2005학년도 경기도 학업성취도평가

정답 및 해설 (3학년)

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• 2교시 수리 영역 •

[가형]

1	③	2	⑤	3	②	4	④	5	④
6	②	7	④	8	⑤	9	②	10	③
11	④	12	①	13	②	14	①	15	①
16	③	17	⑤	18	[eqn: 10]	19	[eqn: 7]	20	[eqn: 200]
21	[eqn: 1]	22	[eqn: 27]	23	[eqn: 432]	24	[eqn: 8]	25	[eqn: 5]

1. [출제의도] 지수법칙을 이해하고 활용하기

[eqn: 7^{y over2} = LEFT ( 2^x RIGHT ) ^{y over 2}= 2 ^{xy over 2} =16=2^4]에서 [eqn: xy over 2 = 4`]이므로

[eqn: therefore ```xy=8]

□ ③

2. [출제의도] 역행렬을 구하고 행렬의 곱셈하기

[eqn: A^-1 = PMATRIX { 1& 3` `# 1& 4 ``}],[eqn: A^-1 B= PMATRIX { 2& 1 `# 3 &` 1`` }]이므로 성분의 합은 [eqn: 7]

□ ⑤

3. [출제의도] 연속함수의 성질을 이해하고 활용하기

[eqn: f`(x)= cos x - x + 1]로 놓으면 [eqn: f`(x)]는 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 연속이고 [eqn: f``left( pi over 3 right) `＞`0], [eqn: f``left( pi over 2 right) `＜`0]이므로 중간값정리에 의해[eqn: left ( pi over 3 , ~ pi over 2 right)]에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.

□ ②

4. [출제의도] 조건부확률의 뜻을 알고 구하기

[eqn: P(A|D)={n(A cap D)} over n(D) = 30 over 56 = 15 over 28]

□ ④

5. [출제의도] 미분계수의 기하학적 의미를 알고 계산하기

[eqn: g prime (x) = f`(x) + x f`prime (x)]이므로

ㄱ.[eqn: f`(1) + g`prime (1) = f`prime (1) ``＜``0] [eqn: therefore] 거짓

□ ④

6. [출제의도][eqn: sum]의 성질을 이해하고 수열에 관한 문제 해결하기

[eqn: sum from n=1 to {100_` _`} n]의 일의 자리수는 [eqn: 0]이므로 [eqn: sum from n=1 to {100_` _`} left( n! + n right)]의 일의 자리수는 [eqn: sum from n=1 to {100_` _`} n!]의 일의 자리수와  같다.  그런데

[eqn: sum from n=1 to{100_` _`} n!]의 일의 자리수는 [eqn: 1! + 2! + 3! +4!][eqn: = 33]의 일의 자리수와 같으므로 [eqn: 3]이다.

□ ②

7. [출제의도] 조합의 뜻을 이해하고 확률구하기

두 꼭지점 사이의 거리가 [eqn: sqrt 10]인 경우의 수는 가로 [eqn: 3], 세로 [eqn: 1]인 직사각형의 대각선과 가로[eqn: 1], 세로 [eqn: 3]인 직사각형의 대각선 개수의 합 이므로 구하는 확률은[eqn: rm {````32} over {`_24 C _2 } = 8 over 69]

□ ④

8. [출제의도] 순열의 뜻을 알고 경우의 수 구하기

(호랑이, 사자)가 이웃하지 않는 경우는 [eqn: 9]가지 즉,

[eqn: (1,3),``(1,5),``(1,6),``(2,4),``(2,6),``(3,4),``(3,5),``][eqn: (3,6),``(5,6)]이고 서로 바꾸는 경우의 수가 2이므로

방법의 수는 [eqn: 9 times 2 times 4! =432]

□ ⑤

9. [출제의도] 정규분포를 활용하여 문제해결하기

[eqn: A,``B,``C`]영역의 원점수를 각각 표준화하면

[eqn: Z_A = 70-60 over 20 = 1 over 2], [eqn: Z_B = 1], [eqn: Z_C = 3 over 4]이므로

[eqn: T_A = 20 times 1 over 2 + 100 =110], [eqn: T_B = 120], [eqn: T_C = 115]

[eqn: therefore``120- 110=10]

□ ②

10. [출제의도] 함수의 극한과 연속성 이해하기

ㄴ.극한값이 존재하지 않는 점의 개수는 [eqn: 2]개이다.

