	정답 및 해설	고 1

2005학년도 10월 인천광역시 고1 학업성취도평가

정답 및 해설

고 1	정답 및 해설

	정답 및 해설	고 1

3

수리 영역

정답

1	⑤	2	②	3	④	4	⑤	5	④
6	①	7	③	8	④	9	①	10	①
11	③	12	④	13	①	14	②	15	④
16	③	17	②	18	③	19	③	20	③
21	⑤	22	65	23	14	24	54	25	132
26	58	27	95	28	14	29	48	30	12

해설

1. [출제의도] 복소수 계산하기

(준식)[eqn: =1-1+i``=`i]

2. [출제의도] 집합의 연산 이해하기

[eqn: (A CUP B) SMALLINTER (B-A)=(A CUP B) SMALLINTER B``=B]

[eqn: ( BECAUSE ``A`와```B``는```서로```소)]

3. [출제의도] 명제의 필요, 충분조건 이해하기

ㄱ.[eqn: x`=0,``y=0` REL EXARROW {BIGCIRC } {TIMES } ``x+y sqrt {2} =0]

[eqn: ( larrow 의`반례`:`x= sqrt {2} ,````y=-1)]

ㄴ.[eqn: x>0`,```y>0``` REL EXARROW {BIGCIRC } {TIMES } ````xy>0]
[eqn: (` larrow 의`반례`:``x=-1,```y=-1)]

ㄷ.[eqn: x+y>2`` REL EXARROW {TIMES } {BIGCIRC } ```x>1,```y>1]

[eqn: ( -> 의`반례`:`x=-1,``y=4)]

[eqn: THEREFORE] ㄱ, ㄴ 충분조건, ㄷ 필요조건

4. [출제의도] 단항식 계산하기

(준식)[eqn: =x ^{3} y ^{2} TIMES x ^{4} y ^{6} ÷x ^{6} y ^{3} =x ^{} y ^{5}]

5. [출제의도] 내분점과 외분점 구하기

ㄴ. [eqn: rm bar{CD}] 를 [eqn: 2:3] 으로 외분하는 점이 [eqn: rm A] 이므로 거짓.

[eqn: THEREFORE] ㄱ, ㄷ은 참

6. [출제의도] 부등식의 해 구하기
[eqn: A=]{[eqn: x``□``x <= 2] 또는 [eqn: x >= 4]}
[eqn: A SMALLINTER B=] {[eqn: x``□``-3<x <= 2]}이므로
[eqn: B=]{[eqn: x``□``-3<x<4]}이다.
[eqn: THEREFORE] [eqn: a=`-3]

[eqn: -3]

[eqn: 2]

[eqn: 4]

[eqn: A SMALLINTER B]

7. [출제의도] 무리수의 성질을 이해하기

[eqn: sqrt {{b} over {a}} =- {sqrt {b}} over {sqrt {a}}] 가 성립하므로 [eqn: a<0`,````b >= 0]

ㄱ. [eqn: ax>b] 의 해는 [eqn: x< {b} over {a}] 이므로 참.([eqn: BECAUSE][eqn: a<0])

ㄴ. [eqn: D=a ^{2} +4b`>0]이므로 참.[eqn: ( BECAUSE ```b >= 0)]

ㄷ. 직선 [eqn: y=ax+b] 는 [eqn: b=0] 일 때, 2, 4 사분면을 지나고 [eqn: b>0] 일 때, 1, 2, 4 사분면을 지나므로 거짓.

8. [출제의도] 최소공배수 이해하기

[eqn: 1,``2,``12,``30] 의 최소공배수가 60 이므로

[eqn: 1982+60=2042``(년)]

9. [출제의도] 나머지와 주기 이해하기

동막역을 출발한 지하철은 귤현역을 정차하여 다시 동막역에 정차하는 것은 [eqn: 42]번째 정차할 때이다. 즉, 이 지하철의 왕복 운행 주기는 [eqn: 42]이므로

[eqn: 300=42 TIMES 7+6] 에서

[eqn: 300]번째 정차하는 지하철역은 동막역을 떠나

[eqn: 7]회 왕복한 후 동막역에서 [eqn: 6]번째 정차하는

지하철역과 같다.

따라서, 구하는 300번째 역은 인천터미널이다.

