• 수리 영역 •

2005년도 9월 고1 전국연합학력평가 정답 및 해설

정 답

1	②	2	④	3	①	4	①	5	③	6	②	7	④	8	⑤
9	④	10	③	11	⑤	12	②	13	③	14	④	15	④	16	②
17	①	18	③	19	①	20	⑤	21	④	22	17	23	13	24	10
25	169	26	99	27	20	28	60	29	25	30	50

해 설

1. [출제의도] 다항식의 곱셈공식을 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: (a+b) ^{2} =a ^{2} +b ^{2} +2ab]에서

[eqn: ab`=` {1} over {2} LEFT { (a+b) ^{2} -(a ^{2} +b ^{2} ) RIGHT }]

[eqn: =` {1} over {2} (9-11)`=`-1]

2. [출제의도] 다항식의 계산 및 용어의 정의를 알고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 2A-3B & =2(x ^{2} -2xy+2y ^{2} )-3(2x ^{2} +xy-y ^{2} )]

[eqn: =-4x ^{2} -7xy+7y ^{2}]

따라서 [eqn: y ^{2}]의 계수는 [eqn: 7] 이다.

3. [출제의도] 무리식의 성질을 알고 계산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: {sqrt {x-2}} over {sqrt {x+2}} + {sqrt {x+2}} over {sqrt {x-2}}][eqn: = {(x-2)+(x+2)} over {sqrt {x+2} sqrt {x-2}}]

[eqn: = {2x} over {sqrt {x ^{2} -4}}]

[eqn: = {2 sqrt {5}} over {sqrt {5-4}}]

[eqn: =2` sqrt {5}]

4. [출제의도] 집합의 연산을 이해하고 필요충분조건을 알고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: (A CUP B)-(A SMALLINTER B)`=` EMPTYSET `]

[eqn: LRARROW `````(A CUP B) SUBSET (A SMALLINTER B)]

[eqn: LRARROW `````A CUP B````=`A SMALLINTER B```````` LEFT ( BECAUSE ``(A SMALLINTER B)` SUBSET (A CUP B) RIGHT )]

[eqn: LRARROW `````(A-B) CUP (B-A)`=` EMPTYSET ````]

[eqn: LRARROW `````A-B=` EMPTYSET ````]이고 [eqn: B-A=` EMPTYSET ````]

[eqn: LRARROW `````A```` SUBSET `B```]이고 [eqn: B``` SUBSETA```]

[eqn: LRARROW ````` A`=`B]

5. [출제의도] 실수의 대소관계를 알고 절대값을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a+b`=`2- sqrt {3} + sqrt {2} `` ＞ ``0]이므로

[eqn: sqrt {(a+b) ^{2}} `=` LEFT | ``a+b`` RIGHT |]

[eqn: `=` LEFT | ``2- sqrt {3} + sqrt {2} `` RIGHT | `=`2- sqrt {3} + sqrt {2}]

또, [eqn: a-b`=`2- sqrt {3} - sqrt {2} `=`(1- sqrt {3} )+(1- sqrt {2} )```＜``0] 이므로

[eqn: sqrt {(a-b) ^{2}} `=` LEFT | ``a-b`` RIGHT |]

[eqn: `=` LEFT | ``2- sqrt {3} - sqrt {2} `` RIGHT | `=`-2+ sqrt {3} + sqrt {2}]

[eqn: THEREFORE `` sqrt {(a+b) ^{2}} + sqrt {(a-b) ^{2}} `]

[eqn: `=`(2- sqrt {3} + sqrt {2} `)+(-2+ sqrt {3} + sqrt {2} `)]

[eqn: `=`2 sqrt {2}]

6. [출제의도] 유리식의 성질을 알고 계산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: x`△`x ^{2}][eqn: = {x} over {x+x ^{2}}][eqn: = {x} over {x(x+1)}][eqn: = {1} over {x+1}]

[eqn: (x ^{2} -x)`△`(x-1)][eqn: = {x ^{2} -x} over {x ^{2} -x+x-1} = {x(x-1)} over {(x+1)(x-1)}][eqn: = {x} over {x+1}]

