◦ 자신이 선택한 유형(‘가’형/‘나’형)의 문제지인지 확인하시오.

수 리 영 역

‘가’형

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수 리 영 역

‘가’형

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2005학년도 7월 고3 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시

수 리 영 역

성명			수험번호						3

‘가’형

◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 써 넣으시오.

◦ 답안지에 성명과 수험 번호를 써 넣고, 또 수험 번호, 답을 정확히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

1.  [eqn: a=` rm log` _{2} `3``]일 때, [eqn: 4 ^{a} `]의 값은? [2점]

① [eqn: 6`]	② [eqn: 8`]	③ [eqn: 9`]	④ [eqn: 10`]	⑤ [eqn: 12`]

16

2. 곡선 [eqn: y=(`x ^{2} -1)(`2x+1)`] 위의 점 [eqn: (`1`,``0`)]에서 접하는 직선의 기울기는? [2점]

① [eqn: 2`]	② [eqn: 3`]	③ [eqn: 4`]	④ [eqn: 5`]	⑤ [eqn: 6`]

3. 두 행렬 [eqn: A= pmatrix{``3````&1`#``2````&4`} `], [eqn: B```= pmatrix{``-2````&-1`#``-2````&-3`} `]에 대하여

행렬 [eqn: A ^{2} ``+AB``]의 모든 성분의 합은? [3점]

① [eqn: 10`]	② [eqn: 12`]	③ [eqn: 14`]	④ [eqn: 16`]	⑤ [eqn: 18`]

4. 무한등비급수 [eqn: sum _{n`=`1} ^{INF } `a`r` ^{n-1} `]의 합이 [eqn: -1`]일 때, 다음 중 상수 [eqn: a`]의 값이 될 수 있는 것은? [3점]

① [eqn: - {7} over {2} `]	② [eqn: - {5} over {2} `]	③ [eqn: - {3} over {2} `]	④ [eqn: {1} over {2} `]	⑤ [eqn: {3} over {2} `]

5. [eqn: a`>1`]일 때, [eqn: lim _{x -> 1} {} `` {vert x-a vert -(a-1)`} over {x-1} ``]의 값은? [3점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: {1} over {2} `]	③ [eqn: 0`]	④ [eqn: -1`]	⑤ [eqn: -2`]

6.  그림은 함수 [eqn: y=log` _{2} ``x`]의 그래프이다. 점  [eqn: rm A`]의 좌표는 [eqn: rm A`(2``,``0)`]이고 점  [eqn: rm B`]의 좌표는 [eqn: rm B`(16`,``0)`]이다. 점 [eqn: rm F`]가 선분 [eqn: rm CD`]를 [eqn: 1``:`2`]로 내분하는 점일 때, 점 [eqn: rm E`]의 [eqn: x`]좌표는? (단, 점선은 [eqn: x`]축 또는 [eqn: y`]축에 평행하다.) [3점]

① [eqn: 8`]	② [eqn: 6 sqrt {2} `]	③ [eqn: 6`]	④ [eqn: 4 sqrt {2} `]	⑤ [eqn: 4`]

7. [eqn: 3`]으로도 [eqn: 5`]로도 나누어 떨어지지 않는 자연수를 작은 것부터 순서대로 나열한 수열을 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT }`]이라 한다. 예를 들면, [eqn: a _{1} =1`], [eqn: a _{2} =2`], [eqn: a _{3} =`4`]이다. 이때, [eqn: a _{100} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 172`]	② [eqn: 187`]	③ [eqn: 195`]	④ [eqn: 202`]	⑤ [eqn: 210`]

8. [eqn: x`]에 대한 방정식 [eqn: a sqrt {x``}` =x`+`b`]의 실근의 개수에 대한 옳은 설명을 <보기>에서 모두 고른 것은? [3점]

