	정답 및 해설	고 1

2005학년도 10월 인천광역시 고2 학업성취도평가

정답 및 해설

고 2	정답 및 해설

	정답 및 해설	고 2

4

수리 영역

“가형”정답

1	③	2	①	3	⑤	4	④	5	②
6	②	7	①	8	⑤	9	③	10	②
11	③	12	③	13	②	14	④	15	①
16	④	17	③	18	⑤	19	②	20	②
21	④	22	10	23	3	24	20	25	25
26	340	27	201	28	13	29	6	30	400

해설

• 2교시 수리 ‘가’ 영역 •

1. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 계산하기

[eqn: `````````log2005-log2.005# =`log(2.005 TIMES 1000)-log2.005# =`3+log2.005-log2.005# =`3]

2. [출제의도] 역행렬의 성질을 이용하여 계산하기

[eqn: A=B ^{-1} pmatrix{2&1#5&3} B]

[eqn: BAB ^{-1} = pmatrix{2&1#5&3}]

(성분의 합)[eqn: =][eqn: 2+1+5+3=11]

[eqn: THEREFORE ````11]

3. [출제의도] 등차수열의 일반항을 이용하여 계산하기

첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: `a _{3} =a+2d=8]  [eqn: CDOTS] ㉠

[eqn: a _{2} +a _{4} +a _{6} =3a+9d=27] [eqn: CDOTS]㉡

㉠과 ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a=6,``d=1]

[eqn: THEREFORE ``a+d=7]

4. [출제의도] 방정식의 허근 구하기

[eqn: x ^{2} +x+1=0]의 허근 [eqn: omega = {-1± sqrt {3} i} over {2}]

[eqn: x ^{3} +1=0] 에서 허근은 [eqn: x ^{2} -x+1=0]의 근이므로

[eqn: x= {1± sqrt {3} i} over {2} = omega +1]

[eqn: ∴``x= omega +1]

5. [출제의도] 등비수열의 일반항을 이용하여 합 구하기

주어진 등비수열[eqn: LEFT { a_n RIGHT }] 의 일반항 [eqn: a _{n} =4 `․ `3 ^{n-1}`]

[eqn: b_n =a_n ․ ``a_n+1 = (4 `× `3^n-1 )(4 `×` 3^n )]에서

수열 [eqn: LEFT { b_n RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 48], 공비가 [eqn: 9] 인 등비수열이다.

따라서, 수열 [eqn: LEFT { b_n RIGHT }]의 열 번째 항까지의 합

[eqn: S_10 =] [eqn: {48 (9^10 -1)} over {9-1 } = 6 (9^10 -1)]

6. [출제의도] 군수열의 성질을 이용하여 문제 해결하기

짝수만 군수열을 만들면

[eqn: (2),`(4,`6),`(8,`10,`12),` CDOTS `,`(n _{1} `` CDOTS `)]

[eqn: n]군의 첫째항 [eqn: n _{1} =n ^{2} -n+2]이다.

[eqn: 15]군의 첫째항은 [eqn: 212]이고, 공차는 [eqn: 2]이다.

따라서 [eqn: 222]는 [eqn: 15]군의 [eqn: 6]번째 항이 된다.

그런데 1군은 위로부터 두 번째부터 시작하므로 [eqn: 15]군은 위로부터 [eqn: 16]번째이다. 따라서 [eqn: i=16]

왼쪽으로부터 [eqn: 6]번째 항이지만 홀수와 짝수가 교대로 나타난다. 따라서 [eqn: j=12]

[eqn: THEREFORE `i+j=28]

7. [출제의도] 극한값 계산하기

[eqn: log``n=a _{n} + alpha ``(0 <= alpha <1)`]라 하면

[eqn: lim _{ n->inf} { a_n } = INF]

[eqn: lim _{ n->inf} { { a_n + alpha +2 } over {a_n +1 `}` }`= lim _{n ->inf } { { 1+ { alpha } over {a_n } + { 2} over {a_n } } over { 1+ { 1} over { a_n } } }=1]

8. [출제의도] 일차부등식의 성질을 이용하여 부등식의 해 구하기

[eqn: ax>b]의  해가 존재하는 경우는 다음 두 가지이다.

[eqn: {rm{i}})`a != 0] 인 경우 : [eqn: rmA _{1````} ,`A _{2} `,`A _{4} `,`A_5 `,`A_6 `,`A_8]

[eqn: {rmii})`a=0,``b<0]인 경우 : [eqn: rmA _{7}]

[eqn: THEREFORE ``7](개)

9. [출제의도] 지수함수와 로그함수의 관계를 이용하여 그래프 이해하기

ㄱ. 존재한다.

ㄴ. [eqn: x>0]에서 [eqn: h(x)]가 증가함수가 아니다.

(반례) [eqn: x_1 = { 1} over { 2}`,`x_2 =1]

ㄷ. [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]는 [eqn: y=x]에 서로 대칭이다.

10. [출제의도] 행렬의 성질 이해하기

ㄱ. [eqn: (AB)^-1 =B^-1 A^-1]

ㄴ. (반례) [eqn: A=E`, ``B=-E]

ㄷ. [eqn: AB=O]이 성립한다고 해서 반드시 [eqn: BA=O]이 성립하는 것은 아니다.