∴ [eqn: (x`△`x ^{2} )+ LEFT { (x ^{2} -x)`△`(x-1) RIGHT }]

[eqn: = {1} over {x+1} + {x} over {x+1}]

[eqn: = {x+1} over {x+1} =1]

7. [출제의도] 유리수의 대소관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A=`` {x} over {y} `` TIMES {1} over {z} = {x} over {yz}]

[eqn: B=``x`` TIMES `` {z} over {y} ``][eqn: = {xz} over {y}]

[eqn: C=``z`` TIMES `` {x} over {y} ``][eqn: = {xz} over {y}]

∴ [eqn: B=C] … ㉠

한편, [eqn: 0＜z＜1]에서 [eqn: {1} over {z} ＞1]이므로 [eqn: z＜ {1} over {z}]이다.

∴ [eqn: A-B= {x} over {yz} - {xz} over {y} = {x} over {y} LEFT ( {1} over {z} -z RIGHT )][eqn: ＞0] (∵ [eqn: {x} over {y} ＞0], [eqn: {1} over {z} -z``＞`0])

∴ [eqn: A＞B] … ㉡

㉠, ㉡ 에서 [eqn: B`=`C``＜`A]

8. [출제의도] 실수의 대소관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: |a(c-b)|=|a(b-c)|=a(c-b)] (거짓)

ㄴ. [eqn: |a(b-c)|=a(c-b)] ⇔ [eqn: a(b-c)＜0]

따라서 [eqn: a`＞0]이면 [eqn: b-c＜0]이므로 [eqn: b＜c]이다. (참)

ㄷ. [eqn: a(b-c)＜0] ⇔ [eqn: ab-ac＜0]

∴ [eqn: ab＜ac]

따라서 [eqn: ab＞0]이면 [eqn: ac`＞0]이다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

9. [출제의도] 평균과 분산의 성질을 알고 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 변량 [eqn: x _{1} `], [eqn: x _{2} `], [eqn: x _{3} `], … , [eqn: x _{n} `]의 평균과 분산을 각각 [eqn: m`], [eqn: n`]이라 하면

변량 [eqn: x _{1} -1`], [eqn: x _{2} -1`], [eqn: x _{3} -1`], … , [eqn: x _{n} -1`]의 평균과 분산은 각각 [eqn: m-1`], [eqn: n`]이고,

변량 [eqn: x _{1} +2`], [eqn: x _{2} +2`], [eqn: x _{3} +2`], … , [eqn: x _{n} +2`]의 평균과 분산은 각각 [eqn: m+2`], [eqn: n`]이다.

따라서 [eqn: (m-1)+(m+2)=9`]에서 [eqn: m=4`]

[eqn: n ` +`n` =`4`]에서 [eqn: n` =`2`]

10. [출제의도] 실수의 정수부분을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: x= sqrt {2} + sqrt {6}]으로 놓으면

[eqn: x ^{2} =2+6+2 sqrt {12} =8+ sqrt {48}]

이때 [eqn: 6 ^{2} ＜``48``＜`7 ^{2}]이므로 [eqn: 6``＜` sqrt {48} ``＜``7]이다.

따라서 [eqn: sqrt {48}]의 정수부분은 [eqn: 6]이다.

따라서 [eqn: 14][eqn: ＜][eqn: x ^{2}][eqn: ＜][eqn: 15] 이므로 [eqn: c=14]이고

[eqn: sqrt {14} ＜x＜ sqrt {15}]에서 [eqn: 3`＜` sqrt {14} `＜` sqrt {15} `＜`4]이므로

[eqn: 3` ＜ `x`＜`4`]

따라서 [eqn: sqrt {2} + sqrt {6}]의 정수부분은 [eqn: 3]이다.

∴ [eqn: a+b+c+d][eqn: =48+6+14+3=71]

11. [출제의도] 이차방정식의 근의 성질을 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다.

