∙먼저 수험생이 선택한 유형의 문제지인지 확인하시오.

2005학년도 10월 인천광역시 고2 학업성취도평가 문제지

수리 영역 (나형)

성명			수험번호						2

제 2 교시

∙문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

∙답안지에는 반드시 ‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 수험 번호, 답, 응시 유형 등을 표기하시오.

∙단답형 문제의 경우 답의 숫자에 0이 포함될 때에는 OMR 답안지에 0을 반드시 표기해야 합니다.

∙문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

∙계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

고 2	수리 영역 (나형)

	수리 영역 (나형)	고 2

8

1. [eqn: log`2005-log`2.005`]를 간단히 하면? (단, 로그는 상용로그)

[[eqn: 2]점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

2. 역행렬이 존재하는 두 이차정사각행렬 [eqn: A`,```B```]에 대하여

[eqn: A=B ^{-1} LEFT ( {2} atop {5} {1} atop {3} RIGHT ) B``]를 만족할 때, 행렬 [eqn: BAB ^{-1} ``]의 모든 성분의 합은? (단, [eqn: X ^{-1``}]는 [eqn: X]의 역행렬) [[eqn: 2]점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

3. 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``]에 대하여 [eqn: a _{3} =8], [eqn: a _{2} +a _{4} +a _{6} =27] 일 때, 첫째항과 공차의 합은? [[eqn: 2]점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

4. 방정식 [eqn: x ^{2} +x ^{} +1=0``]의 허근을 [eqn: omega]라 할 때, [eqn: x ^{3} +1=0]의 허근을 [eqn: omega]로 나타내면? [[eqn: 3]점]

① [eqn: omega -1]	② [eqn: 2 omega -1]	③ [eqn: omega]

④ [eqn: omega +1]	⑤ [eqn: 2 omega +1]

5. 첫째항이 [eqn: 4``], 공비가 [eqn: 3``]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``]에서

[eqn: a _{1} a _{2} +a _{2} a _{3} +a _{3} a _{4} + CDOTS +a _{10} a _{11} ``] 의 값은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: 6 LEFT ( 9 ^{9} -1 RIGHT )]	② [eqn: 6 LEFT ( 9 ^{10} -1 RIGHT )]	③ [eqn: 6 LEFT ( 9 ^{11} -1 RIGHT )]

④ [eqn: 6 LEFT ( 9 ^{12} -1 RIGHT )]	⑤ [eqn: 6 LEFT ( 9 ^{13} -1 RIGHT )]

6. 아래와 같이 규칙적으로 수를 배열할 때, 제[eqn: 10] 행의 모든 수들의 합은? [[eqn: 3]점]

제[eqn: 1]행						[eqn: 1]
제[eqn: 2]행					[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 1]
제[eqn: 3]행				[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 2^2]	[eqn: 2]	[eqn: 1]
제[eqn: 4]행			[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 2^2]	[eqn: 2^3]	[eqn: 2^2]	[eqn: 2]	[eqn: 1]
제[eqn: 5]행		[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 2^2]	[eqn: 2^3]	[eqn: 2^4]	[eqn: 2^3]	[eqn: 2^2]	[eqn: 2]	[eqn: 1]
[eqn: VDOTS]			[eqn: VDOTS]		[eqn: VDOTS]		[eqn: VDOTS]		[eqn: VDOTS]

① [eqn: 1532]	② [eqn: 1534]	③ [eqn: 1536]

④ [eqn: 1538]	⑤ [eqn: 1540]

7. [eqn: log``3=0.4771], [eqn: log``1.04=0.0170], [eqn: log``5.47=0.7380``]일 때, 옳은 것을 <보기>에서 모두 고른 것은? (단, 로그는 상용로그)

[[eqn: 3]점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: log``5470=3.7380] ㄴ. [eqn: log``3.12=0.4941] ㄷ. [eqn: log``A=1.0170`]이면 [eqn: A=104] 이다. ㄹ. [eqn: log``B=-2.9830``]이면 [eqn: B=0.00104]이다.

