수리 영역 (가형)

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수리 영역 (가형)

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□ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.

□ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

□ 답안지에 수험 번호, 응시 유형, 답을 표기할 때에는 반드시 □수험생이 지켜야 할 일□에 따라 표기하시오.

□ 단답형 답의 숫자에 0이 포함된 경우, 0을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.

□ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

□ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

[eqn: 2^x = 7], [eqn: 7^{y over2} = 16]일 때, [eqn: xy`]의 값은? [2점]

①  [eqn: 2]

16

②  [eqn: 4]

③  [eqn: 8]

④ [eqn: 16]

⑤ [eqn: 32]

[eqn: A = pmatrix {~~4&-3``#-1&~~1``}], [eqn: B=pmatrix{-1&~1``#~~1&~0``}]일 때, 행렬 [eqn: A^-1 B`]의 모든 성분의 합은? (단, [eqn: A^-1]는 [eqn: A`]의 역행렬이다.) [2점]

① [eqn: 3]

② [eqn: 4]

③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]

⑤ [eqn: 7]

방정식 [eqn: cosx - x + 1 = 0]이 오직 하나의 실근을 가질 때,

다음 중 실근이 존재하는 구간은? [2점]

① [eqn: left(~ 0```,~ pi over 3`` right)]

② [eqn: left(`` pi over 3 ,~ pi over 2 ` right)]

③ [eqn: left( `` pi over 2 ,` 2pi over 3 right)]

④ [eqn: left(`` 2pi over 3 ,~ pi`` right)]

⑤ [eqn: left(`~ pi ``,`` 3pi over 2 right)]

어느 고등학교에서 선택과목별로 반편성을 하려고 한다. [eqn: A`], [eqn: B`]과목 중 한 과목과 [eqn: C`], [eqn: D`]과목 중 한 과목을 반드시 선택하도록

하여 희망 과목을 조사하였더니 표와 같았다.

과목	[eqn: A`]	[eqn: B`]	계
[eqn: C`]	[eqn: 24]	[eqn: 20]	[eqn: 44]
[eqn: D`]	[eqn: 30]	[eqn: 26]	[eqn: 56]
계	[eqn: 54]	[eqn: 46]	[eqn: 100]

[eqn: D`]과목을 희망한 학생 중 임의로 [eqn: 1]명을 뽑을 때, 그 학생이

[eqn: A]과목을 희망한 학생일 확률은? [3점]

① [eqn: 5 over 11]

② [eqn: 6 over 11]

③ [eqn: 13 over 28]

④ [eqn: 15 over 28]

⑤ [eqn: 27 over 50]

미분가능한 함수 [eqn: y = f`(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: g`(x) = x `f`(x)]라 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, [eqn: f`` prime(2)=0]) [3점]

		〈보 기〉
	ㄱ. [eqn: f`(1) + g`prime (1) ``Ｂ``0] ㄴ. [eqn: g`(2) g`prime(2) ``Ｂ``0] ㄷ. [eqn: f`(3) + g`prime (3) ``Ｂ``0]

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: n ! = n times (n-1) times (n-2) times ``cdots `` times 2 times 1]일 때, [eqn: sum from {n=1^`} to {100_` _` } left( n! + n right)]의 일의 자리수는? [4점]

① [eqn: 0]

② [eqn: 3]

③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]

⑤ [eqn: 9]

한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: 12]개를 그림과 같이 배치하여  나타나는 [eqn: 24]개의 점들 중 임의의 [eqn: 2]개의 점을 선택하여 선분을 만들 때, 선분의 길이가 [eqn: root 10]일 확률은? [4점]

① [eqn: 2 over 69]

② [eqn: 4 over 69]

③ [eqn: 2 over 23]

④ [eqn: 8 over 69]

⑤ [eqn: 10 over 69]

어느 동물원에서 그림과 같이 번호가 적혀 있는 [eqn: 6]칸의 동물 우리에 호랑이, 사자, 늑대, 여우, 원숭이, 곰을 각각 한 마리씩 넣을 때, 호랑이와 사자는 이웃하지 않게 넣으려고 한다.

