∙먼저 수험생이 선택한 유형의 문제지인지 확인하시오.

2005학년도 10월 인천광역시 고2 학업성취도평가 문제지

수리 영역 (가형)

성명			수험번호						2

제 2 교시

∙문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

∙답안지에는 반드시 ‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 수험 번호, 답, 응시 유형 등을 표기하시오.

∙단답형 문제의 경우 답의 숫자에 0이 포함될 때에는 OMR 답안지에 0을 반드시 표기해야 합니다.

∙문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

∙계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

고 2	수리 영역 (가형)

	수리 영역 (가형)	고 2

8

1. [eqn: log`2005-log`2.005`]를 간단히 하면? (단, 로그는 상용로그)

[[eqn: 2]점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

2. 역행렬이 존재하는 두 이차정사각행렬 [eqn: A`,```B```]에 대하여

[eqn: A=B ^{-1} LEFT ( {2} atop {5} {1} atop {3} RIGHT ) B``]를 만족할 때, 행렬 [eqn: BAB ^{-1} ``]의 모든 성분의 합은? (단, [eqn: X ^{-1``}]는 [eqn: X]의 역행렬) [[eqn: 2]점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

3. 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``]에 대하여 [eqn: a _{3} =8], [eqn: a _{2} +a _{4} +a _{6} =27] 일 때, 첫째항과 공차의 합은? [[eqn: 2]점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

4. 방정식 [eqn: x ^{2} +x ^{} +1=0``]의 허근을 [eqn: omega]라 할 때, [eqn: x ^{3} +1=0]의 허근을 [eqn: omega]로 나타내면? [[eqn: 3]점]

① [eqn: omega -1]	② [eqn: 2 omega -1]	③ [eqn: omega]

④ [eqn: omega +1]	⑤ [eqn: 2 omega +1]

5. 첫째항이 [eqn: 4``], 공비가 [eqn: 3``]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``]에서

[eqn: a _{1} a _{2} +a _{2} a _{3} +a _{3} a _{4} + CDOTS +a _{10} a _{11} ``] 의 값은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: 6 LEFT ( 9 ^{9} -1 RIGHT )]	② [eqn: 6 LEFT ( 9 ^{10} -1 RIGHT )]	③ [eqn: 6 LEFT ( 9 ^{11} -1 RIGHT )]

④ [eqn: 6 LEFT ( 9 ^{12} -1 RIGHT )]	⑤ [eqn: 6 LEFT ( 9 ^{13} -1 RIGHT )]

6. 아래와 같이 자연수 [eqn: 1,```2,```3,` CDOTS ,```n]을 차례대로 홀수 사이에 짝수를 배열한다. 예를 들어 위에서부터 세 번째, 왼쪽에서부터 네 번째의 수는 [eqn: 6``]이다. 이 때, 위에서부터 [eqn: i]번째, 왼쪽에서부터 [eqn: j]번째의 수가 [eqn: 222``]일 때,  [eqn: i+j``]의 값은? [[eqn: 3]점]

						[eqn: 1]
					[eqn: 3]	[eqn: 2]	[eqn: 5]
				[eqn: 7]	[eqn: 4]	[eqn: 9]	[eqn: 6]	[eqn: 11]
			[eqn: 13]	[eqn: 8]	[eqn: 15]	[eqn: 10]	[eqn: 17]	[eqn: 12]	[eqn: 19]
		[eqn: 21]	[eqn: 14]	[eqn: 23]	[eqn: 16]	[eqn: 25]	[eqn: 18]	[eqn: 27]	[eqn: 20]	[eqn: 29]
	[eqn: 31]	[eqn: 22]	[eqn: 33]	[eqn: 24]	[eqn: 35]	[eqn: 26]	[eqn: 37]	[eqn: 28]	[eqn: 39]	[eqn: 30]	[eqn: 41]
			[eqn: VDOTS]			[eqn: VDOTS]			[eqn: VDOTS]

① [eqn: 27]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 29]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 31]

7. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: log```n]의 지표를 [eqn: a _{n} ``]으로 정의 할 때,

[eqn: lim _{n -> INF } {{log```n+2} over {a _{n} +1}} ``]의 값은? (단, 로그는 상용로그) [[eqn: 3]점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

8. 그림은 좌표평면 위에 [eqn: 9``]명의 학생들이 각각 [eqn: 1``]개의 다트 화살촉을 던진 결과이다. [eqn: rm A _{0}]는 원점, [eqn: rm A _{1}], [eqn: rm A _{5} ``]는 [eqn: x]축 위, [eqn: rm A _{3}], [eqn: rm A _{7} ``]는 [eqn: y``]축 위, [eqn: rm A _{2}], [eqn: rm A _{4}], [eqn: rm A _{6}], [eqn: rm A _{8} ``]는 각각 제[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4``]사분면에 꽂혔다. 다트 화살촉의 위치를 점 [eqn: {rm A} it _{n} it (a,```b)] [eqn: (n=0,``1,``2,``3,…,``8)``]로 나타낼 때, 부등식 [eqn: ax>b``]의 해가 존재하는 위치에 다트 화살촉을 던진 학생들에게 상품을 주기로 한다면 상품을 받을 학생은 모두 몇 명인가? [[eqn: 4]점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

9. 두 함수 [eqn: f(x)=2 ^{x}], [eqn: g(x)=log _{2} ``x]에 대하여 [eqn: h(x)]가

[eqn: h(x)=f(x)-g(x)] ([eqn: ``x>0``]) 일 때, 옳은 것을 <보기>에서 모두 고른 것은? [[eqn: 4]점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: h(x)]의 최소값이 존재한다. ㄴ. 임의의 [eqn: x _{1} ,````x _{2} ``]에 대하여 [eqn: x _{1} < `x _{2} `]이면 [eqn: h(x _{1} ) < h(x _{2} )] 이다. ㄷ. 함수 [eqn: y=f(x)]의 역함수는 함수 [eqn: y=g(x)]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

10. 이차정사각행렬 [eqn: A,````B``]에 대하여 옳은 것을 <보기>에서 모두 고른 것은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬, [eqn: O``]는 영행렬, [eqn: X ^{-1``}]는 [eqn: X]의 역행렬) [[eqn: 3]점]

		<보 기>
	ㄱ. 역행렬이 존재하는 [eqn: A,``B``]에 대하여 [eqn: (AB``) ^{-1} =B ^{-1} A ^{-1}] ㄴ. 역행렬이 존재하는 [eqn: A,``B``]에 대하여 [eqn: (A+B``) ^{-1} =B ^{-1} +A ^{-1}] ㄷ. [eqn: AB=O``]이면 [eqn: LEFT ( A+B``` RIGHT ) ^{`2} =A ^{2} `+B ^{``2}] ㄹ. [eqn: A ^{2} ``+2A-3E=O``]이면 [eqn: A+E``]의 역행렬이 존재한다.

① ㄱ, ㄷ	② ㄱ, ㄹ	③ ㄴ, ㄹ

④ ㄱ, ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄷ, ㄹ

11. 다음은 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 [eqn: a _{1} =2,````a _{n+1} (a _{n} +2)=2a _{n} +1]를 만족 할 때, 일반항 [eqn: a _{n} ``]을 구하는 과정이다.

	[eqn: ``a _{n+1} (a _{n} +2)=2a _{n} +1]에서 [eqn: (a _{n+1} +1)(a _{n} +2)=] [eqn: CDOTS CDOTS] ㉠ (가) [eqn: (a _{n+1} -1)(a _{n} +2)=a _{n} -1] [eqn: CDOTS CDOTS] ㉡ ㉠ [eqn: ÷] ㉡에서 (가) [eqn: {a _{n+1} +1} over {a _{n+1} -1} = {} over {a _{n} -1}] 따라서, 수열 [eqn: LEFT { {a _{n} +1} over {a _{n} -1} RIGHT }]은 첫째항이 , 공비가 인 (라) (나) (다) 등비수열이다. [eqn: THEREFORE ``a _{n} =` {} over {3 ^{n} -1}]

