• 2교시 수리탐구 영역 •

2006 대학수학능력시험 대비

2005학년도 10월 고3 전국연합학력평가 정답 및 해설

수리‘가’형 정답

1	②	2	⑤	3	⑤	4	①	5	④
6	②	7	⑤	8	②	9	①	10	⑤
11	③	12	④	13	④	14	①	15	②
16	⑤	17	③	18	17	19	48	20	13
21	25	22	63	23	32	24	118	25	520

[미분과 적분]

26	①	27	③	28	④	29	③	30	503

[확률과 통계]

26	①	27	③	28	③	29	④	30	64

[이산수학]

26	①	27	③	28	③	29	④	30	220

해 설

1. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 지수계산을 할 수  있는가를 묻는 문제이다.

(준식)[eqn: =2 ^{{1} over {3}} TIMES 3 ^{- {1} over {3}} TIMES (2 TIMES 3 ^{2} `) ^{{2} over {3}} ``][eqn: =2 ^{{1} over {3} + {2} over {3}} TIMES 3 ^{- {1} over {3} + {4} over {3}} =6``]

2. [출제의도] 행렬의 곱셈과 덧셈을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A ^{2} `+3A``][eqn: = pmatrix{`4&-3``#`0&~~1``} ``][eqn: + pmatrix{-6````&9``#~~0````&3``} ``][eqn: = pmatrix{-2````&6``#~~0````&4``} ``]

따라서 모든 성분의 합은 [eqn: 8``]이다.

3. [출제의도] 함수의 값을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f(g(5))=f LEFT ( {1} over {3} rm log it ` _{5} 5 RIGHT ) =`f LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) =5 ^{3 TIMES {1} over {3}} `=5``]

4. [출제의도] 극한의 의미와 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: x` -> `2``]일 때 (분모)[eqn: ` -> `0``]이므로 (분자)[eqn: ` -> `0``]에서

[eqn: 4+6+a=0``]  [eqn: THEREFORE a`=`-10``]

[eqn: THEREFORE b= lim _{x` -> `2} {} {x ^{2} +3x-10} over {x-2`} = lim _{x` -> `2} {} {(x+5)(x-2)} over {x-2} =7``]

[eqn: THEREFORE a+b=-3``]

5. [출제의도] 확률밀도함수를 이용하여 확률을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

구하는 확률은 음영이 들어간 부분의 넓이와 같다.

[eqn: THEREFORE P` LEFT ( ` {1} over {2} ` <= X <= ` {3} over {2} ` RIGHT ) = {1} over {4}]

6. [출제의도] 미분계수의 의미를 알고, 이를 이용하여 극한값을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f` prime (2)=3``]이고, [eqn: {1} over {3n} `=`h``]로 놓으면

(준식) [eqn: = {1} over {6} lim _{h` -> `0} {{``f(2+h)-f(2)} over {h} ``}][eqn: = {1} over {6} f` prime (2)= {1} over {2} ``]

7. [출제의도] 회전체의 부피를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

구하는 회전체의 부피를 [eqn: V``]라 하면

[eqn: V= pi int _{0} ^{1} {x} `dx- pi int _{0} ^{1} {x ^{4}} `dx]

[eqn: = {1} over {2} pi - {1} over {5} pi = {3} over {10} pi ``]

8. [출제의도] 점과 평면 사이의 거리를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

점 [eqn: rm A it (1`,``4`,``2`)``]는 직선 [eqn: {x+1} over {a} `=` {y-2} over {b} `=` {z-1} over {2} ``]위에

있으므로 [eqn: a`=`4``], [eqn: b`=`4``]

따라서 점 [eqn: rm A it (1`,``4`,``2`)``]와 평면 [eqn: 4`x+4`y+`2z+48`=`0``]

사이의 거리는

[eqn: {LEFT | 4 TIMES 1+4 TIMES 4+2 TIMES 2+48 RIGHT |} over {sqrt {4 ^{2} +4 ^{2} +2 ^{2}}} = {72} over {6} =12`]

9. [출제의도] 벡터의 합의 의미를 이해하고 이를 이용하여 도형의 모양을 유추할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: rm vec{OP} = it (1-t) rm vec{OA} + it t rm vec{OB} = it rm vec{OA} + it t rm vec{AB} ``]([eqn: 0 <= t <= 1])이므로  점 [eqn: rm `P``]가 그리는 도형은 선분 [eqn: rm AB``]이다.  ∴ 참

ㄴ. [eqn: rm vec{OP} = it s rm vec{OA} + it t rm vec{OB} ``][eqn: = it s rm vec{OA} + it 2t`` LEFT ( {1} over {2} rm vec{OB} RIGHT ) ``]이므로 점 [eqn: rm `P``]가 그리는 도형은 선분 [eqn: rm AB prime ``](이 때, [eqn: vec{rm OB prime it} `=` {1} over {2} vec{rm OB it} `] )이고, 그 길이는 선분[eqn: rm AB``]의 길이보다 작은 경우도 있다.  ∴ 거짓

ㄷ. 양수 [eqn: s`,``t``]가 [eqn: s+2t` <= `1``]이면 점 [eqn: rm `P``]가 그리는 영역은 삼각형[eqn: rm OAB prime ``]이므로 삼각형[eqn: rm OAB``]에 포함된다.  ∴ 거짓