정수 [eqn: k] 에 대하여 [eqn: m ^{2} -`4n``=`k ^{2}] 으로 놓으면

[eqn: m ^{2} ``-`k ^{2} `=`4n`]이므로 [eqn: m ^{2} -k ^{2} `]은 짝수 이다.

이때 [eqn: m ^{2} -k ^{2} `]=[eqn: (m`+`k`)(m`-`k)]에서

[eqn: m`+`k]가 짝수이면 [eqn: m]과 [eqn: k]는 모두 짝수이거나 모두 홀수이므로

[eqn: m`-`k]도 짝수이다.

마찬가지로 [eqn: m`-`k]가 짝수이면 [eqn: m`+`k]도 짝수이다.

그런데 주어진 방정식의 근은 [eqn: x`=`-` {m`±k} over {2}]이므로

두 근은 모두  정수이다.

[오답풀이]

[eqn: m`-`k]와 [eqn: m`+`k]가 짝수일 때 [eqn: -` {m`±k} over {2}]이 홀수라고 생각하여 ④로 답하기 쉽다.

그런데 [eqn: {(짝수)} over {2}]는 짝수일 수도 있고 홀수일 수도 있다.

그러므로 [eqn: x`=`-` {m`±k} over {2}]는 정수라고 해야 옳다.

12. [출제의도] 실수와 복소수의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. (반례) [eqn: x`=`1], [eqn: y`=`-1`]이면 [eqn: x ^{2} -y ^{2} `=`0`]이지만 [eqn: x`-`y``!= `0`]이다.

따라서 명제[eqn: ``p```` -> ````q] 는 참이 아니다.

ㄴ. [eqn: x ^{2} ` >= `0], [eqn: y ^{2} ` >= `0]이므로 [eqn: x ^{2} +y ^{2} `=`0`]이면 [eqn: x`=`y`=`0]

따라서 [eqn: x+y`=`0] 이므로 명제[eqn: ``p```` -> ````q] 는 참이다.

ㄷ. (반례) [eqn: alpha `=`1], [eqn: beta `=`i`]이면 [eqn: alpha ^{2} + beta ^{2} `=`1 ^{2} +i ^{2} `=`1-1`=`0] 이지만

[eqn: alpha + beta `=`1+i` != `0]이다.

따라서 명제[eqn: ``p```` -> ````q] 는 참이 아니다.

이상에서 조건 [eqn: p`]가 조건 [eqn: q`]이기 위한 충분조건인 것은 ㄴ이다.

13. [출제의도] 자연수의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: n]이 [eqn: 1]부터 [eqn: 6]일 때까지의 값에 대해 [eqn: n ^{2}] 과 [eqn: R(n)] 의 값을 구하면 다음과 같다.

[eqn: n]	1	2	3	4	5	6
[eqn: n ^{2}]	1	4	9	16	25	36
[eqn: R(n)]	1	4	3	4	1	0

ㄱ. [eqn: R(3)``=`3] (참)

ㄴ. [eqn: n]이 짝수일 때, [eqn: R(n)``=4] 또는 [eqn: R(n)``=`0] (거짓)

ㄷ. [eqn: n >= 7]일 때는 위의 표와 같은 [eqn: R(n)]의 값이 반복되므로

[eqn: LEFT { R(n)``|```n`은````자연수 RIGHT }`` = LEFT { `0,`1,`3,`4` RIGHT }] (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

14. [출제의도] 유리수와 무리수의 연산을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

세 수 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r] 사이의 관계는 다음과 같다.