(가), (나), (다), (라)에 알맞은 것은? [[eqn: 4]점]

	(가)	(나)	(다)	(라)
①	[eqn: 3(a _{n} +1)]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 3 ^{n} +1]
②	[eqn: 2(a _{n} +1)]	[eqn: 3]	[eqn: 2]	[eqn: 3 ^{n} +2]
③	[eqn: 3(a _{n} +1)]	[eqn: 3]	[eqn: 3]	[eqn: 3 ^{n} +1]
④	[eqn: 2(a _{n} +1)]	[eqn: 2]	[eqn: 2]	[eqn: 3 ^{n} +1]
⑤	[eqn: 3(a _{n} +1)]	[eqn: 3]	[eqn: 3]	[eqn: 3 ^{n} +2]

12. 행렬 [eqn: A= pmatrix{``a````&b#c````&d``} ,```B= pmatrix{``e````&f#g````&h``} ``]에 대하여 연산[eqn: ＊]을

[eqn: A`＊B= pmatrix{``ae````&bf#cg````&dh``} ``]라고 정의할 때, 옳은 것을 <보기>에서 모두 고른 것은? [[eqn: 4]점]

		<보 기>
	ㄱ. 행렬 [eqn: A,``B``]에 대하여 [eqn: A`＊B=B`＊A] ㄴ. 행렬 [eqn: A,``B,``C``]에 대하여 [eqn: A`＊(B``＊C``)=(A``＊B``)`＊C] ㄷ. 행렬 [eqn: A,``B``]에 대하여 두 행렬의 역행렬이 각각 존재하면 [eqn: A`＊B``]의 역행렬도 존재한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

13. 지수방정식 [eqn: 4 ^{x} -5``․``2 ^{``x+2} +64=0`]의 두 근은 [eqn: alpha ,```` beta `]이다. 로그부등식 [eqn: (log _{2} ``x) ^{2} +log _{2} ``x` ^{a} +b <= 0`]의 해가 [eqn: alpha <= x <= beta ``]일 때,  [eqn: a+b]의 값은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

14. 그림은 [eqn: log _{2} ``x``]와 [eqn: y``]의 관계를 나타낸 그래프이다.

이 때, [eqn: x]와 [eqn: y]의 관계를 나타낸 그래프의 개형은? [[eqn: 3]점]

①	②

③	④

⑤

[eqn: 2]

15. 그림은 두 함수 [eqn: y=`ax` ^{2} `]과 [eqn: y=`bx`+`c`]의 그래프이다.

이 때, 함수 [eqn: y=`a` sqrt {b(x-1)} -`c``]의 그래프의 개형은? [[eqn: 4]점]

①	②

③	④

⑤

16. 임의의 양수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: <2x>-<x>`=`<x- {1} over {2} >`]가 항상 성립한다. 이 성질을 이용하여

[eqn: LEFT ( <50>-< {50} over {2} > RIGHT ) + LEFT ( < {50} over {2} >-< {50} over {2 ^{2}} > RIGHT ) +``` CDOTS ``+ LEFT ( < {50} over {2 ^{n-1}} >-< {50} over {2 ^{n}} > RIGHT ) ``]

을 [eqn: sum _{} ^{}]를 사용하여 나타내면 [eqn: sum _{k=1} ^{n} < {p} over {2 ^{k}} +q>]이다. 이 때, [eqn: p`q] 의

값은?  (단, [eqn: <x>]는 [eqn: x]보다 작지 않은 최소의 정수) [[eqn: 4]점]

① [eqn: -40]	② [eqn: -35]	③ [eqn: -30]

④ [eqn: -25]	⑤ [eqn: -20]

