고 2	정답 및 해설

	정답 및 해설	고 2

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2005학년도 인천광역시교육청 고2 학력진단평가

정답 및 해설

수리 영역

정답

1	④	2	④	3	①	4	②	5	③
6	③	7	③	8	④	9	①	10	②
11	①	12	②	13	④	14	③	15	①
16	⑤	17	③	18	②	19	②	20	⑤
21	④	22	8	23	6	24	48	25	120
26	625	27	41	28	42	29	5	30	29

해설

1.【출제의도】복소수의 연산을 이해하고 활용하기

[eqn: { x} over {1``+``i } ``+`` { y} over {1-i }~&=~ { x``(``1``-``i``)``+``y``(``1``+``i``)} over {(``1``+``i``)``(``1``-``i``) } #&=~ { (``x``+``y``)``+``(``-x``+``y``)``i} over {2 }#&=~2``+``i]

[eqn: THEREFORE ~(``x``+``y``)``+``(``-x``+``y``)``i~=~4``+``2`i]

따라서, [eqn: x``+``y~=~4``,~-x``+y~=~2`]에서

[eqn: x~=~1``,~y~=~3]      [eqn: THEREFORE~ x`y~=~3]

2.【출제의도】무리식의 성질 이해하기

[eqn: a`＞`0,~b`<`0`]일 때

ㄱ. [eqn: SQRT { a + b} ≠ SQRT { a} + SQRT { b} ``]

(반례 : [eqn: a=1,```b=`-3]일 때,

좌변=[eqn: -2], 우변=[eqn: 1+ sqrt {-3}])

ㄴ. [eqn: sqrt{ab} =sqrt a sqrt b`]        ㄷ. [eqn: sqrt {b over a}`=sqrt b over sqrt a]

따라서, 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

3.【출제의도】부분집합의 성질을 이용하여 문제 해결하기

Ⅰ.[eqn: RMB`]에 속하는 원소는 [eqn: RM A`]에 속하므로 [eqn: RM B`` SUBSET ``A]

Ⅱ. [eqn: rm A``-``B`` = ``A]

Ⅲ. [eqn: rm C`` SMALLINTER ``A``=`` phi]

∴ Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ에서 [eqn: rm A``-``B`` != ` phi ,~B``-``A``=` phi],

[eqn: rm A``-``C`` != ` phi ,~C``-``A`` != ` phi]

4.【출제의도】이항연산에 대한 역원 구하기

연산 [eqn: ◎]에 대한 항등원을 [eqn: e`]라 하면,

[eqn: a``◎`e=e``◎`a=a`]가 성립하므로

[eqn: a+e+1=a]    [eqn: THEREFORE e=-1]

연산 [eqn: ◎]에 대한 [eqn: -2]의 역원을 [eqn: x]라 두면, [eqn: -2``◎`x=x``◎`(-2)=-1`]이므로

[eqn: -2+x+1=-1]     [eqn: THEREFORE `x=0]

5.【출제의도】표준편차 구하기

[eqn: x_1 , x_2 , x_3]의 평균은 [eqn: 6]이고, 분산은 [eqn: 6]이므로

[eqn: { (x_1 -6)^2 + (x_2 -6)^2 + ( x_3 -6 )^2 } over 3 = 6]

∴[eqn: (x_1 -6)^2 + (x_2 -6)^2 + ( x_3 -6 )^2 = 18] …… ①

[eqn: y_1 , y_2]의 평균은 [eqn: 6]이고, 분산은 [eqn: 1]이므로

[eqn: { (y_1 -6)^2 + (y_2 -6)^2 } over 2 = 1]

∴[eqn: { (y_1 -6)^2 + (y_2 -6)^2 } = 2] …… ②

①과 ②에서 [eqn: 5]개 변량의 분산을 구하면

[eqn: { (x_1 -6)^2 + (x_2 -6)^2 + ( x_3 -6 )^2 +(y_1 -6)^2 + (y_2 - 6 )^2 } over 5][eqn: = 18+2 over 5 = 20 over 5 = 4]

따라서, [eqn: 5]개 변량의 표준편차는 [eqn: 2]이다.

