａ[eqn: a_n = S_n -S_n-1 ``(n□2)]이므로

[eqn: a_n = n^2 -4n -(n-1)^2 +4(n-1)]

[eqn: = 2n-5], [eqn: a_1 = S_1 =-3]

∴ [eqn: lim from { n` -> `inf } {6n^2 -20n +24} over {n^2 +2n -4} =6]

□ ②

10.＿출제의도ａ 조합의 수 구하기

＿해설ａ[eqn: 7`]명을 [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 3]명으로 나누는 경우의 수는

[eqn: `_7` C`_2 TIMES _5`C`_2 TIMES _3`C`_3 TIMES 1 over 2! =105]이다.

∴ [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C] 세 나라에 파견하는 경우의 수는[eqn: 105 TIMES 6 = 630]

□ ④

11.＿출제의도ａ 수학적귀납법의 원리 이해하기

＿해설ａ(ii)에서

[eqn: n=k]일 때, 주어진 식이 성립한다고 가정하면

[eqn: LEFT ( a+b over 2 RIGHT )^k □ {a^k +b^k } over 2 ~~ cdotscdots ㉠] 이 성립한다.

㉠의 양변에         를 곱하면

[eqn: LEFT ( a+b over 2 RIGHT )^k+1 □`LEFT ( {a^k +b^k } over 2 RIGHT ) ``TIMES]

[eqn: ={ a^k+1 + b^k+1 +ab^k +a^k b }over 4]

이 때,

[eqn: a^k+1 + b^k+1 -ab^k -a^k b &= a^k (a-b)-b^k (a-b)##&=(a-b)(a^k -b^k `)]

이고, [eqn: a-b`]와 [eqn: a^k -b^k `]는 부호가 서로 같거나 [eqn: 0] 이므로,

[eqn: (a-b)(a^k -b^k `)]     [eqn: 0]

[eqn: LEFT ( a+b over2 RIGHT )^k+1 &□ { a^k+1 + b^k+1 +ab^k +a^k b }over 4 ##&□ { a^k+1 + b^k+1 }over2]

즉, [eqn: n=k+1]일 때, 주어진 식이 성립한다.

따라서, (i), (ii)에 의하여

모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 주어진 식은 성립한다.

□ ⑤

12.＿출제의도ａ 거듭제곱근의 뜻과 성질 이해하기

＿해설ａㄱ. (거짓)

ㄴ. [eqn: 1□n＠8`]이면

[eqn: 8□n＠27`]이면

[eqn: 27□n□36`]이면

[eqn: =1 TIMES 7 + 2TIMES19 + 3TIMES 10 =75] (참)

ㄷ. [eqn: 1□a□10`]이면 [eqn: 1□[ `root {a``} `] □ 3]이다.

[eqn: [`root {10``} `] =3`]이므로

(ⅰ) [eqn: [`root {a``} `] =1], [eqn: [`root {10-a``} `] =2]인 경우

[eqn: [`root {a``} `] =1`]이면 [eqn: 1□root {a``} ＠ 2`]이므로 [eqn: 1□a＠4]

[eqn: [`root {10-a``} `] =2]이면 [eqn: 2□root {10-a``} ＠ 3]이므로

[eqn: 1＠a□6]

∴ [eqn: 1＠a＠4]에서 [eqn: a=2], [eqn: 3]

(ⅱ) [eqn: [`root {a``} `] =2], [eqn: [`root {10-a``} `] =1]인 경우

같은 방법으로 [eqn: 6＠a＠9]   ∴ [eqn: a=7], [eqn: 8]

(ⅲ) [eqn: [`root {a``} `] =3], [eqn: [`root {10-a``} `] =0]인 경우

같은 방법으로 [eqn: 9＠a□10]   ∴ [eqn: a=10]

따라서, (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서

[eqn: a=2], [eqn: 3], [eqn: 7], [eqn: 8], [eqn: 10`]이다. (참)

□ ④

13.＿출제의도ａ 여러 가지 수열에 관한 문제 해결하기

＿해설ａ[eqn: n``]행의 마지막 카드는 그림에서 [eqn: 2^n -1`]번째 항이므로 [eqn: 10`]행의 첫 번째 카드는 [eqn: 512`]항이고 마지막 카드는 [eqn: 1023`]항이다. 이 때 카드의 배열은 [eqn: 9`]개씩 반복되므로 [eqn: 9`]로 나누어보면

[eqn: 512= 9 times 56 + 8 `]이고 [eqn: 1023=9 times 113 + 6`]이므로

[eqn: a=2`], [eqn: b=4`]이다.