예를 들어, <1>의 경우에는 <2>와 <4>가 이웃하는 우리이고, <3>,  <5>, <6>은 이웃하지 않는 우리이다. 이 때, [eqn: 6]마리의 동물들을 서로 다른 우리에 각각 넣는 방법의 수는? [3점]

<1>	<2>	<3>
<4>	<5>
<6>

① [eqn: 112]

② [eqn: 120]

③ [eqn: 184]

④ [eqn: 216]

⑤ [eqn: 432]

확률변수 [eqn: Z`]가 표준정규분포 [eqn: rm N(0,~1)]을 따를 때, 표준점수  [eqn: T= 20 Z + 100]이라고 하자. 어느 고등학교 [eqn: 3]학년을 대상으로 한 학업성취도평가 점수는 정규분포를 따르고, 어느 한 학생의

원점수와 각 영역의 평균, 표준편차는 표와 같다.

영역 구분	[eqn: A`]	[eqn: B`]	[eqn: C`]
원점수	[eqn: 70]	[eqn: 65]	[eqn: 57]
평균	[eqn: 60]	[eqn: 55]	[eqn: 45]
표준편차	[eqn: 20]	[eqn: 10]	[eqn: 16]

원점수에 대한 표준점수가 가장 큰 영역과 가장 작은 영역의 표준점수의 차는? [3점]

①  [eqn: 8]

② [eqn: 10]

③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]

⑤ [eqn: 16]

그림과 같이 함수 [eqn: y= f`(x)]의 그래프가 있다.

위 그래프에 대한 설명 중 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른

것은? (단, [eqn: -2 ``□``x``□``2]) [3점]

		〈보 기〉
	ㄱ. 불연속점의 개수는 [eqn: 3]개이다. ㄴ. 극한값이 존재하지 않는 점의 개수는 [eqn: 3]개이다. ㄷ. 함수 [eqn: f`(x)]는 폐구간 [eqn: [-2,~ 2]]에서 최대값과 최소값이 존재한다.

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: 2``□``x``□``16]에서 [eqn: log_2 `x + 12 over {log_2 `x } -log_x `y =6]을 만족시키는 [eqn: y`]의 최대값을[eqn: a`], 최소값을 [eqn: b`]라고 할때, [eqn: a over b]의 값은? [4점]

①  [eqn: 2]

②  [eqn: 4]

③  [eqn: 8]

④ [eqn: 16]

⑤ [eqn: 32]

모든 모서리의 길이가 [eqn: 3]인 정사각뿔에 내접하는 직육면체의 부피의 최대값은? [4점]

① [eqn: 2root2]

② [eqn: 3root2]

③ [eqn: 4root2]

④ [eqn: 5root2]

⑤ [eqn: 6root2]

서로 다른 자연수 [eqn: a_1 ,`` a_2 ,`` a_3 ,`` cdots ``, ``a_n]에 대하여[eqn: a_1 `^2 + a_2 `^2 + a_3 `^2 + ~cdots~ + a_n `^2 =2340]을 만족시키는 [eqn: n`]의 최대값을 찾는 과정이다.

위 과정에서 (가), (다)에 들어갈 내용을 바르게 짝지은 것은?

[4점]

(가)         (다)

①   [eqn: 19]          [eqn: 17]

②   [eqn: 19]          [eqn: 18]

③   [eqn: 20]          [eqn: 18]

④   [eqn: 20]          [eqn: 19]

⑤   [eqn: 20]          [eqn: 20]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: rm A_1 B_1 C_1 D_1] 내부에 합동인 [eqn: 4]개의 직각삼각형의 넓이의 합과 정사각형 [eqn: rm A_2 B_2 C_2 D_2]의 넓이가 같도록 만들고, 정사각형 [eqn: rm A_2 B_2 C_2 D_2] 내부에 같은 방법으로 정사각형 [eqn: rm A_3 B_3 C_3 D_3]을 만든다. 이와 같은 과정을 한없이 반복하여