[eqn: q`=`p+1], [eqn: r`=`p+ sqrt {2}], [eqn: r`=`q+ sqrt {2} -1]

ㄱ. (유리수)+(유리수)=(유리수)

(유리수)+(무리수)=(무리수)이므로

[eqn: p`]가 유리수이면 [eqn: q`]는 유리수 [eqn: r`]는 무리수이다. (참)

ㄴ. (반례) [eqn: p`=` sqrt {2} `]일 때 [eqn: r`=`2 sqrt {2}]이므로 [eqn: r`]는 무리수이다. (거짓)

ㄷ. [eqn: r`=`q+( sqrt {2} -1)]에서 [eqn: sqrt {2} -1`]이 무리수이므로

[eqn: q`]가 유리수이면 [eqn: r`]는 무리수이다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

15. [출제의도] 일차 및 이차부등식을 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: x+a-3`>`0]에서 [eqn: x`>`-a+3`]

모든 양수 [eqn: x`]에 대하여 위의 부등식이 성립하려면

[eqn: -a+3` <= `0]

[eqn: THEREFORE ``A`=` LEFT { a``|``a`` ≧ ``3 RIGHT }] … ㉠

또, 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 이차부등식

[eqn: x ^{2} +ax+a`>`0`]이 성립하려면

[eqn: D`=`a ^{2} -4a`<`0`]

[eqn: THEREFORE ``B`=` LEFT { a``|``0``<``a``<``4 RIGHT }] … ㉡

㉠, ㉡ 에서 [eqn: A` SMALLINTER `B````=` LEFT { a``|``3`` <= ``a``<``4 RIGHT }]

[오답풀이]

모든 양수 [eqn: x`]에 대하여 부등식 [eqn: x`>`-a+3`]이 성립할 조건을

[eqn: -a+3` < `0]으로 생각하여 [eqn: A`=` LEFT { a``|``a`` > ``3 RIGHT }]이라 하기 쉽다.

그런데 [eqn: x`>`0`]이므로 [eqn: -a+3``=`0`]일 때도 부등식 [eqn: x`>`-a+3`]이 성립한다. 따라서 [eqn: -a+3` <= `0]이어야 한다.

16. [출제의도] 유리식의 성질을 알고 계산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

조건에서

[eqn: {a} over {a+b} TIMES 100(%)=10(%)]

[eqn: THEREFORE ```10a=a+b]에서 [eqn: b`=`9a]

따라서 구하는 소금물의 농도는

[eqn: {2a} over {2a+3b} TIMES 100= {2a} over {29a} TIMES 100 `=`200 over 29 ``≒``6.9(%)]

17. [출제의도] 유리식과 무리식의 계산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

장치 □의 입력이 [eqn: 49]와 [eqn: 48]이므로 출력은

[eqn: q= sqrt {49} + sqrt {48} `=`7+4 sqrt {3} `] … ㉠

장치 □의 입력이 [eqn: 4]와 [eqn: p]이므로 출력은

[eqn: r= {1} over {4} + {1} over {p} `] … ㉡

㉠과 ㉡이 다시 장치 □의 입력이므로 출력 [eqn: s`]는

[eqn: s= sqrt {7+4 sqrt {3} `} + sqrt {{1} over {4} + {1} over {p}} `][eqn: =`2+2` sqrt {3}]

이때 [eqn: sqrt {7+4 sqrt {3}} `=` sqrt {7+2 sqrt {12}} `=`2+ sqrt {3} `]이므로

[eqn: {1} over {4} + {1} over {p} `=`3`]이다.

따라서 [eqn: {1} over {p} `=`3- {1} over {4} `]에서

[eqn: p`=` {4} over {11}]

18. [출제의도] 삼차방정식의 근의 성질을 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 삼차방정식의 계수가 모두 유리수이므로 [eqn: -1+ sqrt {2} `]가 한 근이면 [eqn: -1- sqrt {2} `]도 근이 된다.

또, 이 두 수를 근으로 하는 이차방정식은 [eqn: x ^{2} +2x-1`=`0`] 이므로

다항식 [eqn: x ^{2} +2x-1`]은 다항식 [eqn: x ^{3} +ax ^{2} +bx+1`]의 인수이다.