10. [출제의도] 합성함수의 그래프를 이용하여 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: lim _{x` -> 1-0} {f(x)} =1``], [eqn: lim _{x` -> 1+0} {f(x)} =0``]이므로 [eqn: lim _{x` -> 1} {f(x)} ``]의 값은 존재하지 않는다.  ∴ 거짓

ㄴ. [eqn: lim _{x` -> `1+0} {f(f(x))} = lim _{h` -> `+0} {f(h)} =1``]  ∴ 참

ㄷ. [eqn: lim _{x` -> `1-0} {f(f(x))} = lim _{x` -> `1-0} {f(1)} =0``]  ∴ 참

11. [출제의도] 등비수열의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A= {a(r ^{n} `-1`)`} over {r-1} ``], [eqn: B= {ar ^{n} (r ^{n} `-1`)`} over {r-1} ``], [eqn: C= {ar ^{2n} (r ^{n} `-1`)`} over {r-1} ``]

이므로 [eqn: A,``B,``C``]는 공비가 인 등비수열이고

(가) [eqn: r ^{n} ``]

[eqn: A``], [eqn: B``], [eqn: C``]를 [eqn: `B` ^{2} =AC``]에 대입하여 정리하면

[eqn: (q-p`) ^{2} =p(S _{3n} -q)``]  [eqn: THEREFORE S _{3n} =``]

(나) [eqn: {p ^{2} -pq+q ^{2}} over {p} ``]

12. [출제의도] 조합에 대한 어떤 성질을 유도할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(가):[eqn: ` _{n-1} rm C it rm _{r-1} `], (나):[eqn: r``], (다):[eqn: {n} over {r} ``]

13. [출제의도] 공간도형에서 이면각의 크기를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

꼭지점 [eqn: rm A``], [eqn: rm D``]에서 변 [eqn: rm BC``]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H``]라 하면  [eqn: rm bar{AH} it `=` sqrt {7 ^{2} -3 ^{2} `} `=`2 sqrt {10} ``],

[eqn: rm bar{DH} it `=` sqrt {5 ^{2} -3 ^{2} `} `=`4``], [eqn: TRIANGLE rm AHD it]에서

[eqn: cos` theta `=` {4 ^{2} +(2 sqrt {10} ) ^{2} -4 ^{2}} over {2 TIMES 4 TIMES 2 sqrt {10}} `=` {sqrt {10}} over {4} ``]

14. [출제의도] 이항분포와 정규분포를 이용하여 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

예약하여 승선하는 사람의 수를 확률변수 [eqn: X``]라 하면

[eqn: X``]는 이항분포 [eqn: rm B`` LEFT ( 400,`` {4} over {5} RIGHT ) ``]를 따른다.

∴ [eqn: E(X)=400 TIMES {4} over {5} =320``], [eqn: V(X)=400 TIMES {4} over {5} TIMES {1} over {5} =8 ^{2} ``]

이 때, [eqn: X``]는 근사적으로 [eqn: rm N`(320,`8 ^{2} `)``]을 따른다.

∴ [eqn: rm P it `(X <= 340)= rm P it LEFT ( Z <= {340-320} over {8} RIGHT ) ``]

[eqn: = rm P( it Z <= 2.5)][eqn: =0.9938``]

15. [출제의도] 공간도형에서 평면이 자르는 단면의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

내접구의 중심을[eqn: rm O``], 변[eqn: rm DH``]의 중점을 [eqn: rm Q prime ``], 점[eqn: rm O``]에서 선분[eqn: rm DQ``]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm S``]라 하자.

[eqn: △ rm DQQ prime �]□[eqn: △ rm OQS]이고 [eqn: bar{rm DQ prime it} =6``],[eqn: bar{rm DQ it} =18``], [eqn: bar{rm OQ it} =6 sqrt {2} ``]이므로

[eqn: bar{rm OS it} =6 sqrt {2} TIMES {6} over {18} =2 sqrt {2} ``]

구의 반지름의 길이가 [eqn: 6``]이므로 구를 평면[eqn: rm `DPQR]로 자른 단면의 반지름의 길이를 [eqn: r``]라 하면

[eqn: r ^{2`} =6 ^{2} -(2 sqrt {2} ) ^{2} =28]

따라서 단면의 넓이는 [eqn: 28 pi ``]이다.

16. [출제의도] 삼각형과 그에 내접하는 원들 사이에 성립하는 관계식을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

한 원의 반지름의 길이를 [eqn: r _{n}]이라 하면

[eqn: 2(n-1)r _{n} +2 sqrt {3} `r _{n} `=2``]  ∴ [eqn: r _{n} = {1} over {(n-1)+ sqrt {3} ``}]

또, 원의 총 개수는

[eqn: 1+2+3+…+n= {n(n+1)} over {2} `]이므로 원의 총 넓이는

[eqn: S _{n} = {n(n+1)} over {2} `․`( pi `r _{n} ^{2} )``][eqn: = {n(n+1)` pi } over {2((n-1)+ sqrt {3} `) ^{2}} ``]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {S _{n}} = {pi } over {2} ` lim _{n -> INF } {{1`․ LEFT ( 1+ {1} over {n} RIGHT )} over {LEFT ( 1+ {-1+ sqrt {3}} over {n} RIGHT ) ^{2}} ``}][eqn: = {pi} over {2} ``]