		〈 보 기 〉
	ㄱ. [eqn: a`＜`0`], [eqn: b`＞`0`]이면 실근을 갖지 않는다. ㄴ. [eqn: a`＞`0`], [eqn: b`＜`0`]이면 한 개의 실근을 갖는다. ㄷ. [eqn: a`＞`0`], [eqn: b`＞`0`]이면 서로 다른 두 개의 실근을 갖는다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

9. [eqn: 1`]이 아닌 두 양수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여

[eqn: n` <= `log` _{a} ``b`＜`n+1`]([eqn: n`]은 정수)

이 성립할 때, [eqn: f`(`a`,``b)=n`]으로 정의한다. 옳은 내용을 <보기>에서 모두 고른 것은? [4점]

		〈 보 기 〉
	ㄱ. [eqn: f`(2`,``9)=4``]이다. ㄴ. [eqn: f`(`a`,``b)=2``]이면 [eqn: `f`(`b`,``a)=0``]이다. ㄷ. [eqn: f`(`a`,``b)=`-2``]이면 [eqn: `f`(`b`,``a)=`-1``]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

10. 두 행렬 [eqn: A _{1} `= pmatrix{``1&`````2`#``3&`````4`} ``], [eqn: P``= pmatrix{`0&`````1`#`1&`````0`} ``]에 대하여 행렬 [eqn: A _{n+1} ``]을 다음과 같이 정의한다. (단, [eqn: n]은 자연수)

◦ 행렬 [eqn: A _{n} ``]의 [eqn: (`1`,``1)`]성분이 [eqn: (`1`,``2)`]성분보다 작으면

[eqn: A _{n+1} ``=A _{n} `P``]

◦ 행렬 [eqn: A _{n} ``]의 [eqn: (`1`,``1)`]성분이 [eqn: (`1`,``2)`]성분보다 작지 않으면

[eqn: A _{n+1} `=`-P`A _{n} ``]

이때, 행렬 [eqn: A _{2005} ``]의 [eqn: (`2`,``1)`]성분은? [4점]

① [eqn: -4``]	② [eqn: -2``]	③ [eqn: -1``]	④ [eqn: 1``]	⑤ [eqn: 3``]

11. 다음은 세 변의 길이가 모두 다른 예각삼각형에서 각 변을 같은 길이만큼 짧게 했을 때, 짧아진 세 선분을 각 변으로 하는 직각삼각형이 존재함을 증명한 것이다.

<증명>

예각삼각형의 세 변의 길이를 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c``]([eqn: `a`＜`b`＜`c``])로 놓으면[eqn: a` ^{2} +`b` ^{2} ``＞``c` ^{2} ``]이다.

그런데 [eqn: x``]만큼 짧아진 삼각형의 세 변의 길이는

[eqn: a-x], [eqn: b-x], [eqn: c-x``]이므로 [eqn: 0``＜``x``＜``]        이다.

따라서 등식 [eqn: (`a-x`) ^{2} +(`b-x`) ^{2} =(`c-x`) ^{2} ``]을 만족시키는 실수 [eqn: x``]가 [eqn: 0``＜``x``＜``]        에서 존재함을 보이면 된다.

[eqn: f`(x`)=(`a-x`) ^{2} +(`b-x`) ^{2} -(`c-x`) ^{2} ``]으로 놓으면

[eqn: f``(x`)`]는 연속함수이고,

[eqn: f``(0`)``]      [eqn: 0], [eqn: f``(~~~~~~~````)]       [eqn: 0``]이므로

중간값의 정리에 의해 [eqn: 0``＜``x``＜``]         에서 [eqn: f``(x`)=0`]인 [eqn: x``]가 존재한다.

그러므로 짧아진 세 선분을 각 변으로 하는 직각삼각형이 존재한다.