(반례) [eqn: A= pmatrix { 1`& 0`# 0`&0 `}], [eqn: B= pmatrix { 0`& 0`# 1`&0 `}]

ㄹ. [eqn: (A+E)^-1 = { 1} over { 4}(A+E)]

11. [출제의도] 수열의 귀납적 정의로 표현된 수열의 일반항 구하기

[eqn: ``a _{n+1} (a _{n} +2)=2a _{n} +1]

[eqn: (a _{n+1} +1)(a _{n} +2)=a _{n+1} (a _{n} +2)+a _{n} +2]

[eqn: =(2a _{n} +1)+a _{n} +2]

[eqn: =3(a_n +1)]      [eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: (a _{n+1} -1)(a _{n} +2)=a _{n} -1]         [eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠ [eqn: ÷] ㉡에서  [eqn: {a _{n+1} +1} over {a _{n+1} -1} = {3(a _{n} +1)} over {a _{n} -1}] 이므로

수열 [eqn: LEFT { {a _{n} +1} over {a _{n} -1} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: {a _{1} +1} over {a _{1} -1} =3] , 공비가 [eqn: 3] 인 등비수열이다.

따라서,  [eqn: {a _{n} +1} over {a _{n} -1} =3 `× `3 ^{n-1} =3 ^{n}]

[eqn: THEREFORE ``a _{n} = {3 ^{n} +1} over {3 ^{n} -1}]

12. [출제의도] 행렬에서 정의된 연산 이해하기

ㄱ. [eqn: A＊B= pmatrix{ae``&bf#cg``&dh} = pmatrix{ea&``fb#gc&``hd} =B＊A]

ㄴ. [eqn: C= pmatrix { p&q #r & s}]라 할 때,

[eqn: A＊(B＊C)= pmatrix{a&``b#c&``d} ＊ pmatrix{ep&``fq#gr&``hs} = pmatrix{a(ep)&``b(fq)#c(gr)&``d(hs)}]

[eqn: = pmatrix { (ae)p&``(bf)q #(cg)r &``(dh)s }=(A＊B)＊C]

ㄷ. (반례) [eqn: A= pmatrix { 1&0 #0 & 1}], [eqn: B= pmatrix { 0&1 #1 & 0}]

13. [출제의도] 로그부등식 계산하기

지수방정식 [eqn: 4 ^{x} -5 `․` 2 ^{x+2} +64=0]에서

[eqn: 2^x = t][eqn: (t>0)]라 하면

[eqn: t^2 -20 t +64=(t-16)(t-4)=0]

[eqn: 2^x =4`] 또는 [eqn: 16]

[eqn: ∴``alpha =2,`` beta=4]

로그부등식 [eqn: (log _{2} x) ^{2} +log _{2} x ^{a} +b <= 0] 에서

[eqn: log _{2} x=s][eqn: (x>0)]라 하면

[eqn: s ^{2} +as+b≦0] 이고,

[eqn: alpha≦x≦ beta]에서 [eqn: 2≦x≦ 4] 이므로

[eqn: 1 <= log _{2} x <= 2]이다. 즉, [eqn: 1 <= s <= 2]

따라서 [eqn: s ^{2} +as+b=(s-1)(s-2)≦0] 이므로 [eqn: a=-3,] [eqn: b=2]

[eqn: THEREFORE ``a+b=-1]

14. [출제의도] 로그함수의 그래프 이해하기

[eqn: log_2 x = X] 라 하면 [eqn: X] 와 [eqn: y]는

두 점 [eqn: ( 1over2 ,``0)], [eqn: ( 1,``1)]을 지나는 직선이므로 [eqn: y-0 = {1-0}over{1- 1over2} (X- 1over2 )]이다.

따라서 [eqn: y=2(log_2 x - 1over2 ) = 2 log_2 x -1]이다.

그러므로 [eqn: y=2log_2 x]의 그래프를 [eqn: y]축 음의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 그래프이다.

15. [출제의도] 무리함수의 그래프 이해하기

[eqn: y=ax^2] 은 점 [eqn: (1,``1)]을 지나므로 [eqn: a=1]

[eqn: y=bx+c]는 두 점 [eqn: (1,``1)], [eqn: (-2,``4)]를 지나므로 [eqn: y = {```````4-1} over {-2-1} (x-1)+1=-x +2]

[eqn: ∴`a=1,``b=-1,``c=2]

따라서 [eqn: y=a sqrtb(x-1) -c=sqrt-(x-1) -2] 의 그래프는 [eqn: y=sqrt-x]의 그래프를 [eqn: x]축으로 [eqn: 1]만큼, [eqn: y]축으로 [eqn: -2]만큼 평행이동시킨 그래프이다.