17. [출제의도] 상용로그를 활용하여 실생활에서의 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

올해 연봉을 [eqn: a``](원)이라 하면, [eqn: n``]년 후의 실질연봉은[eqn: {a(1+0.1`) ^{n}} over {(1+0.05`) ^{n}} ``]   [eqn: THEREFORE {a(1+0.1`) ^{n}} over {(1+0.05`) ^{n}} `` >= 2a``]

양변에 상용로그를 취하여 정리하면

[eqn: n`log`1.1-n`log`1.05` >= ``log`2``]

[eqn: n(0.0414-0.0212)` >= `0.3010``]

[eqn: n >= ` {0.3010} over {0.0202} =14.9 TIMES TIMES TIMES]

따라서 [eqn: 15]년 후에 처음으로 [eqn: 2``]배 이상이 된다.

18. [출제의도] 벡터의 내적을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: vec{a} ․( vec{a} -2 vec{b} )=(1,`-2)․(5,`-6)=5+12=17]

19. [출제의도] 무한수열의 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n} ``= lim _{n -> INF } {} a _{n+1} ``= lim _{n -> INF } {} a _{n-1} ``=x``]라 하면

[eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n-1} +20} over {a _{n+1} -14`} =2``]에서 [eqn: {x+20} over {x-14`} =2``]    [eqn: THEREFORE x=48``]

20. [출제의도]  조건부 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

점 [eqn: rm P``]가 원점으로 다시 돌아오는 경우는 (짝, 짝, 홀, 홀)이 배열되는 경우: [eqn: {4!} over {2!`2!`} =6`](가지),

이 때, 점 [eqn: rmA(1)``]을 들러 왔을 경우는

([eqn: 짝,`` TIMES ,`` TIMES ,`` TIMES ``]):[eqn: {3!} over {2!} =3`](가지), (홀, 짝, 짝, 홀) : [eqn: 1`](가지)

따라서 구하는 확률은 [eqn: {3+1} over {6} = {2} over {3} ``]이고 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =13`]

21. [출제의도] 실생활과 연결된 무리방정식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: bar{rm PA it} + bar{rm AC it} `+` bar{rm CQ it} =160``]이므로 [eqn: {x} over {10} =t``]라 하면

[eqn: 6+t+ sqrt {(7-t) ^{2} +6 ^{2}} =16``] [eqn: THEREFORE t= {5} over {2} ``]

따라서 [eqn: x``]의 값은 [eqn: 25``]이다.

22. [출제의도] 속도와 가속도를 실생활의 문제해결에 적용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

엘리베이터의 속도를 [eqn: v(t)``]라 하면

[eqn: v(t)= cases{~~```````3t~~``````(0 <= t <= 2)#~~````````6~~````````(2 <= t <= 10)#```-2t+26```(10 <= t <= 13)`} ``]

따라서 엘리베이터가 움직인 거리를 [eqn: S``]라 하면

[eqn: S=][eqn: int _{0} ^{2} {3t} `dt+ int _{2} ^{10} {6} `dt+ int _{10} ^{13} {(-2t+26)} `dt=63``]

23. [출제의도] 타원의 성질을 이용하여 도형의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

점[eqn: rm F``]는 타원의 초점이므로 [eqn: c ^{2} =a ^{2} -16``]

점 [eqn: rm A it `(c,`k)``]라 하면

[eqn: k ^{2} `=`16` {a ^{2} `-c ^{2}} over {a ^{2}} ``]   [eqn: THEREFORE k=`4` {sqrt {a ^{2} `-c ^{2`}}} over {a} = {16} over {a} ``]

따라서 [eqn: □ rm ADBC``]의 넓이를 [eqn: S``]라 하면

[eqn: S= {1} over {2} bar{rm CD it} ․ bar{rm AB it} = {1} over {2} ``․``2a``․``2k=2ak=2a``․`` {16} over {a} =32``]

24. [출제의도] 함수의 연속성과 미분가능성을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

함수 [eqn: g(x)`]는 연속이고 미분가능하므로

[eqn: f`(a`)=m-f`(a`)``], [eqn: m-f`(b`)=n+f`(b`)``] ……㉠

[eqn: g`` prime (x`)= cases{f`` prime (x`)~~&(x<a`)#-f`` prime (x`)~~&(a` <= `x`<`b`)#f`` prime (x`)``&(x` >= `b`)} ``]

[eqn: f`` prime (x`)``=3x ^{2} +6x-9=3(x+3`)(x-1`)``]

따라서 극대값은 [eqn: f`(-3`)=27``], 극소값은 [eqn: f`(1`)=-5``]

㉠에서 [eqn: m=2f`(-3`)=54``],

[eqn: n=m-2f`(1`)=54+10=64``]이므로

[eqn: a=-3,``b=1,``m=54,``n=64``]

∴ [eqn: m+n=118``]

25. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 문제해결을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: p=92-28``log _{``5} `t``]에 [eqn: t=10``]을 대입하면

[eqn: p=92-28``log _{``5} ``10````] [eqn: =92-28` TIMES {1} over {`log _{} 5`} ``]

[eqn: =92-28` TIMES {1} over {`1-log _{} 2`} ``][eqn: =92-28` TIMES {1} over {`1-0.3`} ``][eqn: =52(%)`]

따라서 구하는 학생 수는 [eqn: 1000 TIMES 0.52=520``](명)이다.

