	정답 및 해설	고 1

고 1	정답 및 해설

	정답 및 해설	고 1

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2005학년도 6월 고1 전국연합학력평가

정답 및 해설

수리 영역

정답

1	①	2	⑤	3	②	4	②	5	④
6	④	7	①	8	⑤	9	③	10	②
11	①	12	③	13	②	14	③	15	③
16	②	17	①	18	⑤	19	②	20	④
21	①	22	33	23	36	24	4	25	183
26	15	27	42	28	48	29	30	30	5

해설

1. [출제의도] 집합의 포함 관계 이해하기

[eqn: A SMALLINTER B ^{c} =A-B= phi] 은 [eqn: A SUBSET B] 이므로

[eqn: B ^{c} SUBSET A ^{c}], [eqn: A SMALLINTER B=A], [eqn: A CUP B=B] 가 성립하고,

⑤ 은 [eqn: (A CUP B ^{c} ) ^{c} =A ^{c} SMALLINTER B=B-A= phi ~]이므로

[eqn: B SUBSET A] 이다.

(참고)

[eqn: B]

[eqn: A]

[eqn: U]

2. [출제의도] 켤레복소수를 이해하고 복소수의 연산하기

[eqn: z=1+i,~barz = 1-i] 이므로

[eqn: {z barz} over {z- barz} = 2 over 2i = 1 over i = -i]

3. [출제의도] 실수의 대소 관계 구별하기

ㄱ. [eqn: sqrt {7} -1<2``는``` sqrt {7} <3] 이므로 참.

ㄴ. [eqn: 2sqrt3 , sqrt11]은 모두 양수이므로 제곱하여 비     교하면 [eqn: 12>11]이므로 참.

ㄷ. [eqn: 2 sqrt {3} >2+ sqrt {3}] 을 정리하면 [eqn: sqrt {3} >2] 이므     로 거짓.

4. [출제의도] 다항식의 인수분해하기

[eqn: a ^{3} -a ^{2} c-ab ^{2} +b ^{2} c]

[eqn: =a ^{2} (a-c)-b ^{2} (a-c)]

[eqn: =(a-c)(a ^{2} -b ^{2} `)]

[eqn: =(a-c)(a+b)(a-b)]

5. [출제의도] 명제의 필요충분조건 판단하기

ㄱ. [eqn: x≧1,~y≧1] 이면 [eqn: xy≧1] 은 성립.

(반례) [eqn: x=-2,~y=-3] 일 때,  [eqn: xy >= 1] 는 성립하지만, [eqn: x≧1,~y≧1] 가 성립하지 않으므로

충분조건

ㄴ. [eqn: x^2 +y^2 =0] 에서 [eqn: x^2 ≧0,~y^2 ≧0] 이므로

[eqn: x=y=0] 이고,

[eqn: LEFT |` x` RIGHT |+LEFT |` y `RIGHT |`=`0] 에서 [eqn: LEFT |` x `RIGHT |≧0], [eqn: LEFT |` y `RIGHT |≧0] 이므로

[eqn: x=y=0] 이다.

[eqn: THEREFORE] 필요충분조건

6. [출제의도] 복소수의 성질을 이해하고 절대값과 근호 계산하기

[eqn: sqrt a over sqrtb = - sqrt{a over b }]는 [eqn: a>0,~b<0`] 인 경우 성립한다.

[eqn: a-2b>0,~3b<0] 이므로                       [eqn: sqrt(a-2b)^2 +LEFT | `3b` RIGHT |]

[eqn: =LEFT | `a-2b `RIGHT |+LEFT | `3b `RIGHT |]

[eqn: =(a-2b)-3b =a-5b]

7. [출제의도] 유리식 계산하기

[eqn: {1+ {1} over {x}} over {1-LEFT( {1} over {x}RIGHT ) ^{2}}= {1+ {1} over {x}} over {LEFT(1+ {1} over {x}RIGHT )LEFT(1- {1} over {x} RIGHT)}]

[eqn: = {1} over {1- {1} over {x}}]

[eqn: = {1} over {{x-1} over {x}}]

[eqn: = {x} over {x-1}]

[eqn: = {2005} over {2004}]

8. [출제의도] 이중근호 풀기

[eqn: sqrt {3+2 sqrt {2}} + sqrt {5-2 sqrt {6}}]

[eqn: = sqrt {(2+1)+2 sqrt {2 CDOT 1}}+ sqrt {(3+2)-2 sqrt {3 CDOT 2}}]

