• 2교시 수리 영역 •

2005학년도 9월 고2 전국연합학력평가 정답 및 해설

수리“가”형 정답

1	③	2	①	3	②	4	①	5	①	6	②
7	⑤	8	④	9	⑤	10	③	11	④	12	④
13	④	14	⑤	15	④	16	⑤	17	③	18	②
19	①	20	③	21	②	22	80	23	32	24	968
25	202	26	36	27	262	28	360	29	54	30	125

해 설

1. [출제의도] 거듭제곱근과 지수법칙에 관한 계산 능력을 측정한다.

[eqn: sqrt {2} TIMES ^{3} sqrt {4} ÷ ^{6} sqrt {4} `][eqn: =2 ^{{1} over {2}} TIMES`` 4 ^{{1} over {3}} ÷4 ^{{1} over {6}} `][eqn: =2 ^{{1} over {2}} TIMES 2 ^{{2} over {3}} ÷2 ^{{2} over {6}} `][eqn: =2 ^{{1} over {2} + {2} over {3} - {1} over {3}} `][eqn: =2 ^{{1} over {2} + {1} over {3}} `][eqn: =`2 ^{{5} over {6}}][eqn: =` ^{6} sqrt {2 ^{5}}]

2. [출제의도] 행렬의 덧셈, 곱셈, 단위행렬에 관한 계산 능력을 측정한다.

[eqn: A+B```= `pmatrix{``-1&```-4`#``-2&```````3`} `+ `pmatrix{`0&~~``4`#2&````-4`} `=` pmatrix{``-1&````````````0`#`````````0&`````-1`} `=`-E`]    이므로

[eqn: (A+B`)` ^{2} =(-E`) ^{2} =E``` ^{2} =E```= pmatrix{``1&``0`#``0&``1`}]

3. [출제의도] 무리식의 극한에 관한 계산 능력을 측정한다.

[eqn: lim _{n -> INF } {} sqrt {n+3} `` LEFT ( ` sqrt {n+2} `-` sqrt {n+1} `` RIGHT )]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {sqrt {n+3}} over {sqrt {n+2} `+` sqrt {n+1}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {sqrt {1+ {3} over {n}}} over {sqrt {1+ {2} over {n}} `+` sqrt {1+ {1} over {n}}}]

[eqn: = {1} over {2}]

4. [출제의도] 행렬의 곱셈과 연립방정식에 관한 계산 능력을 측정한다.

[eqn: pmatrix{``1``&`3``#``1``&x} pmatrix{``2``&``1``#`y`&```1```} `=` pmatrix{``1``&```4``#``1``&`z`}] 에서 [eqn: pmatrix{``2+3y``&`4``#````2+xy``&``1+x``} `=` pmatrix{``1``&`4```#``1``&`z`}]

[eqn: 2`+`3y`=`1``] 에서 [eqn: y`=`- 1 over 3`]

[eqn: 2`+`x`y`=`1`] 에서 [eqn: 2`-` {1} over {3} `x`=`1`] [eqn: THEREFORE `][eqn: x=3]

[eqn: THEREFORE] [eqn: z=1+x=4`]

5. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계, 지수법칙, 로그의 성질에 관한 이해력을 측정한다.

이차방정식 [eqn: x^2 -4x+2=0`] 에서 근과 계수의 관계에 의하여 [eqn: alpha + beta` =`4,~ alpha` beta =2`]

[eqn: ∴~2`^ alpha` ․`2`^beta ` +`(log``_2`` alpha `+`log``_2`` beta )=2`^{ alpha + beta }`+`log``_2 `` alpha `beta`]

[eqn: =`2`^4 + log``_2`2`] [eqn: = 16 +1`][eqn: = 17]

6. [출제의도] 상용로그의 가수에 관한 이해력을 측정한다.

[eqn: log`20=log`10+log`2=1+log`2`] 에서 [eqn: f`(20)=log`2`]

같은 방법으로 [eqn: f`(300)=log`3 ````], [eqn: f`(5000)=log`5]

∴[eqn: ~f`(20)+f`(300)+f`(5000)=log`2+log`3+log`5`]

[eqn: =log`2`․`3`․`5`][eqn: =log30`]

7. [출제의도] 역행렬의 존재 조건과 도형의 방정식에 관한 이해력을 측정한다.

행렬 [eqn: PMATRIX {`` x+2``&~ 1-y`# 1+y``&~ x-2`` }]  의 역행렬이 존재하지 않으므로

[eqn: (x+2)(x-2)-(1-y)(1+y)=0`]

[eqn: x ^{2} -4-(1-y ^{2} )=0`]

[eqn: ∴~x^2 +y^2 =5`]

따라서 점 [eqn: (x,~y`)`]가 그리는 도형은 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: sqrt {5} `]인 원이다

8. [출제의도] 행렬의 성질과 행렬의 곱셈에 관한 이해력을 측정한다.