[eqn: lim from { scale 90 {x -> -1-0 }}f`(x) = lim from { scale 90 {x -> -1+0 }}f`(x) = 2]이므로[eqn: lim from { x -> -1}f`(x) = 2]

□ ③

11. [출제의도] 이차함수를 이용하여 로그함수의 최대최소구하기

밑을 [eqn: 2]로 변환시킨 후 정리하면

[eqn: log_2 y = left( log_2 `x )^2 - 6 log_2 `x +12]

[eqn: log_2 `x =t]라 하면 [eqn: log_2 y =t^2 - 6t +12]이고

[eqn: 1`≦` t` ≦ `4]에서 [eqn: 3≦ log_2 ``y ``≦ 7] [eqn: therefore`][eqn: 2^3 ≦ `y`≦ 2^7]

[eqn: a=2^7 , ``b = 2^3]이므로 [eqn: a over b = 16]

□ ④

12. [출제의도] 미분을 이용하여 함수의 최대값구하기

[eqn: y`]

[eqn: x`]

[eqn: x`]

[eqn: x`]

[eqn: x`]

[eqn: 3-x`]

[eqn: y`]

[eqn: {3root2} over 2]

[eqn: (3-x) ```:`` 3 = y ```:` { 3 sqrt2 } over 2]에서 [eqn: y=sqrt 2 over 2 (3-x)]

부피[eqn: V(x)=x^2 y = sqrt2 over 2 (3x^2 - x^3 )]을 미분하면

[eqn: V ``prime (x) = sqrt 2over 2 (6x-3x^2 )][eqn: (0`＜`x`＜`3)]

[eqn: therefore`x=2]일 때, 부피의 최대값 [eqn: 2sqrt 2]를 갖는다.

□ ①

13. [출제의도][eqn: sum]의 성질을 이용하여 최대값 찾아내기

(가)[eqn: 19], (나)[eqn: 13^2], (다)[eqn: 18]

□ ②

14. [출제의도] 무한등비급수의 합 구하기

[eqn: S_n+1 = 1 over 2 S_n]이므로 [eqn: SUM from { { n}=1} to inf S_n = 1over{1- {1over2}} =2]

□ ①

15. [출제의도] 연속함수의 성질을 활용하여 극한값 구하기

주어진 구간 [eqn: 0`＜`x`＜`1]에 대하여 [eqn: y= lim from { n `->` inf } f`^n (x) = 1]이므로 상수함수이다.

□ ①

16. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 부등식 증명하기

(가)[eqn: log_2 ``4 sqrt2], (나)[eqn: 1 over 2], (다)[eqn: k+1 over 2]

□ ③

17. [출제의도] 로그의 성질을 실생활 문제에 적용하기

[eqn: log _10 E_1 over E_2 &= log_10 E_1 - log _10 E_2]

[eqn: = left(11.8 + 1.5 times 9right) - left( 11.8 + 1.5 times 5 right) = 6]

[eqn: therefore ``E_1 over E_2 = 10^6]

□ ⑤

18. [출제의도] 연립분수부등식 풀기

[eqn: (x+1)(x^2 + x + 1 )``≧``0]에서 [eqn: x≧-1]이고

[eqn: 28 over x+2 ``≦`` 9-x]에서 [eqn: x`＜-2], [eqn: 2`≦`x`≦`5]이므로

공통범위는 [eqn: 2`≦`x`≦`5] [eqn: therefore` Mm=5times2 = 10]

□ [eqn: 10]

19. [출제의도] 무리방정식의 해 구하기

[eqn: x - 3 = root x-3], 양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: (x - 3 ) ( x-4) =0] [eqn: therefore`` x= 3, ~4]

따라서, 모든 근의 합은 [eqn: 7]이다.               □ [eqn: 7]

20. [출제의도] 등차수열의 뜻을 알고 합 구하기

첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a_6 + a_11 + a_15 + a_20 = 4a + 48d= 32] [eqn: therefore`a=8-12d]

[eqn: a_1 + a_2 + ``cdots`` + a_25 & = { 25 "{"2(8-12d)+(25-1)d"}" } over 2 # & =`200]

□[eqn: 200]

21. [출제의도] 무한급수에서 수렴의 뜻을 알고 문제해결하기

[eqn: SUM from { { n}=1} to inf left( a_n - n-1 over n right)]이 수렴하므로[eqn: lim from { n -> inf } left( a_n - n-1 over n right)=0]

[eqn: therefore ~ lim from { n -> inf } a_n = 1]

□ [eqn: 1]

22. [출제의도] 지수함수 그래프의 성질 이해하기

[eqn: B]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: k]라 하면 [eqn: A]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: k-2]이다.