[eqn: =( sqrt {2} +1)+( sqrt {3} - sqrt {2} )]

[eqn: =1+ sqrt {3}]

[eqn: 2<1+sqrt3 <3] 이므로 [eqn: a=2], [eqn: b= sqrt3 -1]

따라서

[eqn: a+ 2overb = 2+ 2over {sqrt3 -1}=3+ sqrt {3}]

9. [출제의도] 명제의 역․이․대우 구하고,

참․거짓 판별하기

명제) [eqn: ab not= 6] 이면 [eqn: a not =2] 또는 [eqn: b not = 3] 이다. [eqn: THEREFORE] 참

대우) [eqn: a =2] 이고 [eqn: b = 3] 이면 [eqn: ab=6] 이다.

[eqn: THEREFORE] 참

역) [eqn: a not =2] 또는 [eqn: b not = 3] 이면 [eqn: ab not = 6] 이다.

(반례) [eqn: a=1], [eqn: b=6] [eqn: THEREFORE] 거짓

이) [eqn: ab=6] 이면 [eqn: a =2] 이고 [eqn: b = 3] 이다.

(반례) [eqn: a=1], [eqn: b=6] [eqn: THEREFORE] 거짓

10. [출제의도] 항등식과 나머지정리 이해하기

[eqn: f(x)=(x-1)(x-2)q(x) +x+1]

[eqn: f(3)=(3-1)(3-2)q(3)+3+1]

[eqn: f(3)=8]

[eqn: THEREFORE] [eqn: q(3)=2]

11. [출제의도] 부등식을 이용하여 실생활 문제 해결하기

[eqn: A] 의 월 전화요금은 [eqn: a+ a over 100 x] 이고,

[eqn: B] 의 월 전화요금은 [eqn: b+ 2b over 100 x] 이므로

[eqn: a+ {a} over {100} x`<`b+ 2b over 100 x] 이다.

이를 [eqn: x] 에 관하여 정리하면

[eqn: x``> {100(b`-`a)} over {a`-`2b}] [eqn: (∵~b`<`a`<`2b)]

12. [출제의도] 다항식의 곱셈정리를 이용하여 수학 외적문제 해결하기

[eqn: B] 고등학교

[eqn: A] 고등학교

체육관

[eqn: x]

[eqn: a]

[eqn: y]

[eqn: a]

체육관을 제외한 [eqn: A] 고등학교의 넓이는

[eqn: (a+x) ^{2} `-xy] 이고, [eqn: B] 고등학교의 넓이는

[eqn: (a+y) ^{2} `-xy] 이다.

따라서 두 학교의 넓이의 차는

[eqn: LEFT { (a+x) ^{2} `-xy RIGHT } - LEFT { (a+y) ^{2} -xy`` RIGHT }]

[eqn: =(a+x) ^{2} -(a+y) ^{2}]

[eqn: =(a+x+a+y)(a+x-a-y)]

[eqn: =(2a+x+y)(x-y)]

13. [출제의도] 이차함수의 그래프 이해하기

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: -3]

[eqn: y]

[eqn: -4]

[eqn: 1]

ㄱ. [eqn: y=(x ^{2} -2x+1)-4]

[eqn: y=(x-1) ^{2} -4] 이므로 최소값 [eqn: -4]

ㄴ. 두 이차함수의 이차항의 계수가 같으므로 두      그래프는 평행이동하면 겹쳐진다.

ㄷ. 그림에서 삼각형의 넓이는 [eqn: 3 over 2]

14. [출제의도] 기울기와 한 점을 지나는 직선의 방정식 구하기

[eqn: rm D(4,`3)]

[eqn: rm C(4,-1)]

[eqn: rm A(-8,`3)]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmB(-8,-1)]

[eqn: rmO]

세로의 길이가 [eqn: a] 라 하면 가로의 길이는 [eqn: 3a] 이다.[eqn: 8a=32] 에서 [eqn: a=4], 가로의 길이는 [eqn: 12], 세로의 길이는 [eqn: 4] 이므로 [eqn: rmD(4,3)] 이고, 기울기는 [eqn: { 1} over {3 }] 이다. 따라서 직선의 방정식은

[eqn: y=` {1} over {3} LEFT ( x-4 RIGHT ) +3]

따라서 [eqn: y= {1} over {3} x+ {5} over {3}]