ㄱ. [eqn: (AB`) ^{2} =(AB)(AB`)=A(BA)B]

[eqn: =A(-AB)B``=``-A ^{2} B ^{2}]   [eqn: therefore] 거짓

ㄴ. [eqn: ( A+B`)^2] [eqn: =(A+B)(A+B)]  [eqn: =A^2 +AB+BA+B^2]

[eqn: =A^2 -BA+BA+B^2]  [eqn: =A^2 +B^2] [eqn: therefore] 참

ㄷ. [eqn: ( A-B)`^2] [eqn: =(A-B`)(A-B`)]  [eqn: =A^2 -AB-BA+B``^2]

[eqn: =A^2 -AB+AB+B``^2]  [eqn: =A^2 +B``^2] 이고,

ㄴ에서 [eqn: ( A+B`)``^2] [eqn: =A^2 + B``^2] 이므로

[eqn: ( A+B`)``^2] [eqn: =``(A-B`)``^2]     [eqn: THEREFORE] 참

9. [출제의도] 수열의 합에 대한 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문항이다.

[eqn: x ^{2} = sum from k=1 ton (x+k)^2 - sum from k=1 ton (x-k)^2]

[eqn: = sum from k=1 ton left{(x+k)^2 - (x-k)^2 right}`]

[eqn: = sum _{k=1} ^{n} 4kx`] [eqn: = 4x sum _{k=1} ^{n} k`][eqn: `=`4x`․` {n`(`n`+`1`)`} over {2}]

[eqn: therefore~x=4` ․ `n(n+1) over 2] [eqn: =2n(n+1)]

10. [출제의도] 행렬의 표현과 역행렬에 관한 이해력을 측정한다.

점 [eqn: rm Q it (c,~d)`]는 원

[eqn: x ^{2} +y ^{2} =4] 와 직선 [eqn: y=x`] 의 교점이므로  [eqn: c =d != 0`]이다.

행렬 [eqn: A= pmatrix{`a``&b``#`c``&d``}``][eqn: = pmatrix{`a``&b``#`c``&c``}] 의 역행렬이 존재하려면

[eqn: ac-bc != 0],  [eqn: ac != bc`]

[eqn: THEREFORE `] [eqn: a != b]

따라서 점 [eqn: rmP`] 중에서 [eqn: a != b]인 점은 그림에서 모두 [eqn: 6`]개다.

11. [출제의도] 규칙의 이해 및 등차수열의 일반항, 합에 관한 이해력을 측정한다.

ㄱ. 구슬을 [eqn: 4`]개씩 붙여 나가므로 [eqn: a _{n+1} -a _{n} =4`]

ㄴ. 수열 [eqn: LEFT{`a _{n`} `RIGHT }`]은 첫째항이 [eqn: 1`]이고, 공차가 [eqn: 4`]인 등차

수열이므로

[eqn: a _{n} =1+(n-1)4=4n-3`]

[eqn: THEREFORE ~a _{20} =4․20-3=77`]

ㄷ. [eqn: sum _{k`=`1} ^{10} `a _{k} = sum _{k`=`1} ^{10} `(4k-3)`][eqn: ``=`4`․` {10``․`11} over {2} -3`․`10][eqn: =220-30`]

[eqn: =190`]

12. [출제의도] 수열의 표현 및 무한급수에 관한 이해력을 측정한다.

[eqn: 4 ^{n} `]을 [eqn: 10]으로 나눈 나머지는 [eqn: 4 ^{n} `]의 일의 자리수이므로

[eqn: a _{1} `=`4`], [eqn: a _{2} `=`6`], [eqn: a _{3} `=`4`], [eqn: a _{4} `=`6`], …

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {a _{n} `} over {10 ^{n}} `][eqn: =0.464646 CDOTS `][eqn: =` {0.46} over {1-0.01} `][eqn: =` {46} over {99} `]

13. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수에 관한 증명능력을 측정한다.

[eqn: log`10A=1+n+ alpha `]  에서 [eqn: log`10A`] 의 지표는 [eqn: 1+n`]이고,

[eqn: log {10} over {A} =-n+1-` alpha]  에서 [eqn: log {10} over {A}] 의 지표는 [eqn: -n`]이다.

따라서 [eqn: log`10A`] 와 [eqn: log 10over A] 의 지표의 합은 [eqn: 1+n-n=1`] 이다.