따라서

[eqn: x ^{3} +ax ^{2} +bx+1`=`(x ^{2} +2x-1)(x-1)]

[eqn: =`x ^{3} +x ^{2} -3x+1]

[eqn: THEREFORE ``a+b`=`1-3`=`-2]

19. [출제의도] 선분의 내분점과 외분점을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

선분 [eqn: rm OA]는 삼각형 [eqn: rm OCB]의 중선이므로 삼각형 [eqn: rm OCB]의 무게중심 [eqn: rm G _{1}]은 선분 [eqn: rm OA]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점이다.

마찬가지로 삼각형 [eqn: rm OAD]의 무게중심 [eqn: rm G _{2}]는 선분 [eqn: rm OB]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점이다.

이때 [eqn: TRIANGLE `` rm OG _{1} G _{2} `]□ [eqn: TRIANGLE ` rm OAB`]이고 그 닮음비가 [eqn: 2``:``3`]이므로

선분 [eqn: rm G _{1} G _{2}]의 길이는 선분 [eqn: rm AB]의 길이의 [eqn: {2} over {3}]이다.

따라서 구하는 선분의 길이는

[eqn: {2} over {3} sqrt {(4-1) ^{2} +(1-4) ^{2} `} =2 sqrt {2}]

[다른풀이]

점 [eqn: rm `C]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 7``,``-2`) RIGHT .]

점 [eqn: rm `D]의 좌표는 [eqn: LEFT ( -2``,``7`) RIGHT .]

삼각형 [eqn: rm OCB]의 무게중심 [eqn: rm G _{1}]의 좌표는 [eqn: LEFT. LEFT ( {8} over {3} ``,`` {2} over {3} ` RIGHT )]

삼각형 [eqn: rm OAD]의 무게중심 [eqn: rm G _{2}]의 좌표는 [eqn: LEFT. LEFT ( {2} over {3} ``,`` {8} over {3} ` RIGHT )]

따라서 선분 [eqn: rm G _{1} G _{2}]의 길이는

[eqn: sqrt {LEFT ( {8} over {3} - {2} over {3} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {2} over {3} - {8} over {3} RIGHT ) ^{2} `}]

[eqn: = sqrt {2 ^{2} +2 ^{2} `}]

[eqn: =2 sqrt {2`} `]

20. [출제의도] 자료의 표준편차를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

네 명의 평균점수는 [eqn: 8`]점으로 모두 같으므로 편차의 제곱의 합을 계산해 본다.

[eqn: rm A`]: [eqn: (-2) ^{2} +(-1) ^{2} +1 ^{2} +2` ^{2`} =10`]

[eqn: rm B`]: [eqn: 2 TIMES (-2) ^{2} +2 TIMES 2` ^{2`} =16`]

[eqn: rm C`]: [eqn: (-2) ^{2} +2` ^{2`} =8`]

[eqn: rm D`]: [eqn: (-2) ^{2} +2 TIMES (-1) ^{2} +2 TIMES 1 ^{2} +2` ^{2`} =12`]

편차의 제곱의 합이 작을수록 표준편차가 작으므로

점수의 표준편차가 작은 사람은 순서대로 [eqn: rm C`], [eqn: rm A`], [eqn: rm D`], [eqn: rm B`]이다.

21. [출제의도] 부정방정식을 풀 수 있고 이를 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 10000]원, [eqn: 6000]원, [eqn: 4000]원에 판매한 가방의 개수를 각각 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z] 라 하면 주어진 조건에 의해

[eqn: x+y+z=20] … ㉠

[eqn: 10000x+6000y+4000z=142000] … ㉡

㉠, ㉡ 을 연립하여 [eqn: z]를 소거하면

[eqn: {1} over {2000} TIMES ㉡`-`2 TIMES ㉠]에서

[eqn: 3x+y`=`31] … ㉢

이 때 ㉢ 을 만족하고 [eqn: x`` >= ``y`]인 자연수 [eqn: x,``y`]의 순서쌍 [eqn: (x`,``y)`]는

[eqn: (8,``7),``(9,``4),``(10,``1)]이다.

이때 [eqn: (x,``y,``z)`]는 [eqn: (8,``7,``5),``(9,``4,``7),``(10,``1,``9)`]이고 이들 중 [eqn: z`]가 가장

작은 경우는 [eqn: (8,``7,``5)`]이다.

