수리 영역 (가형)

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수리 영역 (가형)

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□ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.

□ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

□ 답안지에 수험 번호, 응시 유형, 답을 표기할 때에는 반드시 □수험생이 지켜야 할 일□에 따라 표기하시오.

□ 단답형 답의 숫자에 0이 포함된 경우, 0을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.

□ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

□ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

8

전체집합 [eqn: U`]의 두 부분집합 [eqn: A`,`B`]에 대하여 [eqn: A `subset` B`]일 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, [eqn: U `neq` phi``]) [2점]

		〈보 기〉
	ㄱ. [eqn: A `cup` B = B] ㄴ. [eqn: A - B = phi] ㄷ. [eqn: A^C `subset` B`^C`]

① ㄱ

② ㄷ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 행렬 [eqn: A=pmatrix {```````1 &``` 2``` # -1 & ```0`` } ,~`B=pmatrix {```0 & ``````1 #``` 0 & -1`` }]에 대하여             행렬 [eqn: 2(A+B)-3(A-B)`]의 모든 성분의 곱은? [2점]

①  [eqn: 3]

②  [eqn: 6]

③  [eqn: 9]

④ [eqn: 12]

⑤ [eqn: 15]

임의의 두 실수 [eqn: a,``b``]에 대하여 연산 [eqn: ◎]를 [eqn: a``◎``b=a+b-ab``] 와 같이 정의할 때, 연산 [eqn: ◎]에 대한 [eqn: 3]의 역원은? [3점]

①  [eqn: 0]

②  [eqn: 1]

③ [eqn: { 3} over {2 }]

④  [eqn: 2]

⑤ [eqn: { 5} over { 2}]

[eqn: log_10` N```]의 지표와 가수가 이차방정식 [eqn: 2x^2 -5x+k=0]의 두 근일 때, 상수 [eqn: `k``]의 값은? [3점]

① [eqn: -1]

②   [eqn: 0]

③   [eqn: 1]

④   [eqn: 2]

⑤   [eqn: 3]

이차정사각행렬 [eqn: A,``B``]에 대하여 [eqn: AB=BA,~AB-A+B=O ``]가 성립할 때, [eqn: A+E ``]의 역행렬은? (단,[eqn: `O`]는 영행렬,[eqn: `E``]는 단위행렬이다.)

[3점]

①    [eqn: B+E ``]

②    [eqn: B-E ``]

③    [eqn: A+B``]

④ [eqn: -B+E``]

⑤ [eqn: -B-E ``]

두 다항식 [eqn: A,``B`]가 있다. [eqn: A]를 [eqn: B`]로 나누었을 때 몫을 [eqn: Q`], 나머지를 [eqn: R`]이라 하면 [eqn: A]와 [eqn: B`]의 최대공약수는 [eqn: B`]와 [eqn: R`]의 최대공약수와 같음을 증명한 것이다.

	<증명> ( i ) 두 다항식 [eqn: A`]와 [eqn: B`]의 최대공약수를 [eqn: G`]라 하면 [eqn: A = aG,][eqn: B = bG]([eqn: a,~ b`]는 서로 소)이다. 이 때, [eqn: A]를 [eqn: B]로 나눈 몫이 [eqn: Q], 나머지가 [eqn: R]이므로 [eqn: A = B`Q + R`]이고 [eqn: R=A-BQ=aG-bGQ][eqn: =G(a-bQ)]이다. [eqn: ∴][eqn: G]는 [eqn: B]와 [eqn: R]의 이다. (가) ( ii ) [eqn: b]와 [eqn: a-bQ]가 서로 소가 아니라고 가정하면, [eqn: b=mk,][eqn: a-bQ=mk']([eqn: k,````k']은 서로 소) 이 때, [eqn: a=bQ+mk'=][eqn: ×(kQ +k')]이므로 는 [eqn: a,```b]의 공약수가 되어 (나) (나) [eqn: cdots cdots] (중략) [eqn: ∴] [eqn: b]와 [eqn: a-bQ]는 (다) ( i ), ( ii )에 의하여 [eqn: G`]는 [eqn: B`]와 [eqn: R`]의 최대공약수이다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 내용을 바르게 짝지은     것은? [3점]

(가)             (나)               (다)

①   공약수             [eqn: m]             서로 소이다.