[eqn: ∴~(가)~1+n,~~(나)~-n,~~(다)~1`]

14. [출제의도] 수학적귀납법을 이해하고, 이를 이용한 증명 능력을 측정한다.

[eqn: sum _{k=1} ^{i+1`} k(k+1)(k+2)`=` sum _{k=1} ^{i} k(k+1)(k+2)`+`(i+1)(i+2)(i+3)`]이므로

[eqn: n = i+1`]일 때에도 등식이 성립함을 보이려면

양변에 [eqn: (i+1)(i+2)(i+3)`]을 더하여야 한다.

이 때, 좌변은

[eqn: sum _{k=1} ^{i`} k(k+1)(k+2)`+(i+1)(i+2)(i+3)]

[eqn: =` sum _{k=1} ^{i+1 _{`}} k(k+1)(k+2)`]

이고, 우변은

[eqn: ` {1} over {4} `i(i+1)(i+2)(i+3)`+(i+1)(i+2)(i+3)]

[eqn: =` {1} over {4} `(i+1)(i+2)(i+3)(i+4)]

이므로 [eqn: n=i+1`]일 때에도 주어진 등식이 성립한다.

[eqn: THEREFORE] (가) [eqn: (i+1)(i+2)(i+3)`]

(나) [eqn: {1} over {4} `(i+1)(i+2)(i+3)(i+4)]

15. [출제의도] 수열의 극한에 관한 성질을 이해하고, 여러 가지 상황에 따른 문제해결능력을 측정한다.

ㄱ. [eqn: lim _{n -> INF } {} (a _{n} +2)= alpha]  라고 하면

[eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n} = lim _{n -> INF } {} LEFT { (a _{n} +2)-2 RIGHT } `= `alpha -2]    ∴ 참

ㄴ. [반례] [eqn: a _{n} `=`(-1) ^{n} `] 이면 [eqn: lim _{n -> INF } {} |`a _{n} `|=1`] 이지만

[eqn: LEFT { a _{n} ` RIGHT } `]은 진동하므로 발산한다. ∴ 거짓

ㄷ. [eqn: SUM from { { n}=1} to inf |`a_n`|]이 수렴하므로 [eqn: lim from { n -> inf } |a_n`|`=0`]

[eqn: lim from { n -> inf } |a_n`|`=0`] 이면 [eqn: lim from { n -> inf }( -|a_n`|)`=0`] 이므로

[eqn: -|a_n`|`≦`a_n``≦`|a_n`|`] 에서 [eqn: lim from { n -> inf } a_n = 0`]  ∴참

16. [출제의도] 행렬과 연립일차방정식의 해에 관한 문제 해결 능력을 측정한다.

[eqn: AX = kX]  에서 [eqn: A= pmatrix{`5&```3`#`8&``3`}, ~X= pmatrix{x`#y`}]이므로

[eqn: pmatrix{``5&``3`#`8&`3`} pmatrix{`x`#`y`} `=`k`` pmatrix{`x`#`y`} ```` LRARROW ```` pmatrix{`5-k&````3`#`8&````3-k``} pmatrix{`x`#`y`} = pmatrix{`0`#`0`}]

이 때 행렬 [eqn: pmatrix{`5-k&```3`#`8&`````3-k``}] 의 역행렬이 존재하면

[eqn: x=0,``y=0] 으로 오직 한 쌍이 존재하고,

역행렬이 존재하지 않으면 무수히 많이 존재한다. 따라서 [eqn: (5-k)(3-k)-24=0] 에서 [eqn: k^2 -8k -9=0]

[eqn: (k+1)(k-9)=0`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: k=``-1`] 또는 [eqn: k`=`9`]

그런데 [eqn: k=-1`]일 때, [eqn: 2x+y=0`]을 만족하는 양수 [eqn: x,`y`]가 존재하지 않는다.

한편, [eqn: k=9`] 일 때, [eqn: 8x-6y=0] 즉 [eqn: y= {4} over {3} x] 를 만족하는 양수 [eqn: x,~y] 가 존재한다.

[eqn: ∴```k=9 `]

17. [출제의도] 실생활과 관련된 상황을 수열과 관계지어 문제를 해결한다.

[eqn: n]개의 선분으로 분할되는 영역의 수의 최대값을 [eqn: a _{n}]이라 하면, [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }] : [eqn: 2,````4,~7,~11,…]

[eqn: a_n =2+(2+3+…+n)=1+ {n(n+1)} over 2]

따라서 [eqn: k]개의 선분으로 분할된 영역의 수가 최소한 [eqn: 29`]이려면

[eqn: a` _{k} ``>=``29`]

[eqn: `1+ {k(k+1)} over {2}` >=`29``]

∴ [eqn: k`>=`7]

따라서 선분을 최소한 7개 그려야 한다.