17. 그림과 같이 [eqn: x``]축 위에 한 변의 길이가 [eqn: 2``]인 정삼각형 [eqn: rm OAB``]가 있다. 점 [eqn: rm A``]를 중심으로 정삼각형을 시계방향으로 회전하여 점 [eqn: rm B``]가 처음으로 [eqn: x``]축 위에 올 때, 이 정삼각형의 무게중심이 움직인 거리는? [[eqn: 3]점]

① [eqn: {2 sqrt {3}} over {9} pi]	② [eqn: {sqrt {3}} over {3} pi]	③ [eqn: {4 sqrt {3}} over {9} pi]

④ [eqn: {5 sqrt {3}} over {9} pi]	⑤ [eqn: {2 sqrt {3}} over {3} pi]

18. 별의 밝기를 수치로 나타내기 위해 등급을 사용하는데 [eqn: 1]등급이 작아지면 밝기는 [eqn: ` ^{} root {5} of {100}]배가 밝아진다. 이 사실을 이용하여 천체 물리학자 포그슨은 등급이 [eqn: m _{1} ,````m _{2}]인 두 별의 밝기를 각각 [eqn: l _{1} ,````l _{2}]라 할 때, [eqn: m _{1} -m _{2} ``=` {5} over {2} ` LEFT ( log``l _{2} ```-log``l _{1} RIGHT ) ``]인 관계가 있음을 밝혀냈다. 이 관계를 이용하여 [eqn: a`]등급인 별보다 [eqn: 10 ^{6} ``]배가 밝은 별의 등급을 [eqn: b`]라 할 때, [eqn: a-b`]의 값은? (단, 로그는 상용로그) [[eqn: 3]점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15]

19. 극한값의 성질에 대한 옳은 것을 <보기>에서 모두 고른 것은? [[eqn: 3]점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: lim _{ n rarrow INF } {a_n } = lim _{ n rarrow inf } {b_n } = alpha] 이면 [eqn: ` lim _{n` rarrow inf} {(a_n - b_n )}=0] 이다. ㄴ. [eqn: lim _{ n rarrow INF } {a_n } = inf ,~lim _{ n rarrow inf } {b_n } = 0] 이면 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n} b _{n}} =0] 이다. ㄷ. 두 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT },~ LEFT { b_n RIGHT }] 이 발산하면 [eqn: LEFT { a_n +b_n RIGHT }] 도 발산한다. ㄹ. [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }] 이 양의 무한대로 발산하고 [eqn: LEFT { a _{n} -b _{n} RIGHT }] 이 수렴하면 [eqn: LEFT { {b _{n}} over {a _{n}} RIGHT }] 은 수렴한다.

① ㄱ, ㄷ	② ㄱ, ㄹ	③ ㄴ, ㄹ

④ ㄱ, ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄷ, ㄹ

20. [eqn: log`10`x]의 지표를 [eqn: p], [eqn: log`` {10} over {x} ``]의 지표를 [eqn: q``]라 하면, [eqn: p ^{2} - {1} over {3} q ^{2}]의 최소값은? (단, 로그는 상용로그이며 [eqn: log``x]의 가수는 [eqn: 0]이 아니다.) [[eqn: 4]점]

① [eqn: - {1} over {2}]	② [eqn: - {1} over {3}]	③ [eqn: - {1} over {4}]

④ [eqn: - {1} over {5}]	⑤ [eqn: - {1} over {6}]

21. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정사각형 [eqn: rmABCD``]에서 변[eqn: rmAD]의 중점을 [eqn: rmP], 변[eqn: rmBP]와 변[eqn: rmCP]의 중점을 각각 [eqn: rm Q,```R]이라 하고 점 [eqn: rmQ,```R]에서 변[eqn: rmBC] 에 수선을 그어 만나는 점을 각각 [eqn: rmB _{1} ,``C _{1}]이라 하자. 이와 같은 방법을 한없이 되풀이 할 때,

[eqn: rm TRIANGLE PQR`+ TRIANGLE P _{1} Q _{1} R _{1} +` TRIANGLE P _{2} Q _{2} R _{2} +`` CDOTS] 의 값은? [[eqn: 4]점]

① [eqn: {5} over {3}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {7} over {3}]

④ [eqn: {8} over {3}]	⑤ [eqn: 3]

단답형(22～30)

22. [eqn: 9 ^{20} TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{30} ÷27 ^{10} TIMES 4 ^{20} =6 ^{n}] 일 때, [eqn: n]의 값을 구하시오.