②   공배수              [eqn: 1]             서로 소가 아니다.

③   공약수             [eqn: m]             서로 소가 아니다.

④   공배수             [eqn: m]             서로 소이다.

⑤   공약수              [eqn: 1]             서로 소가 아니다.

거듭제곱근에 대한 설명 중 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

		〈보 기〉
	ㄴ.[eqn: a``Ｂ``0,```b``Ｂ``0]이고 [eqn: n] 이 [eqn: 1]보다 큰 자연수일 때, ㄷ. [eqn: 16]의 네제곱근 중 실수는 [eqn: 2]개뿐이다.

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

원 [eqn: x^2 -2x +y^2 -4y-4=0] 밖의 한 점[eqn: rmA(7,``10)]에서 원 위의 임의의 점[eqn: `rmP`]까지의 거리가 자연수인 점[eqn: `rmP]의 개수는? [3점]

①  [eqn: 7]

② [eqn: 10]

③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]

⑤ [eqn: 16]

[eqn: `x`]에 대한 다항식 [eqn: x^6]을 [eqn: x+2]로 나눈 나머지가[eqn: `a`]이고 [eqn: 2003^6]을 [eqn: `2005`]로 나눈 나머지가 [eqn: b`]일 때, [eqn: `a+b`]의 값은? [3점]

①  [eqn: 64]

②  [eqn: 84]

③ [eqn: 108]

④ [eqn: 116]

⑤ [eqn: 128]

[eqn: a, ``b,``c,``d``]가 실수일 때,

점[eqn: rmP (ita, ``b`)]는 직선 [eqn: x + 2y = 4 ( x` □ `0 , ```y`□ ``0`)]위를 움직이고 [eqn: a- b i = d + ci ``]를 만족한다. 이 때, 점[eqn: rmQ (itc, ``d``)]가 그리는 그래프의 개형은? (단, [eqn: i = SQRT { -1}] ) [3점]

①	②

③	④

⑤

그림과 같이 높이가 모두 [eqn: 50]인 삼각기둥, 사각기둥, 오각기둥이 있다. 이 세 직각기둥의 밑면의  한 점[eqn: RMA]에서 밑면의 모서리와 [eqn: 30□]의 각을 유지하면서  윗면의 한 점[eqn: rm B]까지 겉면을 따라 선을 그었다. 삼각기둥, 사각기둥, 오각기둥의 겉면에 그어진 선분의 길이를 각각 [eqn: a,``b,``c`]라 할 때, [eqn: a,``b,``c`]의 대소관계를 바르게 나타낸 것은? [3점]

① [eqn: c``Ｂ```a```=``b````]

② [eqn: a``=``b``=``c`]

③ [eqn: c```Ｂ```b```Ｂ````a`]

④ [eqn: b```Ｂ```c```Ｂ````a`]

⑤ [eqn: b``=``c```Ｂ```a`]

[eqn: 1``]보다 큰 임의의 두 실수 [eqn: x,```y`]에 대하여  연산 [eqn: *]를 [eqn: x`*`y=log_x `y``]와 같이 정의할 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

		〈보 기〉
	ㄱ. [eqn: x`*`y`=`y`*`x] ㄴ. 임의의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: x`*`y^n `=`n(`x`*`y`)] ㄷ. [eqn: x`Ｂ`y]일 때, [eqn: x`*`y`＠`y`*`x]

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

한국 고등학교 [eqn: 2]학년[eqn: rmA]반과 [eqn: rmB]반이 농구 시합을 하였다.

전반전은 [eqn: rmA]반이 [eqn: rmB]반보다 [eqn: 9]점을 뒤지고 있다가 후반전에서는[eqn: rmA]반이[eqn: rmB]반보다 [eqn: 2]배의 점수를 얻어 [eqn: 53``대``46]으로 이겼다 . [eqn: rmA]반이 전반전에 얻은 점수를 [eqn: x], 후반전에 얻은 점수 를 [eqn: `y``]라    할 때, [eqn: x]와 [eqn: y]에 대한 연립방정식을 행렬로 나타내어  구하면 [eqn: pmatrix { `x`` # y`` }=P`pmatrix { 53`` # `74``` }]이다. 이 때, 행렬 [eqn: P`]는? [3점]

① [eqn: pmatrix { -1 & ```````2`# ``````````1` & -1`` }]

② [eqn: pmatrix { -2 & ```````1`# `````````1` & -2`` }]

③ [eqn: pmatrix { -1 & ```````1`# `````````2` & -1`` }]

④ [eqn: pmatrix { -2 & ````````3`#```````` `1` & -2`` }]

⑤ [eqn: pmatrix {- 1 & -1`# ``````````1` & `````````3`` }]

두 변의 길이가 각각 [eqn: 2,```4]인 두 직사각형 [eqn: rmA,```B]와 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형 [eqn: 8]개를 그림과 같이 배열하였다.

