◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦ 답안지에 수험 번호, 답을 표기할 때에는 반드시 ‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 0이 포함된 경우, 0을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은  2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

2005학년도 경기도 학업성취도 평가 문제지

수리 영역

고 1

제 2 교시

성명			수험번호						1

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8

다음은 전체집합 [eqn: U`]의 세 부분집합 [eqn: A,`B,`C`]에 대한 벤 다이어그램이다. 어두운 부분을 집합으로 옳게 표현한 것은? [2점]

[eqn: U]

[eqn: B]

[eqn: A]

[eqn: C]

① [eqn: (A ∩ C` ) - B ^`]

② [eqn: (B ∩ C `) -A ^`]

③ [eqn: ``A - ( B ∪ C` ) ^`]

④ [eqn: ``B - ( A ∪ C`)^C `]

⑤ [eqn: ``B - ( A ∩ C` )^C `]

[eqn: A=-3x^2 +x+2], [eqn: B=2x-1], [eqn: C=-x^2 +2x`]일 때,

[eqn: A+B-C`]를 간단히 나타낸 것은? [2점]

① [eqn: -4x^2 `+`x`+1]

② [eqn: -4x^2 +5x+3]

③ [eqn: -2x^2 `+`x`+1]

④ [eqn: -2x^2 +5x+1]

⑤ [eqn: -2x^2 +5x+3]

다음은 다항식 [eqn: x^4 `+ 2x^2 ` +9]를 인수분해하는 과정이다.

[eqn: x ^{4} +2x ^{2} +9=x ^{4} +6x ^{2} +9- BOX{````(가)````} ``x ^{2}# ~~~~~~~~~`````=(x ^{2} +3) ^{2} - BOX{````(가)````} ``x ^{2}# `````````````````````````````````````````=(x ^{2} +3) ^{2} - BOX{````(나)````} ``x ^{2}# `````````````````````````````````````````=(x ^{2} +BOX{````(나)````} ``x +3)(x^2 -2x+3)]

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 수를 바르게 짝지은 것은?

[2점]

(가)      (나)

① [eqn: -4]      [eqn: -2]

② [eqn: -4]         [eqn: 2]

③ [eqn: -4]         [eqn: 4]

④    [eqn: 4]         [eqn: 2]

⑤    [eqn: 4]       [eqn: -4]

다항식 [eqn: f`(x )]를 [eqn: x-2]로 나눈 나머지는 [eqn: 2]이고, [eqn: x-5]로 나눈 나머지는 [eqn: 8]이다. [eqn: f`(x)]를 [eqn: (x-2)(x-5)]로 나누면 나머지가 [eqn: ax+b`]라고 할 때, [eqn: a-b`]의 값은? (단, [eqn: a,``b`]는 상수) [3점]

①  [eqn: 0]

②  [eqn: 2]

③  [eqn: 4]

④  [eqn: 6]

⑤ [eqn: 10]

철수의 자전거 앞바퀴가 높이[eqn: 12rm cm]인 턱에 걸려 있다. 지면과 앞바퀴가 만난 지점을 [eqn: RM A], 턱과 지면이 수직으로 만난 지점을 [eqn: RM B]라 하면, [eqn: RM A]에서 [eqn: RM B]까지의 거리는 [eqn: 24RM cm]이다. 이 때, 자전거 앞바퀴의 반지름의 길이는? (단, 자전거 바퀴는 지면과 수직이고, 항상 원을 이루고 두께는 무시한다.) [4점]

[eqn: rm A]

[eqn: RM B]

[eqn: 24 rm cm]

[eqn: 12RM cm]

수리 영역

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수리 영역

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① [eqn: 28RM cm]

② [eqn: 29RM cm]

③ [eqn: 30RM cm]

④ [eqn: 31RM cm]

⑤ [eqn: 32RM cm]

두 실수 [eqn: a,```b]에 대하여 복소수 [eqn: z=a+b`i``]이고,  [eqn: z cdotbarz ``=1] 일 때,  [eqn: z- { 1} over {z }]의 값은? (단,   [eqn: barz] 는 [eqn: z``]의 켤레복소수이고, [eqn: i= root -1`]이다.) [3점]

①     [eqn: ```0]

②   [eqn: ```2a]

③ [eqn: `-2a]

④   [eqn: `2bi`]