16.  [출제의도] 합을 [eqn: sum _{ } ^{ }]를 이용하여 표현하기

[eqn: LEFT ( <50>-< {50} over {2} > RIGHT ) + LEFT ( < {50} over {2} >-< {50} over {2 ^{2}} > RIGHT ) + CDOTS]

[eqn: ```````````… + LEFT ( < {50} over {2 ^{n-1}} >-< {50} over {2 ^{n}} > RIGHT )]

[eqn: =< 50 over 2 - 1 over 2 > + <{50 over 2^2 } - 1 over 2 > +cdots< {50 over2^n } - 1 over2 >]

[eqn: = sum _{ k=1} ^{n } < {50 over 2^k} - 1over2 >]

[eqn: THEREFORE ``pq=50`×`(- {1} over {2} )=-25]

17. [출제의도] 도형의 이동을 통한 무게중심의 이동거리 구하기

정삼각형 [eqn: rmOAB]의 무게중심을 [eqn: rm G], 이동된 정삼각형 [eqn: rm OAB]의 무게중심을 [eqn: rm G prime]라면 [eqn: rm bar AG]와 [eqn: rm barAG prime]은 [eqn: rmANGLEOAB]를 각각 이등분하므로 [eqn: rm ANGLEGAG prime = 120 DEG]이고, [eqn: rm barAG]와 [eqn: rm barAG prime]의 길이는 점 [eqn: rm A]에서 [eqn: rm barOB]에 그은 중선의 길이의 [eqn: { 2} over {3 }]이다.

중선의 길이는 [eqn: sqrt3]이므로 무게중심의 이동거리는 반지름 [eqn: {2sqrt3} over3]이고, 중심각이 [eqn: 120DEG]인 호의 길이이다.

[eqn: (]호 [eqn: rmGG']의 길이)[eqn: = {2sqrt3}over3 times { 2pi} over { 3} = {4sqrt3 pi} over 9]

18. [출제의도] 로그를 활용하여 실생활 문제해결하기

[eqn: m_1 - m_2 = { 5} over { 2} (log ```l_2 -log ```l_1 )]에서

[eqn: m_1 =a ,```m_2 =b,``` { l_2} over { l_1}=10^6]

[eqn: ∴``a-b=15]

19. [출제의도] 수열의 극한값에 대한 성질 이해하기

ㄱ. [eqn: ` lim _{n -> INF } {LEFT ( a _{n} -b _{n} RIGHT )}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {a _{n}} - lim _{n -> INF } {b _{n}} = alpha - alpha =0] (참)

ㄴ. [eqn: a_n =n^2 ,``b_n = { 1} over {n }]이라 하면

수열 [eqn: LEFT{ { a_n} `RIGHT }]은 발산하고,

수열  [eqn: LEFT{ { b_n}` RIGHT }]은 수렴하지만 [eqn: a_n b_n = n]이므로

수열 [eqn: LEFT{ { a_n b_n} `RIGHT }]은 발산한다. (거짓)

ㄷ. [eqn: a _{n} = n,``b _{n} = -n] 이라 하면

수열 [eqn: LEFT { a _{n } ` RIGHT } , ``LEFT { b _{n } `RIGHT }]은 발산하지만

[eqn: a_n + b_n =0]이므로

수열 [eqn: LEFT{ { a_n + b_n } `RIGHT }]은 수렴한다. (거짓)

ㄹ. [eqn: LEFT{ { a_n} `RIGHT }]이 양의 무한대로 발산하고,

[eqn: LEFT{ { a_n -b_n} `RIGHT }]이 수렴하므로 [eqn: lim _{n -> INF } {} LEFT { {a _{n} -b _{n}} over {a _{n}} RIGHT } =0]

∴ [eqn: LEFT{ { b_n} over {a_n} `RIGHT }]은 수렴한다.(참)

20. [출제의도] 지표와 가수의 성질을 이용하여 이차함수의 최소값 구하기

[eqn: log`x=n+ alpha] [eqn: (0< alpha<1)]라 하면

[eqn: log10`x=1+log`x=(1+n)+ alpha```]

[eqn: log { 10`} over {x` }=1-log`x=-n+(1- alpha`)````]

따라서 [eqn: p=n+1,``q=-n]이다.

[eqn: p ^{2} - { 1} over {3 } q ^{2} =(n+1) ^{2} - { 1} over {3 } (-n) ^{2}]

[eqn: ={ 2} over {3 } (n+ { 3} over { 2})^2 - { 1} over {2 } `]

[eqn: n]은 정수이므로 [eqn: n=-1,`-2]일 때, 최소값 [eqn: -{ 1} over {3 }]을 갖는다.

21. [출제의도] 무한등비급수의 합을 이용하여 도형의 넓이의 합 구하기

[eqn: △rmPQR]의 넓이는 [eqn: □rmABCD]의 넓이의 [eqn: { 1} over { 8}]이므로 [eqn: △rmPQR]의 넓이는 [eqn: 2]이다.

[eqn: △rmP_1 Q_1 R_1]의 넓이는 [eqn: □rmQ B_1 C_1 R]의 넓이의 [eqn: { 1} over { 8}]이므로 [eqn: △rmP_1 Q_1 R_1]의 넓이는 [eqn: { 1} over { 2}]이다.

[eqn: △rmP`Q`R +][eqn: △rmP_1 Q_1 R_1 + △P_2 Q_2 R_2 +…] 은 첫째항이 [eqn: 2]이고 공비가 [eqn: { 1} over { 4}]인 무한등비급수이다.