6.【출제의도】이차방정식의 근 판별하기

[eqn: D=(2+a) ^{2} -4`․`1`․`4 >= 0]

[eqn: (a+6)(a-2)>=0]

[eqn: THEREFORE a>=2`````( BECAUSE a는~양수)]

따라서 [eqn: a]의 최소값은 [eqn: 2]

7.【출제의도】이차방정식의 근과 계수와의 관계를 이해하고 활용하기

근과 계수와의 관계에서

[eqn: alpha + beta =4]

[eqn: {5} over {2} <= 4- beta <3]

[eqn: THEREFORE 1< beta <= {3} over {2}]

[eqn: LEFT [ beta RIGHT ] =1]

8.【출제의도】부등식의 성질 이해하기

[eqn: `a ^{2} `<`b ^{2} ` LRARROW][eqn: vert a vert ^{2} < vert b vert ^{2~} LRARROW ` vert a vert < vert b vert]

9.【출제의도】외분을 이해하고 이를 활용하기

[eqn: M`]은 선분[eqn: BD`]의 중점이므로 선분[eqn: BM`]을 [eqn: 2```:``1`]로 외분하는 점은 [eqn: D`(x_4 , y_4 )`]이다. 그러므로 (가)는 [eqn: 2```:``1`]이다.

점 [eqn: D`]는 선분 [eqn: BM`]을 [eqn: 2```:``1`]로 외분하는 점이고,

[eqn: x = {x_1 + x_3}over2], [eqn: y = {y_1 + y_3}over2]이므로

[eqn: x_4 = { 2․x ````-```` 1․x_2 } over 2-1`=`` x_1 `-x_2 +x_3] … (나)

[eqn: y_4 = { 2․y ````-```` 1․y_2 } over 2-1`=`` y_1 `-y_2 +y_3] … (다)

10.【출제의도】무게중심과 두 점사이의 거리 구하기

그림과 같이 좌표를 정하면

[eqn: rm G` LEFT ( {-6+6-6} over {3} ,`` {9+9-9} over {3} RIGHT ) `]이고

[eqn: rm H` LEFT ( {6+0+6} over {3} ,`` {9+0-9} over {3} RIGHT ) `]이다.

그러므로 [eqn: rm bar{GH} = sqrt {LEFT { 4-(-2) RIGHT } ^{2} +3 ^{2}} =3 sqrt {5}]

[eqn: rm M]

[eqn: rm H(`4,``0`)]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm B(`-6,``-9`)]

[eqn: rm A(`-6,``9`)]

[eqn: rm C(`6,``-9`)]

[eqn: rm D(`6,``9`)]

[eqn: rm G(`-2,``3`)]

6

-6

-9

9

․

․

11.【출제의도】원과 직선의 위치관계 이해하기

원의 방정식을 구하면 [eqn: ( x-2)^2 + y^2 = 2^2`]이다.

주어진 직선의 방정식과 연립하면

[eqn: x^2 - 4x +(mx+1)^2 =0][eqn: THEREFORE ~(1+m^2 ) x^2 +2(m-2)x + 1 =0]

[eqn: D/4 =(m-2)^2 -(1+m^2 )＞0]이므로  [eqn: m``＜`` 3over4]

(별해)

원의 중심에서 직선까지의 거리를 이용하여 풀 수도 있다.

중심에서 직선까지의 거리가 반지름보다 작으면 두 점에서 만나므로 [eqn: {LEFT |`` 2m+1`` RIGHT |} over root {m^2 +1} ``＜``2] 이다.

양변을 제곱하여 정리하면[eqn: m``＜`` 3over4] 이다.

12.【출제의도】원의 대칭성 이해하기

원[eqn: (x+k) ^{2} +(y-3) ^{2} =9]를 [eqn: x]축 방향으로 [eqn: 1], [eqn: y]축 방향으로 [eqn: -2]만큼 평행이동하면

[eqn: (x+k-1) ^{2} +(y-1) ^{2} =9]

직선에 의하여 이등분되려면 직선이 원의 중심[eqn: (-k+1,1)`]을 지나야 한다.