⑤ [eqn: -2bi`]

[eqn: 2005]년 [eqn: 5]월의 달력에서 그림과 같이 ‘  ’자 또는 ‘  ’자 모양으로 인접한 임의의 [eqn: 3]개의 수를 택할 때, 이 수들을 더한 값이 될 수 있는 것은? [4점]

① [eqn: 22]

② [eqn: 39]

③ [eqn: 44]

④ [eqn: 59]

⑤ [eqn: 83]

전체집합 [eqn: U`]의 두 부분집합 [eqn: A`]와 [eqn: B`]에 대하여 연산 [eqn: ＊]를 [eqn: A＊B=(A∪B`)-(A∩B`)`]라고 정의할 때, <보기>에서 항상 성립하는 것을 모두 고른 것은? (단, [eqn: U != phi]) [4점]

		〈보 기〉
	ㄱ. [eqn: A＊` phi =A`] ㄴ. [eqn: A＊U=U`] ㄷ. [eqn: A＊A^C = phi ` ```] ㄹ. [eqn: A＊B =B^C ＊A^C `]

① ㄱ, ㄴ

② ㄱ, ㄹ

③ ㄴ, ㄷ

④ ㄴ, ㄹ

⑤ ㄷ, ㄹ

원의 외부의 한 점 [eqn: rm P]에서 원에 그은 접선과 두 할선이 원과 만나는 점을 각각 [eqn: rm T,``A,``B,``C,``D]라고 할 때, [eqn: rm bar AB + bar CD]의 값은? [3점]

[eqn: RM A]

[eqn: RM B]

[eqn: RM C]

[eqn: RM D]

[eqn: RM T]

[eqn: RM P]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 6]

① [eqn: 14]

② [eqn: 16]

③ [eqn: 17]

④ [eqn: 18]

⑤ [eqn: 21]

그림과 같이 사각형 [eqn: rm ABCD]의 두 대각선이 직교하는 점을 [eqn: rm H`]라 하고 [eqn: rm BAR AH` = BAR CH`]라고 할 때, 삼각형[eqn: rm BCH]의 넓이와 삼각형        의 넓이의 비는? [3점]

[eqn: rm AHD]

[eqn: RM D]

[eqn: RM B]

[eqn: RM C]

[eqn: RM H]

[eqn: RM A]

[eqn: 2ROOT3]

[eqn: 5]

[eqn: 2ROOT10]

① [eqn: 1``: ``2]

② [eqn: 2 ``:``3`]

③ [eqn: 1 ``: ``root{2`}]

④ [eqn: root{3`} ``:``2`]

⑤ [eqn: root{2`} ``:``root{3`}]

그래프는 이차함수 [eqn: y=ax^2 +bx+c`]를 나타낸 것이다. 이 때, [eqn: abc`]의 값은? (단, [eqn: a,``b,``c`]는 상수) [3점]

[eqn: y`]

[eqn: RM O]

[eqn: -1]

[eqn: 3]

[eqn: 2]

[eqn: x`]

① [eqn: -6]

② [eqn: -4]

③ [eqn: -1]

④   [eqn: `4]

⑤   [eqn: `6]

[eqn: 0]이 아닌 두 실수 [eqn: a,``b`]에 대하여 [eqn: { root{a``}}over{ root{b``}}^`= - root {a over b`}]를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: ab`＞0`] ㄴ. [eqn: LEFT | b `RIGHT | +b`=0] ㄷ. [eqn: root{(a-b)^2`} =a-b``] ㄹ. [eqn: root{a``} root{b``} `=`-root {ab``}]

① ㄱ, ㄴ

② ㄱ, ㄹ

③ ㄴ, ㄷ

④ ㄴ, ㄹ

⑤ ㄷ, ㄹ

다음은 중심이 [eqn: RM O]인 원에 내접하는 사각형 [eqn: rm ABCD]에 대하여 [eqn: RM BAR AB CDOT BAR CD + BAR BC CDOT BAR DA = BAR AC CDOT BAR BD]가 성립함을 증명한 것이다.