따라서 [eqn: 4000]원에 판매한 가방의 개수는 [eqn: 5`]이다.

22. [출제의도] 다항식의 나머지정리를 알고 있는가를 묻는 문제이다.

나머지정리에 의해 다항식 [eqn: f(x)=x ^{3} +x ^{2} +4x-a`]를 [eqn: x-2`]로 나눈 나머지는 [eqn: f`(2)`]이므로

[eqn: f(2)=2 ^{3} +2 ^{2} +4 TIMES 2-a`=`3]

[eqn: THEREFORE ``a`=`17]

23. [출제의도] 이차부등식의 성질을 알고 관련된 문제를 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.

이차항의 계수가 [eqn: 1`]이고 해가 [eqn: -1`<`x`<`3`]인 이차부등식은

[eqn: (x+1)(x-3)``<``0`]

즉, [eqn: x ^{2} -2x-3``<``0`]이므로

[eqn: a ^{2} +b ^{2} `=`(-2) ^{2} +(-3) ^{2} `=`13]

24. [출제의도] 이차방정식에서 판별식을 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: x]에 대한 이차방정식

[eqn: x ^{2} +2(k-1)x+k ^{2} -20`=`0`]

이 서로 다른 두 실근을 갖기 위해서는 (판별식) > [eqn: 0]이어야 하므로

[eqn: (k-1) ^{2} -(k` ^{2} -20)``>``0]

이 부등식을 정리하면

[eqn: 2k``<``21]

따라서 [eqn: k`]의 범위는 [eqn: k``<`` {21} over {2}]이므로

구하는 자연수 [eqn: k`]는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3`], … , [eqn: 10]의 [eqn: 10]개이다.

25. [출제의도] 복소수의 연산의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: x``=`-y`=`-(3-2`i)`=`-3+2`i]

[eqn: z`=` bar{y} `=` bar{3-2`i} `=`3+2`i]

[eqn: w`=` {1} over {z} `]

이므로

[eqn: {x} over {w} `=`x`z`=`(-3+2`i)`(3+2`i)`=`(-9-4)`=`-13]

[eqn: THEREFORE `` LEFT ( {x} over {w} RIGHT ) ^{2} `=`(-13) ^{2} `=`169]

26. [출제의도] 삼차방정식의 해를 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

이차방정식 [eqn: x ^{2} +`x`-`2``=`0`]의 해는

[eqn: x``=`-2] 또는 [eqn: x``=`1]이므로

[eqn: B`=` LEFT { 1,`-2 RIGHT }]

따라서 [eqn: x ^{3} +`ax ^{2} +`bx`+`c```=`0`]의 해가 [eqn: x``=`-2] 또는 [eqn: x``=`1]이어야 하므로

[eqn: x ^{3} +`ax ^{2} +`bx`+`c``]는 [eqn: (x+2) ^{2} (x-1)]이거나 [eqn: (x+2)(x-1) ^{2}]이다.

이 때 [eqn: c``>``0`]이므로

[eqn: x ^{3} +ax ^{2} +bx+c`][eqn: =`(x+2)(x-1) ^{2}]

따라서 [eqn: Q(x)`=`x-1`]이므로

[eqn: Q(100)`=`100-1`=`99]

27. [출제의도] 집합의 원소의 개수를 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A`=` LEFT { {1} over {40} ,``` {2} over {40} ,`` {3} over {40} ,`` {4} over {40} ,``…``, {40} over {40} RIGHT }]

[eqn: =` LEFT { {3} over {120} ,``` {6} over {120} ,`` {9} over {120} ,`` {12} over {120} ,``…``, {120} over {120} RIGHT }]

[eqn: B`=` LEFT { {1} over {60} ,``` {2} over {60} ,`` {3} over {60} ,`` {4} over {60} ,``…``, {40} over {60} RIGHT }]

[eqn: =` LEFT { {2} over {120} ,``` {4} over {120} ,`` {6} over {120} ,`` {8} over {120} ,``…``, {120} over {120} RIGHT }]

[eqn: THEREFORE ``A` SMALLINTER `B`=` LEFT { {6} over {120} ,`` {12} over {120} ,`` {18} over {120} ,`` {24} over {120} ,``…``,`` {120} over {120} RIGHT }]

따라서 [eqn: n`(A` SMALLINTER `B)]는 [eqn: 120]이하의 자연수 중에서 [eqn: 6]의 배수의 개수와 같다.