따라서

[eqn: △rmP`Q`R +][eqn: △rmP_1 Q_1 R_1 + △P_2 Q_2 R_2 +…] [eqn: = {2} over {1- {1} over {4}} = {8} over {3}]

22.【출제의도】지수의 성질 이용하여 식을 간단히 하기

[eqn: ````````9 ^{20} TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{30} ÷27 ^{10} TIMES 4 ^{20}# =3 ^{40} TIMES 2 ^{-30} ÷3 ^{30} TIMES 2 ^{40}# =3 ^{10} TIMES 2 ^{10} = LEFT ( 3 TIMES 2 RIGHT ) ^{10} =6 ^{10}]

[eqn: THEREFORE n=10]

23.【출제의도】이차방정식의 근과 계수와의 관계를 이용하여 무한등비급수의 합 구하기

이차방정식 [eqn: 3x ^{2}-7x+2=0]에서

(두 근의 곱)[eqn: =alpha beta = {2} over {3}]

수열[eqn: LEFT { a _{n} b _{n} `RIGHT }]은 첫째항이 이고, 공비가 인 무한등비수열이다.

따라서 무한등비급수의 합은 [eqn: { 1} over { 1- { 2} over {3 } }=3]

24.【출제의도】등비수열의 합의 성질을 이용하여 최소값 구하기

[eqn: a_n =S_n - S_n-1 `(n>=2)]에서

[eqn: a_n = (Ar^n +B) -(Ar^n-1 +B) =(r-1)Ar^n-1]

[eqn: a_1 =S_1]이어야 하므로

[eqn: (r-1)A=Ar+B]에서 [eqn: A+B=0]

[eqn: 10^A +10^B+2 >= 2 sqrt { 10`^A+B+2}=20]

(등호는 [eqn: 10^A =10^B+2]일 때 성립한다.)

(별해)

첫째항이 [eqn: a_1]이고, 공비가 [eqn: r]인 등비수열의 합 [eqn: S_n = { a_1} over {r-1 }r^n - { a_1} over {r-1 }=Ar^n +B``(r≠1)``]이므로

[eqn: A+B=0]

[eqn: 10^A +10^B+2 >= 2 sqrt { 10`^A+B+2}=20]

(등호는 [eqn: 10^A =10^B+2]일 때 성립한다.)

25. 【출제의도】지수함수와 로그함수의 그래프에서 사각형의 넓이 구하기

[eqn: y=f(x)]는 [eqn: y=log _{2} ``x]와 역함수 관계이므로 [eqn: y=f(x)=2^x]

따라서 [eqn: {rmA}(1,`0)], [eqn: {rmB}(2,`1)], [eqn: {rmC}(2,`4)], [eqn: {rmD}(1,`2)]에서

사다리꼴 [eqn: rmABCD]의 넓이

[eqn: S={ 1} over {2 }×(2+3)×1= { 5} over {2 }]

[eqn: ∴``10S=25]

26.【출제의도】계차수열의 일반항을 이용하여 수열의 합 구하기

모든 자연수 [eqn: `k``]에 대하여 두 점 [eqn: rmP, ``Q]를 지나는 직선 [eqn: rm`PQ``]의 기울기는

[eqn: {f`` LEFT ( `k`+`1` RIGHT ) `-`f`(`k``)`} over {(``k+`1``)`-`k} `=`2k`]

[eqn: f`(`k+`1`)`-`f`(`k`)`=`2`k`]

[eqn: LEFT { `f`(``k``)` RIGHT } `]는 [eqn: `f`(`1`)`=`1`], 계차가 [eqn: 2k]인 계차수열이다.

따라서 [eqn: f``(``k``)`=``f``(`1`)`+` sum _{t`=`1} ^{k-1} `2`t```]

[eqn: `=`k` ^{2} `-`k``+`1``]

[eqn: THEREFORE ``` sum _{k`=`1} ^{10} `f`(``k`)`=` {10` TIMES 11` TIMES 21`} over {6} ``-` {10` TIMES `11} over {2} ``+`10``]

[eqn: =`340`]

27.【출제의도】부분분수를 이용한 수열의 합 구하기

[eqn: y= { 1-x} over { x}], [eqn: y=k`]의

교점의 [eqn: x]좌표  [eqn: f(k)= { 1} over {k+1 }]

[eqn: y= { 1} over { x}], [eqn: y=k`]의 교점의 [eqn: x]좌표 [eqn: g(k) = { 1} over {k }]

따라서 [eqn: sum _{ k=1} ^{100 } f(k)g(k)``= sum _{ k=1} ^{100 } { 1} over { k(k+1)}#``````````````````````````````````````````````= sum _{ k=1} ^{100 }( { 1} over {k }- { 1} over {k+1 })= { 100} over { 101}]

[eqn: ∴`a+b=201]

28.【출제의도】무한급수가 수렴할 조건과 무한급수의 합을 이용하여 극한값 구하기

[eqn: `S` _{n`} `=`(a _{1} -1)+(a _{2} -1)+(a _{3} -1)+…# ```````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````` CDOTS `+(a _{n} -1)]

무한급수 [eqn: lim _{n``-> `` INF } {S` _{n`}} =`10`]이므로

[eqn: lim _{n`-> ` INF } {LEFT ( `a` _{n`} -`1` RIGHT ) `=`0`}],

[eqn: THEREFORE ` lim _{n`-> ` INF } {a` _{n} `=`1}]

[eqn: ∴ lim _{n` -> ` INF } {` LEFT ( ``a` _{n`} `+`S` _{n`} `+`2` RIGHT ) `}]

[eqn: `=` lim _{n`-> ` INF } {a _{n} ``+` lim _{n`-> ` INF } {S` _{n}} `+`2``=`13``}]

29.【출제의도】로그를 활용하여 실생활에 관련된 수학 외적상황의 문제해결하기

가로 : [eqn: {9} over {27} `=` {1} over {3} `], 세로 : [eqn: {16} over {40} `=` {2} over {5} `]이므로

그림을 [eqn: {1} over {3} `]이하로 축소 복사해야 한다.