만들어진 정사각형 의   넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, 무한급수

[eqn: sum from n=1 to inf S_n]의 합은? [3점]

①  [eqn: 2]

② [eqn: 9over4]

③ [eqn: 5over2]

④ [eqn: 11over4]

⑤  [eqn: 3]

[eqn: 0``＠``x``＠``1]에서 함수 [eqn: y = f`(x)]의 그래프가 그림과 같을 때,

함수 [eqn: f^{n} `(x)]을 [eqn: f`^{1} `(x)= f `(x)], [eqn: f^{n+1} `(x)= (f □f^{n} `) `(x)][eqn: ( n = 1,]

[eqn: 2,~3,``cdots``)]와 같이 정의하기로 한다. 이 때,[eqn: y = lim from {n``->``inf} f^{n} (x)]의

그래프의 개형으로 알맞은 것은? [4점]

①	②

③	④

⑤

[eqn: n``□``5]인 자연수 [eqn: n`]에 대하여 부등식 [eqn: n over 2 ``Ｂ``log_2 ``n`]이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 증명하는 과정이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 들어갈 내용을 바르게 짝지은

것은? [4점]

(가)	(나)             (다)

① [eqn: log_2 ``2 sqrt2]	[eqn: 1 over 2]           [eqn: k+1 over 2]

② [eqn: log_2 ``2 sqrt2]	[eqn: 1]             [eqn: k+1]

③ [eqn: log_2 ``4 sqrt2]	[eqn: 1 over 2]           [eqn: k+1 over 2]

④ [eqn: log_2 ``4 sqrt2]	[eqn: 1 over 2]            [eqn: k+1]

⑤ [eqn: log_2 ``4 sqrt2]	[eqn: 2]             [eqn: k+1]

지진 발생시 에너지의 세기를 나타내는 척도인 리히터 규모 [eqn: M]과 그 에너지 [eqn: E`]사이에는 [eqn: log_10 E = 11.8 + 1.5 M`]인 관계식이 성립

한다.  어느 해안에서 처음 발생한 규모 [eqn: 9.0]인 지진의 에너지를 [eqn: E_1],

며칠 후 발생한 규모 [eqn: 5.0]인 지진의 에너지를 [eqn: E_2]라 할 때,

[eqn: E_1 over E_2]의 값은? [3점]

① [eqn: 10^4]

② [eqn: 10^ {9over2}]

③ [eqn: 10^5]

④ [eqn: 10^{11over2}]

⑤ [eqn: 10^6]

단 답 형

연립부등식 [eqn: cases{(x+1)(x^2 + x + 1) ``□``0 ##28 over x+2 ``□`` 9-x}]를 만족시키는 실수 [eqn: x`]의 최대값을 [eqn: M`], 최소값을 [eqn: m`]이라 할 때, [eqn: M m`]의 값을 구하시오.

[3점]

무리방정식 [eqn: x - root{x-3} =3]을 만족시키는 모든 근의 합을 구하시오. [3점]

등차수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: a_6 + a_11 + a_15 + a_20 = 32]일 때,

[eqn: a_1 + a_2 + a_3 + ``cdots`` + a_25]의 합을 구하시오. [3점]

무한급수 [eqn: a_1 + left( a_2 - 1over 2 right) + left( a_3 - 2over 3 right)+left( a_4 - 3over 4 right)+ ``cdots``]가 수렴할 때, [eqn: lim from {n``->``inf} a_n]의 값을 구하시오. [3점]

그림과 같이 [eqn: y = 2^-x]의 그래프 위의 한 점 [eqn: rmA]를 지나고 [eqn: x`]축에

평행한 직선이 [eqn: y = 4^x]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: rmB`], 점 [eqn: rmB`]를 지나고

[eqn: y`]축에 평행한 직선이 [eqn: y = 2^-x]과 만나는 점을 [eqn: rm C `]라 한다. 선분

[eqn: rm AB`]의 길이가 [eqn: 2]이고, 선분 [eqn: rmBC`]의 길이를 [eqn: l`]이라 할 때, [eqn: 4l`^3]의 값을

구하시오. [4점]