□ ①

14.＿출제의도ａ 등비수열의 뜻을 알기

□ ③

15.＿출제의도ａ 같은 것이 있는 순열의 수 구하기

＿해설ａA, L을 한 문자로 생각하여 일렬로 배열하는  경우의 수는 [eqn: 6! over 2!2! = 180]

또한,  A, L를 서로 바꾸는 경우의 수가  [eqn: 2]가지이므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 180 times 2 = 360`]

□ ④

16.＿출제의도ａ 무한수열과 무한급수의 극한 이해하기

＿해설ａㄱ. (반례) 수열 [eqn: LEFT { 1 over n RIGHT }]은 [eqn: lim from { n -> inf } 1over n =0]이지만 [eqn: SUM from { { n}=1} to inf 1 over n = inf]로 수렴하지 않는다. (거짓)

ㄴ. (참)

ㄷ. (반례) [eqn: a_n = LEFT ( 1 over 4 RIGHT ) ^n], [eqn: b_n = 2^n`] 이라 하면

[eqn: SUM from { { n}=1} to inf a_n b_n = SUM from { { n}=1} to inf LEFT ( 1 over 2 RIGHT ) ^n =1]이 되어 수렴하지만

[eqn: lim from { n -> inf } a_n =0], [eqn: lim from { n -> inf } b_n =inf]이다. (거짓)

ㄹ. [eqn: lim from { n -> inf } b_n =p], [eqn: lim from { n -> inf } a_n over b_n =q]라 하면

[eqn: lim from { n -> inf } a_n = lim from { n -> inf } LEFT ( b_n times a_n over b_n RIGHT ) = lim from { n -> inf } b_n cdot lim from { n -> inf } a_n over b_n =pq]

이므로 수렴한다. (참)

따라서, 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다.

□ ③

17.＿출제의도ａ 경우의수 구하기

＿해설ａ[eqn: A`]의 공집합이 아닌 부분집합은

[eqn: LEFT { `1`RIGHT }], [eqn: LEFT { `2` RIGHT }], [eqn: LEFT { `1],[eqn: 2` RIGHT }], [eqn: cdots], [eqn: LEFT { `1], [eqn: 2], [eqn: cdots] , [eqn: 2^9 ` RIGHT }]이다.

따라서, 각 부분집합의 원소의 합의 최소값은 [eqn: 1`]이고 최대값은 [eqn: 1+ 2 + 2^2 + cdots +2^9 = 1023]이다.

[eqn: A`]의 각 부분집합의 원소의 합은 [eqn: 1`]부터 [eqn: 1023`]까지의 자연수를 모두 나타낼 수 있다.

즉, [eqn: LEFT { 1`RIGHT }], [eqn: LEFT { 2`RIGHT }], [eqn: LEFT { 1], [eqn: 2][eqn: RIGHT }], [eqn: LEFT { 2^2 `RIGHT }], [eqn: LEFT { 1], [eqn: 2^2 `RIGHT }], [eqn: cdots]

□    □      □      □       □

[eqn: 1]    [eqn: 2]      [eqn: 3]      [eqn: 4]       [eqn: 5]     [eqn: cdots]

∴ 원소의 합이 [eqn: 3`]의 배수인 부분집합의 개수는 [eqn: 341`]개이다.

□ ②

18.＿출제의도ａ 무한등비급수를 활용하여 문제 해결하기

＿해설ａ(ⅰ) 삼각형의 중점연결정리에 의하여

[eqn: rm overline {M_1 M_2}= 1 over 2 overline {AB}=2]

[eqn: rm overline {M_3 M_4}= 1 over 2 overline {M_1 M_2}=1]

[eqn: rm overline {M_5 M_6}= 1 over 2 overline {M_3 M_4}= 1 over 2]

[eqn: vdots]

[eqn: rm overline {M_1 M_2}+ overline {M_3 M_4}+overline {M_5 M_6}+ cdots = 2_{} over { 1- 1 over 2}=4]

(ⅱ) 삼각형의 중점연결정리에 의하여

[eqn: rm overline {M_2 M_3}= 1 over 2 overline {CM_1}=2]

[eqn: rm overline {M_4 M_5}= 1 over 2 overline {M_2 M_3}=1]