10. [출제의도] 연산표 이해하기

[eqn: a＊b=a＊c] 이면 [eqn: a] 의 역원 [eqn: a^{ -1}] 이 존재하므로

[eqn: a^{ -1}＊a＊b=a ^{ -1}＊a＊c]

[eqn: b=c]

즉, [eqn: b≠c] 면 [eqn: a＊b≠a＊c]

[eqn: THEREFORE] (가)[eqn: =1], (나)[eqn: =4], (다)[eqn: =4], (라)[eqn: =3], (마)[eqn: =2]

(바)[eqn: =4], (사)[eqn: =2]

[eqn: THEREFORE] (라)＊(바)[eqn: =3＊4=1]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: 3]

[eqn: 3]

[eqn: 3]

[eqn: 2]

[eqn: 2]

[eqn: 4]

[eqn: 3]

[eqn: 2]

[eqn: 4]

[eqn: 2]

[eqn: AST]

[eqn: 4]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 1]

[eqn: 4]

[eqn: 4]

(다른풀이)
연산 ＊에 대한 항등원이 존재해야 하므로

[eqn: 1＊1=2], [eqn: 3＊4=1], [eqn: 4＊3=1] 인 결과를 보면

[eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 4]는 항등원이 될 수 없다.

[eqn: THEREFORE] 항등원은 [eqn: 2]

(라)[eqn: =3＊2=3]

(바)[eqn: =4＊2=4]
[eqn: THEREFORE] (라)＊(바)[eqn: =3＊4=1]

11. [출제의도] 명제의 참, 거짓 판단하기
[eqn: RMB]와 [eqn: rm D]는 서로 상반된 이야기를 하고 있다.
만일, [eqn: RMB] 가 참이고 [eqn: rm D] 가 거짓이라면 합격자는
[eqn: RMC], [eqn: rm D] 가 된다. 합격자는 [eqn: 1]명이어야 하므로 모순이다.
따라서, [eqn: RMB]는 거짓이고 합격자는 [eqn: RMC] 이다.

12. [출제의도] 가우스의 성질을 이해하고 무리수 계산하기

[eqn: a= sqrt {3+2 sqrt {2}} = sqrt {2} +1``,````[a]=2```]이므로

(준식)[eqn: = {1} over {sqrt {2} +1} + {1} over {( sqrt {2} +1)-2} ````]

[eqn: = {1} over {sqrt {2} +1} + {1} over {sqrt {2} -1}#]

[eqn: =`( sqrt {2} -1)+( sqrt {2} +1)=2 sqrt {2}]

13. [출제의도] 두 직선의 수직조건 증명하기

수직인 두 직선

[eqn: y=mx,~y=m` prime x``]와 직선  [eqn: x=1] 과의 교점   을 각각 [eqn: rm P,```Q``]라 하자.

[eqn: rm P``(`` it 1,```m`)``,~ rm Q``(`` it 1,```m` prime )]  이고 [eqn: rm △POQ``]는
직각삼각형이다.

[eqn: rm bar{OP} ` ^{2} + bar{OQ`} ` ^{2} = bar{PQ} ` ^{2} `] 이므로

[eqn: (1+m ^{2} )+(1+m` prime ^{``2} )=(`m-m prime ) ^{2} ``…``㉠]

이 식을 정리하면 [eqn: m TIMES m` prime =`(`-1)``…``㉡]

역으로, ㉡ 이 성립하면 ㉠ 이 성립하므로

[eqn: rm △POQ] 는 직각삼각형이고  [eqn: rm bar{OP} BOT bar{OQ}]  이다.

14. [출제의도] 연립방정식과 삼차방정식 이해하기

[eqn: x ^{2} `+`y ^{2} `=`(x`+`y`) ^{2} `-2xy`이므로`````xy`=`1]

[eqn: x`+`y`=`-1`이고`````xy=1`이므로``]

[eqn: x,``y] 를 두 근으로 하는 이차방정식은

[eqn: t ^{2} `+`t`+`1`=`0``이다.]
양변에 [eqn: t-1]을 곱하면 [eqn: t ^{3} ``=1]

[eqn: x,```y] 가 두 근이므로 [eqn: x ^{3} `=`1,````y ^{3} `=`1]

[eqn: THEREFORE ````x ^{2005} `+`y ^{2005} `=(x ^{3} ) ^{668} x`+(y ^{3} ) ^{668} y]

[eqn: =x+y=-1]

15. [출제의도] 두 원이 내접할 조건 이해하기

원 [eqn: (x-2) ^{2} +(y-2) ^{2} =r ^{2}] 의 중심 [eqn: (2,``2)] 는 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =18]  내부의 점이므로 두 원이 접하려면 내접해야한다.