이 때, 두 직사각형[eqn: `rmA`]와 [eqn: `rmB`]의 넓이를 동시에 이등분하는 직선과 점[eqn: rmC``]사이의 거리는? [4점]

①      [eqn: { 1 } over { 2 }]

②    [eqn: { SQRT { 3} } over { 3 }]

③ [eqn: { 21sqrt { 29 } } over { 29 }]

④ [eqn: { 31sqrt { 34 } } over { 34 }]

⑤ [eqn: { 32 sqrt { 37 } } over { 37}]

다음은[eqn: log_10`A ,~log_10 10 over A`]의 지표가 각각 [eqn: m,~n`]일 때, [eqn: m^2 -2n^2]의 최대값을 구하는 과정이다.

	[eqn: log_10`A = m+alpha`],[eqn: log_10 10 over A = n+beta`][eqn: (0`□`alpha `□` 1 ,~0`□` beta`□`1)] 라 하면, [eqn: m+n+alpha + beta`]에서 [eqn: alpha + beta=] 또는 이다. (가) (나) (i) [eqn: alpha + beta =]일 때 (가) [eqn: m+n=1]이고 [eqn: m^2 -2n^2 = m^2 -2(1-m)^2] [eqn: = -m^2 +4m-2] [eqn: = -(m-2)^2 +2] (ii) [eqn: alpha + beta =]일 때, (나) [eqn: m+n=0] 이고 [eqn: m^2 -2n^2 = m^2 -2(-m)^2 = -m^2] (i), (ii)에 의하여 [eqn: A=]일 때, 최대값은 이다. (다) (라)

위의 과정에서 (가), (나), (다), (라)에 알맞은 수를

바르게 짝지은 것은? [4점]

(가)        (나)        (다)        (라)

①       [eqn: 0]          [eqn: 1]         [eqn: 100]          [eqn: 2]

②       [eqn: 1]          [eqn: 0]         [eqn: 100]          [eqn: 2]

③       [eqn: 0]          [eqn: 1]          [eqn: 10]           [eqn: 1]

④       [eqn: 1]          [eqn: 0]           [eqn: 1]           [eqn: 0]

⑤       [eqn: 0]          [eqn: 1]          [eqn: 1]           [eqn: 0]

[eqn: f``(x)= LEFT | x-2 `RIGHT |]일 때,[eqn: { f`}(`f``(x))= { 1} over {5 } LEFT |` x ``RIGHT |]의 실근의 개수는?

[4점]

① [eqn: 2]

② [eqn: 3]

③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]

⑤ [eqn: 6]

행렬[eqn: pmatrix {```````` x-2 & ```y``` # -y+2 &``` x``` }]의 역행렬이 존재하지 않도록 실수 [eqn: x,``y`]를 정할 때, 점[eqn: rmP(itx,``y`)]가 그리는 도형의 길이는? [4점]

①   [eqn: SQRT { 2} pi]

②     [eqn: 2 pi]

③  [eqn: 2SQRT { 2} pi]

④     [eqn: 4 pi]

⑤ [eqn: 10 SQRT { 2} pi]

그림과 같이 점[eqn: rmP(``2,~1)]과 직선 [eqn: y= x] 위를 움직이는 점[eqn: rmQ,] [eqn: `x`]축 위를 움직이는 점[eqn: rmR]를 잇는 [eqn: △rmPQR]의 둘레의 길이가 최소일 때, 점[eqn: rmR]의 좌표는? □4점□

① [eqn: LEFT ( { 2} over {3 },0 RIGHT )]

② [eqn: LEFT ( ``1,````0 ` RIGHT )]

③ [eqn: LEFT ( { 4} over {3 },0 RIGHT )]