[eqn: rm overline {M_6 M_7}= 1 over 2 overline {M_4 M_5}= 1 over 2]

[eqn: vdots]

[eqn: rm overline {M_2 M_3}+ overline {M_4 M_5}+overline {M_6 M_7}+ cdots = 2_{} over { 1- 1 over 2}=4]

(ⅲ)[eqn: rm triangle`` ABC``]에서 [eqn: rm cos B = { 4^2 + 8^2 - 6^2}_{} over {2 cdot 4 cdot 8}^{}= 11_{} over 16^{}]이므로

[eqn: rm overline {AM_1}{}^2 = 16+16-32 cos B = 10]

[eqn: therefore ~ rm overline{AM_1} = root {10``}]

따라서, (ⅰ). (ⅱ), (ⅲ)으로부터

[eqn: rm overline AM_1``+overline {M_1 M_2} +overline {M_2 M_3}+ ``cdots``= 8 + root{10``}]

□ ⑤

19.＿출제의도ａ 행렬의 곱셈과 역행렬을 활용한 문제 해결하기

＿해설ａ[eqn: A pmatrix{2~~1`#3~11`}=pmatrix{5~12`#3~11`}]이므로

[eqn: A= pmatrix{5~12``#3~11``} 1 over 19 pmatrix{````````11 ~ ``-1 ` `# -3~`` ``````~ 2``}= pmatrix{`1 ~1``#`0~1``}]

[eqn: A^-1 = pmatrix{`1 ~-1``#`0~~~`` 1``}]이다.

이 때, 갑이 [eqn: 1,] [eqn: 2]단계를 통해 얻은 행렬을

[eqn: pmatrix{`x_1 ~ ~ x_2`` #` x_3~ ~ x_4`` }]라 하면 [eqn: A pmatrix{`x_1 ~ ~ x_2`` #` x_3~ ~ x_4`` } = pmatrix{`15 ~~17`` #`~7~~~8``}]

∴ [eqn: pmatrix{`x_1 ~ ~ x_2`` #` x_3~ ~ x_4`` }=pmatrix{``1 ``~-1``#`0 ~~`~~1``}pmatrix{`15 ~~17`` #`~7~~~8``}=pmatrix{~8~~9```#~7~~8```}]

따라서, 갑이 입력한 단어는 □high□이다.

□ ②

20.＿출제의도ａ 지수부등식과 로그부등식 풀기

＿해설ａ[eqn: (log_2` x)^2 - log_2` x^2 ``<``3] (단, [eqn: x>0])에서

[eqn: (log_2` x)^2 - 2log_2 `x -3 ``<``0]

[eqn: -1`<`log_2 ` x `<` 3]

[eqn: therefore ~ 1 over 2 `<` x `< `8 ~~cdots]□

또한, [eqn: 4^x - 2 ^ x+2 `□`32]에서

[eqn: (2^x `)^2 - 4 cdot 2^x -32 `□`0]

[eqn: 0`<`2^x`□`8~~( BECAUSE ~ 2^x `>`0`` )]

[eqn: therefore ~ x``□`3~cdots]□

따라서, □, □으로부터 [eqn: 1 over 2 `<` x `□`3``]을 만족하는 정수 [eqn: x``]는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3`]이다.

∴ 모든 정수 [eqn: x``]값들의 합은 [eqn: 6``]이다.

□ ④

21.＿출제의도ａ 여러 가지 수열에 관한 문제 해결하기

＿해설ａ

[eqn: a_1 =2,~a_2 =4,~a_3 =6,~a_4 =9,~a_5 =12,cdots]에서

[eqn: \{ a_2n-1 \}]이 계차수열이 되므로

[eqn: a_2n-1 &=2+sum_k=1^n-1 (2k+2) #&=2+2cdot n(n-1)over2 +2n-2#&=n(n+1)]

이 때, [eqn: 2n-1=25]에서 [eqn: n=13]이므로

[eqn: a_25 = 13times14=182]

□ ③

22.＿출제의도ａ행렬의 덧셈, 뺄셈, 곱셈하기

＿해설ａ

[eqn: A=pmatrix{-1~~-2``#`````~1``~~~~3``}], [eqn: B=pmatrix{-3~~~~1``#~`~0``~-1``}]이므로