15. [출제의도] 정수의 약수, 배수를 이해하고 이를 이용하여 도형의 성질 증명하기

	<증명> 직사각형의 가로, 세로, 대각선의 길이를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c] 라 하면 [eqn: a ^{2} `+`b ^{2} `=`c ^{2}] 이고, 넓이는 [eqn: ab] 이다. 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c] 에 대하여 [eqn: a ^{2} `+`b ^{2} `=`c ^{2}] 이면 [eqn: ab] 는 [eqn: 3] 의 배수임을 증명하자. 자연수 [eqn: n] 은 ⅰ) [eqn: n=3k~(k=1,``2,``3,``…)`]일 때, [eqn: n ^{2} `=`9k ^{2}] ⅱ) [eqn: n=3k+1~(k=0,``1,``2,``…)`]일 때, [eqn: n ^{2} `=`9k ^{2} `+`6k`+`1] ⅲ) [eqn: n=3k+2~(k=0,``1,``2,``…)`]일 때, [eqn: n ^{2} `=`9k ^{2} `+`12k`+`4] 따라서 [eqn: n ^{2}] 을 [eqn: 3] 으로 나누면 나머지는 이다. [eqn: 0] 또는 [eqn: 1] [eqn: a], [eqn: b] 가 모두 [eqn: 3] 의 배수가 아니라면 [eqn: a ^{2} `+`b ^{2}] 을 [eqn: 3] 으로 나눈 나머지는 이고, [eqn: c ^{2}] 을 [eqn: 3] 으로 나눈 나머지는 이므로 모순이다. [eqn: 2] [eqn: 0] 또는 [eqn: 1] 그러므로 [eqn: 3] 의 배수이다. [eqn: a`,```b] 중 적어도 하나는 따라서 [eqn: ab] 는 [eqn: 3] 의 배수이다.

<참고>

ⅰ)의 경우 [eqn: n^2 = 9k^2] 이므로 [eqn: 3] 의 배수이고,

ⅱ)의 경우 [eqn: n^2 = 3(3k^2 + 2k)+1]

ⅲ)의 경우 [eqn: n ^{2} =3(3k ^{2} +4k+1)+1] 이므로

(가) [eqn: n^2] 을 [eqn: 3] 으로 나눈 나머지는 [eqn: 0] 또는 [eqn: 1] 이다.

[eqn: a,~b] 가 모두 [eqn: 3] 의 배수가 아닌 경우 [eqn: a^2 , ~ b^2] 은 [eqn: 3]  으로 나눈 나머지가 모두 [eqn: 1] 이므로 [eqn: a^2 = 3m+1][eqn: b^2 = 3n+1] 이 되고, [eqn: a^2 +b^2 =3(m+n)+2] 가 되어, (나) [eqn: a^2 +b^2] 을 [eqn: 3] 으로 나눈 나머지는 [eqn: 2] 가 된다. [eqn: c^2] 은 모든 경우에 대하여 [eqn: 3] 으로 나눈 나머지가 [eqn: 0] 또는 [eqn: 1] 이므로 [eqn: a ^{2} `+`b ^{2} `=`c ^{2}] 은 성립할 수 없다. 따라서 (다) [eqn: a,~b] 중 적어도 하나는 [eqn: 3] 의 배수이다.

16. [출제의도] 삼각형 합동의 성질을 이용하여 평면도형의 성질 증명하기

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: l]

[eqn: rmTRIANGLE ABD] 에서 [eqn: rmANGLE DAB`+ ANGLE ABD=90 DEG `]이고

[eqn: rmANGLE DAB+ ANGLE CAE=90 DEG]이므로

[eqn: rmANGLE ABD= ANGLE CAE] 이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: rmTRIANGLE ABD`≡TRIANGLE CAE]

[eqn: rm bar{BD} + bar{CE} = BAR{AE}+bar{DA}=bar{DE}] 이다.

17. [출제의도] 정수의 소수, 합성수와 배수의 성질 이해하기

ㄱ. [eqn: A_2] 는 홀수이고, [eqn: B_2] 는 짝수이므로 성립.

ㄴ. [eqn: 6] 은 [eqn: 5] 와 서로소이므로 [eqn: 6 in A_5] 이지만

[eqn: 6 notIN A _{2} ,```6 notIN A _{3}]이므로 [eqn: 6 notIN A _{2} CUP A _{3} `]이다.

ㄷ. [eqn: B_2] 는 [eqn: 2] 의 배수이고, [eqn: B_3] 는 [eqn: 3] 의 배수이므로

[eqn: B _{2} ` SMALLINTER `B _{3}] 는 [eqn: 6] 의 배수.