[미분과 적분]

26. [출제의도] 치환적분을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: x ^{2} `=t``]로 치환하면 [eqn: 2x`dx=dt``]

[eqn: x=0``]일 때 [eqn: t=0``], [eqn: x=1``]일 때 [eqn: t=1``]

[eqn: THEREFORE int _{0} ^{1} {2xe ^{x ^{2}} `dx} = int _{0} ^{1} {e ^{t} `dt= LEFT [ e ^{t} RIGHT ] _{0} ^{1} =e-1``}]

27. [출제의도] 삼각함수의 성질을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 식의 양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 1+2sin theta ``cos theta =5(1-2sin theta ``cos theta )``]

[eqn: 1+sin2 theta =5(1-sin2 theta )``] [eqn: THEREFORE `sin2 theta = {2} over {3} ``]

28. [출제의도] 적분기호를 사용한 함수의 성질을 추측할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ.주어진 식에 [eqn: x=0``]을 대입하면

[eqn: f(0)=e ^{0} -1+ int _{0} ^{0} {f(t)dt} =1-1+0=0``]   ∴ 참

ㄴ. 주어진 식을 [eqn: x``]에 대하여 미분하면

[eqn: f` prime (x)=e ^{x} +f(x)``], [eqn: f` prime (0)=e ^{0} +f(0)=1``] ∴ 거짓

ㄷ. ㄴ에서 [eqn: f` prime (x)-f(x)=e ^{x} >0``]이므로

[eqn: f` prime (x)>f(x)``]   ∴ 참

29. [출제의도] 초월함수의 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: △ rm PAB it ``]의 넓이 [eqn: S= {1} over {2} ․ rm bar{AB} it ``․`lnt= {1} over {2} (e-1)lnt``] 이므로

[eqn: lim _{t` -> `1+0} {{S} over {t-1} =} lim _{t` -> `1+0} {} {(e-1)lnt it} over {2(t-1)} = {e-1} over {2} lim _{t` -> `1+0} {{lnt} over {t-1}} ``]

[eqn: = {e-1} over {2} TIMES 1``]([eqn: ∵lim _{t` -> `1} { {lnt} over {t-1}} it =1])

[eqn: THEREFORE lim _{t` -> `1+0} {{S} over {t-1}} = {e-1} over {2} ``]

30. [출제의도] 매개변수가 있는 함수의 미분을 문제해결에 이용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

점프대를 출발한지 [eqn: t``]초 후의 탄력줄의 길이를

[eqn: l( >= 20)``], 반지름의 길이를 [eqn: r``]라 하면 탄력줄의 부피 [eqn: V``]는 [eqn: V= pi ``r` ^{2} ``l`](일정)이고 [eqn: l`]과 [eqn: r`]는 모두 [eqn: t`]의 함수이다. 이 식을 시각 [eqn: t``]에 대하여 미분하면

[eqn: {dV} over {dt} = pi ` LEFT ( `r` ^{2} ` {dl} over {dt} +2rl` {dr} over {dt} `` RIGHT ) =0``],

[eqn: r` ^{2} {dl} over {dt} +2rl` {dr} over {dt} =0``]

[eqn: A``]지점을 지나는 순간 [eqn: l=25( rm m)``],[eqn: r= {3} over {100} ( rm m)``],

[eqn: {dl} over {dt} =10( rm m/초)``]이므로

[eqn: LEFT ( {3} over {100} RIGHT ) ^{2} TIMES 10+2 TIMES {3} over {100} TIMES 25`` {dr} over {dt} =0``]에서

[eqn: {dr} over {dt} =- {3} over {500} ``( rm m/초`)``]

∴ [eqn: a+b=500+3=503``]

[확률과 통계]

26. [출제의도] 줄기와 잎 그림을 보고 자료를 이해 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 자료에서 평균은[eqn: {649} over {11} `=59``],

중앙값과 최빈값은 각각 [eqn: 61`,```56``]이다.

∴ [eqn: a+b+c=176``]

27. [출제의도] 모평균을 추정할 수 있는가를 묻는 문제이다.

크기가 [eqn: 100``]인 표본의 평균이 [eqn: 274``], 표준편차가 [eqn: 45``]이므로 표본평균의 분포는 정규분포 [eqn: {rm N}`LEFT (m,``{ LEFT ({45} over {sqrt {100} } RIGHT ) ^{2}} ` RIGHT )``]을 따른다. 따라서, 모집단의 평균[eqn: m``]을 신뢰도 [eqn: 95%``]로 추정하면 [eqn: 274-2 {45} over {sqrt {100}} <= `m` <= `274+2 {45} over {sqrt {100}} ``]

[eqn: 265 <= `m` <= `283``]   [eqn: THEREFORE b=283``]

28. [출제의도] 이항정리의 성질을 응용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: (1+x) ^{n} ``]의 전개식에서 [eqn: x ^{r} ``]의 계수는 [eqn: ` _{n} rm C it rm _{r} ``]이므로

[eqn: (1+x) ^{n} `(1+x) ^{n} ``]에서 [eqn: x ^{n} ``]의 계수는

[eqn: ` _{n} rm C it rm _{0} ` _{it n} rm C it rm _{it n} + _{it n} rm C it rm _{it 1} `` _{it n} rm C it rm _{n-1} + _{n} rm C it rm _{2} ``` _{n} rm C it rm _{n-2} `+ CDOTS + _{n} rm C it rm _{n} `` _{n} rm C it rm _{0} ``]