[eqn: AB=pmatrix{-1~~-2``#`````~1``~~~~3``}pmatrix{-3~~~~1``#~`~0``~-1``}=pmatrix{~```3~~~``~1``#-3~~-2``}]

[eqn: therefore~ |ad-bc``|=3]

□ [eqn: 3]

23.＿출제의도ａ 등차수열과 등비수열의 뜻을 알기

＿해설ａ[eqn: f(n)]은 등차수열이므로 [eqn: f(n)=3n+8~]

[eqn: g(n)]은 등비수열이므로 [eqn: g(n)=5^n]

[eqn: (f circ g)(k)=f(5^k )=3cdot5^k +8=383]에서

[eqn: k=3`]이므로

∴ [eqn: 20k=60]

□ [eqn: 60]

24.＿출제의도ａ 지수의 법칙을 이해하기

＿해설ａ분자, 분모에 [eqn: a^4x]을 곱하면

[eqn: {a^4x (a^x +a^2x +a^3x )}over{a^x +a^2x +a^3x }=a^4x =sqrt{3+2sqrt2}=1+sqrt2`]에서

[eqn: m=1`], [eqn: n=2`]이므로

∴ [eqn: 100m+n =102]

□ [eqn: 102]

25.＿출제의도ａ 조합의 수 구하기

＿해설ａ[eqn: 8``]개의 숫자에서 서로 다른 [eqn: 4``]개의 숫자를 선택하는 조합의 수이므로

[eqn: {}_ 8 C_4 = {8 times 7 times 6 times 5} over {4 times 3 times 2 times 1} = 70]개

□ [eqn: 70]

26.＿출제의도ａ 무한수열의 극한값 구하기

＿해설ａ[eqn: lim from { n -> ``inf } (a_n - b_n ) = lim from { n -> ``inf }{2^n + 3^n} over {2^n - 3^n}]에서

[eqn: lim from { n -> ``inf } ``a_n = 2, ~lim from { n -> ``inf }{2^n + 3^n} over {2^n - 3^n}=-1 ``]이므로

[eqn: lim from { n -> ``inf } ``b_n = 3``]

따라서 [eqn: lim from { n -> ``inf } ``100b_n = 300``]

□ [eqn: 300]

27.＿출제의도ａ 이차정사각행렬의 역행렬 구하기

＿해설ａ[eqn: rm A= PMATRIX { {cos theta }& {-sin theta }````# {sin theta}& ````{ cos theta}``}]이므로

[eqn: rm A^-1 = PMATRIX { ```````{cos theta }& {sin theta }````# {-sin theta}& { cos theta}``}]

이 때, [eqn: rm A + A^-1 = PMATRIX { ``{2cos theta }& {0 }````# {0}& { 2cos theta}``}= PMATRIX { ``{root3`` }& {0 }``# {0}& { root3``}`}]

이므로[eqn: cos theta = {root 3`` }over 2](단, [eqn: 0`<`theta`<`pi] )  [eqn: therefore~ theta = pi over 6]

따라서, [eqn: pi over theta =6``]이다.

□ [eqn: 6``]

28.＿출제의도ａ 경우의 수 구하기

＿해설ａ[eqn: a+b+c+abc``]가 홀수가 되는 경우는 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: a+b+c``]: 짝수, [eqn: abc``]:홀수

[eqn: a+b+c``]가 짝수인 경우는

[eqn: (a,b,c)=`](짝,짝,짝),[eqn: (]짝,홀,홀),(홀,짝,홀),(홀,홀,짝) 으로 [eqn: abc``]는 모두 짝수이다. 따라서 조건에 모순이므로 구하는 경우의 수는 없다.

(ⅱ) [eqn: a+b+c``]: 홀수, [eqn: abc``]:짝수

[eqn: a+b+c``]가 홀수인 경우는

[eqn: (a,b,c)=`](짝,짝,홀),[eqn: (]짝,홀,짝),(홀,짝,짝),(홀,홀,홀)

의 4가지이다.

이 때, [eqn: (`a`,`b`,c`)=``](짝,짝,홀)인 경우는

[eqn: 3 times 3 times 3 = 27``](가지)이고 [eqn: (]짝,홀,짝),(홀,짝,짝) 이 모두 같은 경우이므로 [eqn: 27 times 3 = 81``](가지)이다. 한편,[eqn: (`a`,`b`,c`)=``](홀,홀,홀)인 경우는 [eqn: abc``]가 짝수이라는 조건에 모순이므로 구하는 경우의 수는 없다.