18. [출제의도] 규칙을 발견하여 무한급수의 합을 구할수 있는가를 묻는 문항이다.

[eqn: S` _{n} = {1} over {2} CDOT 2 ^{2} CDOT rm ANGLE A`O`P _{it n} `] 이므로 [eqn: lim _{n -> INF } {} S _{n} =2 `lim _{n -> INF } {} rm ANGLE A`O`P _{it n}]

한편, [eqn: rm ∠AOP_1 = pi over2]  ,

[eqn: rm ∠AOP_2 = pi over2 + pi over4]  ,

[eqn: rm ∠AOP_3 = pi over2 + pi over4 - pi over8]  ,

[eqn: rm ∠AOP_4 = pi over2 + pi over4 - pi over8 + pi over16]  ,

⋮

∴[eqn: rm lim _{n -> INF } {} ANGLE AOP _{it n} = {pi } over {2} + {pi } over {4} - {pi } over {8} + {pi } over {16} -…= {pi } over {2} + {{pi } over {4}} over {1- LEFT ( - {1} over {2} RIGHT )} `]

[eqn: = {pi } over {2} + {pi } over {6} `] [eqn: = {2 pi } over {3}]

따라서, [eqn: lim _{n -> INF } {} S _{n} =2 lim _{n -> INF } {} rm ANGLE AOP _{it n} = {4 pi } over {3}]

19. [출제의도] 타교과(화학)과 관련된 지수 문제의 해결 능력을 측정한다

처음 산소 기체의 압력과 부피를 각각 [eqn: P_1`,`V_1`]이라 하고 부피가 [eqn: 4`]배 증가했을 때의 압력과 부피를 각각[eqn: P_2`,`V_2`]라 하면

[eqn: P _{1} `V _{1} ` ^{1.5} `=`P _{2} `V _{2} ` ^{1.5} `=`C`]

그런데 [eqn: V _{2} `=4V _{1} `]이므로

[eqn: P _{1} `V _{1} ` ^{1.5} `=P _{2} ` CDOT (4V _{1} `) ^{1.5} `]

즉, [eqn: P _{2} `=`P _{1 CDOT } ` {1} over {4 ^{1.5} `}][eqn: =`P _{1} ` CDOT ` {1} over {(2 ^{2} `) ^{1.5} `} `] [eqn: =`P _{1} ` CDOT ` {1} over {2 ^{2 CDOT 1.5`}} `]

[eqn: =`P _{1} ` CDOT ` {1} over {2 ^{3}} `] [eqn: =` {P _{1} `} over {8} `]

20. [출제의도] 타교과(지구과학)과 관련된 로그 문제의 해결 능력을 측정한다.

겉보기등급이 [eqn: m=0.0`] 등급, 절대등급이 [eqn: M=0.5`]등급 일 때, 지구로부터의 거리는 [eqn: r=10 ` ^{0.9} `\(pc)`]이므로

[eqn: m-M=a+5`log` _{10}` `r``] 에서

[eqn: -0.5=a+5`log _{10} ``10`` ^{0.9} `], [eqn: -0.5= a+ 5×0.9 `]

[eqn: THEREFORE ~a=-5`]

따라서 거리 지수는 [eqn: m-M= -5+ 5`log_10 `r``]

이 때, 겉보기등급은 [eqn: 2`]등급이고 절대등급이 [eqn: -4.5]등급인 별의 지구로부터의 거리를 [eqn: r`] 이라 하면,

[eqn: 2-(-4.5)=-5+5`log _{10} ``r`]

[eqn: 5log _{10} `r=11.5`]에서[eqn: log_10`r= 2.3`]

∴[eqn: `r=10 ^{2.3} ` rm (pc)]

21. [출제의도] 실생활과 관련된 행렬 문제의 해결 능력을 측정한다.

‘인컬’에 해당하는 이차정사각행렬은 [eqn: pmatrix{`8`&`10`#`2`&`0`}], [eqn: pmatrix{11`&`3`#4`&`0`}] 이고, 암호화 되는 글자에 해당되는 행렬을 각각 [eqn: A`], [eqn: B`] 라 하면

[eqn: A` pmatrix {`````` 2`&` 0`#-1 `&`1` } = pmatrix { `8`&` 10`#``2 `&`0` }]  에서

[eqn: A`= pmatrix{`8`&`10#`2`&`0} { pmatrix{`2`&`0#`-1`&`1}}^{-1} = pmatrix{`8`&`10#`2`&`0} `․` {1} over {2} pmatrix{`1`&`0#`1`&`2} `]