[eqn: y`]좌표가 같으므로 [eqn: 2^-k+2 = 4^ k] [eqn: therefore``k= 2over 3]

[eqn: B`` left( 2 over 3 , ~ 4^{ 2 over 3 } right)], [eqn: C`` left( 2 over 3 ,~ 2^{ - 2 over 3 }right)]이므로 [eqn: l=2^{4 over 3 } - 2^ {- 2 over 3}]

[eqn: therefore `` 4l`^3 = 27]

□ [eqn: 27]

23. [출제의도] 순열의 수 구하기

[eqn: 1□□□]인 네자리 자연수에서

같은 두 수가[eqn: 1]인 수의 개수는[eqn: rm `_3 C_1 times `_9 P_2 = 216]

같은 두 수가[eqn: 1]이 아닌 수의 개수는[eqn: rm `_9 C_1 times _3 C _2 times _8 C_1 = 216]이므로 구하고자 하는 자연수의 개수는 [eqn: 432]개

□[eqn: 432]

24. [출제의도] 행렬을 이용한  연립일차방정식 해결하기

[eqn: PMATRIX { a& `` 8` `# 2 & ``b`` } PMATRIX { x``# y` ` } =PMATRIX { 0``# 0` ` }]에서 [eqn: PMATRIX { a& ``8 ``# 2 & ``b ` `}]의 역행렬이 존재하지 않아야 되므로 [eqn: ab-16=0`] [eqn: therefore```ab=16]

한편,[eqn: a``＞``0,~b``＞``0]이므로 산술․기하평균을 이용하면

[eqn: a+b≧2sqrt{ab}=8]([eqn: a=b=4]일 때 등호성립)이므로

최소값은 [eqn: 8`]이다.

□ [eqn: 8]

25. [출제의도] 미분계수의 뜻을 알고 문제해결하기

[eqn: lim from x->1 {{ left{ f`(x) right} }^2 - 2 f`(x)} over {1-x} = lim from x->1 {f`(x) left{ 2- f`(x) right} } over x-1]

[eqn: =lim from x->1 {f(x) - f(1)}over{x-1} times lim from x->1 left{2-f(x) right}]

[eqn: = f` prime(1) left{ 2- f`(1) right }=10] [eqn: therefore` f`prime(1) = 5]

□ [eqn: 5]

[미분과 적분]

26	⑤	27	③	28	①	29	①	30	[eqn: 3]

26. [출제의도] 삼각함수의 합을 곱으로 고쳐서 계산하기

[eqn: cos 310° + cos 190° = 2 cos {310°+190°} over 2 cos {310°-190°} over 2]

[eqn: =2 cos 250° cos 60° =cos 250°= - cos 70°]

□ ⑤

27. [출제의도] 삼각함수의 합성을 이용하여 최대값 구하기

[eqn: root 2 sin alpha + 2 cos ( pi over 4 - alpha)]

[eqn: = root 2 sin alpha + 2 left{ cos pi over 4 cos alpha + sin pi over 4 sin alpha right}]

[eqn: = 2 root 2 sin alpha + sqrt 2 cos alpha = sqrt 10 sin(alpha+theta)]

(단, [eqn: sin theta = sqrt5 over 5], [eqn: cos theta = {2sqrt5} over 5]

[eqn: therefore]최대값은 [eqn: sqrt10]

□ ③

28. [출제의도] 삼각함수의 극한값 구하기

[eqn: lim from x->0 {ax` sin2x (cosx+1)} over {(cosx-1)(cosx+1)}]

[eqn: = lim from x->0 { 2a x sin x cos x (cosx+1) } over {-sin^2 x}]

[eqn: = lim from x->0 x over sinx left{ -2a cosx(cosx+1) right}=-4a=8]

[eqn: therefore ``a= -2]