따라서 [eqn: `` LEFT ( ` {81} over {100} ` RIGHT ) ^{n} ` <= {1} over {3} ``]

[eqn: n` LEFT ( `log``81`-`log``100` RIGHT ) ` <= `-log`3`]

[eqn: n`` LEFT ( ``4`log``3``-`2` RIGHT ) ` <= `-`log`3`]

[eqn: n` >= ` {-`log`3```} over {4`log`3``-`2``} `]

[eqn: n`` >= ` {0.`4771`} over {0.`0916`} `=`5.2×××`]

[eqn: ∴`6](회)

30.【출제의도】계차수열의 일반항 구하기

[eqn: a_1 =5,``a_2 =a_1 +2×4,``a_3 = a_2 +3×4,``…]

[eqn: a_n =a_n-1 +4n]

[eqn: ∴`a_100 -a_99 =400]

“나형”정답

1	③	2	①	3	⑤	4	④	5	②
6	②	7	④	8	⑤	9	③	10	②
11	④	12	③	13	④	14	⑤	15	①
16	⑤	17	③	18	⑤	19	③	20	②
21	②	22	10	23	16	24	20	25	16
26	27	27	10	28	5	29	6	30	157

해설

• 2교시 수리 ‘나’ 영역 •

1. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 계산하기

[eqn: `````````log2005-log2.005# =`log(2.005 TIMES 1000)-log2.005# =`3+log2.005-log2.005# =`3]

2. [출제의도] 역행렬의 성질을 이용하여 계산하기

[eqn: A=B ^{-1} pmatrix{2&1#5&3} B]

[eqn: BAB ^{-1} = pmatrix{2&1#5&3}]

(성분의 합)[eqn: =][eqn: 2+1+5+3=11]

[eqn: THEREFORE ````11]

3. [출제의도] 등차수열의 일반항을 이용하여 계산하기

첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: `a _{3} =a+2d=8]  [eqn: CDOTS] ㉠

[eqn: a _{2} +a _{4} +a _{6} =3a+9d=27] [eqn: CDOTS]㉡

㉠과 ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a=6,``d=1]

[eqn: THEREFORE ``a+d=7]

4. [출제의도] 방정식의 허근 구하기

[eqn: x ^{2} +x+1=0]의 허근 [eqn: omega = {-1± sqrt {3} i} over {2}]

[eqn: x ^{3} +1=0] 에서 허근은 [eqn: x ^{2} -x+1=0]의 근이므로

[eqn: x= {1± sqrt {3} i} over {2} = omega +1]

[eqn: ∴``x= omega +1]

5. [출제의도] 등비수열의 일반항을 이용하여 합 구하기

주어진 등비수열[eqn: LEFT { a_n RIGHT }] 의 일반항 [eqn: a _{n} =4 `․ `3 ^{n-1}`]

[eqn: b_n =a_n ․ ``a_n+1 = (4 `× `3^n-1 )(4 `×` 3^n )]에서

수열 [eqn: LEFT { b_n RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 48], 공비가 [eqn: 9] 인 등비수열이다.

따라서, 수열 [eqn: LEFT { b_n RIGHT }]의 열 번째 항까지의 합

[eqn: S_10 =] [eqn: {48 (9^10 -1)} over {9-1 } = 6 (9^10 -1)]

6. [출제의도] 수열의 규칙을 찾아 그 합 구하기

(제 [eqn: 10`]행의 합)

[eqn: `=`1`+``2`+`2 ^{2} +` CDOTS +``2` ^{8} `+`2` ^{9} `+`2 ^{8} ``+` CDOTS `+`2`+1`]

[eqn: `=`2`(1`+``2`+`2 ^{2} +` CDOTS +``2` ^{8} ``)``+``2` ^{9} `][eqn: `=`2` TIMES {1`(`2` ^{9} `-`1`)} over {2`-`1} `+`2` ^{9} `]

[eqn: `=`2 ^{10`} `+`2` ^{9} `-`2]

[eqn: `=`1534``]

7. [출제의도] 상용로그에서 지표와 가수의 성질 이해하기

ㄱ. [eqn: log``5470=`log``(10` ^{3} ` TIMES `5.47)````]

[eqn: =`3`+`log``5.47`=`3.`7380`]

ㄴ. [eqn: log``3.12`=`log```(3`` TIMES `1.04`)`]

[eqn: `=`log``3`+`log``1.`04`=`0.`4941`]

ㄷ. [eqn: log`A``=`1.0170`=`1`+`log``1.04`=`log``10.4]

[eqn: THEREFORE ``A``=`10.4`]

ㄹ. [eqn: log``B`=`-2.`9830`=` bar{3`} .`0170`]

[eqn: `=`log``10` ^{-3`} `+`log``1.04``=`log``0.00104`]

[eqn: THEREFORE ``B`=`0.00104`]

8. [출제의도] 일차부등식의 성질을 이용하여 부등식의 해 구하기

[eqn: ax>b]의  해가 존재하는 경우는 다음 두 가지이다.