18. [출제의도] 네 점이 한 원 위에 있을 조건을 이용하여 수학외적 문제 해결하기

네 점이 한 원 위에 있으면 원의 중심에 학교를 지으면 된다.

ㄱ. [eqn: 2 TIMES 6=3 TIMES 4=12] 이 성립하므로 네 마을이     한 원 위에 있다.

ㄴ. 대각의 합이 [eqn: 180 ^{CIRC }]이므로 네 마을이 한 원      위에 있다.

ㄷ. 원주각이 [eqn: { 30}^{ CIRC }]로 같으므로 네 마을이 한 원     위에 있다.

19. [출제의도] 추론을 통하여 논리적 결과 얻기

[eqn: D] 는 다른 세 사람과 서로 다른 급수이므로 [eqn: 1]급 이거나 [eqn: 3]급이다.

[eqn: A] 는 [eqn: B,``C] 와 서로 다른 급수이므로, [eqn: D] 가 [eqn: 1]급 인 경우 [eqn: A] 는 [eqn: 3]급이고, [eqn: D] 가 [eqn: 3]급인 경우 [eqn: A] 는  [eqn: 1]급 이어야 한다. 따라서 [eqn: B,``C] 는 [eqn: 2] 급이다.

20. [출제의도] 확률의 곱의 법칙 알기

각각의 상자에서 공을 꺼낼 수 있는 경우의 수는 [eqn: 5] 가지씩 이므로 전체 경우의 수는 [eqn: 25] 가지이다. 또한 [eqn: x ^{2} `+`ax`+`b] 이 완전제곱식이 되는 경우의 수는 [eqn: (2,`1)], [eqn: (6,`9)] 두 가지이다.

그러므로 확률은 [eqn: 2 over 25] 이다.

21. [출제의도] 비례식을 이용한 수학외적 문제 해결하기

수자원 총량을 [eqn: x] 라 할 때,

[eqn: x TIMES {26} over {100} TIMES {22} over {100} =73(억m ^{3`} )]                    [eqn: {x TIMES 26` TIMES 22`} over {10000} =73(억m ^{3`} )]

[eqn: x= {73 TIMES 10 ^{4}} over {22 TIMES 26} (억m ^{3} )]

22. [출제의도] 복소수가 같을 조건 이해하기

[eqn: (2-3i)x - (1-i)y =5-2i]

[eqn: (2x-y) +(-3x +y)i=5-2i]

복소수가 같을 조건에 의하여

[eqn: cases{2x-y=5#-3x+y=-2}] 이므로

[eqn: x=-3,~y=-11] 이다.

∴ [eqn: xy=33]

23. [출제의도] 곱셈공식의 변형을 통하여 문제 해결하기

[eqn: x ^{3} - {1} over {x ^{3}} =left(x- {1} over {x}right ) ^{3} +3x CDOT {1} over {x} CDOT left (x- {1} over {x}right )=36]

24. [출제의도] 비례식의 성질을 이용하여 분수식의 값 구하기

[eqn: {x-y} over {2} = {x+y} over {3} =k] 라 하면

[eqn: x-y=2k,~x+y=3k] 이고 따라서

[eqn: x= {5} over {2} k,~y= {1} over {2} k] 이다.

[eqn: {x^2 - 5y^2 } over xy = {{20} over {4} k ^{2}} over {{5} over {4} k ^{2}} =4]

(별해)

[eqn: {x-y} over {2} = {x+y} over {3}]

양변에 [eqn: 6] 을 곱하면

[eqn: 3(x-y)=2(x+y)]

[eqn: x=5y]

[eqn: {x^2 - 5y^2 } over xy = {{20y^2} over {5y^2} =4]

25. [출제의도]  최대공약수와 최소공배수 찾기

[eqn: x^2 -4x+3 = (x-1)(x-3)]

[eqn: x ^{3} +2x ^{2} -x-2=x ^{2} (x+2)-(x+2)]

[eqn: =(x+2)(x ^{2} -1)]

[eqn: =(x+2)(x+1)(x-1)]

[eqn: f(x)=x-1, ~g(x)= (x-1)(x+1)(x+2)(x-3)]

[eqn: f(4)+2g(4)=3+2(3CDOT5CDOT 6 CDOT 1)=183]