<증명>

[eqn: RM D]

[eqn: RM E]

[eqn: RM F]

[eqn: RM C]

[eqn: RM B]

[eqn: RM O]

[eqn: RM A]

[eqn: RM ANGLE BAE = ANGLE CAD]가 되는 점 [eqn: RM E]를 대각선 [eqn: RM BD] 위에 잡으면,

[eqn: RM ANGLE ABD = ANGLE ACD](호[eqn: RM AD]에 대한 원주각)이므로

[eqn: RM TRIANGLE ABE ```□`` TRIANGLE ACD]이다.

따라서, [eqn: RM BAR AB CDOT BAR CD =]            ………①

또한, [eqn: RM ANGLE BAC =]            ,[eqn: RM ANGLE ACB = ANGLE ADE]이므로

[eqn: RM TRIANGLE ABC ```□`` TRIANGLE AED]이다.

따라서, [eqn: RM BAR BC CDOT BAR AD =]            ………②

①과 ②를 같은 변끼리 더하면

[eqn: RM BAR AB CDOT BAR CD + BAR BC CDOT BAR DA =BAR AC CDOT LEFT (` BAR BE + BAR ED ` RIGHT ) = BAR AC CDOT BAR BD]

그러므로, [eqn: RM BAR AB CDOT BAR CD + BAR BC CDOT BAR DA = BAR AC CDOT BAR BD]가 성립함을 알 수 있다.

(다)

(나)

(가)

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 내용을 바르게 짝지은 것은? [4점]

(가)            (나)         (다)

① [eqn: RM BAR AC CDOT BAR BE]     [eqn: RM ANGLE EAD]     [eqn: `RM BAR AC CDOT BAR ED]

② [eqn: RM BAR AC CDOT BAR BE]     [eqn: RM ANGLE EAD]     [eqn: `RM BAR AB CDOT BAR ED]

③ [eqn: RM BAR AC CDOT BAR AE]     [eqn: RM ANGLE EAD]     [eqn: RM BAR AC CDOT BAR ED]

④ [eqn: RM BAR AC CDOT BAR AE]     [eqn: RM ANGLE CDA]     [eqn: RM BAR AB CDOT BAR ED]

⑤ [eqn: RM BAR AD CDOT BAR BE]     [eqn: RM ANGLE CDA]     [eqn: `RM BAR AB CDOT BAR ED]

가게 이름이 네 글자인 두 가게의 간판이 아래와 같은 순서로 [eqn: 1]초 간격으로 글자에 불이 들어왔다가 꺼진다고 한다.

가게 이름	최고 싼 집	맛있는 집
불이 켜지는 순서	……… 최 고 싼 집 최 고 싼 집 최 고 싼 집	……… 맛 있 는 집 맛 있 는싼 집 있 는

두 가게의 간판에 첫 번째로 ‘집’이라는 글자에 동시에 불이 들어오는 것은 스위치를 켠 후 3초가 되는 순간이다. 다섯 번째로 ‘집’이라는 글자에 동시에 불이 들어오는 것은 스위치를 켠 후 몇 초가 되는 순간인가? (단, 스위치를 켜면 즉시 첫 글자부터 불이 들어온다.) [4점]

① [eqn: 41]

② [eqn: 46]

③ [eqn: 51]

④ [eqn: 56]

⑤ [eqn: 61]

[eqn: a`＞`b`＞1]일 때, [eqn: LEFT | 2a-b` RIGHT | + LEFT | 2-a-b` RIGHT |]를 간단히 한 것은?

[3점]

① [eqn: -3a-2b+2]

② [eqn: -3a+2]

③ [eqn: -a+2b-2]

④ [eqn: `a-2b+2]

⑤ [eqn: `3a-2]

교지 편집부원 [eqn: rm A,``B,``C]는 철수, 영수, 미래, 나래가 일 년 동안 읽은 책의 권수를 조사하여 많이 읽은 순으로 아래와 같이 순위를 적어 놓았다. 그런데, 실제 순위와 비교하였더니 세 사람이 조사한 순위는 각각 [eqn: 1]개씩만 맞았다고 한다. 실제 순위를 [eqn: 1]위부터 차례대로 나열한 것은? (단, 철수, 영수, 미래, 나래의 순위는 모두 다르다.) [4점]