[eqn: THEREFORE ``n`(A` SMALLINTER `B)`=`20]

28. [출제의도] 이차방정식을 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

두 공 [eqn: A,``B`]가 최고 높이에 도달할 때까지 걸린 시간을 각각 [eqn: t _{1} ,```t _{2} `]라 하면 [eqn: A,``B`]의 체공시간은 각각 [eqn: 2`t _{1} ,``2`t _{2} `] 이다.

[eqn: B`]의 최고 높이를 [eqn: x`]라 하면 주어진 조건에 의해

[eqn: 15`=` {1} over {2} `g``t _{1} ^{```2}] … ㉠

[eqn: x`=` {1} over {2} `g`t _{2} ^{```2}] … ㉡

㉠ 에서 [eqn: t _{1} `=` sqrt {{30} over {g}}] 이고 [eqn: 2`t _{2} `=`4`t _{1} `]에서 [eqn: t _{2} `=`2`t _{1} `=`2` sqrt {{30} over {g}}]이므로

이를 ㉡ 에 대입하면

[eqn: x`=` {1} over {2} `g` LEFT ( 2` sqrt {{30} over {g}} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: =` {1} over {2} `g` LEFT ( {120} over {g} RIGHT ) `]

[eqn: =`60]

29. [출제의도] 절대부등식을 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: S _{1} `=` {1} over {2} TIMES 4 TIMES b`=`2b], [eqn: S _{2} `=` {1} over {2} TIMES 2 TIMES a`=`a] 이므로

[eqn: S _{1} +S _{2} `=`a+2b`=`10]

이때 [eqn: S _{1} ``>``0], [eqn: S _{`2} ``>``0]이므로 산술평균과 기하평균의 관계에서

[eqn: 10`=`S _{1} +S _{2} `` >= ``2 sqrt {S _{1} `S _{2}}] (단, 등호는 [eqn: S _{1} =S _{2}]일 때 성립)

[eqn: sqrt {S _{1} `S _{2}} `` <= ``5]이므로  [eqn: S _{1} `S _{2} `` <= ``25]

따라서 [eqn: S _{1} `S _{2} `]의 최대값은 [eqn: 25`]이다.

30. [출제의도] 복소수의 계산과 좌표평면 위에서 주어진 점들을 꼭지점으로 하는 사각형의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ⅰ) [eqn: n=1`]일 때

[eqn: (3+4i) TIMES i=-4+3i`]이므로 [eqn: rm P it rm _{1} (-4,``3)`]

ⅱ) [eqn: n=2`]일 때

[eqn: (3+4i) TIMES i ^{2} =-3-4i`]이므로 [eqn: rm P it rm _{2} (-3,``-4)`]

ⅲ) [eqn: n=3`]일 때

[eqn: (3+4i) TIMES i ^{3} =4-3i`]이므로 [eqn: rm P it rm _{3} (4,``-3)`]

ⅳ) [eqn: n=4`]일 때

[eqn: (3+4i) TIMES i ^{4} =3+4i`]이므로 [eqn: rm P it rm _{4} (3,``4)`]

네 점 [eqn: rm P it rm _{1} `], [eqn: rm P it rm _{2} `], [eqn: rm P it rm _{3} `], [eqn: rm P it rm _{4} `]를 꼭지점으로 하는 사각형은 한 변의 길이가 [eqn: 5 sqrt {2} `]인 정사각형이다.

따라서 구하는 사각형의 넓이는 [eqn: (5 sqrt {2} ) ^{2} =50`]이다.