[eqn: {rm{i}})`a != 0] 인 경우 : [eqn: rmA _{1````} ,`A _{2} `,`A _{4} `,`A_5 `,`A_6 `,`A_8]

[eqn: {rmii})`a=0,``b<0]인 경우 : [eqn: rmA _{7}]

[eqn: THEREFORE ``7](개)

9. [출제의도] 행렬의 성질을 이용하여 계산하기

[eqn: A+A^-1 =E]에서 [eqn: A^2 -A+E=O]

따라서 [eqn: A^3 =-E], [eqn: B^3 =-E] [eqn: (∵`A=B^-1 )]

[eqn: A^2005 +B``^2006 = A+B^2 #= A+(B-E)=A+(A^-1 -E)=O]

10. [출제의도] 행렬의 성질 이해하기

ㄱ. [eqn: (AB)^-1 =B^-1 A^-1]

ㄴ. (반례) [eqn: A=E`, ``B=-E]

ㄷ. [eqn: AB=O]이 성립한다고 해서 반드시 [eqn: BA=O]이 성립하는 것은 아니다.

(반례) [eqn: A= pmatrix { 1`& 0`# 0`&0 `}], [eqn: B= pmatrix { 0`& 0`# 1`&0 `}]

ㄹ. [eqn: (A+E)^-1 = { 1} over { 4}(A+E)]

11. [출제의도] 등차수열의 합에서 등차수열의 일반항 구하기

[eqn: a_n = S_n -S_n-1]에서 [eqn: a _{n} =2An-A+B`=4n+4``(n >= 2)``]

[eqn: a_1 =A+B=8], [eqn: S_1 =A+B+C``]에서 [eqn: a_1 =S_1]이므로 [eqn: C=0]

[eqn: THEREFORE A+B-C=8]

12. [출제의도] 행렬에서 정의된 연산 이해하기

ㄱ. [eqn: A＊B= pmatrix{ae``&bf#cg``&dh} = pmatrix{ea&``fb#gc&``hd} =B＊A]

ㄴ. [eqn: C= pmatrix { p&q #r & s}]라 할 때,

[eqn: A＊(B＊C)= pmatrix{a&``b#c&``d} ＊ pmatrix{ep&``fq#gr&``hs} = pmatrix{a(ep)&``b(fq)#c(gr)&``d(hs)}]

[eqn: = pmatrix { (ae)p&``(bf)q #(cg)r &``(dh)s }=(A＊B)＊C]

ㄷ. (반례) [eqn: A= pmatrix { 1&0 #0 & 1}], [eqn: B= pmatrix { 0&1 #1 & 0}]

13. [출제의도] 삼각형의 내접원의 반지름과 넓이를 이용하여 선분의 길이 구하기

[eqn: rmB]

[eqn: c]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: rmA]

[eqn: rmC]

[eqn: {1} over {2} TIMES 2` TIMES (a`+`b`+`c``)`=`24]

[eqn: ``a`+`b`+`c`=`24````````CDOTS ㉠`]

세 변 [eqn: a,`~b,`~`c`]가 순서대로 등차수열을 이루므로 등차중항 [eqn: b`=` {a`+`c`} over {2} ````````CDOTS ㉡]

㉠, ㉡에 의하여

[eqn: ∴`b`=`8`]

14. [출제의도] 직각삼각형에서 삼각함수에 대한 증명 문제 해결하기

[eqn: rm barOA BOTbar{CD},```barAB BOTbarOC]이므로

[eqn: rmTRIANGLE OAB,~ TRIANGLE OCA,~ TRIANGLE DOA``]는 모두 직각삼각형이다.

따라서, [eqn: rmANGLE AOB```=` ANGLEODA] [eqn: =`` theta `]

[eqn: rmTRIANGLE OCA`]에서

[eqn: tan` theta `=` rm{bar{AC}} over {bar{OA}} `=` bar{AC} ``]

[eqn: rmTRIANGLE ODA``]에서

[eqn: cot` theta `=` rm{bar{AD}} over {bar{OA}} `=` bar{AD} ``]

[eqn: THEREFORE `tan` theta `+`cot` theta ``=` rmbar{AC} ``+`` bar{AD} ``=`` bar{CD}]

15. [출제의도] 무리함수의 그래프 이해하기

[eqn: y=ax^2] 은 점 [eqn: (1,``1)]을 지나므로 [eqn: a=1]

[eqn: y=bx+c]는 두 점 [eqn: (1,``1)], [eqn: (-2,``4)]를 지나므로 [eqn: y = {```````4-1} over {-2-1} (x-1)+1=-x +2]

[eqn: ∴`a=1,``b=-1,``c=2]

따라서 [eqn: y=a sqrtb(x-1) -c=sqrt-(x-1) -2] 의 그래프는 [eqn: y=sqrt-x]의 그래프를 [eqn: x]축으로 [eqn: 1]만큼, [eqn: y]축으로 [eqn: -2]만큼 평행이동시킨 그래프이다.