(가)

(가)

(가)

(다)

(나)

(가)

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

(가)          (나)	(다)

① [eqn: a+b-c``]	[eqn: `＜`]	[eqn: `＞`]

② [eqn: a+b-c``]	[eqn: `＞`]	[eqn: `＜`]

③ [eqn: a+b+c``]	[eqn: `＜`]	[eqn: `＞`]

④    [eqn: a``]	[eqn: `＜`]	[eqn: `＞`]

⑤    [eqn: a``]	[eqn: `＞`]	[eqn: `＜`]

12.  [eqn: 2`]이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 부등식 [eqn: LEFT ( `1+ {1} over {n} ` RIGHT ) ^{n} ＞`2`]가 성립함이 알려져 있다. 다음은 이 사실을 이용하여 [eqn: n`]이 [eqn: 6`]이상의 자연수일 때, 부등식 [eqn: LEFT ( {n} over {2} RIGHT ) ^{n} ＞`n`!`]이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다. (단, [eqn: n`!``=1 TIMES `2` TIMES `3` TIMES … TIMES `n`])

<증명>

(ⅰ) [eqn: n=6`]일 때, [eqn: 3` ^{6} =729`], [eqn: 6`!``=720``]이므로 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k`]([eqn: k >= 6`])일 때 성립한다고 가정하면

[eqn: LEFT ( {k+1} over {2} RIGHT ) ^{k+1} =` {`k+1} over {2` ^{k+1}} ``․`` {(`k+1)` ^{k}} over {k` ^{k}} ``․``]

[eqn: `=` {k+1} over {2} ``․``` LEFT ( 1+ {1} over {k} RIGHT ) ^{k} ``․``]

[eqn: ＞` {k+1} over {2} ``․``]

[eqn: `=`]

이므로 [eqn: n`=`k+1`]일 때도 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 주어진 부등식은 [eqn: `6`] 이상의 모든 자연수에 대하여 성립한다.

(가)

(나)

위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 것은? [3점]

(가)          (나)

①	[eqn: k` ^{k} `]	[eqn: (`k+1)`!`]

②	[eqn: k` ^{k} `]	[eqn: 2`k`!`]

③	[eqn: k` ^{k} `]	[eqn: k`!`]

④	[eqn: LEFT ( {k} over {2} RIGHT ) ^{k} `]	[eqn: (`k+1)`!`]

⑤	[eqn: LEFT ( {k} over {2} RIGHT ) ^{k} `]	[eqn: 2`k`!`]

13. 등식 [eqn: x ^{2} +`3y ^{2} ``=`9``]를 만족시키는 실수 [eqn: x`], [eqn: y`]에 대하여

[eqn: x ^{2} `+`xy ^{2} ``]의 최소값은? [4점]

① [eqn: - {5} over {3} `]	② [eqn: -1`]	③ [eqn: - {1} over {3} `]	④ [eqn: {2} over {3} `]	⑤ [eqn: 2`]

14. 삼차함수 [eqn: y=f`(x)`]가 극대값 [eqn: {1} over {2} `], 극소값 [eqn: -2``]를 가질 때, 함수 [eqn: g`(x)`]를 다음과 같이 정의한다.

[eqn: g`(x)=` lim _{n -> INF } {}` {1} over {1+` LEFT { `f``(x) RIGHT } ^{2n}} ``]

이때, 실수 전체의 집합에서 함수 [eqn: y=g`(x)`]는 [eqn: x= alpha `]에서 불연속이다. [eqn: alpha `]의 개수는? [4점]

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 3``]	④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 5`]

15. 원점 [eqn: rm O`]를 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q`]의 [eqn: t`]분 후의 좌표를 각각 [eqn: x _{1} `], [eqn: x _{2} `]라 하면

[eqn: x _{1} =2`t` ^{3} -`9`t` ^{2} `],  [eqn: x _{2} =t` ^{2} +`8`t``]

이다.  선분 [eqn: rm PQ`]의 중점을 [eqn: rm M`]이라 할 때, 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q`]가 원점을 출발한 후 [eqn: 4`]분 동안 세 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q], [eqn: rm M`]이 움직이는 방향을 바꾼 횟수를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c``]라고 하자. 이때, [eqn: a`+`b`+`c``]의 값은? [4점]

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 3``]	④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 5`]

16. 유전 연구에 필요한 두 가지 식물 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]를 재배하기 위하여 정육각형 모양의 토지를 다음과 같이 나누어 놓았다.