26. [출제의도] 집합의 원소의 개수 구하기

대장균, 일반세균, 암모니아성 질소의 허용기준  치를 초과한 약수터의 집합을 [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R] 이라 하  고, 허용 기준치를 하나도 초과하지 않은 약수터  의 수 [eqn: n(P ^{c} ` SMALLINTER `Q ^{c} ` SMALLINTER `R ^{c} )] 를 구하면,

1

1

0

1

[eqn: Q]

1

2

4

[eqn: P]

[eqn: R]

[eqn: U]

[eqn: n(P ^{c} ` SMALLINTER `Q ^{c} ` SMALLINTER R ^{c} )`=n(U)-n(P` CUP Q CUP R)]

[eqn: =`25`-10=15]

(별해)

[eqn: n(P` CUP Q CUP R)]

[eqn: = n(P)+n(Q)+n(R)-n(P cap Q)]

[eqn: -n(Q cap R)-n(R cap P)+n(P cap Q cap R)]

[eqn: =6+5+3-2-2-1+1=10]

∴ [eqn: n(P ^{c} ` SMALLINTER `Q ^{c} ` SMALLINTER R ^{c} )`=25-10=15]

27. [출제의도] 항등식의 미정계수 구하기

[eqn: 2x^2 +x- 2=a {x }^{ 2} + (2a +b)x+a-b+c] 에서

[eqn: cases{``a=2~~~~```~~~#2a+b=1~~`````#a-b+c=-2}] 이다.

따라서 [eqn: a=2,~b=-3,~c=-7] 이므로

[eqn: abc=42]

28. [출제의도] 삼각비를 이용하여 수학외적 문제 해결하기

한 시간 사이의 중심각은 [eqn: 30DEG]로 일정하다.

[eqn: rmbar OR = 2sqrt3], [eqn: rm ANGLE T OR = 30 DEG], [eqn: rm barRT =2]

[eqn: left(∵tan 30 DEG=rm bar RT over bar OR = 1 over sqrt3right)]

어두운 부분의 넓이는 사각형 [eqn: rmOPQR] 의 넓이에서 두 삼각형 [eqn: rmOPS] 와 삼각형 [eqn: rmOTR] 의 넓이를 빼면 된다. 따라서

[eqn: (2 sqrt {3} ) ^{2} -2(2 sqrt {3} TIMES 2 TIMES {1} over {2} )=12-4 sqrt {3}] 가

되고, [eqn: a=12,~b=4] 이다. 그러므로 [eqn: ab=48]

29. [출제의도] 두 원기둥의 부피 변화의 관계식 이해하기

물통 [eqn: A] 는 [eqn: 100l] 까지 초당 [eqn: 4l] 씩 [eqn: 25] 초 동안 감소하고, 그 이후 [eqn: 2l] 씩 [eqn: 50] 초 동안 감소한다. 그리고 물통 [eqn: B] 는 초당 [eqn: 3l] 씩 일정하게 증가한다. 두 물통의 [eqn: 25] 초 이후 [eqn: t] 초 동안 물의 양의 변화는

[eqn: A:`100-2t,``B```:`75+3t] 이고,

[eqn: `100-2t=`75+3t] [eqn: THEREFORE `t=5]

따라서 두 물통의 수위가 같아질 때까지 걸린  시간은 [eqn: 30] 초이다.

(참고)

[eqn: A] 물통의 물의 양의 변화 관계식

[eqn: cases{``200-4t````(0 <= t <= 25)#``150-2t```(25 <= t <= 75)}]

[eqn: B] 물통의 물의 양의 변화 관계식은 [eqn: 3t]

30. [출제의도] 삼각비를 이용하여 삼각형의 넓이 구하기

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm L]

[eqn: rm M]

[eqn: rm N]

[eqn: rmTRIANGLE ABC= {1} over {2} bar{AB} `` bar{BC} ``sin rm`B=18] … ①

[eqn: rmTRIANGLE LBM= {1} over {2} ・{1} over {3} bar{AB}``` {1} over {2} bar{BC} ``sin` rmB] … ②

①,② 에서 [eqn: rmTRIANGLE LBM= {1} over {6} TRIANGLE ABC=3]

마찬가지 방법으로

[eqn: rm TRIANGLE MCN= {1} over {3} TRIANGLE ABC=6]

[eqn: RMTRIANGLE NAL= {2} over {9} TRIANGLE ABC=4]

따라서 [eqn: rm TRIANGLE LMN=18-(3+6+4)=5] 이다.