16.  [출제의도] 원리합계를 이용하여 실생활 문제 해결하기

대출금 상환총액은 [eqn: 100×1.01^12 =112.5](만원)

월 상환액을 [eqn: a]라 할 때, 1년간 납부한 금액의 총액은 [eqn: { a LEFT( { 1.01^12 -1} RIGHT) } over {1.01-1}=12.5a](만원)

따라서 [eqn: 12.5a=112.5]

[eqn: ∴``a=90,000](원)

17. [출제의도] 도형의 이동을 통한 무게중심의 이동거리 구하기

정삼각형 [eqn: rmOAB]의 무게중심을 [eqn: rm G], 이동된 정삼각형 [eqn: rm OAB]의 무게중심을 [eqn: rm G prime]라면 [eqn: rm bar AG]와 [eqn: rm barAG prime]은 [eqn: rmANGLEOAB]를 각각 이등분하므로 [eqn: rm ANGLEGAG prime = 120 DEG]이고, [eqn: rm barAG]와 [eqn: rm barAG prime]의 길이는 점 [eqn: rm A]에서 [eqn: rm barOB]에 그은 중선의 길이의 [eqn: { 2} over {3 }]이다.

중선의 길이는 [eqn: sqrt3]이므로 무게중심의 이동거리는 반지름 [eqn: {2sqrt3} over3]이고, 중심각이 [eqn: 120DEG]인 호의 길이이다.

[eqn: (]호 [eqn: rmGG']의 길이)[eqn: = {2sqrt3}over3 times { 2pi} over { 3} = {4sqrt3 pi} over 9]

18. [출제의도] 로그를 활용하여 실생활 문제해결하기

[eqn: m_1 - m_2 = { 5} over { 2} (log ```l_2 -log ```l_1 )]에서

[eqn: m_1 =a ,```m_2 =b,``` { l_2} over { l_1}=10^6]

[eqn: ∴``a-b=15]

19. [출제의도] 제이코사인법칙을 이용하여 선분의 길이 구하기

[eqn: rm△ABD]에서 제이코사인법칙에 의해

[eqn: bar{rm BD it} ` ^{2} =(8 sqrt {3} ) ^{2} +(5 sqrt {3} ) ^{2}# ````````````````````````````````````````````-2 TIMES 8 sqrt {3} TIMES 5 sqrt {3} TIMES cos60°]

[eqn: =147]

내접하는 사각형에서 대각의 합은 [eqn: 180°]이므로 [eqn: rm∠BCD=120°]이다.

[eqn: bar{rmBC}=bar{rmCD}=x]라 하면 [eqn: rm△BCD]에서

[eqn: {bar{rmBD}}^2 =x^2 +x^2 -2x^2 cos120° = 3x^2]

[eqn: 3x^2 =147], [eqn: x^2 = 49]

[eqn: ∴x=7]

20. [출제의도] 지표와 가수의 성질을 이용하여 이차함수의 최소값 구하기

[eqn: log`x=n+ alpha] [eqn: (0< alpha<1)]라 하면

[eqn: log10`x=1+log`x=(1+n)+ alpha```]

[eqn: log { 10`} over {x` }=1-log`x=-n+(1- alpha`)````]

따라서 [eqn: p=n+1,``q=-n]이다.

[eqn: p ^{2} - { 1} over {3 } q ^{2} =(n+1) ^{2} - { 1} over {3 } (-n) ^{2}]

[eqn: ={ 2} over {3 } (n+ { 3} over { 2})^2 - { 1} over {2 } `]

[eqn: n]은 정수이므로 [eqn: n=-1,`-2]일 때, 최소값 [eqn: -{ 1} over {3 }]을 갖는다.

21. [출제의도] 도형에서 직선의 기울기 구하기

[eqn: (-sqrt {2} ,````0)]을 지나고, 기울기가 양인 직선 [eqn: l]과 점[eqn: (0,`- sqrt {2} )]를 지나고, 기울기가 양인 직선 [eqn: m]으로 잘린 활꼴의 넓이가 같아지는 원 위의 점은 [eqn: (1,1)]이다.

따라서 직선 [eqn: l]의 기울기는 [eqn: {1} over { sqrt { 2} +1}],

직선 [eqn: m]의 기울기는 [eqn: sqrt { 2}+1]

따라서 두 기울기의 합은

[eqn: {1} over { sqrt { 2} +1}+( sqrt { 2}+1)=2 sqrt { 2}]

22.【출제의도】지수의 성질 이용하여 식을 간단히 하기

[eqn: ````````9 ^{20} TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{30} ÷27 ^{10} TIMES 4 ^{20}# =3 ^{40} TIMES 2 ^{-30} ÷3 ^{30} TIMES 2 ^{40}# =3 ^{10} TIMES 2 ^{10} = LEFT ( 3 TIMES 2 RIGHT ) ^{10} =6 ^{10}]

[eqn: THEREFORE n=10]

23.【출제의도】연립방정식을 만족하는 행렬 구하기

[eqn: X+2Y=5A,``2X-Y=5B]에서

[eqn: X=A+2B= pmatrix{9&4#3&0}]

[eqn: ∴](모든 성분의 합)[eqn: =16]

24.【출제의도】등비수열의 합의 성질을 이용하여 최소값 구하기

[eqn: a_n =S_n - S_n-1 `(n>=2)]에서

[eqn: a_n = (Ar^n +B) -(Ar^n-1 +B) =(r-1)Ar^n-1]

[eqn: a_1 =S_1]이어야 하므로

[eqn: (r-1)A=Ar+B]에서 [eqn: A+B=0]

[eqn: 10^A +10^B+2 >= 2 sqrt { 10`^A+B+2}=20]

(등호는 [eqn: 10^A =10^B+2]일 때 성립한다.)