[eqn: `= _{n} rm C it _{0} ` _{it n} rm C it _{0} `+ _{it n} rm C it _{1} ` _{it n} rm C it _{it 1} `+ _{it n} rm C it _{2} ` _{it n} rm C it _{2} `+ CDOTS + _{it n} rm C _{it n} ` _{it n} rm C it _{it n} ``]

[eqn: `=( _{n} rm C it _{0} `) ^{2} `+( _{it n} rm C it _{it 1} `) ^{2} `+( _{it n} rm C _{it 2} `) ^{it 2} `+ CDOTS +( _{it n} rm C it _{it n} `) ^{2} ``]

[eqn: (1+x) ^{2n} ``]의 전개식에서 [eqn: x ^{n} ``]의 계수는 [eqn: ` _{2n} rm `C it rm _{n} ``]

∴ [eqn: `( _{n} rm C it _{0} `) ^{2} `+( _{it n} rm C _{it 1} `) ^{it 2} `+( _{it n} rm C _{it 2} `) ^{it2} `+ CDOTS +( _{it n} rm C it _{it n} `) ^{it 2} ``=` _{it 2n} rm C it ` _{it n} `]

∴ [eqn: `( _{12} rm C it _{it 0} `) ^{it 2} `+( _{it 12} rm C it _{it 1} `) ^{it 2} `+( _{it 12} rm C _{it 2} `) ^{it 2} `+ CDOTS +( _{it 12} rm C _{it n} `) ^{it 2} ``=` _{it 24} rm C ` _{it 12} `]

29. [출제의도] 정규분포를 실생활의 문제해결에 적용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

전반기의 자동차 판매 대수를 [eqn: X``], 후반기의 자동차 판매 대수를 [eqn: Y````]라 하면, [eqn: X``]는 정규분포 [eqn: rm N(32,``8 ^{2} )``],

[eqn: Y````]는 정규분포 [eqn: rm N(38,``10 ^{2} )``]을 따른다.

[eqn: P`(X >= 44)`=P`(Y >= k)``]

[eqn: P`(X >= 44)`=P`` LEFT ( Z >= {44-32} over {8} RIGHT ) ``][eqn: =P` LEFT ( Z >= 1.5`` RIGHT ) ``],

[eqn: P`(Y >= k)`=P` LEFT ( Z >= {k-38} over {10} RIGHT ) ``][eqn: =P` LEFT ( Z >= 1.5`` RIGHT ) ``]

∴ [eqn: {k-38} over {10} =1.5``]   ∴ [eqn: k=53``]

30. [출제의도] 경우의 수를 이용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

탁자[eqn: B``]의 [eqn: 3``]명이 앉아있던 자리의 집합을 [eqn: T``]라 하자. 이 때, 탁자[eqn: B``]에 앉아있던 [eqn: 3``]명 중

ⅰ)한 명만이 집합[eqn: T``] 내에서 옮겨 앉는 경우의 수

[eqn: ` _{3} rm C it _{1} TIMES 2 TIMES (2! TIMES 2!)=24``]

ⅱ)두 명만이 집합[eqn: T``] 내에서 옮겨 앉는 경우의 수

[eqn: ` _{3} rm C it _{2} TIMES 3 TIMES (3!-2!)=36``]

ⅲ)세 명이 모두 집합[eqn: T``] 내에서 옮겨 앉는 경우의 수

[eqn: 2 TIMES 2 ! = 4``]

따라서 ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의하여 [eqn: 64``]가지

[이산수학]

26. [출제의도] 실생활의 문제를 그래프를 이용하여 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

그림과 같이 주어진 그래프를 적절하게 색칠하는 데 필요한 최소의 색의 수는 [eqn: 3``]가지이다.

27. [출제의도] 인접행렬을 그래프로 나타낼 수 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 인접행렬을 그래프로 나타내면 다음 그림과 같다.

ㄱ. 그림과 같이 변이 꼭지점에서만 만나게 평면 위에 다시 그릴 수 있으므로 평면그래프이다.   ∴ 참

ㄴ. 차수가 홀수인 꼭지점이 있으므로 오일러회로가 존재하지 않는다.   ∴ 거짓

ㄷ. 그림과 같은 해밀턴회로가 존재한다.    ∴ 참

28. [출제의도] 귀납적으로 주어진 수열의 합을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f _{1} ` ^{2} ``=``1 ^{2} =1=1 TIMES 2-1=f _{1} `f _{2} -1``],

[eqn: f _{1} ` ^{2} `+f _{2} ` ^{2} ``=``1 ^{2} +2 ^{2} =5=2 TIMES 3-1=f _{2} `f _{3} -1``],

[eqn: f _{1} ` ^{2} +f _{2} ` ^{2} +`f _{3} ^{2} =1 ^{2} +2 ^{2} +3 ^{2} ``][eqn: =f _{3} f _{4} -1``][eqn: cdots]

이므로 [eqn: f _{1} ` ^{2} +f _{2} ` ^{2} + CDOTS +`f _{9} ` ^{2} =`f _9 f_10 `- `1]

∴[eqn: sum _{n=1} ^{9} f _{n} ` ^{2} =f _{9} `f _{10} ``-``1=55 TIMES 89-1=4894``]

29. [출제의도] 투표에 미치는 영향력을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

제안된 안건이 통과된 경우에 [eqn: A``,``B``,``C``]가 각각 찬성에서 반대로 바꾸어 투표한다면, 통과된 안건이 부결로 바뀌는 경우의 수를 구하면[eqn: A``]는[eqn: 3``](가지),

[eqn: B]는[eqn: 1``](가지),[eqn: C``]는[eqn: 1](가지)이다.