[eqn: = {1} over {2} pmatrix{`18`&`20#`2`&`0} = pmatrix{`9`&`10#`1`&`0}]  ⇨ ‘직’

또, [eqn: B` pmatrix{2`&`0#-1`&`1} = pmatrix{11`&`3#4`&`0}]  에서

[eqn: B`= pmatrix{11`&`3`#4`&`0`} {pmatrix{``````2`&`0`#-1`&`1`}}^-1 = {1} over {2} pmatrix{11`&`3`#4`&`0`} pmatrix{`1`&`0`#`1`&`2`}]

[eqn: = {1} over {2} pmatrix{14`&`6#4`&`0} = pmatrix{7`&`3#2`&`0}]  ⇨ ‘선’

따라서 ‘인컬’로 암호화되는 글자는 ‘직선’이다.

22. [출제의도] 수열의 합에 관한 계산 능력을 측정한다.

[eqn: sum _{k=1} ^{10} (3a _{k} +2)`=`3 sum _{k=1} ^{10} a _{k} + sum _{k=1} ^{10}2`=`3`․`20 + `20` =`80`]

23. [출제의도] 무한수열의 수렴에 대한 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문항이다.

두 무한수열 [eqn: LEFT { `a_n`RIGHT } ``,`` LEFT { `b_n`RIGHT }]이 수렴하므로

[eqn: lim from { n -> inf } (a_n` ^2 + b_n`^2 )`] [eqn: =` lim from { n -> inf }`left{(a_n`+`b_n )`^2`-`2 `a_n` b_n`right}]

[eqn: = LEFT { lim _{n` -> ` INF } {} (a _{n} +b _{n} ) RIGHT } ^{2} -2 lim _{n` -> ` INF } {} a _{n} b _{n} `][eqn: = 6^2 `-` 2`․`2`]       [eqn: therefore ~ lim from { n -> inf } (a_n` ^2 + b_n`^2 )`=`32`]

24. [출제의도] 등차수열의 합에 관한 이해력을 측정한다.

[eqn: `a`+`(a`+2`)`+`~~ CDOTS ~~+`(`b`-`2`)`+`b`]는 항이 [eqn: 22`]개인 등차수열의 합이므로 [eqn: 22 ^{3} `=` {`22`(`a`+`b`)`} over {2} `]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a`+`b`=`2`×`22^2`=`968`]

25. [출제의도] 행렬의 곱셈과 규칙성의 이해를 측정한다.

[eqn: A= PMATRIX { 1& 2`# 0& 1` }]에서

[eqn: A^2 =AA= PMATRIX { 1& 2`# 0& 1` } PMATRIX { 1& 2`# 0& 1` } =PMATRIX { 1& 4`# 0& 1` }]

[eqn: A^3 = A^2 A= PMATRIX { 1& 4`# 0& 1` } PMATRIX { 1& 2`# 0& 1` } =PMATRIX { 1& 6`# 0& 1` }]

[eqn: A^4 = A^3 A= PMATRIX { 1& 6`# 0& 1` } PMATRIX { 1& 2`# 0& 1` } =PMATRIX { 1& 8`# 0& 1` }]

⋮

이상에서 [eqn: A^n = PMATRIX { 1&& 2n`# 0&& 1` }]임을 알 수 있다.

[eqn: ∴~A^100 = PMATRIX { 1&& 200`# 0&& 1` }]

따라서 [eqn: A^100`]의 모든 성분의 합은

[eqn: 1+200+0+1=202`]이다.

26. [출제의도] 등비중항에 관한 이해력을 측정한다.

세 수 [eqn: 3], [eqn: 6], [eqn: m]이 등비수열을 이루므로 [eqn: m=12]

세 수 [eqn: m], [eqn: n], [eqn: 108] 즉 [eqn: 12], [eqn: n], [eqn: 108]이 등비수열을 이루므로

[eqn: n^2 =12 times 108 = 2^4 times 3^4 = 36^2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: n=36]

27. [출제의도] 로그의 성질과 표현력을 측정한다.

아래 쪽부터 빈 칸에 알맞은 값을 차례로 구하면 그림과 같다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: x+y+z=2+2 ^{8} +2 ^{2} =262`]

28. [출제의도] 지표와 가수의 성질을 이해하여 문제를 해결하는 능력을 측정한다.

[eqn: log`1.5 `+`log``2.4`=`0.5563`]  이므로

[eqn: log`A`=`2`+`0.5563`]

[eqn: =`2`+`log`1.5 `+`log``2.4`]

[eqn: =`log`(100`×`1.5 `×`2.4)`]

[eqn: =`log`360`]

[eqn: THEREFORE`` `A`=`360`]

29. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계, 등비수열에 관한 문제 해결 능력을 측정한다.