따라서, (ⅰ), (ⅱ)에 의해서 [eqn: 81](가지)이다.

□ [eqn: 81]

29.＿출제의도ａ로그의 뜻 이해하기

＿해설ａ로그가 정의 되기 위해서는

[eqn: xＢ0], [eqn: x!=1],  [eqn: 4-|x``|-|y``|Ｂ0`]이므로 점([eqn: x`], [eqn: y])가 나타내는 영역은 그림과 같다.(경계선 제외)

이 때, [eqn: x`], [eqn: y`]좌표가 모두 정수인 점([eqn: x`], [eqn: y])의 개수는 [eqn: 4`]개이다.

□ [eqn: 4]

30.＿출제의도ａ 지표와 가수의 성질을 이해하여 활용하기

＿해설ａ[eqn: log_10 7^30 = 30 times 0.85 = 25.50]

[eqn: log_10 2 = 0.30,~log_10 3 = 0.48]이므로

[eqn: log_10 3 ``<``0.5``<``log_10 4]

양변에 [eqn: 25``]를 더하여 정리하면

[eqn: log_10 (3 times 10^25 ) ``< ``25.5 =log_10 7^30 ``<`` log_10 ( 4 times 10^25 )}]

[eqn: therefore ~ 3 times 10^25 ``< ``7^30 ``<`` 4 times 10^25 }]

[eqn: therefore ~ a=3, ``b=25`]

따라서, [eqn: a+b=28``]이다.

□ [eqn: 28`]

□나 형□

1	①	2	②	3	⑤	4	②	5	①
6	②	7	⑤	8	②	9	④	10	③
11	⑤	12	④	13	①	14	③	15	③
16	③	17	④	18	⑤	19	②	20	①
21	③	22	[eqn: 3]	23	[eqn: 60]	24	[eqn: 102]	25	[eqn: 23]
26	[eqn: 25]	27	[eqn: 36]	28	[eqn: 396]	29	[eqn: 4]	30	[eqn: 450]

1. 수리□가□형 1번과 같음

2. 수리□가□형 2번과 같음

3. 수리□가□형 3번과 같음

4. 수리□가□형 4번과 같음

5.＿출제의도ａ 지수의 법칙을 이해하고 활용하기

＿해설ａ[eqn: log_10``a = m] [eqn: ∃] [eqn: 10^m =a]

[eqn: log_10``b = n]  [eqn: ∃] [eqn: 10^n =b`]이므로

[eqn: 10^m-2n =10^m CDOT 10^-2n = 10^m (10^n )^-2]

[eqn: = a b^-2 = a over b^2]

(별해) [eqn: m-2n = log_10``a - 2 log_10``b]

[eqn: = log_10``a over b^2]

∴ [eqn: 10^m-2n = 10^{log_10`` a over b^2} = a over b^2]

□ ①

6.＿출제의도ａ 행렬의 덧셈, 뺄셈, 곱셈하기

＿해설ａ[eqn: AX=B-A]이고

[eqn: A^-1 = pmatrix{```~3```~~~2`#-1~-1`}]이므로

[eqn: X=A^-1 (B-A)]

[eqn: X = pmatrix{```~3```~~~2`#-1~-1`} pmatrix{1~-1`#4~~`~7`}= pmatrix{~``11`~~11`#-5~-6`}]

∴ [eqn: X`]의 모든 성분의 합은 11

□ ②

7. 수리□가□형 7번과 같음

8.＿출제의도ａ 여러 가지 수열에 관한 문제 해결하기

＿해설ａ[eqn: a_1 = S_1 =2]

[eqn: a_n = S_n - S_n-1 = 2n-1``(]단,[eqn: n□2)]이므로

수열[eqn: LEFT { a_n ` RIGHT }]은 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 7], [eqn: cdots] 이다. 따라서,

[eqn: SUM from { { k}=1} to 7 1 over { a_k cdot a_k+1} = 1 over {a_1 cdot a_2 }+ SUM from { { k}=2} to 7 1 over {(2k-1)(2k+1) }]

[eqn: = 1 over {2 cdot 3 }+ 1 over { 2 } SUM from { { k}=2} to 7 LEFT ( 1 over { 2k-1 } - 1 over {2k+1 } RIGHT )]