① ㄱ, ㄴ	② ㄱ, ㄹ	③ ㄴ, ㄷ

④ ㄱ, ㄴ, ㄹ	⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ

8. 그림은 좌표평면 위에 [eqn: 9``]명의 학생들이 각각 [eqn: 1``]개의 다트 화살촉을 던진 결과이다. [eqn: rm A _{0}]는 원점, [eqn: rm A _{1}], [eqn: rm A _{5} ``]는 [eqn: x]축 위, [eqn: rm A _{3}], [eqn: rm A _{7} ``]는 [eqn: y``]축 위, [eqn: rm A _{2}], [eqn: rm A _{4}], [eqn: rm A _{6}], [eqn: rm A _{8} ``]는 각각 제[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4``]사분면에 꽂혔다. 다트 화살촉의 위치를 점 [eqn: {rm A} it _{n} it (a,```b)] [eqn: (n=0,``1,``2,``3,…,``8)``]로 나타낼 때, 부등식 [eqn: ax>b``]의 해가 존재하는 위치에 다트 화살촉을 던진 학생들에게 상품을 주기로 한다면 상품을 받을 학생은 모두 몇 명인가? [[eqn: 4]점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

9. 이차정사각행렬 [eqn: A,``B``]가 [eqn: A+A ^{-1} =E], [eqn: A=B ^{-1}]를 만족시킬 때, [eqn: A ^{2005} +B ^{``2006} ``]을 간단히 하면? (단, [eqn: E``]는 단위행렬, [eqn: O``]는 영행렬, [eqn: X ^{-1``}]는 [eqn: X]의 역행렬) [[eqn: 3]점]

① [eqn: -2E]	② [eqn: -E]	③ [eqn: O]

④ [eqn: E]	⑤ [eqn: 2E]

10. 이차정사각행렬 [eqn: A,````B``]에 대하여 옳은 것을 <보기>에서 모두 고른 것은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬, [eqn: O``]는 영행렬, [eqn: X ^{-1``}]는 [eqn: X]의 역행렬) [[eqn: 3]점]

		<보 기>
	ㄱ. 역행렬이 존재하는 [eqn: A,``B``]에 대하여 [eqn: (AB``) ^{-1} =B ^{-1} A ^{-1}] ㄴ. 역행렬이 존재하는 [eqn: A,``B``]에 대하여 [eqn: (A+B``) ^{-1} =B ^{-1} +A ^{-1}] ㄷ. [eqn: AB=O``]이면 [eqn: LEFT ( A+B``` RIGHT ) ^{`2} =A ^{2} `+B ^{``2}] ㄹ. [eqn: A ^{2} ``+2A-3E=O``]이면 [eqn: A+E``]의 역행렬이 존재한다.

① ㄱ, ㄷ	② ㄱ, ㄹ	③ ㄴ, ㄹ

④ ㄱ, ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄷ, ㄹ

11. 첫째항부터 [eqn: n``]항까지의 합이 [eqn: S _{n} =A``n ^{2} +`B``n`+`C```]인 등차수열의 일반항이 [eqn: a _{n} =4n+4`(n >= 1)``]일 때, [eqn: A+B-C``]의 값은? (단, [eqn: A,`````B,`````C```]는 상수) [[eqn: 3]점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

12. 행렬 [eqn: A= pmatrix{``a````&b#c````&d``} ,```B= pmatrix{``e````&f#g````&h``} ``]에 대하여 연산[eqn: ＊]을

[eqn: A`＊B= pmatrix{``ae````&bf#cg````&dh``} ``]라고 정의할 때, 옳은 것을 <보기>에서 모두 고른 것은? [[eqn: 4]점]

		<보 기>
	ㄱ. 행렬 [eqn: A,``B``]에 대하여 [eqn: A`＊B=B`＊A] ㄴ. 행렬 [eqn: A,``B,``C``]에 대하여 [eqn: A`＊(B``＊C``)=(A``＊B``)`＊C] ㄷ. 행렬 [eqn: A,``B``]에 대하여 두 행렬의 역행렬이 각각 존재하면 [eqn: A`＊B``]의 역행렬도 존재한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

13. 반지름이 [eqn: 2``]인 원에 외접하는 삼각형 [eqn: rmABC``]가 있다. 이 삼각형의 넓이가 [eqn: 24``]이고, 세 변의 길이 [eqn: a,````b,````c``]가 순서대로 등차수열을 이룰 때, [eqn: b``]의 값은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

14. 그림과 같이 단위원 [eqn: rmO``]위의 한 점 [eqn: rmA``]에서의 접선이 [eqn: x,~`y```]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmC,~D``]라 하고, 점 [eqn: rmA``]에서 [eqn: x``]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm B`], [eqn: ANGLE {rmAOB`}=` theta ``]라 할 때, [eqn: tan` theta `+cot` theta `=`] 임을 증명하는 과정이다.