(중심거리) [eqn: = sqrt {(2-0) ^{2} +(2-0) ^{2}} =2 sqrt {2}]

(두 원의 반지름 차) =[eqn: sqrt {18} -r=3 sqrt {2} -r]

[eqn: 2 sqrt {2} =3 sqrt {2} -r]

[eqn: THEREFORE] [eqn: r= sqrt {2}]

16. [출제의도] 나머지 정리를 이해하고 관계식 유도하기

[eqn: f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+ax+b`라```하면]

[eqn: R(0)=b]

[eqn: f(1)=a+b``…``㉠]

[eqn: f(2)=2a+b``…``㉡]

㉠, ㉡을 연립하면
[eqn: b=2f(1)-f(2)]

17. [출제의도] 원의 방정식과 직선의 성질 이   해하기

원이 두 직선에 의해 [eqn: 4]등분 되려면 두 직선은 모두 원의 중심 [eqn: (1,```2)]를 지나고 수직이면 된다.
[eqn: a=2], [eqn: b=- {1} over {2}], [eqn: c= {5} over {2}]

고 1	정답 및 해설

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: y=ax]

[eqn: y=bx+c]

[eqn: THEREFORE] [eqn: abc=2 LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) LEFT ( {5} over {2} RIGHT ) =- {5} over {2}]

18. [출제의도] 공통근을 구하고 이차방정식의 근과 계수와의 관계 이해하기

공통근이 [eqn: alpha] 이므로

[eqn: cases{alpha ^{2} -a alpha +b=0&``…``㉠#alpha ^{2} -b alpha +a=0&``…``㉡}]

[eqn: ㉠-㉡] 하면 [eqn: -a alpha+b alpha+b-a=0]

[eqn: (b-a) alpha +(b-a)=0]

[eqn: ( alpha +1)(b-a)=0]

공통근 [eqn: alpha=-1] ([eqn: BECAUSE] [eqn: a != b])
㉠ 에 대입하면 [eqn: a+b=-1]

[eqn: alpha + beta + gamma =][eqn: (alpha + beta) + (alpha + gamma)-alpha]
[eqn: =a+b-(-1)=-1+1=0]

19. [출제의도] 도수분포표에서 평균 구하기

[eqn: 2+4+a+b+2=20]

[eqn: a+b=12``…``㉠]

[eqn: {55 TIMES 2+65 TIMES 4+75 TIMES a+85 TIMES b+95 TIMES 2} over {20} =77]

[eqn: 110+260+75a+85b+190=1540]

[eqn: 15a+17b=196``…``㉡]

㉠, ㉡을 연립하면 [eqn: a=4,``b=8]

[eqn: THEREFORE ```ab=32]

20. [출제의도] 직선의 방정식을 이용하여 실생활 문제 해결하기

	정답 및 해설	고 1

고 1	정답 및 해설

[eqn: RMA(6,3)]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: RMO]

[eqn: RMA(6,3)][eqn: RM A(6,``3)]

[eqn: RM B(2,``1)]

[eqn: rm C(3,``0)]

[eqn: RME]

[eqn: RMD]

[eqn: rm bar{AC}]와 평행한 보조선 [eqn: rm bar{BE}]를 긋는다.

[eqn: rm bar{AC}]⫽[eqn: rm bar{BE}]이므로

[eqn: TRIANGLE rmABC][eqn: =][eqn: TRIANGLE rmAEC]

[eqn: TRIANGLE rm ABD][eqn: =][eqn: TRIANGLE rm CDE]

따라서 [eqn: bar{rmAE}]가 직선 경계임을 알 수 있다.

(직선 [eqn: rm AC it}]의 기울기)[eqn: =](직선 [eqn: rm BE]의 기울기)[eqn: =1]

점 [eqn: rmB(2,1)]을 지나고 기울기 1인 직선의 방정식은 [eqn: y=x-1]이고 [eqn: rmE(1,0)]임을 알 수 있다.

[eqn: THEREFORE] (직선 [eqn: rm `AE]의 기울기)[eqn: = {3} over {5}]

21. [출제의도] 정[eqn: 12]면체를 이용한 식 세우기

한 꼭지점에 모이는 세 면에 적힌 수의 합을 [eqn: x]라 하면 꼭지점의 개수가 [eqn: 20] 개이므로 각 꼭지점에서의 합을 모두 더하면 [eqn: 20x]이다.

한 면은 [eqn: 5]각형이므로 [eqn: 1`,`2,`3, CDOTS ,`12]는 각각 [eqn: 5] 번씩 합에 사용된다.

[eqn: 20x=5(1+2+3+ CDOTS +12)}]

[eqn: x= {5(1+2+3+ CDOTS +12)} over {20}]

[eqn: = {39} over {2}]

따라서, [eqn: {39} over {2}]는 정수가 아니므로 이런 정[eqn: 12]면체는 만들 수 없다.