□ ①

29. [출제의도] 삼각함수의 극한을 이용하여 문제해결하기

[eqn: rm ANGLE PAO = theta]라 하면 사인법칙에 의해[eqn: bar OA over { sin(pi - 3 theta) } = 1 over {sin theta}]

[eqn: rm lim from P->B bar OA = lim from theta->0 { sin ( pi - 3 theta) }over {sin theta} = lim from theta->0 { sin 3 theta }over {sin theta} = 3]

□  ①

30. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 문제해결하기

[eqn: tan(alpha + beta) = {tan alpha + tan beta} over {1- tan alpha tan beta}= { p over 2 } over {1 - 1 over 2 }=p=3]

□ [eqn: 3]

[확률과 통계]

26	④	27	③	28	⑤	29	①	30	[eqn: 124]

26. [출제의도] 자료를 줄기와 잎 그림으로 나타내고 분포파악하기

[eqn: A=3+7+5=15]

□ ④

27. [출제의도] 대표값과 산포도 이해하기

	중앙값	평균	분산
A	4	4	[eqn: 2.8]
B	3	3	[eqn: 2.8]

□ ③

28. [출제의도] 확률의 뜻과 성질 이해하기

ㄴ.[eqn: rm P(it A∩B `) = rm P (itA) cdot rm P(it B ``| A)= rm P (itB) cdot rm P(it A ``| B)]

□ ⑤

29. [출제의도] 여사건의 확률을 이용하여 실생활 문제해결하기

적어도 한 사람이 [eqn: 10]점 과녁에 맞힐 확률은

[eqn: 1-](모두 10점 과녁에 맞히지 못할 확률)이므로

[eqn: 1- left(1- 4 over 5 right)left( 1-p right)left(1- 2 over 5 right) = 119 over 125]  [eqn: therefore ``p= 3 over 5]

□ ①

30. [출제의도] 가중평균의 뜻을 알고 구하기

[eqn: {110 times 0.2 + 130 times 0.4 + 125 times 0.4 } over { 0.2 + 0.4 + 0.4 }=124]

□[eqn: 124]

[이산수학]

26	①	27	⑤	28	④	29	③	30	[eqn: 9]

26. [출제의도] 자연수를 몇 개의 자연수의 합으로 나타내기

[eqn: 7=1+1+5=1+2+4=1+3+3=2+2+3]으로

분할 할 수 있으므로 [eqn: 4]가지이다.

□ ①

27. [출제의도] 비둘기집의 원리를 이용하여 문제해결하기

변의 길이가 [eqn: 10``㎝]인 정삼각형을 합동인 [eqn: 4]개의 정삼각형으로 나눈 후 5개의 점을 찍으면 어느 한 정삼각형에는 2개 이상의 점이 포함된다. 하나의 작은 정삼각형에서 두 점이 가장 멀리 떨어져 있을 때의 거리가 [eqn: 5``㎝]이므로 두 점 사이의 거리가 [eqn: 5``㎝]이하인 점이 반드시 존재한다.

□ ⑤

28. [출제의도] 조건에 맞는 여러 가지 분배의 수 구하기

[eqn: rm `_7 C_2 times _5 C_2 times _3 C _3 times 1 over 2! times 3! = 630]

□ ④

29. [출제의도] 곱의 법칙을 이용하여 실생활의 경우의 수 구하기

[eqn: 5]명이 각 층마다 내리는 경우의 수는 [eqn: 4]가지이므로

[eqn: `_4` prod `_5 =4^5 = 1024]

□ ③

30. [출제의도] 주어진 조건에 알맞은 순열의 수 구하기

([eqn: rm A -> B]방법의 수)[eqn: -]([eqn: rmA-> P->B]방법의수)

[eqn: left( 6! over {3! 3!} -2 right) - left( 3! over 2! times 3! over 2! right)=9]

□ [eqn: 9]

[나형]

1	③	2	⑤	3	①	4	⑤	5	②
6	②	7	①	8	②	9	③	10	⑤
11	④	12	⑤	13	②	14	①	15	④
16	③	17	⑤	18	[eqn: 6]	19	[eqn: 10]	20	[eqn: 200]
21	[eqn: 1]	22	[eqn: 27]	23	[eqn: 1]	24	[eqn: 8]	25	[eqn: 100]
26	④	27	③	28	①	29	④	30	[eqn: 9]