[eqn: 2000]보다 작은 네 자리의 자연수 중에서 각 자리의 숫자 중 두 개만 같은 자연수는 몇 개인지 구하시오. [4점]

두 양수 [eqn: a,~ b`]에 대하여 [eqn: x,~y`]에 대한 연립방정식

[eqn: pmatrix{a+1&8``#2&b+1``}pmatrix{x``#y``}=pmatrix{x``#y``}]가 [eqn: x=y=0]이외의 해를 갖는다고

할 때, [eqn: a+b`]의 최소값을 구하시오. [4점]

미분가능한 함수 [eqn: f`(x)]가 [eqn: f`(1) = 0],

[eqn: lim from {x``->``1} {left{f`(x)right}^2 - 2 f`(x)}over{1-x} =10]을 만족시킬 때, [eqn: x=1]에서의 미분계수 [eqn: f`prime(1)]의 값을 구하시오. [4점]

26번부터 30번까지는 선택과목 문항입니다. 선택한 과목의 문제를 풀기 바랍니다.

미분과 적분

다음 중 [eqn: cos 310 □ + cos 190□]와 같은 값은? [3점]

①   [eqn: sin 20□]

②   [eqn: cos 20□]

③[eqn: -sin 70□]

④   [eqn: cos 70□]

⑤[eqn: -cos 70□]

[eqn: alpha + beta = pi over 4]일 때, [eqn: root {2`} sin alpha + 2 cos beta]의 최대값은? [4점]

①  [eqn: root6]

② [eqn: 2root2]

③ [eqn: root10]

④ [eqn: 2root3]

⑤    [eqn: 4]

[eqn: lim from {x``->``0} {ax` sin2x} over cosx-1 =8]일 때, [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: -2]

② [eqn: -1]

③    [eqn: 1]

④    [eqn: 2]

⑤    [eqn: 3]

그림과 같이 제 1사분면에서 중심이 원점이고 반지름이 [eqn: 1]인 원 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]에 대하여 [eqn: rm 2 ANGLE PAO = ANGLE POA]가 되도록 [eqn: x]축 위에 점 [eqn: rm A]를 잡는다. 이 때,[eqn: rm lim from {P``->``B} bar OA]의 값은? (단, [eqn: rm B(1,~0)])

[4점]

① [eqn: 3]

② [eqn: 4]

③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]

⑤ [eqn: 7]

단 답 형

이차방정식 [eqn: 2x^2 - px + 1 =0]의 두 근이 [eqn: tan alpha ,~ tan beta]일 때, [eqn: tan(alpha + beta) = 3]을 만족시키는 [eqn: p`]의 값을 구하시오. [3점]

□ 확인사항

□ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

확률과 통계

어떤 자료에 대한 [eqn: 10]의 자리의 수를 줄기로, [eqn: 1]의 자리의 수를 잎으로 하는 줄기와 잎 그림을 누적도수분포표로 나타내려고 한다.  이 때, [eqn: A`]의 값은? [3점]

<줄기와 잎 그림>

줄기	잎
1	2 3 8
2	4 4 5 7 8 9 9
3	0 5 6 6 8
4	1 3 7
5	5 6 9 9
6	0 0 3

<누적도수분포표>

계급	누적도수
10이상∼20미만
20 ∼ 30
30 ∼ 40	[eqn: A`]
40 ∼ 50
50 ∼ 60
60 ∼ 70

①  [eqn: 5]

② [eqn: 10]

③ [eqn: 13]

④ [eqn: 15]

⑤ [eqn: 18]

다음은 두 학생 [eqn: A, ~B`]가 한 개의 주사위를 [eqn: 5]번 던져서 나온 눈의 수를 기록한 표이다.