(별해)

첫째항이 [eqn: a_1]이고, 공비가 [eqn: r]인 등비수열의 합 [eqn: S_n = { a_1} over {r-1 }r^n - { a_1} over {r-1 }=Ar^n +B``(r≠1)``]이므로

[eqn: A+B=0]

[eqn: 10^A +10^B+2 >= 2 sqrt { 10`^A+B+2}=20]

(등호는 [eqn: 10^A =10^B+2]일 때 성립한다.)

25. 【출제의도】 유리수를 연분수로 이용하여 표현하기

[eqn: {95} over {9} =10+ {1} over {1+ {1} over {1+ {1} over {4}}}]

[eqn: ∴`a+b+c+d=10+1+1+4=16]

26.【출제의도】수열의 일반항을 이용하여 수열의 합 구하기

[eqn: a _{1} +2a _{2} +3a _{3} +…+na _{n} =n^3 -n] [eqn: … `㉠]

[eqn: a_1 +2a_2 +3a_3 +#``````````````````…+(n-1)a_n-1 =(n-1)^3 -(n-1)````…`㉡]

[eqn: ㉠-][eqn: ㉡]에서

[eqn: na_n = n^3 -n - LEFT{ { (n-1)^3 -(n-1)} RIGHT }]

[eqn: =3n(n-1)] [eqn: (n>=1)]

따라서 [eqn: a_n =3(n-1)]

수열[eqn: LEFT{ { a_n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 0]이고, 공차가 [eqn: 3]인 등차수열이므로

[eqn: ∴``a_10 =27]

27.【출제의도】상용로그의 성질을 이용하여 문제 해결하기

[eqn: log(0.8) ^{100} =100log {8} over {10} =100log( {5 } over {4 })^-1 #=-100log { 5} over { 4}=-9.69=-10+0.31]

따라서 소수점 아래 [eqn: 10]번째 자리에서 처음으로 [eqn: 0]이 아닌 수가 나온다.

[eqn: ∴`n=10]

28.【출제의도】이차방정식의 근 이해하기

이차방정식 [eqn: x^2 -4x+k=0]에서 근은

[eqn: x=2+- sqrt { 4-k}]이다.

이 근 중 반올림 하여 [eqn: 3]이 될 수 있는 근은 [eqn: 2+ sqrt { 4-k}]이다.

따라서 [eqn: { 5} over {2 }<=2+ sqrt { 4-k}< { 7} over {2 }]

[eqn: { 7} over {4 }<k<= { 15} over {4}]

만족하는 정수 [eqn: k=2,3]

[eqn: ∴ 2+3=5]

(별해) [eqn: f(x)=x^2 -4x+k]라 할 때,

[eqn: f( { 5} over { 2})<=0,```f( { 7} over {2 })>0]이므로 만족하는 [eqn: k]의 범위는 [eqn: { 7} over {4 }<k<= { 15} over {4}]

29.【출제의도】지수와 로그를 활용하여 실생활에 관련된 수학 외적상황의 문제해결하기

가로 : [eqn: {9} over {27} `=` {1} over {3} `], 세로 : [eqn: {16} over {40} `=` {2} over {5} `]이므로

그림을 [eqn: {1} over {3} `]이하로 축소 복사해야 한다.

따라서  [eqn: `` LEFT ( ` {81} over {100} ` RIGHT ) ^{n} ` <= {1} over {3} ``]

[eqn: n` LEFT ( `log``81`-`log``100` RIGHT ) ` <= `-log`3`]

[eqn: n`` LEFT ( ``4`log``3``-`2` RIGHT ) ` <= `-`log`3`]

[eqn: n` >= ` {-`log`3```} over {4`log`3``-`2``} `]

[eqn: n`` >= ` {0.`4771`} over {0.`0916`} `=`5.2×××`]

[eqn: ∴`6](회)

30.【출제의도】수열의 규칙을 찾아 문제 해결하기

행의 수, 정삼각형의 수, 성냥개비의 수를 각각 [eqn: alpha ,~ beta ,~ gamma ```]라고 하면

[eqn: alpha `]	1	2	3	[eqn: CDOTS]	9	[eqn: CDOTS]	[eqn: n`]	[eqn: CDOTS]
[eqn: beta ``]	1	3	5	[eqn: CDOTS]	17	[eqn: CDOTS]	[eqn: 2n-1]	[eqn: CDOTS]
[eqn: gamma ```]	3	6	9	[eqn: CDOTS]	27	[eqn: CDOTS]	[eqn: 3n`]	[eqn: CDOTS]

따라서 [eqn: 95`]번째 삼각형은 [eqn: 10]행의 [eqn: 14]번째 삼각형이다.

사용된 성냥개비의 수는

[eqn: (3``+``6``+`9`+` CDOTS `+`27)`+`(3`` TIMES `7)`+`1`=`157](개)