[eqn: (-k+1,1)`]을 [eqn: x-y+2=0`]에 대입하면

[eqn: -k+1-1+2=0]   [eqn: THEREFORE `k=2]

13.【출제의도】 합성함수와 함수의 그래프를 이해하고 역함수의 값 찾기

[eqn: r=c,```q=b,```p=a`]이므로

[eqn: (f CIRC (f CIRC f`) ^{-1} )(d) & =(f CIRC f ^{-1} CIRC f ^{-1} )(d`)# # & =f ^{-1} (d`)# # & =c]

14.【출제의도】부등식의 영역을 찾고 그 넓이 구하기

세 부등식[eqn: x` ≧ -1,```y` ≧-1,````| `x`` | + |` y`` |` ≦`2]를

동시에 만족하는 영역을 그려보면 다음과 같다.

[eqn: -1]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: y`]

[eqn: x`]

[eqn: -2]

[eqn: -1]

[eqn: 2]

[eqn: O]

따라서, 구하는 넓이[eqn: S`]는 한 변의 길이가 [eqn: 2 root 2]인 정사각형의 넓이의[eqn: 3 over 4]이다.

[eqn: therefore][eqn: S = 3 over 4 (2 root 2` )^2 = 6]

15.【출제의도】유리함수에 관한 합성함수의 규칙성 찾기

[eqn: f ``^2` (x`)= 1 over { 1 - 1 over { 1-x }} = { x-1 } over x]이고,

[eqn: f``^3 ` (x ) = 1 over { 1 - f``^2 `(x) } = 1 over { 1 - { x-1 } over x } = x]이다.

그러므로 [eqn: f``^n` (x`) =f^{n+3} (x` )]이다.

[eqn: therefore~ f``^2005 (2) = f`` (2) = -1]

16. [출제의도] 역함수를 이해하고 활용하기

[eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=f ^{-1} (x)]의 교점을 [eqn: y=x`]가 지난다. 그러므로 [eqn: y=x ^{2} -2x+2], [eqn: y=x`]를 연립하여 교점을 찾으면 [eqn: (1,``1),```(2,``2)]이다.

두 점 사이의 거리는[eqn: SQRT { 2`}]이다.

17.【출제의도】삼각함수의 값 구하기

[eqn: ANGLE {rm ABC}＝ pi － theta `], [eqn: bar{rmAB} `＝ sqrt {3 ^{2} ＋4 ^{2} `} ＝5`]

이므로[eqn: sin( pi － theta )＝ {3} over {5}]   [eqn: THEREFORE `sin theta = {3} over {5}]

[eqn: cos( pi － theta )＝ {4} over {5}]   [eqn: THEREFORE `cos theta ＝－ {4} over {5}]

[eqn: THEREFORE `sin theta ＋cos theta ＝- {1} over {5}]

18.【출제의도】원주각의 성질과 삼각함수의 값 구하기

[eqn: ANGLE rm APB it ＝ {pi } over {2} `]이므로 [eqn: alpha ＋ beta ＝ {pi } over {2}]

[eqn: bar{rm AB it} ＝ sqrt {4 ^{2} ＋3 ^{2} ``} ＝5]

[eqn: THEREFORE `cos(2 alpha ＋ beta )＝cos LEFT { ( alpha ＋ beta )＋ alpha ` RIGHT }]

[eqn: ＝cos left( {pi } over {2} ＋ alpha right)]

[eqn: ＝ － sin alpha ＝ {rm－ { bar BP} over {bar AB } }＝ － { 3} over {5 }]

19.【출제의도】합성함수를 이해하고 삼각방정식 풀기

방정식 [eqn: f`(x)＝0`]의 해는 [eqn: x＝0`] 또는 [eqn: x＝2`]이다.

[eqn: f`(cos t``)＝0`]에서 [eqn: cos t``＝X``]라 두면 [eqn: f`(X`)＝0]

[eqn: THEREFORE ~ X`＝0] 또는 [eqn: X`＝2]

여기서 [eqn: －1`≦X``≦1`]이므로 [eqn: X`＝0] 즉, [eqn: cos t``＝0]

따라서 [eqn: 0`≦`t``≦2 π`]에서 [eqn: t``＝ { π} over {2 }] 또는 [eqn: t``＝ { 3} over {2 } π`]이므로, 방정식 [eqn: f`(cos t``)＝0]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2]개다.