◦ 정육각형을 여섯 개의 정삼각형으로 나눈다.

◦ 인접한 두 삼각형이 공유하고 있는 변(점선 부분)을 각각 [eqn: 21`]등분한다.

◦  [eqn: 21`]등분한 각 점을 직선 모양의 울타리로 서로 연결하여 모두 [eqn: 21`]개의 부분으로 구분하여 놓는다.

그림과 같이 가장 안쪽에 있는 정육각형 모양의 토지부터 시작하여 검은 부분과 흰 부분으로 토지를 교대로 구분한 다음 검은 부분에는 [eqn: rm A`]를 심고, 흰 부분에는 [eqn: rm B`]를 심었다. [eqn: rm A`]를 심은 부분의 넓이가  [eqn: 231` rm m ^{2}`]일 때, [eqn: rm B`]를 심은 부분의 넓이는?

(단, 울타리가 차지하는 넓이는 고려하지 않는다.) [4점]

① [eqn: 210` rm m ^{2} `]	② [eqn: 212` rm m ^{2} `]	③ [eqn: 214` rm m ^{2} `]

④ [eqn: 216` rm m ^{2} `]	⑤ [eqn: 218` rm m ^{2} `]

17. [eqn: rm K`]보험사에는 다음과 같은 종신연금 상품이 있다.

◦ 최초 가입시 단 한번 납입한 [eqn: 1`]억 원을 연이율 [eqn: 5`]%, [eqn: 1`]년 단위의 복리로 계산하여 [eqn: 10`]년 후의 원리합계를 연금 준비금으로 한다.

◦ 가입하여 [eqn: 10`]년이 지난 후부터 매년 [eqn: rm A`]원씩 연금을 영구히 받는다.

◦ [eqn: n`]번째의 연금 [eqn: rm A`]원을 연금 지급이 시작된 해의 가치로 환산하면 [eqn: {rm A it} over {(1+0.05) ^{n-1}} `]원이다.

◦ 매년 받을 수 있는 연금을 연금 지급이 시작된 해의 가치로 환산하여 모두 더한 금액이 연금 준비금과 같아지도록 한다.

[eqn: 2005`]년 초에 이와 같은 종신연금에 가입했을 때, [eqn: 2015`]년 초부터 매년 받을 수 있는 연금액은? (단, [eqn: 1.05` ^{9} ``=`1.55`]로 계산한다.) [4점]

① [eqn: 675`]만원	② [eqn: 725`]만원	③ [eqn: 775`]만원

④ [eqn: 825`]만원	⑤ [eqn: 875`]만원

단답형(18～25)

18. 세 수 [eqn: 1`], [eqn: x`], [eqn: 5`]는 이 순서대로 등차수열을 이루고, 세 수 [eqn: 1`], [eqn: y`], [eqn: 5`]는 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, [eqn: x ^{2} +`y ^{2} `]의 값을 구하시오. [2점]

19. 실수 [eqn: a``]에 대하여 분수부등식

[eqn: {(`x-21)} over {(`x-a)`(`x-13)} `` <= `0``]

을 만족시키는 자연수 [eqn: x``]의 개수를 [eqn: f`(`a`)``]라고 할 때, [eqn: f`(`a`)``]의 최소값을 구하시오. [4점]

< 표준정규분포표 >

[eqn: z`]	[eqn: rm P``(`0` <=it Z``` <= z`)`]
[eqn: 1]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]
[eqn: 3]	[eqn: 0.4987]

20. 어느 제과점에서 만드는 빵 [eqn: 1`]개의 무게를 확률변수 [eqn: X`]라 하면 [eqn: X`]는 평균이 [eqn: 150`]g, 표준편차가 [eqn: 12`]g인 정규분포를 따른다고 한다. 임의추출된 빵 [eqn: 9`]개의 무게의 표본평균을 [eqn: bar{X``}]라 할 때, [eqn: bar{X``}]가 [eqn: 144`]g 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구하면 [eqn: {k} over {10000} `]이다. [eqn: k`]의 값을 구하시오.