[eqn: RM A] : 철수는 [eqn: 1`]위, 영수는 [eqn: 3`]위

[eqn: RM B`] : 미래는 [eqn: 1`]위, 나래는 [eqn: 4`]위

[eqn: RM C`] : 나래는 [eqn: 2`]위, 철수는 [eqn: 3`]위

① 미래, 나래, 영수, 철수

② 미래, 영수, 철수, 나래

③ 나래, 미래, 철수, 영수

④ 철수, 미래, 영수, 나래

⑤ 철수, 나래, 영수, 미래

[eqn: RM ANGLE A=60°], [eqn: RM ANGLE C=90°`]이고 [eqn: RM BAR AC =2] 인 직각삼각형[eqn: rm ABC`]에서 [eqn: rm bar BC]의 길이는? [3점]

[eqn: RM B]

[eqn: RM C]

[eqn: RM A]

[eqn: 2]

[eqn: 60°]

①   [eqn: ``2]

②   [eqn: ``4]

③  [eqn: `ROOT3]

④ [eqn: 2ROOT2]

⑤ [eqn: 2ROOT3]

다음은 모든 실수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: a CDOT 0=0]임을 두 가지 방법으로 증명한 것이다.

<증명 1>

[eqn: a CDOT 0=a CDOT (0+0)][eqn: =a CDOT 0+a CDOT 0]   …………… (가)

이므로

[eqn: a CDOT 0][eqn: =a CDOT 0+a CDOT 0]의 양변에 [eqn: (-a CDOT 0)]을 더하면

[eqn: a CDOT 0+(-a CDOT 0)=(a CDOT 0+a CDOT 0)+(-a CDOT 0)]

[eqn: 0=a CDOT 0+ LEFT { (a CDOT 0)+(-a CDOT 0)`RIGHT }]

[eqn: 0=a CDOT 0+0]

따라서, [eqn: a CDOT 0=0]이 성립함을 알 수 있다.

<증명 2>

[eqn: a=a CDOT 1=a CDOT (1+0)] ‥………………………… (나)

[eqn: =a CDOT 1+a CDOT 0=a+a CDOT 0] 이므로

[eqn: a=a +a CDOT 0]의 양변에 [eqn: (-a`)]를 더하면

[eqn: a CDOT 0=0]이 성립함을 알 수 있다.

위의 증명에서 (가), (나)에 공통으로 사용된 실수의 연산에 대한 기본 성질은? [3점]

① 덧셈에 대한 항등원

② 곱셈에 대한 항등원

③ 곱셈에 대한 결합법칙

④ 덧셈에 대한 교환법칙

⑤ 곱셈에 대한 교환법칙

나눗셈에 대하여 닫혀 있는 집합을 <보기>에서 모두 고른 것은? (단, [eqn: i= root -1`]) [3점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: LEFT { x vert x`는~자연수 RIGHT } `] ㄴ. [eqn: LEFT { x vert x`는~무리수 RIGHT }] ㄷ. [eqn: LEFT { x vert x`는~실수,~x` != 0 RIGHT }] ㄹ. [eqn: LEFT { -1,~1,~-i,~i`` RIGHT }]

① ㄱ, ㄴ

② ㄱ, ㄹ

③ ㄴ, ㄷ

④ ㄴ, ㄹ

⑤ ㄷ, ㄹ

세 실수 [eqn: a,``b,``c`]에 대하여 [eqn: a+b+c= 1,``ab+bc+ca=-5], [eqn: a^3 +b^3 +c^3 =25]일 때, [eqn: abc`]의 값은? [4점]

① [eqn: -9]

② [eqn: - 3]

③ [eqn: -1]

④    [eqn: 1]

⑤    [eqn: 3]

세 실수 [eqn: x,``y,``z`]에 대하여 [eqn: x over3 = y over 4 = z over5 != 0]가 성립할 때, [eqn: {3x+5y+2z}over{2x+3y+4z}]의 값은? [3점]

① [eqn: 43over41]

② [eqn: 39over38]

③ [eqn: 33over31]

④ [eqn: 29over27]

⑤ [eqn: 21over20]

단답형 (22～30)

연립방정식 [eqn: cases{3x+y=8#x-4y=7^`^`}]의 해가 [eqn: x= alpha ,``y= beta `]일 때, [eqn: alpha^2 + beta ^2 `]의 값을 구하시오. [3점]

등식 [eqn: 3x^2 + 2x+1 = a(x-1)(x+1) +bx(x+1) +cx(x-1)]이 [eqn: x`]에 대한 항등식이 되도록 상수 [eqn: a, ``b,``c`]를 정할 때, [eqn: a+b+c`]의 값을 구하시오. [3점]