시행 학생	[eqn: 1]회	[eqn: 2]회	[eqn: 3]회	[eqn: 4]회	[eqn: 5]회
[eqn: A`]	[eqn: 1]	[eqn: 6]	[eqn: 5]	[eqn: 4]	[eqn: 4]
[eqn: B`]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 3]	[eqn: 1]	[eqn: 6]

위 표에 대한 설명 중 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

[4점]

		〈보 기〉
	ㄱ. 나온 눈의 수의 중앙값은 [eqn: A`]가 [eqn: B`]보다 크다. ㄴ. 나온 눈의 수의 평균은 [eqn: A`]가 [eqn: B`]보다 크다. ㄷ. 나온 눈의 수의 분산은 [eqn: A`]가 [eqn: B`]보다 작다.

① ㄱ

② ㄷ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

임의의 두 사건 [eqn: A, ~B]에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

		〈보 기〉
	ㄱ. [eqn: 0``□``rm P(itA)``□``1] ㄴ. [eqn: rm P(it A∩B `) = rm P (itA) cdot rm P(it B`)] ㄷ. [eqn: rm P(it A ∪ B ) ``□`` rmP(itA) +rm P(itB`)]

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄷ

세 명의 양궁 선수가 화살을 한 번 쏘아 [eqn: 10]점 과녁에 맞힐 확률이 각각 [eqn: 4over 5 ,~ p`, ~ 2 over 5]이다. 적어도 한 사람이 [eqn: 10]점 과녁에 맞힐 확률이 [eqn: 119 over 125]일 때, [eqn: p`]의 값은? [4점]

① [eqn: 3over5]

② [eqn: 2over3]

③ [eqn: 5over7]

④ [eqn: 3over4]

⑤ [eqn: 7over9]

단 답 형

어느 대학의 대학수학능력시험 영역별 표준점수에 대한 가중치와 [eqn: A`]학생의 대학수학능력시험에서 얻은 표준점수를 나타낸 표이다.

영역	언어 영역	수리 영역	외국어 영역
가중치(%)	[eqn: 20]	[eqn: 40]	[eqn: 40]
[eqn: A`]의 표준점수(점)	[eqn: 110]	[eqn: 130]	[eqn: 125]

이 때, [eqn: A`]학생의 가중치에 대한 표준점수의 가중평균을 구하시오.

[3점]

□ 확인사항

□ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

이산수학

같은 종류의 [eqn: 7]개의 공과 [eqn: 3]개의 상자가 있다. 공을 상자에 모두 나누어 넣으려고 할 때, 빈 상자가 없도록 넣는 방법의 수는?

[3점]

① [eqn: 4]

② [eqn: 5]

③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]

⑤ [eqn: 8]

한 변의 길이가 [eqn: 10□]인 정삼각형 내부에 [eqn: 5]개의 점을 임의로 찍을 때, 두 점 사이의 거리가 [eqn: a``□]를 넘지 않는 두 점이 반드시 존재한다. 이 때, [eqn: a`]의 값은? [4점]

① [eqn: 1]

② [eqn: 2]

③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]

⑤ [eqn: 5]

서로 다른 종류의 [eqn: 7]송이 꽃이 있다. [eqn: 2]송이, [eqn: 2]송이, [eqn: 3]송이씩 포장하여 [eqn: 3]명의 친구에게 각각 선물하는 방법의 수는? [3점]

① [eqn: 600]

② [eqn: 610]

③ [eqn: 620]

④ [eqn: 630]

⑤ [eqn: 640]

1층에서 [eqn: 5]명이 엘리베이터를 타고 출발하였다. 이들은 [eqn: 4]층부터 [eqn: 7]층까지 어느 한 층에서 내리며 [eqn: 7]층에서는 엘리베이터에 남은 사람들은 모두 내린다. 이 때, 내리는 모든 방법의 수는? (단, [eqn: 2,~3]층은 멈추지 않으며 어느 한 층에서 모두 내릴 수도 있다.) [4점]

① [eqn: 800]

② [eqn: 1010]

③ [eqn: 1024]

④ [eqn: 1204]

⑤ [eqn: 2048]

단 답 형

그림과 같은 도로망이 있다. [eqn: rmA`]지점에서 [eqn: rm P]를 거치지 않고 [eqn: rm B]지점으로 갈 때,  최단 거리로 가는 방법의 수를 구하시오. [3점]

□ 확인사항

□ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.