④ [eqn: LEFT ( { 3} over {2 },0 RIGHT )]

⑤ [eqn: LEFT ( { 5} over {3 },0 RIGHT )]

음이 아닌 임의의 두 실수 [eqn: a,~b`]에 대하여

[eqn: x=a-b+1,~y=a+b-1]로 나타낼 때, 점[eqn: rm P( it x,~y`)]가 존재하는 영역을 바르게 나타낸 것은? (단, 경계선 포함) [4점]

①	②

③	④

⑤

유리함수 [eqn: `y`= { bx+c} over {x+a }]의 그래프가 그림과 같을 때,

무리함수 [eqn: `y`= SQRT { ax+b``} +c]의 개형은? [3점]

①	②

③	④

⑤

방정식 [eqn: x^2 -4x+k+1=0``]의 한 실근을 [eqn: `m`]이라 할 때, [eqn: [m`]=3]을 성립시키는 [eqn: `k`]의 범위가 [eqn: □`＠``k``□``□]이다.

[eqn: □]와 [eqn: □]의 곱은? (단,[eqn: [x`]]는 [eqn: `x`]를 넘지 않는 최대 정수이다.)

[4점]

① [eqn: -3]

② [eqn: -2]

③ [eqn: -1]

④    [eqn: 0]

⑤    [eqn: 1]

단답형 (22∼30)

[eqn: 10]개의 자료 중에서 [eqn: 7]개 자료의 평균은 [eqn: 17]이고 나머지 [eqn: 3]개자료의 평균이 [eqn: 7]일 때, 전체 평균을 구하시오. [2점]

[eqn: 2^{ a } -2^{ a-1 } =8 sqrt { 2 }] 일 때, 의 값을 구하시오. [3점]

그림과 같이 가로와 세로의 길이가 [eqn: 3], 높이가 [eqn: 6]인 직육면체 [eqn: rm ABCD-EFGH]가 있다. 꼭지점[eqn: rmA]에서 직육면체의 표면을 따라 꼭지점[eqn: rmG]까지 최단 거리의 선분을 그었을 때 모서리[eqn: rmCD]와 만나는 점을[eqn: rmP]라 하자.[eqn: `rm□APG=theta`]일 때, [eqn: 10(costheta+1)]의 값을 구하시오. [4점]

행렬 [eqn: A= pmatrix { `1` & -1` # `2` & -1` }]에 대하여 행렬 [eqn: A^{ 3 } -4A^{ 2 } -2A+E]의 모든 성분의 합을 구하시오. [3점]

유리함수 [eqn: f``(x`)= { ax+b} over {-x+c }]의 역함수가 [eqn: f`^-1 (x`) = { 2x+3} over {x+4 }] 일 때, [eqn: a+b+c]의 값을 구하시오. [3점]

그림과 같이 선분[eqn: rm PA]와 선분[eqn: rm PB]는 원[eqn: rmO]의 접선이고 어두운 두 부분의 넓이가 같도록 하는 [eqn: 2`theta`]에 대하여 [eqn: {2 tan□} over {□ }]의 값을 구하시오. (단,[eqn: rm∠AOB=2theta], [eqn: 0 `□` 2theta` `□` pi]) [4점]

[eqn: (1.25)^n`]의 정수부분이 [eqn: 8]자리의 수일 때, 정수 [eqn: `n`]의 최소값을 구하시오. (단, [eqn: log_10 ``2=0.3010`]) [4점]

함수 [eqn: f`(x)]와 일차함수 [eqn: g`(x)]의 합성함수가 [eqn: (f CIRC g`)(x)= LEFT { g``(x) RIGHT } ^{ 2 } +4], [eqn: (g CIRC f``)(x)=4 LEFT { g(x) RIGHT } ^{ 2 } +1]일때, [eqn: g`(52)`]의 값을 구하시오. [4점]

연립부등식 [eqn: -x ``□ ```y``` □ ``2-x^{ 2 }]이 나타내는 영역 위의 임의의 점[eqn: (x,``y)]에 대하여 [eqn: 2x+y``]의 최대값을 [eqn: M], 최소값을 [eqn: `m`]이라 할 때,[eqn: `M``^2 +m`^2]의 값을 구하시오. [4점]

□ 확인사항

□ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.