따라서[eqn: A``]가 투표에 미치는 영향력은[eqn: {3} over {5}]이다.

30. [출제의도] 중복을 허락한 조합의 수를 구 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 10``]개에서 [eqn: 3``]개를 중복해서 택하는 조합의 수와 같으므로 구하는 모든 경우의 수는 [eqn: ` _{10+3-1} rm C it rm _{3} = _{12} rm C it rm _{3} =220``]

수리‘나’형 정답

1	②	2	⑤	3	⑤	4	①	5	④
6	②	7	④	8	②	9	③	10	⑤
11	③	12	④	13	③	14	①	15	④
16	⑤	17	③	18	130	19	48	20	13
21	364	22	307	23	35	24	108	25	520
26	②	27	③	28	①	29	①	30	33

해 설

1. ‘가’형과 동일

2. ‘가’형과 동일

3. ‘가’형과 동일

4. [출제의도] 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: vert a-b vert `=2``]인 경우는 [eqn: (1,``3),``(2,``4),``(3,``5),``(4,``6)``]

[eqn: (3,``1),``(4,``2),``(5,``3),``(6,``4)``]의 [eqn: 8``]가지이다.

따라서 구하는 확률은 [eqn: {8} over {36} `=` {2} over {9} ``]이다.

5. ‘가’형과 동일

6. [출제의도] 등비수열의 일반항을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: S _{n} `= {3 ^{n} `-1} over {2} ``],[eqn: S _{n} +p`= {3 ^{n`} -1} over {2} +p``][eqn: = {3} over {2} `․ 3 ^{n-1} `+ {2p-1} over {2} ``]

그런데 [eqn: S _{n} `+p`]가 등비수열이므로 [eqn: {2p-1} over {2} `=0``]

∴ [eqn: p= {1} over {2} `]

7. [출제의도] 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 1``]행의 탁자에 보자기를 덮는 방법은 [eqn: 3!``]

이 때 [eqn: 2``]행의 탁자를 덮는 방법의 수는 [eqn: 1``]행에 있는 색을 제외해야 하므로 방법의 수는 [eqn: 2``]가지뿐이다.

같은 방법으로 [eqn: 3``]행의 탁자를 덮는 방법의 수는 [eqn: 1``]행과 [eqn: 2``]행의 색을 제외해야 하므로 [eqn: 1``]가지뿐이다.

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 3! TIMES 2 TIMES 1=12``]가지이다.

8. [출제의도] 확률의 성질을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: rm P it (B``|A`)=][eqn: rm {P it (A`` SMALLINTER B`) rm} over {rm P`` it (A) rm} ``][eqn: rm = {P it (A``) rm} over {rm P`` it (A) rm} =1````]∴참

ㄴ. [eqn: A,``B````]가 배반이면 [eqn: A SMALLINTER B=` phi ``]이므로

[eqn: rm P it (B``|A`)=][eqn: rm {P it (A`` SMALLINTER B`) rm} over {rm P`` it (A) rm} ``][eqn: rm = {P it ( phi `) rm} over {rm P`` it (A) rm} =0``] ∴참

ㄷ. [eqn: A,``B````]가 독립이면 [eqn: rm P it (A`` SMALLINTER B`) rm = rm P`` it (A) ․ rm P`` it (B)``]

[eqn: rm P it (A``) not= 0````], [eqn: rm P it (B``) not= 0````]이므로 [eqn: rm P it (A`` SMALLINTER B`) not= 0``]이지만

[eqn: A,``B````]가 배반이면 [eqn: rm P it (A`` SMALLINTER B`)=0``]이다. ∴ 거짓

9. [출제의도] 행렬의 거듭제곱을 이용하여 극한값을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A= pmatrix{~~2&~~1``#-1&-2``} ``]에서 [eqn: A ^{2} = pmatrix{~~2&~~1``#-1&-2``}][eqn: pmatrix{~~2&~~1``#-1&-2``} ``][eqn: =3E``]

∴ [eqn: A ^{4} =3 ^{2} E,``A ^{6} =3 ^{3} E,…,A ^{2n} =3 ^{n} E``]

∴[eqn: sum _{k=1} ^{n} A ^{2k} =3E+3 ^{2} E+3 ^{3} E+…+3 ^{n} E``][eqn: = {3(3 ^{n} -1)} over {2} E``]

∴ [eqn: a _{n} = {3(3 ^{n} -1)} over {2} ``], [eqn: a _{n+1} = {3(3 ^{n+1} -1)} over {2} ``]

∴[eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n+1}} over {2 ^{n} +a _{n}} ``][eqn: = lim _{n -> INF } {} {3 ^{n+2} -3} over {2 ^{n+1} +3 ^{n+1} -3`} ``][eqn: =3``]

10. [출제의도] 모평균의 신뢰구간 추정을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

표본평균으로부터 모평균을 추정할 때, 신뢰도 [eqn: alpha ``]에 해당하는 [eqn: z``]값을 [eqn: k``]라 하면

[eqn: A``:``240-k․ {12} over {sqrt {n _{1} `}} <= `m <= 240+k․ {12} over {sqrt {n _{1} `}} ``]

[eqn: B``:``230-k․ {10} over {sqrt {n _{2} `}} <= `m <= 230+k․ {10} over {sqrt {n _{2} `}} ``]

ㄱ. 표준편차가 작은 표본[eqn: B``]의 분포가 더 고르다.