(다)

	<증명> [eqn: rmbar{OA`} BOT ` bar{CD} ,~` bar{AB} ` BOT ` bar{OC} ```]이므로 [eqn: rmTRIANGLE OAB,~ TRIANGLE OCA,~ TRIANGLE DOA``]는 모두 직각삼각형이다. 따라서, [eqn: rmANGLE AOB```=`] [eqn: =`` theta `] (가) [eqn: rmTRIANGLE OCA`]에서 [eqn: tan` theta `=` rm{bar{AC}} over {bar{OA}} `=` bar{AC} ``] [eqn: CDOTS ㉠] [eqn: rmTRIANGLE ODA``]에서 [eqn: cot` theta =``] [eqn: CDOTS ㉡] (나) ㉠과 ㉡에서 [eqn: tan` theta `+`cot` theta ``=` bar{rmAC} ``+``] [eqn: =``] (나) (다)

(가), (나), (다) 에 알맞은 것은? [[eqn: 4]점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: ANGLE rmCAB`]	[eqn: bar{rm AD it} `]	[eqn: bar{rmOB} `]
②	[eqn: ANGLE rmCAB`]	[eqn: bar{rmOA`} `]	[eqn: bar{rm CD it} ``]
③	[eqn: ANGLE rmCAB`]	[eqn: bar{rmAD} `]	[eqn: bar{rmOC} ``]
④	[eqn: ANGLE rmODA`]	[eqn: bar{rmBC} ``]	[eqn: bar{rmOC} ``]
⑤	[eqn: ANGLE rmODA`]	[eqn: bar{rmAD} `]	[eqn: bar{rmCD} `]

15. 그림은 두 함수 [eqn: y=`ax` ^{2} `]과 [eqn: y=`bx`+`c`]의 그래프이다.

이 때, 함수 [eqn: y=`a` sqrt {b(x-1)} -`c``]의 그래프의 개형은? [[eqn: 4]점]

①	②

③	④

⑤

16. 금년 [eqn: 1] 월 초에 은행에서 [eqn: 100] 만원을 대출받아 그 해 [eqn: 1] 월 말부터 매달 일정금액으로 [eqn: 1]년 간 상환하려고 한다. 이 때, 매달 상환해야할 금액은? (단, 월이율은 [eqn: 1%]이고 매달 복리로 계산한다. [eqn: 1.01` ^{`12`} =`1.`125``]) [[eqn: 4]점]

① [eqn: 88,000]	② [eqn: 88,500]	③ [eqn: 89,000]

④ [eqn: 89,500]	⑤ [eqn: 90,000]

17. 그림과 같이 [eqn: x``]축 위에 한 변의 길이가 [eqn: 2``]인 정삼각형 [eqn: rm OAB``]가 있다. 점 [eqn: rm A``]를 중심으로 정삼각형을 시계방향으로 회전하여 점 [eqn: rm B``]가 처음으로 [eqn: x``]축 위에 올 때, 이 정삼각형의 무게중심이 움직인 거리는? [[eqn: 3]점]

① [eqn: {2 sqrt {3}} over {9} pi]	② [eqn: {sqrt {3}} over {3} pi]	③ [eqn: {4 sqrt {3}} over {9} pi]

④ [eqn: {5 sqrt {3}} over {9} pi]	⑤ [eqn: {2 sqrt {3}} over {3} pi]

18. 별의 밝기를 수치로 나타내기 위해 등급을 사용하는데 [eqn: 1]등급이 작아지면 밝기는 [eqn: ` ^{} root {5} of {100}]배가 밝아진다. 이 사실을 이용하여 천체 물리학자 포그슨은 등급이 [eqn: m _{1} ,````m _{2}]인 두 별의 밝기를 각각 [eqn: l _{1} ,````l _{2}]라 할 때, [eqn: m _{1} -m _{2} ``=` {5} over {2} ` LEFT ( log``l _{2} ```-log``l _{1} RIGHT ) ``]인 관계가 있음을 밝혀냈다. 이 관계를 이용하여 [eqn: a`]등급인 별보다 [eqn: 10 ^{6} ``]배가 밝은 별의 등급을 [eqn: b`]라 할 때, [eqn: a-b`]의 값은? (단, 로그는 상용로그) [[eqn: 3]점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15]

19. 원에 내접하는 사각형 [eqn: rm ABCD`] 에서 [eqn: ANGLE rm A=60 DEG ,] [eqn: rm bar{AB} =8 sqrt {3}][eqn: rm bar{AD} =5 sqrt {3}] , 점 [eqn: rm C] 는 호 [eqn: rm BD] 의 이등분점일 때, [eqn: rm barBC] 의 길이는?