1. 수리‘가’형 1번과 같음

2. 수리‘가’형 2번과 같음

3. [출제의도] 행렬의 덧셈, 뺄셈을 알고 연산하기

[eqn: X = 3 over 2 B - 1 over 2 A]이므로 [eqn: X= PMATRIX { { 5}& {````3 }# { 8}& {-6 ~} }]

□ ①

4. [출제의도] 상용로그의 지표의 성질을 이용하여 자리수 구하기

[eqn: log_10 2^2005 = 2005 times 0.3010 = 603.505]

[eqn: log_10 5^2005 = 2005 times (1- 0.3010) = 1401.495]이므로

[eqn: m= 604], [eqn: n= 1402]  [eqn: therefore``m+n=2006]

□ ⑤

5. [출제의도] 로그값 계산하기

[eqn: sin1560°=sin(90° times 17 + 30°)=cos 30°= sqrt 3 over 2]이므로

[eqn: log_2 left( sqrt 3 over 2 times 1 over sqrt 3 times 1 right)=log_2 1 over 2 = -1]

□ ②

6. 수리‘가’형 6번과 같음

7. [출제의도] 극한의 성질을 이용하여 무한수열의 극한값 구하기

분모와 분자를 [eqn: n^2]로 나누면

[eqn: lim from {n -> inf} {n^2 -2005}_` over{``n^2 + 2005}^` = lim from {n->inf} {1 - 2005_` over n^2}over{1 + 2005_` over n^2} = 1]

□ ①

8. [출제의도] 수열의 합과 극한값 구하기

[eqn: (준식) = root{sum from {k`=`1}^` to n left(4k - 1 right)} -root{sum from {k`=`1}^` to n left(4k - 3 right)}]

[eqn: =lim from n->inf left( `` root{ 2n^2 + n ```} - root{ 2n^2 - n ```} `` right) = sqrt 2 over 2]

□ ②

9. [출제의도] 무한급수의 합 구하기

부분합[eqn: S_n = SUM from { { k}=1} to n left( n+2 over n+1 - n+3 over n+2 right ) = 3 over 2 - n+3 over n+2]

[eqn: lim from { n -> inf } S_n = 1 over 2]이다.

□ ③

10. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질을 이해하기

[eqn: log_ 10 ``x =- 28 over 3 = -10 + 2 over 3]에서 [eqn: n=-10], [eqn: alpha= 2 over 3]

[eqn: therefore ` n over alpha = -15]

□ ⑤

11. 수리‘가’형 11번과 같음

12. [출제의도] 행렬의 연산 이해하기

ㄴ. 행렬 [eqn: A= PMATRIX { { a}& {b ``}# {c }& {d`` } }], [eqn: B= PMATRIX { { x}& {y ``}# {z }& {w`` } }]라 하면

[eqn: AB=PMATRIX { { ax+bz}& {ay+bw ``}# {cx+dz }& {cy+dw`` } }],[eqn: BA=PMATRIX { { ax+cy}& {bx+dy ``}# {az+cw }& {bz+dw`` } }]

이므로 [eqn: f`(AB)=(ax+bz)+(cy+dw)]

[eqn: =(ax+cy)+(bz+dw)=f`(BA)]

□  ⑤

13. 수리‘가’형 13번과 같음

14. 수리‘가’형 14번과 같음

15. [출제의도] 행렬의 곱에 대한 성질 알아보기

ㄱ.(반례)[eqn: A= PMATRIX { { ~~1``}& {~~ 1``}# { -1``}& { -1``} }]이면 [eqn: A^2 = O]이지만 [eqn: A != O]

□ ④

16. 수리‘가’형 16번과 같음

17. 수리‘가’형 17번과 같음

18. [출제의도] 지수부등식 해결하기

[eqn: left( 1 over 2 right) ^3x-1 ≧ left( 1 over 2 right) ^2x+2]이므로 [eqn: 3x-1 `≦` 2x+2]

[eqn: x`≦`3]이므로 [eqn: therefore`] 자연수의 합은 [eqn: 6]([eqn: =1+2+3])

□ [eqn: 6]

19. [출제의도] 지수방정식 풀기

[eqn: y=x-2]이므로 [eqn: 2^x - 2^ {x-2}=6], [eqn: 2^x`` left(``1 - 2^ -2 ``right)=6]