이차방정식의 근과 계수와의 관계에서

[eqn: alpha `+` beta `=` {1} over {2} `a`], [eqn: alpha beta `=`1`], [eqn: p`+` q `=` {1} over {2} `b``], [eqn: p `` q `=`2``]

이 때, [eqn: a`,`~b`]가 양수이므로 [eqn: alpha `,`` beta `,``p``,``q`] 는 모두 양수이다.

한편,  네 수 [eqn: alpha `,`` p ``,`` beta ``,`` q ``] 가 이 순서대로 등비수열을 이루므로

[eqn: alpha `=`k``,`` p `=`k`r```,`` beta `=`k`r ^{2} ``,`` q `=`k`r ^{3} `] [eqn: (`k``＞``0``,```r``＞```0``)`]로

놓으면

[eqn: alpha beta `=`k ^{2} `r ^{2} `=`1`],     [eqn: p `` q`=`k^2`r^4`=`2`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: r`=`root2`],  [eqn: k`=` {1} over {sqrt {2}}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: alpha `=` {1} over {sqrt {2}} ``,`` p `=`1```,`` beta `=` sqrt {2} ````,`` q `=`2`]

[eqn: a`=`2`(` {1} over {sqrt {2}} `+` sqrt {2} `)`=`3 sqrt {2}]

[eqn: b`=`2`(`1`+2`)`=`6`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a ^{2} `+`b ^{2} `=`18`+`36`=`54`]

30. [출제의도] 규칙성의 이해와 무한급수에 관한 문제 해결 능력을 측정한다.

아래 그림과 같이 생각하면 정사각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1} D _{1} `]의 빗금친 부분과 어두운 부분의 넓이의 합은 정사각형[eqn: rmA_2 B_2 C_2 D_2`]의 넓이와 같다.

따라서 정사각형[eqn: rmA_2 B_2 C_2 D_2`]의 넓이는 정사각형

[eqn: rmA_1 B_1 C_1 D_1`]의 넓이의 [eqn: 1over5`]이다.

이와 같이 생각하면

[eqn: S_n+1`=`1over5`S_n`] ([eqn: n=1`,`2`,`3`,`cdots`]),

[eqn: S_1`=`1`]이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} `][eqn: =`1over {1-`1over5`}`][eqn: =`5over4`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 100 SUM from { { n}=1} to inf S_n`=`100`×`5 over 4`=`125`]

수리“나”형 정답

1	③	2	①	3	④	4	①	5	①	6	②
7	⑤	8	④	9	③	10	③	11	③	12	②
13	④	14	⑤	15	⑤	16	⑤	17	②	18	④
19	①	20	③	21	②	22	150	23	15	24	99
25	202	26	10	27	262	28	360	29	90	30	60

해 설

3. [출제의도] 행렬의 덧셈과 곱셈에 관한 계산 능력을 측정한다.

[eqn: A+B~=] [eqn: pmatrix{``0&``~log``2``#```log``2&0``}``+ pmatrix{``1&``log5``#``log5&``1``}]

[eqn: = pmatrix{``1&~log``2 + log5``#``log``2 + log``5&1``}]

[eqn: =pmatrix{``1&``1``#``1&`1`} `]

∴ [eqn: (A+B) C`] [eqn: =pmatrix{`1&``1``#1&``1``} pmatrix{`1``#``1``}`] [eqn: = pmatrix{2``#2``} `]

9. [출제의도] 정육면체와 관련된 공간 지각 능력을 측정한다.

전개도를 접어 3이 쓰인 면이 정면으로 오도록 정육면체를 만들면 오른쪽 그림과 같다. 이 때, 한 꼭지점에서 만나는 세 면에 쓰인 수의 합을 구해보면,

4+1+3=8, 4+3+6=13, 4+6+2=12, 4+2+1=7,

5+1+3=9, 5+3+6=14, 5+6+2=13, 5+2+1=8

따라서 세 면에 쓰인 수의 합이 10인 경우는 없다.

11. [출제의도] 행렬의 성질을 이해하고 추론하는 능력을 측정한다.