[[eqn: 3]점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 4 sqrt {3}]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 7sqrt3]

20. [eqn: log`10`x]의 지표를 [eqn: p], [eqn: log`` {10} over {x} ``]의 지표를 [eqn: q``]라 하면, [eqn: p ^{2} - {1} over {3} q ^{2}]의 최소값은? (단, 로그는 상용로그이며 [eqn: log``x]의 가수는 [eqn: 0]이 아니다.) [[eqn: 4]점]

① [eqn: - {1} over {2}]	② [eqn: - {1} over {3}]	③ [eqn: - {1} over {4}]

④ [eqn: - {1} over {5}]	⑤ [eqn: - {1} over {6}]

21. 그림과 같이 기울기가 양인 두 직선 [eqn: l], [eqn: m``]이 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} `=2``] 위의 점[eqn: (- sqrt {2} ,````0)]과 [eqn: (0,````- sqrt {2} )]를 각각 지나고, 원 위에서 만난다. 두 직선으로 잘린 어두운 부분의 두 활꼴의 넓이가 같을 때, 직선 [eqn: l], [eqn: m``]의 기울기의 합은? [[eqn: 4]점]

[eqn: m]

[eqn: l]

① [eqn: sqrt {2}]	② [eqn: 2 sqrt {2}]	③ [eqn: 3 sqrt {2}]

④ [eqn: 4 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 5 sqrt {2}]

단답형(22～30)

22. [eqn: 9 ^{20} TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{30} ÷27 ^{10} TIMES 4 ^{20} =6 ^{n}] 일 때, [eqn: n]의 값을 구하시오.

[[eqn: 3]점]

23. 이차정사각행렬 [eqn: A= pmatrix{``1&``````2#``3&``````4``} ,```B= pmatrix{``4&````````1#0&``-2``}]에 대하여

행렬 [eqn: X,```Y``]가 [eqn: cases{X+2Y=5A&#2X-Y=5B&}]를 만족할 때, 행렬 [eqn: X]의 모든 성분의 합을 구하시오. [[eqn: 3]점]

24. 첫째항부터 [eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n} =Ar ^{n} +B``]를 만족하는 등비수열[eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 있다. 이 때, [eqn: 10 ^{A} +10 ^{B+2}]의 최소값을 구하시오.

(단, [eqn: A,```B``]는 상수) [[eqn: 3]점]

25. 유리수 [eqn: {73} over {14} ``]은 [eqn: {73} over {14} =5+ {1} over {4+ {1} over {1+ {1} over {2}}}]로 표현할 수 있다.   이 때, 유리수 [eqn: {95} over {9} ``]를 [eqn: {95} over {9} =a+ {1} over {b+ {1} over {c+ {1} over {d}}}]로 표현할 때, [eqn: a+b+c+d]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a,```b,```c,```d`]는 자연수) [[eqn: 4]점]

26. 모든 자연수 [eqn: n] 에 대하여

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``]이 [eqn: a _{1} +2a _{2} +3a _{3} +` CDOTS +na _{n} =n ^{3} -n]을 만족할 때, [eqn: a _{10}``]의 값을 구하시오. [[eqn: 4]점]

27. [eqn: (0.8) ^{100}]은 소수점 아래 제 [eqn: n]번째 자리에서 처음으로 [eqn: 0]이 아닌 숫자가 나타난다. 이 때, [eqn: n]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: log```2`=`0.3010`], [eqn: log`1.25=0.0969]) [[eqn: 4]점]

28. 이차방정식 [eqn: x ^{2} -4x+k=0]의 한 근을 반올림한 것이 [eqn: 3``]일 때, 정수 [eqn: k``]값들의 합을 구하시오. [[eqn: 4]점]

29. 가로 [eqn: 27㎝], 세로 [eqn: 40`㎝`]인 그림을 축소 복사하여 가로 [eqn: 9`㎝`], 세로 [eqn: 16㎝`]이하로 하려고 한다. 이 때, 축소비율을 [eqn: 81%`]로 맞추어 복사를 한다면 최소 [eqn: n]번 반복해야 한다. [eqn: n]의 값을 구하시오. (단, [eqn: log```2`=`0.3010`], [eqn: log```3`=`0.4771`]) [[eqn: 4]점]

30. 그림과 같이 번호를 붙여가면서 순서에 따라 성냥개비로 정삼각형을 만들어 나간다고 할 때, [eqn: 95]번째 정삼각형까지 만드는 데 필요한 성냥개비의 수를 구하시오. [[eqn: 4]점]

● 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.