[[eqn: 3]점]

23. 첫째항이 [eqn: 1]인 두 무한등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ,``` LEFT { b _{n} RIGHT }]의 공비를 각각 [eqn: alpha `,``` beta] 라 하자. 이 때, [eqn: alpha `,``` beta ``]를 이차방정식 [eqn: 3x ^{2`} `-7x+2=0]의 두 근이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ``a _{n``} b _{n}] 의 값을 구하시오. [[eqn: 3]점]

24. 첫째항부터 [eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n} =Ar ^{n} +B``]를 만족하는 등비수열[eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 있다. 이 때, [eqn: 10 ^{A} +10 ^{B+2}]의 최소값을 구하시오.

(단, [eqn: A,```B``]는 상수) [[eqn: 3]점]

25. 두 함수 [eqn: y`=`f(x)`]와 [eqn: y`=``log` _{2} `x`]는 [eqn: y`=`x`]에 대하여 대칭이다. 함수 [eqn: y`=``log` _{2} `x`]가 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rm A]라 하고 [eqn: rm bar{AD} ```]와 [eqn: rm bar{BC} ``]는 [eqn: y``]축과 평행일 때, 사각형[eqn: rmABCD`]의 넓이를 [eqn: S``]라 하자. [eqn: 10S``]의 값을 구하시오. (단, 점 [eqn: rm B,```C,```D```]는 두 함수의 그래프 위의 점이다.) [[eqn: 4]점]

26. 모든 자연수 [eqn: k`]에 대하여 함수  [eqn: y=f(x)] 위의  두 점

[eqn: {rmP}(k,`f(k)),```{rmQ}(k+1,`f(k+1))]를 지나는 직선의 기울기가 [eqn: 2k`]

일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} f(k)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: f(1)=1]) [[eqn: 4]점]

27. 두 함수 [eqn: y= {1-x} over {x} ``와```y= {1} over {x}]의 그래프가 직선 [eqn: y=k``]([eqn: k``]는 자연수)의 그래프와 만나는 점의 [eqn: x``]좌표를 각각 [eqn: f(k),````g(k)``]라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{100} ``f(k)``g(k)``=` {b} over {a} `]이다. [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: a,```b]는 서로소) [[eqn: 4]점]

28. 무한급수 [eqn: (a _{1} -1)+(a _{2} -1)+(a _{3} -1)+`` CDOTS `+(a _{n} -1)+` CDOTS]이 [eqn: 10``]에 수렴하고 [eqn: S _{n} =] [eqn: (a _{1} -1)+(a _{2} -1)+`` CDOTS `+(a _{n} -1)``]일 때, [eqn: lim _{n-> INF } {(a _{n} +S _{n} +2)}]의 값을 구하시오. [[eqn: 3]점]

29. 가로 [eqn: 27㎝], 세로 [eqn: 40`㎝`]인 그림을 축소 복사하여 가로 [eqn: 9`㎝`], 세로 [eqn: 16㎝`]이하로 하려고 한다. 이 때, 축소비율을 [eqn: 81%`]로 맞추어 복사를 한다면 최소 [eqn: n]번 반복해야 한다. [eqn: n]의 값을 구하시오. (단, [eqn: log```2`=`0.3010`], [eqn: log```3`=`0.4771`]) [[eqn: 4]점]

30. 정수 [eqn: x,```y``]에 대하여 [eqn: LEFT | ``x`` RIGHT | ```+``` LEFT | y`` RIGHT | `` <= `n```(n=1,`2,`3,` CDOTS )]을 만족하는 점[eqn: (x,```y`)]의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: a _{100} `-``a _{99}] 의 값을 구하시오. [[eqn: 4]점]

● 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.