[3점]

21. 행렬 [eqn: A``=` pmatrix{`1&`````1`#`0&`````1`} ``]에 대하여 행렬 [eqn: A ^{10} ``+`(`A ^{-1} `) ^{10} ``]의 모든 성분의 합을 구하시오. [3점]

22. 외부 공기의 온도를 [eqn: T _{0} ``], 어떤 물체의 처음 온도를 [eqn: T _{1} ``], [eqn: t``]분 후의 이 물체의 온도를 [eqn: T``]라 할 때, 다음 관계식이 성립함이 알려져 있다.

[eqn: T````=T _{0} ```+``(T _{1} -T _{0} `)10 ^{-0.02t}] ( 온도의 단위는 [eqn: CENTIGRADE])

외부 공기의 온도가 [eqn: 20 CENTIGRADE `], 이 물체의 처음 온도가 [eqn: 120 CENTIGRADE `]일 때, 이 물체의 온도가 [eqn: 25 CENTIGRADE `]가 되는 것은 분 후이다.

안에 알맞은 수를 구하시오. (단, 외부 공기의 온도는 변하지 않는다고 가정하고, [eqn: log`2``=`0.3`]으로 계산한다.) [3점]

23. [eqn: rm K`]고등학교의 운동장은 가로의 길이가 [eqn: 100`]m, 세로의 길이가 [eqn: 80`]m인 직사각형 모양이다. 어떤 학생이 학교 정문을 들어선 후 그림과 같이 운동장의 가장자리를 따라 [eqn: 1`]m/초의 속력으로 걸어가다가 [eqn: rm P`]지점에서부터는 [eqn: 2`]m/초의 속력으로 운동장을 가로질러 현관을 향하여 직선으로 뛰어 갔다. 이 학생이 정문에서 현관까지 가는 데 [eqn: 1`]분 [eqn: 30`]초 걸렸다면 정문에서 [eqn: rm P`]지점까지의 거리는 m 이다. 안에 알맞은 수를 구하시오.

(단, 정문과 현관은 직사각형의 꼭지점에 위치한다.) [3점]

24. 그림과 같은 도로망에서 동점 [eqn: rm P`]는 주사위를 한 번 던질 때마다 다음 규칙에 따라 움직인다.

◦ [eqn: 3`]이하의 눈이 나오면 오른쪽으로 [eqn: 1`]칸 이동한다.

◦ [eqn: 4`] 또는 [eqn: 5`]의 눈이 나오면 왼쪽으로 [eqn: 1`]칸 이동한다.

◦ [eqn: 6`]의 눈이 나오면 위쪽으로 [eqn: 1`]칸 이동한다.

한 개의 주사위를 [eqn: 5`]번 던질 때, [eqn: rm A`]지점에 있는 동점 [eqn: rm P`]가  [eqn: rm B`]지점에 있게 될 확률은 [eqn: {q} over {p} `]이다. [eqn: `p``+`q``]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p`], [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

25. 철수는 국가 대표팀의 축구 경기를 시청하고 있었다. 그런데 우리 나라 국가 대표팀이 전반전 경기를 [eqn: 1~:~0`]으로 이기고 난 후 중간 휴식 시간에 갑자기 철수네 집이 정전이 되어 후반전 경기를 시청할 수 없었다.

다음날 친구들로부터 후반전 경기까지 마친 결과 [eqn: 5~:~3`]으로 우리 나라 국가 대표팀이 승리하였다는 사실을 알게 되었지만, 두 팀이 골을 넣은 순서는 알 수 없었다. 철수는 <표1>과 같은 표를 만들어 후반전 경기에서 두 팀이 골을 넣어 가는 상황 중 한 가지를 <표2>와 같이 적어 보았다.