∴참

ㄴ. [eqn: k․ {12} over {sqrt {n _{1}}} =3`], [eqn: k․ {10} over {sqrt {n _{2}}} =2`]이므로

[eqn: sqrt {n _{1}} =4k,``` sqrt {n _{2}} =5k``] ∴ [eqn: n _{1} =16k ^{2} ,````n _{2} =25k ^{2} ``]

∴ [eqn: n _{1} <n _{2} ``]	∴참

ㄷ. 신뢰도를 [eqn: alpha ``]보다 크게 하면  [eqn: k``]도 더 커지므로

[eqn: k․ {12} over {sqrt {n _{1}}} ``], [eqn: k․ {10} over {sqrt {n _{2}}} ``]의 값이 더 커진다.

따라서 신뢰구간의 길이도 커진다.   ∴ 참

11. ‘가’형과 동일

12. ‘가’형과 동일

13.  [출제의도]  로그함수를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm A it (k,``log _{2} `k)`], [eqn: rm B it (k,``log _{4} `k)`], [eqn: rm C it (k,``log _{8} `k)`]

[eqn: rm ` bar{AB} it `=`log _{2} k-log _{4} k=log _{2} k- {1} over {2} `log _{2} k= {1} over {2} `log _{2} k``]

[eqn: ` rm ` bar{BC} it =`log _{4} k-log _{8} k= {1} over {2} `log _{2} k- {1} over {3} `log _{2} k= {1} over {6} `log _{2} k``]

∴[eqn: {rm ` bar{AB} it} over {rm ` bar{BC} it} =` {{1} over {2} `log _{2} `k} over {{1} over {6} `log _{2} `k} =`3`]

14. ‘가’형과 동일

15. [출제의도] 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(ⅰ) [eqn: 1``]번 방에서 출발하는 경우: [eqn: 3``]가지

[eqn: 3``]번, [eqn: 4``]번, [eqn: 6``]번 방에서 출발하는 경우도 같으므로

[eqn: 3 TIMES 4`=12``](가지)

(ⅱ) [eqn: 2``]번 방에서 출발하는 경우: [eqn: 2``]가지

[eqn: 5``]번 방에서 출발하는 경우도 같으므로

[eqn: 2 TIMES 2`=4``](가지)

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 16``](가지)이다.

16. ‘가’형과 동일

17. ‘가’형과 동일

18. [출제의도] [eqn: SIGMA ``]의 공식을 이용하여 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(준식)[eqn: = sum _{k=1} ^{10} (2k+2`)``][eqn: =2 TIMES {10 TIMES11} over {2} +2 TIMES10``][eqn: =130``]

19. ‘가’형과 동일

20. ‘가’형과 동일

21. [출제의도] 행렬의 거듭제곱의 계산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A= pmatrix{``3&``1``#``0&``1``} ``], [eqn: A ^{2} = pmatrix{``3&``1``#``0&``1``}][eqn: pmatrix{``3&``1``#``0&``1``}][eqn: = pmatrix{```3 ^{2}&``1+3``#`0&``1``} ``],

[eqn: A ^{3} =AA ^{2} ``][eqn: = pmatrix{```3 ^{3}&~~1+3`+3^2`#`0&`````1``} ``], … ,

[eqn: A ^{6} = pmatrix{``3 ^{6}&``1+3+ CDOTS +3 ^{5} ``#``0&``1``}]

∴ [eqn: a _{6} =1+3+ CDOTS +3 ^{5} =364``]

22. [출제의도] 주어진 규칙에 따라 수열의 항을 추측할 수 있는가를 묻는 문제이다.

백의 자리수가 [eqn: 1``]인 자연수( [eqn: 1□△``])가 [eqn: 9`․`8=72``]개, 백의 자리수가 [eqn: 2``]인 자연수( [eqn: 2□△``])가 [eqn: 9`․`8=72``]개다.모두 [eqn: 144``]개 이므로 [eqn: 150``]번째 수는 백의 자리수가 [eqn: 3``]이고, 작은 수부터 [eqn: 6``]번째 수인 [eqn: 307``]이다.