22. [출제의도] 복소수의 상등 이해하기

[eqn: (x+3y)+(x-y)i=5-11i]

[eqn: x+3y=5`,```x-y=-11]  을 연립하여 풀면

[eqn: x=-7`,````y=4]

[eqn: THEREFORE ```x ^{2} +y ^{2} =65]

23. [출제의도] 조건제시법과 집합의 연산 이해  하기

[eqn: C= LEFT { 2x+1□`x=2,4 RIGHT } = LEFT { 5,9 RIGHT }]
[eqn: THEREFORE ``14]

24. [출제의도] 유리식 계산하기
[eqn: x=2y,````y=3z``이므로````x=6z]
[eqn: {x ^{2} +□z ^{2}} over {xz+yz} = {36z ^{2} `+`□z ^{2}} over {6z ^{2} +3z ^{2} `} = {(36+□)z ^{2}} over {9z ^{2}} =10]
[eqn: THEREFORE ```□=54]

25. [출제의도] 주어진 조건을 이용하여 최대공약수 구하기

[eqn: [`2004,`120]=[120,`84]=[`84,36]]
[eqn: =[36,12]=12]

[eqn: THEREFORE ```84+36+12=132]

26. [출제의도] 평균과 분산을 이용하여 식의    값 구하기

(평균)[eqn: = {x+y} over {2} =5에서``````x+y=10]

(분산)[eqn: = {(x-5) ^{2} +(y-5) ^{2}} over {2} =4`이므로]

[eqn: x ^{2} +y ^{2} =10(x+y)+8-50]

[eqn: =100+8-50=58]

27. [출제의도] 부등식을 이용하여 실생활 문제 해결하기

재화의 기말고사 점수를 [eqn: x] 라 하자.

[eqn: 85`․` {40} over {100} +x`․` {40} over {100} +18 >= 90]

[eqn: 34+ {2} over {5} x+18 >= 90]

[eqn: {2} over {5} x >= 38]

[eqn: THEREFORE] [eqn: x >= 95] [eqn: THEREFORE] 최소점수는 [eqn: 95]점.

28. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수와의 관계   이해하기

[eqn: x^{ 2} -4x +1=0]의 두 근이 [eqn: alpha , beta]이므로
[eqn: alpha ^{2} `-3 alpha `+1`=` alpha]
[eqn: beta ^{2} `-3 beta `+`1`=` beta]
[eqn: {beta } over {alpha ^{2} `-3 alpha `+1} `+ {alpha } over {beta ^{2} `-3 beta `+1}]
[eqn: =` {beta } over {alpha } `+` {alpha } over {beta } `=` {(` alpha `+` beta `) ^{`2} ``-`2 alpha ` beta } over {alpha beta } `# =` {4 ^{2} `-`2``․``1} over {1} `=`14]

29. [출제의도] 무게중심의 성질을 이용하여 도형의 넓이 구하기

[eqn: RMA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C prime]

[eqn: rm C]

[eqn: rm H]

[eqn: rm G]

[eqn: rm A']

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

[eqn: RMH]

[eqn: rm S]

[eqn: rm T]

[eqn: RMG]

넓이 [eqn: rm S= TRIANGLE ABC- rm △PGQ]

[eqn: rm = TRIANGLE A prime GC` prime - rm △PGQ]

[eqn: =RMT]
[eqn: rm TRIANGLE ABC�]가 평행이동에 의해 움직였으므로
[eqn: rm bar{AB} // bar{PG}],  [eqn: rm bar{BC} // bar{GQ}]

[eqn: rm ANGLE A= ANGLE GPH] , [eqn: rm ANGLE C= ANGLE GQH]  이므로

[eqn: rm TRIANGLE ABC�] □[eqn: RMTRIANGLE PGQ]
이 때, 점 [eqn: RMG]가 [eqn: rm TRIANGLE ABC] 의 무게중심이므로

[eqn: RM bar { BH}: bar { GH}= 3:1]

[eqn: rm THEREFORE `` TRIANGLE ABC: TRIANGLE PGQ=3 ^{2} :1 ^{2} =9:1]

따라서 [eqn: rm TRIANGLE PGQ]의 넓이[eqn: rm = {1} over {9} TRIANGLE ABC]
[eqn: = {1} over {9} TIMES 27=3]

[eqn: THEREFORE] [eqn: rm S=T=27-3=24]

[eqn: THEREFORE] [eqn: rm S+T=48]

30. [출제의도] 닮음의 성질을 이용하여 넓이와 길이 구하기

[eqn: rm TRIANGLE ABO'] □[eqn: TRIANGLE rm ADO]이므로

[eqn: ( LITER + LITER ` ^{prime } ):8= LITER ` ^{prime } :5]

[eqn: 8 LITER ` ^{prime } =5 ELL +5 ELL ^{prime }]

[eqn: THEREFORE ````5 LITER =3 LITER ^{prime } ``…``㉠]

또한 [eqn: ( ELL + ELL ^{prime } ) ^{2} pi - ELL ^{prime 2} pi =624 pi]

[eqn: ELL ^{2} pi +2 ELL ELL ^{prime } pi =624 pi ``…``㉡]

㉠, ㉡ 을 연립하면

[eqn: ELL ^{2} pi + {10} over {3} ELL ^{2} pi =624 pi]

[eqn: {13} over {3} ELL ^{2} =624]

[eqn: ELL ^{2} =144]   [eqn: THEREFORE ```` LITER =12]