[eqn: = 1 over 6 + 1 over 2 LEFT { LEFT ( 1 over 3 - 1 over 5 RIGHT ) + LEFT ( 1 over 5 - 1 over 7 RIGHT ) + cdots + LEFT ( 1 over 13 - 1 over 15 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = 3 over10]

□ ②

9.＿출제의도ａ 지표의 성질을 이해하고 활용하기

＿해설ａ[eqn: 3^-30 TIMES 2^30 = LEFT ( 2 over3 RIGHT ) ^30]

[eqn: log_10`` LEFT ( 2over3 RIGHT ) ^30 = 30(log_10``2 - log_10``3 ) = -5.4 = bar6 .6]

[eqn: log_10`` LEFT ( 2over3 RIGHT ) ^30]의 지표가 [eqn: -6`]이므로 소수점 아래 [eqn: 6`]번째 자리에서 처음으로 [eqn: 0`]이 아닌 숫자가 나타난다.

∴ [eqn: m=6]

□ ④

10.＿출제의도ａ 여러 가지 수열에 관한 문제 해결하기

＿해설ａ주어진 수열의 점화식을 이용하여 몇 개의 항을 구하면

[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 1], [eqn: -1], [eqn: -2], [eqn: -1], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: cdots] 이다.

따라서, 주어진 수열은 6개 항을 주기로 반복되고

[eqn: a_1 + a_2 + cdots + a_2005] [eqn: =(a_1 + a_2 + cdots + a_6 )]

[eqn: + cdots + (a_1999 + a_2000 + cdots + a_2004 ) + a_2005]

[eqn: =a_2005 =a_1 =1]

□ ③

11. 수리□가□형 11번과 같음

12. 수리□가□형 12번과 같음

13. 수리□가□형 13번과 같음

14. 수리□가□형 14번과 같음

15.＿출제의도ａ 역행렬의 뜻을 알고 활용하기

＿해설ａ[eqn: A], [eqn: A+E`]의 역행렬이 모두 존재하지 않으므로 [eqn: a b+1=0], [eqn: (a+1)(b+1)+1=0]이다.

ㄱ. [eqn: a+b=-1`]이다. (참)

ㄴ. [eqn: (a-1)(b-1)+1=a b -(a+b) +2 =2 !=0`]이므로 [eqn: A-E`]역행렬은 항상 존재한다. (참)

ㄷ. [eqn: A^2 +A =O`]이므로

[eqn: A + A^2 + cdots + A^10]

[eqn: = (A + A^2 ) +A^2 (A+A^2 ) + cdots + A^8 (A+ A^2 ) = O`]

이다. (거짓)

□ ③

16.＿출제의도ａ 가수의 성질을 이해하고 활용하기

＿해설ａ[eqn: log-_10``x`]의 지표는 [eqn: 2`]이므로

[eqn: log_10``x=2+ alpha](단, [eqn: 0 ＠alpha ＠1])라 하면

[eqn: log_10``1over x = -log_10``x = -2- alpha =-3 +(1- alpha )]

이 때, 주어진 조건으로부터 [eqn: alpha =2(1- alpha )]

∴[eqn: alpha = 2over 3]

따라서, [eqn: log_10``x = 8 over 3]이므로

(준식)[eqn: =(1+2+ cdots +9)log_10``x=45 log_10``x=120]

□ ③

17.＿출제의도ａ 행렬의 곱셈을 알고 문제 해결하기

＿해설ａ[eqn: A^n+1 =A^n A `]이므로

[eqn: pmatrix{ a_n+1 ~~ b_n+1 `# c_n+1 ~~ d_n+1 `} = pmatrix{ a_n ~~ b_n` `# c_n ~~ d_n` `}pmatrix{1~~1 `# 0~~ 2`} = pmatrix{ a_n ~~ a_n + 2 b_n `# c_n ~ ~c_n + 2 d_n`}]

[eqn: a_n =a_1 =1], [eqn: b_n+1 = 2b_n +1], [eqn: c_n = c_1 =0], [eqn: d_n+1 =2d_n]

으로부터 [eqn: A^n = pmatrix{1~~ 2^n -1 ` # 0 ~~~~ 2^n~~`}]이다. 따라서,

[eqn: a_n + b_n + c_n + d_n = 2^n+1 □ 2005`]이므로 [eqn: n□10`]

∴ 자연수 [eqn: n``]의 최소값은 [eqn: 10]