[eqn: 2^x =8] [eqn: therefore ``x=3,``y=1] [eqn: therefore`` 2^3 + 2^1 =10]

□ [eqn: 10]

20. 수리‘가’형 20번과 같음

21. 수리‘가’형 21번과 같음

22. 수리‘가’형 22번과 같음

23. [출제의도] 로그방정식의 해를 이용하여 무한등비급수 합 구하기

[eqn: left[ { left[log_2 `x` right] }over {log_2 `x`} right] =1]을 만족시키려면[eqn: left[log_2 `x` right] }={log_2 `x`} = n](정수)이어야 한다.  [eqn: 0`＜`x`＜`1]에서 이를 만족시키는  값은 [eqn: x= 2^-1 ,` 2^-2 ,` 2^-3 ,` cdots]이며 이들을 모두 더하면 된다. [eqn: therefore `` { 1 over 2 }over {1- 1 over 2 }= 1]

□ [eqn: 1]

24. 수리‘가’형 24번과 같음

25. [출제의도] 로그부등식 해결하기

양변에 상용로그를 취하여 정리하면

[eqn: x^2 + (2 log_10 `a) x + 2 log_10 a `≧` 0]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립하므로

[eqn: rm D/4=it (log_10 ``a )^2 - 2 log_10 ``a `≦` 0]에서

[eqn: 1`≦`a`≦`100] [eqn: therefore`]양의 정수 [eqn: a]의 최대값은 [eqn: 100]

□[eqn: 100]

26. [출제의도] 여러 가지 수열의 일반항 구하기

분모가 같은 것끼리 군수열로 나누면

[eqn: left( 1over1 right) , ~left( 3 over 3 ,~ 2 over3 ,~ 1 over 3 right) , ~ left( 5 over 5 ,~ 4 over 5 , ~ 3 over 5 , ~ 2 over 5 , ~ 1 over 5 right), `` cdots ``,]

[eqn: left( 27over27 , ~ 26 over 27 , ``cdots,bold{ 4 over 27} , cdots, 1 over 27 right) , ``cdots]

[eqn: 1 over 25]까지의 모든 항수는 [eqn: 169]개([eqn: = 1+3+5+ cdots +25])

따라서 [eqn: 4 over 27]는 [eqn: 169+24=193](번째항)

□ ④

27. [출제의도] 근과 계수와의 관계를 이용하여 로그방정식의 근의 곱 구하기

[eqn: left(log_2 `x right) ^2 - 3 log_2 `x -1=0]의 두 근을 [eqn: alpha , `` beta]라 하고

[eqn: log_2 x = t]라 하면 [eqn: t^2 - 3t -1 = 0]의 두 근은

[eqn: t_1 = log_2 alpha], [eqn: t_2 = log _2 beta]

[eqn: t_1 + t_2 = log _2 alpha + log_2 beta = log_2 alpha beta=3]

[eqn: therefore `` alpha beta = 2^3 = 8]

□ ③

28. [출제의도] 등비수열의 뜻을 알고 문제해결하기

[eqn: S_n = 1 over 2 cdot (2^2n-1 + 2^2n+1 ) cdot 2 = 5 over 2 cdot 2^2n `≧` 320]

[eqn: 2^2n `≧` 2^7]에서 [eqn: n`≧`3.5]이므로 [eqn: n]의 최소값은 [eqn: 4]

□ ①

29. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 알고 일반항 구하기

수열의 일반항이 [eqn: a_n = (a_1 -15) left( 1 over 3 right) ^n-1 + 15]이므로

[eqn: a_100 = (20 -15) left( 1 over 3 right) ^99 + 15]

□ ④

30. [출제의도] 지수함수의 최대값 구하기

[eqn: 1 over y]이 최소이면 [eqn: y= {3^x+3}over{3^2x +3^x +1}]이 최대이다.

[eqn: 1 over y = {3^2x +3^x +1} over {3^x+3} = 1 over 27 left( 3^x + 1 over 3^x right) + 1 over 27]이고

[eqn: 3^x`＞`0], [eqn: 1 over 3^x `＞`0]이므로 산술기하평균에 의해

[eqn: 1 over y `≧` 1 over 9]([eqn: x=0]일 때 등호성립)이므로

[eqn: y]의 최대값은 [eqn: 9]이다.

□[eqn: 9]