<표1>

구 분	국가 대표팀	상대팀
전반전	[eqn: 1]	[eqn: 0]
후반전
최종 득점 결과	[eqn: 5]	[eqn: 3]

<표2>

구 분	국가 대표팀	상대팀
전반전	[eqn: 1]	[eqn: 0]
후반전	[eqn: 2]	[eqn: 0]
	[eqn: 2]	[eqn: 1]
	[eqn: 2]	[eqn: 2]
	[eqn: 2]	[eqn: 3]
	[eqn: 3]	[eqn: 3]
	[eqn: 4]	[eqn: 3]
	[eqn: 5]	[eqn: 3]
최종 득점 결과	[eqn: 5]	[eqn: 3]

이와 같이 철수가 <표1>의 어두운 부분을 완성할 수 있는 모든 경우의 수를 구하시오. [4점]

26번부터 30번까지는 선택과목 문항입니다. 선택한 과목의 문제를 풀기 바랍니다.

미분과 적분

26. 두 함수 [eqn: f``(x)``=`2x`], [eqn: g`(x)``=`sinx`]에 대하여

[eqn: lim _{x -> ``0} {} {f``(`g(x))} over {g(`f``(x))} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 0]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {2}]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

27. 곡선 [eqn: y=ln(1+10x)] 위를 움직이는 점 [eqn: rm P`]와 원점 [eqn: rm O`]를 이은 선분이 [eqn: x`]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 [eqn: theta `]라 한다. 점 [eqn: rm P`]가 원점 [eqn: rm O`]에 한없이 가까워질 때 [eqn: tan theta `]의 극한값은? [3점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 5`]	③ [eqn: 10`]

④ [eqn: e`]	⑤ [eqn: ln10`]

28. [eqn: 0`＜`x`＜ pi ``]에서 [eqn: x`]에 대한 방정식

[eqn: cos2x`-`sinx``=`a`(`sinx+1)`]

이 실근을 갖기 위한 실수 [eqn: a``]값의 범위는? [3점]

① [eqn: -1` <= `a``＜`1]	② [eqn: -1`＜`a` <= `1`]

③ [eqn: a``＜-1`] 또는 [eqn: a` >= `1`]	④ [eqn: -2` <= `a``＜`0`]

⑤ [eqn: a`＜`0`] 또는 [eqn: a` >= `2`]

29. 그림과 같이 [eqn: rm bar{BC} `=4`],

[eqn: rm ANGLE BAC=90 DEG `]인 직각삼각형 [eqn: rm ABC``]에서 선분 [eqn: rm BC`]의 연장선위에[eqn: rm ANGLE ABC```= ANGLE CAD]가 되도록 점 [eqn: rm D]를 잡는다.

[eqn: rm ANGLE ABC= theta `]라 할 때, 다음 중 선분 [eqn: rm AD`]의 길이를 나타내는 것은? (단, [eqn: rm ANGLE ABC`＜`45 DEG `]) [4점]

① [eqn: 2`tan` theta `]	② [eqn: 2`tan`2 theta `]	③ [eqn: cos`2 theta `]

④ [eqn: 2`cos`2 theta `]	⑤ [eqn: 4`sin` theta `]

단답형

30. 등식 [eqn: sin theta ```-`cos theta ```=` {1} over {2} ``]을 만족하는 [eqn: theta ``]에 대하여

[eqn: cos ^{2} ``2 theta = {b} over {a} `]이다. [eqn: a+b`]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

※ 확인 사항

○ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

확률과 통계

26. 다음은 프로야구 선수 갑과 을의 연도별 홈런 개수를 조사하여 십의 자리의 수를 줄기로, 일의 자리의 수를 잎으로 하여 줄기와 잎 그림으로 나타낸 것이다.