□ ④

18.＿출제의도ａ 로그의 성질을 알고 활용하기

＿해설ａ[eqn: a+b =3], [eqn: a b=1`]이므로

[eqn: a^2 +b^2 = (a+b)^2 -2a b = 9 - 2 =7]

□ ⑤

19. 수리□가□형 19번과 같음

20.＿출제의도ａ 여러 가지 수열에 관한 문제 해결하기

＿해설ａ[eqn: a_n+1 = 2a_n +1]

∃  [eqn: a_n+1 +1 = 2(a_n +1)]이므로

[eqn: a_n + 1 =b_n`]이라 하면

[eqn: b_n+1 = 2 b_n] [eqn: cdots] ㉠

이 때, ㉠에 [eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: cdots], [eqn: n-1`]을 차례로 대입하여 정리하면 [eqn: b_n = b_1 cdot 2^n-1 = 2^n+1] (∵[eqn: b_1 =4])

따라서, [eqn: a_n = 2^n+1 -1`]

∴ [eqn: a_99 = 2^100 -1`]이므로

(준식)[eqn: = log_4 2^100 = 50]

□ ①

21. 수리□가□형 21번과 같음

22. 수리□가□형 22번과 같음

23. 수리□가□형 23번과 같음

24. 수리□가□형 24번과 같음

25.＿출제의도ａ 역행렬의 뜻을 알기

＿해설ａ[eqn: A+kE =pmatrix{k+1&1#3&k+4``}]의 역행렬이

존재하지 않으므로

[eqn: (k+1)(k+4)-3=k^2 +5k+1=0]

따라서, [eqn: k+ 1over k =-5]

[eqn: k^2 + 1over k^2 =left(k+ 1over k right)^2 -2=23]

□ 23

26.＿출제의도ａ 등차수열의 뜻을 알고 일반항 구하기

＿해설ａ수열 [eqn: LEFT { 1 over a_n RIGHT }]이 등차수열이므로 공차를 [eqn: d``]라하면 [eqn: 1over10 = 1 over a_1 +4d]

[eqn: 1over5 = 1 over a_1 +9d]

∴ [eqn: a_1 = 1 over 50], [eqn: d= 1over 50]

[eqn: 1 over a_2 = 1 over 50 + 1 over 50 = 1 over 25]

∴ [eqn: a_2 = 25]

□ 25

27.＿출제의도ａ 역행렬을 이용하여 연립일차방정식의 문제 해결하기

＿해설ａ

[eqn: pmatrix{a-1&2#3&b-2``}pmatrix{x```#y```}=pmatrix{0```#0```}]이[eqn: x=y=0]이외의 해를

가지므로 [eqn: (a-1)(b-2)=6]이다.

[eqn: a-1]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 6]
[eqn: b-2]	[eqn: 6]	[eqn: 3]	[eqn: 2]	[eqn: 1]
[eqn: a]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 7]
[eqn: b]	[eqn: 8]	[eqn: 5]	[eqn: 4]	[eqn: 3]
[eqn: a b]	[eqn: 16]	[eqn: 15]	[eqn: 16]	[eqn: 21]

따라서, [eqn: M=21,~m=15]이다.

∴ [eqn: M+m=36]

□ 36

28.＿출제의도ａ □의 뜻과 성질을 이해하고 활용하기

＿해설ａ[eqn: sum_i=1^6 left( sum_j=1^6 a_i b_j right)&=sum_i=1^6 left( a_i sum_j=1^6 b_j right)]

[eqn: =sum_i=1^6 left( a_i left( 2 cdot 6cdot7 over2 -36 right) right)]

[eqn: =6sum_i=1^6 a_i =6 left{ {2(2^6 -1)}over 2-1 -60 right}]

[eqn: =396]

□ 396

29. 수리□가□형 29번과 같음

30.＿출제의도ａ 상용로그의 값 구하기

＿해설ａ[eqn: 10^9 =2^9 times 5^9]이므로 [eqn: 10^9]의 양의 약수는 [eqn: 100]개다.

양의 약수를 크기순으로 [eqn: a_1 ,~a_2 ,~a_3 ,cdots,~ a_100]이라 하면 [eqn: a_i a_j =10^9 ~(i+j=101,~i=1,2,3,cdots, 100)]이므로 모든 양수의 곱 [eqn: N=left( 10^9 right)^50 =10^ 450]이다.

[eqn: therefore~ log_10 ``N=log_10 ``10^450 =450]

□ 450