23. [출제의도] 행렬의 성질을 이용하여 문제해결을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: cases{2x+4y=60#6x+3y=90} ``], [eqn: pmatrix{``2&```4``#``6&```3``} `` pmatrix{````x~#y`} ``= pmatrix{``60~#90`} ``]

[eqn: pmatrix{x#y} ``= {pmatrix{``2&```4``#``6&```3``}} ^{-1} `` pmatrix{````60~#90`} ``=- {1} over {18} pmatrix{~~3&-4~#-6&````2`} `` pmatrix{```60~#90`} ``]

∴ [eqn: A=- {1} over {18} pmatrix{~~3&-4~#-6&````2`} ``]

또한, [eqn: p=150x+120y``]이므로 [eqn: pmatrix{````p~} = pmatrix{150~120`} pmatrix{x#y} ``]

∴ [eqn: B= pmatrix{150~120`} ``]

따라서 [eqn: BA] [eqn: =- {1} over {18} pmatrix{150~120`} `` pmatrix{~~3&-4~#-6&````2`} ``][eqn: = PMATRIX { {15 ~}~`` { 20~}}``]

[eqn: a=15,``b=20``]이므로 [eqn: a+b=35``]

24. [출제의도] 로그함수의 그래프를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm P(2,``1)], [eqn: rm Q LEFT ( 3,``log _{4} ` {1} over {3} RIGHT ) ``],  [eqn: rm TRIANGLE PAB``][eqn: =` {1} over {2} ``]이므로

[eqn: rm TRIANGLE QCB``][eqn: `=` {1} over {2} LEFT ( log _{3} k-3 RIGHT ) TIMES LEFT ( -log _{4} {1} over {3} RIGHT ) = 1over2``]

[eqn: log _{3} k=3+log _{3} 4=log _{3} 108]  ∴ [eqn: k=108``]

25. ‘가’형과 동일

26. [출제의도] 간단한 지수함수의 값을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f(k)=3f(2)``], [eqn: 2 ^{k} =3 TIMES 2 ^{2} ``],

[eqn: k=`log _{2} `(3`․`2 ^{2} )`][eqn: =2+log _{2} `3``]

27. [출제의도] 부분분수의 합을 이용하여 무한급수의 합을 계산할 수 있는 가를 묻는 문제이다.

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {1} over {k(k+2`)} ``= sum _{k=1} ^{n} {1} over {2} LEFT ( {1} over {k} - {1} over {k+2} RIGHT ) ``]

[eqn: = {1} over {2} LEFT ( {1} over {1} + {1} over {2} - {1} over {n+1} - {1} over {n+2} RIGHT ) ``]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {8} over {n(n+2`)} ``=8`` lim _{n` -> ` INF } {} sum _{k=1} ^{n} {1} over {k(k+2`)} ``]

[eqn: =8`` lim _{n -> INF } {} {1} over {2} LEFT ( {1} over {1} + {1} over {2} - {1} over {n+1} - {1} over {n+2} RIGHT ) =6``]

28. [출제의도] 역행렬의 정의를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: (A+2E)(A+E)=E``], [eqn: A ^{2} +3A+2E=E``]

[eqn: A(A+3E)=-E``], [eqn: A(-A-3E)=E``]

∴ [eqn: A ^{-1} =`-A-3E``]

29. [출제의도] 상용로그의 지표의 성질을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: x,``y``]가 자연수이고 [eqn: m,``n``]이 지표이므로

[eqn: m,``n``]은 [eqn: m` >= `0``], [eqn: n` >= `0``]인 정수이다.

[eqn: m ^{2} +n ^{2} =`4``]인 경우는 다음 두 가지의 경우가 있다.

(ⅰ) [eqn: m=2,``n=0``]일 때,

[eqn: 2` <= `logx`<`3``]이므로 [eqn: 100 <= x<1000``]

[eqn: 0` <= `logy<`1``]이므로 [eqn: 1 <= y<10``]

[eqn: (x,``y`)``]의 개수는 [eqn: 900 TIMES 9=8100``]

(ⅱ) [eqn: m=0,``n=2``]일 때,

(ⅰ)의 경우와 순서만 바뀌므로

[eqn: (x,``y`)``]의 개수는 [eqn: 8100``]

따라서, 순서쌍 [eqn: (x,``y`)``]의 개수는[eqn: 8100+8100=16200``]

30. [출제의도] 경우의 수를 이용하여 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 5``]명이 [eqn: 5``]개의 좌석에 앉는 경우의 수는 [eqn: 5 ! = 120``]

(ⅰ) 자동차 [eqn: B``]에 탔던 [eqn: 2``]명끼리 자리를 바꾸어 앉고 나머지 [eqn: 3``]개의 좌석에 자동차 [eqn: A``]에서 온 [eqn: 3``]명이 자리에 앉는 경우의 수 [eqn: 3 ! = 6``](가지)

(ⅱ) 자동차 [eqn: B``]에 탔던 [eqn: 2``]명이 자신들이 앉지 않았던 [eqn: 3``]개의 좌석에 앉는 경우의 수 [eqn: ` _{3`} rm P _{2}], 그 각각의 경우에 대하여 자동차 [eqn: A``]에서 온 사람이 앉는 경우의 수는 [eqn: 3!`=6``](가지)이므로, [eqn: ` _{3} ` rm P it rm _{2} TIMES 3 ! =36``]

(ⅲ) 자동차 [eqn: B``]에 탔던 [eqn: 2``]명 중 [eqn: 1``]명은 다른 [eqn: 1``]명 자리로 가고 나머지 [eqn: 1``]명은 비었던 [eqn: 3``]자리에 앉는 경우의 수 [eqn: (4!`-3!`) TIMES 2=36``]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 6+36+36=78``]이므로 구하는 확률 [eqn: rm P``]는

[eqn: rm P= {78} over {120} = {13} over {20} ``]   [eqn: THEREFORE p+q=33``]