<갑의 홈런 개수>

줄기	잎
[eqn: 0]	[eqn: 8]
[eqn: 1]	[eqn: 3~4~6]
[eqn: 2]	[eqn: 3~6~8]
[eqn: 3]	[eqn: 3~9]
[eqn: 4]
[eqn: 5]	[eqn: 1]
[eqn: 6]

<을의 홈런 개수>

줄기	잎
[eqn: 0]
[eqn: 1]
[eqn: 2]	[eqn: 2~5]
[eqn: 3]	[eqn: 4~5]
[eqn: 4]	[eqn: 1~1~6~6~6````7~9]
[eqn: 5]	[eqn: 4~4~9]
[eqn: 6]	[eqn: 0]

옳은 내용을 <보기>에서 모두 고른 것은? [3점]

		〈 보 기 〉
	ㄱ. 을은 [eqn: 11`]년 동안 선수 생활을 하였다. ㄴ. 갑의 홈런 개수의 중앙값은 [eqn: 23`]이다. ㄷ. 을의 홈런 개수의 최빈값은 [eqn: 46`]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

27. [eqn: 2006`]학년도 정시모집에서 같은 모집군에 있는 세 대학 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`], [eqn: rm C`]의 영역별 가중치는 아래의 표와 같다.

영역 대학	수리	외국어	과학탐구
[eqn: rm A`]	[eqn: 30`]%	[eqn: 20`]%	[eqn: 50`]%
[eqn: rm B`]	[eqn: 40`]%	[eqn: 10`]%	[eqn: 50`]%
[eqn: rm C`]	[eqn: 20`]%	[eqn: 20`]%	[eqn: 60`]%

수리 영역, 외국어 영역, 과학탐구 영역의 표준점수가 각각 [eqn: 125`]점, [eqn: 130`]점, [eqn: 100`]점인 학생의 가중평균 점수가 높은 대학부터 순서대로 나열한 것은? [3점]

① [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C]	② [eqn: rm A], [eqn: rm C], [eqn: rm B]	③ [eqn: rm B], [eqn: rm A], [eqn: rm C]

④ [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm A]	⑤ [eqn: rm C], [eqn: rm A], [eqn: rm B]

28. 그림과 같이 둘레의 길이가 [eqn: 3`]인 원을 삼등분하는 세 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C`]가 있고, 각 점 위를 움직이는 말이 있다. 이 말은 한 개의 주사위를 던져 홀수의 눈이 나오면 시계방향으로 [eqn: 1`]만큼 움직이고, 짝수의 눈이 나오면 그 수만큼 시계방향으로 움직인다.

예를 들면, 말이 [eqn: rm A`]에서 출발할 때 주사위를 던져 [eqn: 3`]이 나오면 [eqn: rm B`]로 움직이고, 다시 주사위를 던져 [eqn: 2`]가 나오면 [eqn: rm B`]에서 [eqn: rm A`]로 움직인다.

[eqn: rm A`]에서 출발한 말이 주사위를 [eqn: n`]번 던진 후 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C`]에 있을 확률을 각각 [eqn: p _{n} `], [eqn: q _{n} `], [eqn: r _{n} `]이라 하면

[eqn: p _{n+1} =`a``p _{n} +`b``q _{n} `+`c``r _{n} `]

이 성립한다. 세 상수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]의 곱 [eqn: abc`]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {15}]	② [eqn: {1} over {18}]	③ [eqn: {1} over {27}]	④ [eqn: {1} over {36}]	⑤ [eqn: {1} over {54} `]

29. 다음 표는 [eqn: 0`]부터 [eqn: 255`]까지의 정수를 이진법의 수로 나타낸 것이다.