ㄱ. [eqn: P=pmatrix{1&0``#0&2^k``}], [eqn: Q=pmatrix{1&0``#0&2^l``}]이라 하면

[eqn: PQ=pmatrix{1&0#``0``&`2^k``}pmatrix{`1&``0``#``0&``2^l``}=pmatrix{``1&```0``#`0&```2^k+l``}]

∴ 참

ㄴ. [eqn: P=pmatrix{1&0``#0&2^k``}]이라 하면

[eqn: P^2 =PMATRIX{{1}&{0}``#{0}&{2^k}``} pmatrix{1&0``#0&2^k``}=pmatrix{1&0``#0&2^2k``}]

[eqn: P ^{3} =P ^{2} P= pmatrix{1&0``#0&2 ^{2k} ``} pmatrix{1&0``#0&2 ^{k} ``} = pmatrix{1&0``#0&2 ^{3k} ``}]

[eqn: P ^{n} =P ^{n-1} P= pmatrix{``1&~~0``#``0``&```2` ^{`(n-1)k} ``} pmatrix{``1&`0``#``0&```2` ^{`k} ``} = pmatrix{``1&`0``#``0&``2` ^{`nk} `}]

∴ 참

ㄷ. [eqn: P= pmatrix{1&0``#0&2^k``}`]([eqn: k`]는 양의 정수)라 하면

[eqn: P^-1 = 1over{2^k} pmatrix{2^k&0``# 0&1``}`][eqn: = pmatrix{1&0``# 0&2^-k``}`]

그런데 [eqn: -k`]는 음의 정수이므로  [eqn: P ^{-1} ` NOTIN `A`]

∴ 거짓

12. [출제의도] 최대공약수와 서로소에 관한 이해력을 측정한다.

[eqn: a`], [eqn: b`]가 서로소일 때, 잘려지는 정사각형의 개수가 [eqn: a+(b-1)`]이므로

[eqn: `f`(a,~b)=a+(b-1)`=a+b-1]

[eqn: f`(8,~7)=8+7-1=14`] 에서

[eqn: f`(16,~14)= f`(8,~7) +f`(8,~7)=28`]

14. [출제의도] 지수법칙을 이해하고, 귀류법을 이용한 증명능력을 측정한다.

[eqn: ` ^{3} sqrt {2} `+` ^{3} sqrt {4} =m] ([eqn: m`]은 유리수)라 가정하면

[eqn: m``=` {q} over {p} ``(`p,~q] 는 서로소인 자연수)라 놓을 수 있다.

이 때

[eqn: m ^{3} =(` ^{3} sqrt {2} +` ^{3} sqrt {4} ) ^{3} =6+6(` ^{3} sqrt {2} +` ^{3} sqrt {4} )=6(m+1)]

[eqn: m``=`{ q} over {p }`]를 대입하여 정리하면 [eqn: q^3 = 6p^2 (p +q)`]… ㉠

따라서 [eqn: q^3]은 [eqn: 6]의 배수이고, [eqn: q=6k] ([eqn: k]는 자연수) 로

놓고  ㉠식에 대입하여 정리하면  [eqn: p ^{2} (6k+p)=36k ^{3}]

위의 식에서 [eqn: p] 는 짝수를 인수로 갖게 되어 [eqn: p,```q] 가 서로소라는 가정에 모순이다. 그러므로 [eqn: m`]은 무리수이다.

15. [출제의도] 삼각함수와 행렬에 관한 문제 해결 능력을 측정한다.

[eqn: A ^{-1} = {1} over {5} pmatrix{4&3#-3``&``4`}] 이므로

[eqn: A= {1} over {5} pmatrix{4&-3#`3``&``4`}][eqn: = pmatrix{cos` theta &```-sin` theta #sin` theta &~~cos` theta }]

따라서

[eqn: cos theta = {4} over {5} ,````sin theta = {3} over {5}]이므로

[eqn: tan theta = {sin theta } over {cos theta } = {3} over {4}]

17. [출제의도] 행렬과 절대부등식에 관한 문제 해결 능력을 측정한다.

[eqn: A`]의 역행렬이 존재하므로

[eqn: (t-a)(2t-a)+1 != 0]에서

[eqn: 2t ^{2} -3at+a ^{2} +1 != 0] … ㉠

㉠이 임의의 실수 [eqn: t`]에 대하여 성립하려면

[eqn: D=(-3a) ^{2} -4`․`2(a ^{2} +1)<0`]

[eqn: a` ^{2} -8`<`0]

∴ [eqn: - sqrt {8} `<`a`<` sqrt {8}]

따라서 정수 [eqn: a`]는 [eqn: 0`], [eqn: ±1`], [eqn: ±2`]의 [eqn: 5]개이다.

18. [출제의도] 실생활과 관련된 행렬 문제의 표현력을 측정한다.

[eqn: P`Q```=` pmatrix{`20``&`30`#`25&`15`} ` pmatrix{`1.4``&`1.3`#`1.4``&`1.2`}] 이므로 [eqn: P`Q `]의 [eqn: (2,~2)`]성분은 [eqn: 25×1.3 +15×1.2``] 이다.