그림과 같이 가로, 세로의 길이가 각각 [eqn: 20,``30`]인 직사각형 모양의 종이에 제본과 여백을 제외한 직사각형 부분에 글을 쓸려고 한다. 제본은 [eqn: 5], 위아래의 여백은 좌우 여백의 [eqn: 2]배, 글이 쓰여질 부분의 넓이는 [eqn: 242`]가 되도록 편집용지를 설정하였다. 좌우 여백의 길이를 [eqn: x`]라 할 때, [eqn: x`]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: x`]

[eqn: 5`]

[eqn: 2x`]

[eqn: 2x`]

20

30

0

5

0

[eqn: 2x`]

[eqn: x`]

[eqn: x`]

[eqn: 2x`]

유레카~!

현대인들은 누구나 그리스어 한 마디는 알고 있다. 바로 아르키메데스가 외쳤다는 ‘Eureka’이다. 유레카라는 말을 들으면 무슨 생각이 떠오르는가? 아마도 벌거벗고 길거리를 달리는 아르키메데스일 것이다. 이 사건은 웃어 넘기기에는 너무나 귀중한 것을 알려준다.

[eqn: x`]

[eqn: 30]

[eqn: 20]

자연수 [eqn: a,``b,``c,``d`]에 대하여 [eqn: a+ {1} over {b+ {1} over {c+ {1} over {d}}} = {151} over {115}]일 때,  [eqn: a+b+c+d`]의 값을 구하시오. [4점]

다음은 어느 학급 학생 [eqn: 40`]명의 수학 성적과 국어 성적을 조사하여 만든 상관표이다.

국어 수학	이상 미만 50 ～ 60	60 ～ 70	70 ～ 80	80 ～ 90	90 ～ 100	합 계
이상 미만				1		1
90 ～ 100
80 ～ 90			A	B	2	C
70 ～ 80		3	7	3		13
60 ～ 70	1	4	5	2		12
50 ～ 60	1	2				3
합 계	2	9	D	E	2	40

수학 성적과 국어 성적이 모두 [eqn: 70`]점 이상인 학생이 [eqn: n`]명일 때, [eqn: n`]의 값을 구하시오. [3점]

임의의 실수 [eqn: x,``y`]에 대하여 연산 [eqn: ◎`]를 [eqn: x`◎`y`=x+y-3]으로 정의할 때, 연산 [eqn: ◎`]에 대한 [eqn: 1`]의 역원을 구하시오. [4점]

다음의 세 조건 [eqn: p,``q,``r`]에 대하여 [eqn: q`]는 [eqn: p`]이기 위한 필요조건, [eqn: p`]는 [eqn: r`]이기 위한 충분조건이 되도록 상수 [eqn: a,``b`]를 정할 때, [eqn: a`]의 최소값을 [eqn: m`], [eqn: b`]의 최대값을 [eqn: M`]이라 하자. 이 때, [eqn: LEFT | M-m RIGHT |]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: p`` :`` x=-3~또는 -1≦x`≦4`]

[eqn: q``:``x`≦a`]

[eqn: r``:``x`≧b`]

[eqn: x = 1 over{ {2-root{3``}}^ `},```y=root{7-{root{48``}}^` }]일 때, [eqn: x^3 + y^3 `]의 값을 구하시오. [4점]

두 자동차 [eqn: rm A,``B`]의 연료통을 가득 채운 휘발유 양의 비는 [eqn: 9``:``7`]이고, [eqn: 1 ℓ]의 휘발유로 갈 수 있는 거리의 비는 [eqn: 8``:``9`]이다. 자동차 [eqn: rm A,``B`]의 연료통에 휘발유를 가득 채우고 [eqn: 144 rm km`]를 간 후 남아있는 휘발유 양의 비는 [eqn: 4``:``3`]이었다. 자동차 [eqn: RM B]에 휘발유를 가득 채우면 최대 [eqn: x rm km]를 갈 수 있다. 이 때, [eqn: x`]의 값을 구하시오. (단, 자동차의 속도와 노면 상태 등 주어진 조건 이외의 상황은 고려하지 않는다.) [4점]

※ 확인사항

○ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.