십진법	이진법
[eqn: 0`]								[eqn: 0`]
[eqn: 1`]								[eqn: 1`]
[eqn: 2`]							[eqn: 1`]	[eqn: 0`]
[eqn: 3`]							[eqn: 1`]	[eqn: 1`]
⋮						⋮
[eqn: 36`]			[eqn: 1`]	[eqn: 0`]	[eqn: 0`]	[eqn: 1`]	[eqn: 0`]	[eqn: 0`]
⋮			⋮
[eqn: 255`]	[eqn: 1`]	[eqn: 1`]	[eqn: 1`]	[eqn: 1`]	[eqn: 1`]	[eqn: 1`]	[eqn: 1`]	[eqn: 1`]

이 중에서 [eqn: 3`], [eqn: 36`]과 같이 두 개의 자리의 수만이 [eqn: 1`]인 모든 정수들의 평균은? [4점]

① [eqn: {127} over {4}]	② [eqn: {125} over {2}]	③ [eqn: {127} over {2}]

④ [eqn: {255} over {4}]	⑤ [eqn: {255} over {2}]

단답형

30. [eqn: 1`]부터 [eqn: 10`]까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀 있는 [eqn: 10`]장의 카드에서 임의로 [eqn: 3`]장의 카드를 뽑았을 때 나오는 세 수의 중앙값이 [eqn: 7`]일 확률은 [eqn: {q} over {p} `]이다. [eqn: p`+`q``]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p`], [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

※ 확인 사항

○ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

이산수학

26. 원소의 개수가 [eqn: 6]인 집합을 공집합이 아닌 두 개의 부분집합으로 분할하는 경우의 수는? [3점]

① [eqn: 31]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 33]	④ [eqn: 34]	⑤ [eqn: 35]

27. [eqn: 7`]개의 바둑돌이 담긴 주머니에서 한 번에 한 개 또는 두 개의 바둑돌을 꺼내기로 하였다. 주머니 안의 바둑돌이 모두 없어질 때까지 바둑돌을 꺼내는 방법의 수는? [3점]

① [eqn: 18]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 20]	④ [eqn: 21`]	⑤ [eqn: 22`]

28. 정육면체의 모서리 위에 있는 두 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B`]에 대하여 [eqn: d` rm (A`,``B`) it `]를 다음과 같이 정의한다.

[eqn: d` rm (A`,``B`) it `][eqn: =`]([eqn: rm A`]에서 모서리를 따라 [eqn: rm B`]까지 갈 때의 최단거리)

모서리의 길이가 [eqn: 1`]인 정육면체의 모서리 위에 [eqn: n`]개의 점

[eqn: rm P _{1} `], [eqn: rm P _{2} `], [eqn: rm P _{3} `], [eqn: CDOTS], [eqn: rm P _{it n rm} `]을

[eqn: d` rm (P _{it k rm} `,``P _{it l rm} `)` >= 1`]([eqn: `k`], [eqn: l`]은 [eqn: n`]이하의 서로 다른 자연수)

이 되도록 잡을 때, [eqn: n`]의 최대값은? [3점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

29. [eqn: 7001]의 각 자리의 숫자의 합은 [eqn: 8`]이 된다. 이때, 각 자리를 상자로 생각하면 [eqn: 7001]은 네 개의 상자에 그림과 같이 [eqn: 8`]개의 공을 넣는 것으로 생각할 수 있다.

이를 이용하여 [eqn: 0`]부터 [eqn: 9999`]까지의 정수 중에서 각 자리의 숫자의 합이 [eqn: 8]이 되는 정수의 개수를 구하면? [4점]

천의 자리

십의 자리

일의 자리

백의 자리

① [eqn: 162]	② [eqn: 165]	③ [eqn: 168]	④ [eqn: 171]	⑤ [eqn: 174]

단답형

30. 시각장애인을 위한 문자 체계의 하나인 브라유 점자는 그림과 같은 [eqn: 6`]개의 점으로 구성되어 있으며, 이 점들 중 볼록하게 튀어나온 점들의 개수와 위치로 한 문자를 결정한다. 이때, 적어도 하나의 점은 튀어나와야 한다. 브라유 점자 체계에서 표현가능한 문자의 개수를 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

○ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.