한편, [eqn: 25×1.3 +15×1.2`=25(1+0.3)+15(1+0.2)]   에서

[eqn: 25(1+0.3)`], [eqn: 15(1+0.2)`]는 각각 ‘을’ 공장에서 올해 계획한 제품 [eqn: A,~B`] 의 생산량과 같다.

따라서, [eqn: P`Q `]의 [eqn: (2,~2)`]성분은 ‘을’ 공장이 올해 계획한 제품 [eqn: A`]와 [eqn: B`] 의 생산량의 합을 나타낸다.

22. [출제의도] 지수법칙을 이용한 계산 능력을 측정한다.

[eqn: 4 `^{x} `+`8 ` ^{x}` =`2`` ^{2x}` +`2 ^{3x} `=`(2 ` ^{x} ) ` ^{2}` +`(2 ` ^{x} ) ` ^{3}` =`5 ` ^{2}` +`5 ` ^{3} =150`]

23. [출제의도] 행렬과 연립방정식의 관계를 이해하고 있는가를 묻는 문항이다.

[eqn: cases{ax+by=3#cx+dy=5}] 를 행렬을 이용하여 나타내면,

[eqn: pmatrix{``a&```b`#`c&```d``} pmatrix{``x``#``y``} = pmatrix{``3```#5``}]

양변의 왼쪽에 [eqn: pmatrix{`a&```b`#`c&```d`}]의 역행렬을 곱하면,

[eqn: pmatrix{``x#```y``} = {pmatrix{``a&```b``#``c&```d``}}^-1`` pmatrix{``3```#5``}]

[eqn: = pmatrix{~~`1&~``1#``-1&~``2``} pmatrix{``3``#``5``}]

[eqn: = pmatrix{`8`#`7`}]

따라서 두 직선의 교점의 좌표는 [eqn: (`8`,~7`)`]이다.

[eqn: THEREFORE]  [eqn: p`+`q`=`8`+`7`=`15`]

24. [출제의도] 로그의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문항이다.

[eqn: log {1} over {2} +log {2} over 3 + log {3} over {4} +…+log {n} over {n+1} =-2`]

[eqn: log LEFT ( {1} over {2} TIMES {2} over {3} TIMES {3} over {4} TIMES …… TIMES {n} over {n+1} RIGHT ) =-2`]

[eqn: log ` {1 over {n+1} =-2]

[eqn: {1} over {n+1} =10 ^{-2} = {1} over {100} `]

[eqn: n+1=100`]

[eqn: THEREFORE ``n=99`]

26. [출제의도] 넓이에 관한 수학적 기초 능력을 측정하는 문항이다.

닮음 삼각형의 넓이는 변의 길이의 비의 제곱에 비례하므로 넓이가 [eqn: 36`]배가 되기 위해서는 변의 길이는 [eqn: 6`]배가 되어야 한다.

∴ [eqn: 2`․`6`=`12`]

즉, 한 변에 [eqn: 12`]개의 성냥개비가 있어야 하므로 [eqn: 10`]개가 추가되어야 한다.

∴ [eqn: n=10`]

29. [출제의도] 로그의 성질과 부정방정식에 관한 문제 해결 능력을 측정한다.

[eqn: a=3 ^{m} ,```b=3 ^{n}]에서

[eqn: log _{3} a=m,````log _{3} b=n]

[eqn: log _{3} {b} over {a} =log _{3} b-log _{3} a=n-m]

이므로 주어진 조건식에 대입하면

[eqn: n-m= {n} over {m} ,``````mn-m ^{2} =n]

[eqn: THEREFORE ```n= {m ^{2}} over {m-1} =m+1+ {1} over {m-1}]

이 때, [eqn: m,```n] 이 양의 정수이므로 [eqn: m`-`1`=`1] 이다.

따라서[eqn: m=2 , ```n=4]

[eqn: `a=3 ^{2} ,```b=3 ^{4}]

[eqn: THEREFORE ``a+b=9+81=90]

30. [출제의도] 실생활과 관련된 부등식 문제의 해결 능력을 측정한다.

가로의 길이를 [eqn: x(m)], 세로의 길이를 [eqn: y`(m)]라 하면,

총비용[eqn: =x+ {1} over {2} x+2y]

[eqn: = {3} over {2} x+2y`]

[eqn: ≧ ~2 root {3 over2 x ․2y }`]

[eqn: =2root{3xy}`]

[eqn: =2root900`]

[eqn: =60](만원)

따라서, 주영이가 지불해야 할 최소 비용은 60만원이다.