20.【출제의도】사인법칙을 이해하고 활용하기

삼각형 [eqn: rmABC``]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R``]이라 하면 사인법칙으로부터

[eqn: sin rm A it ＝ {a} over {2R} `], [eqn: sin rm B it ＝ {b} over {2R} `], [eqn: sin rm C it ＝ {c} over {2R}]

주어진 식에 대입하면

[eqn: { a^{2}} over {2 R } ＝{ b^{2}} over {2 R } ＋ { c^{2}} over {2 R }]   [eqn: THEREFORE ~ a^{2} ＝b^{2} ＋ c^{2}]

따라서, 삼각형 [eqn: rm ABC``]는 [eqn: ANGLE rm A it =90 DEG]인 직각삼각형이므로 [eqn: TRIANGLE rm ABC it ＝ {1} over {2} b`c]

21.【출제의도】코사인제이법칙을 이해하고 활용하기

[eqn: A``]기지에서 발진한 전투기의 속력은

[eqn: 0.1``rm km`/초]이므로 아래 그림과 같이 발사 후   [eqn: 3]초가 지난 뒤 명중하므로 총 [eqn: 90]초의 시간이 걸린다.

[eqn: bar AC` ＝9`(rm km)], [eqn: bar BC` ＝3`v`(rmkm)],

[eqn: ANGLE ABC =120 DEG]이다. 코사인법칙에 의하여

[eqn: 9^2 ＝ 6^2 ＋(3`v)^2 －2 CDOT 6 CDOT 3`v CDOT cos 120 DEG]   [eqn: THEREFORE ~v^2 ＋2`v －5＝0]

[eqn: v``＞`0`]이므로  [eqn: v＝－1＋ SQRT { 6`} ``(rm km`/초)]

[eqn: C]

[eqn: A]

[eqn: 6]

[eqn: B]

[eqn: 120 DEG]

[eqn: 9]

[eqn: 3v]

22.【출제의도】다항식의 곱셈하기

[eqn: (x-1`)(x+2`)(x+3`)(x+4`)]

[eqn: =x^4 +(-1+2+3+4)` x^3 +`` CDOTS]

그러므로 [eqn: { x}^{3} `]의 계수는 [eqn: 8`]이다.

23.【출제의도】나머지 정리 이해하고 활용하기

[eqn: R`(x`)=a`x+b`]라 두면

[eqn: f`(x`)&=( { x}^{2 }-4``x+3`)`Q`(x`)+R`(x`)#&=(x`-1`)`(x`-3`)`Q`(x`)+a`x+b]

[eqn: f`(1)=a+b=2`,~f`(3)=3`a+b=10`]이므로

[eqn: a=4`,~b=-`2]   [eqn: THEREFORE ~R`(x)=4`x`-2]

따라서, [eqn: R`(2)=`6`]이다.

24.【출제의도】유리식을 이용하여 속력 구하기

[eqn: rm A]에서 [eqn: rm B]까지의 거리를[eqn: l `(rm km )]라 하면

가는데 걸린 시간:[eqn: l over 60]시간, 오는데 걸린 시간:[eqn: l over 40]시간, 왕복거리:[eqn: 2 l `(rm km)]이다. 따라서, 왕복평균속력은

[eqn: x= 2l over { l over 60 + l over 40 } = {2․60․40 over 60+40}=48`(rm km/시)]이다.

25.【출제의도】이차부등식의 해 구하기

가로의 길이를 [eqn: a`]라 하면 세로의 길이는 [eqn: 22-a`]이다. [eqn: a`(22-a)≧120]에서

[eqn: (a-10)(a-12)≦0]  [eqn: therefore~10 `≦` a `≦` 12]

따라서, 최대값 [eqn: M]과 최소값 [eqn: m]의 곱은

[eqn: Mm=12 × 10=120]

26.【출제의도】외접원의 성질을 이해하고 활용하기

그림과 같이 [eqn: A]를 원점으로 하고 직선 [eqn: BC]에 수직인 직선을 [eqn: x`]축으로 하면, [eqn: B,```C`]의 좌표는 [eqn: B(800,`600)], [eqn: C(800,`-600)]이다. 그리고 서점의 위치는 [eqn: x`]축 위에 존재해야 하므로 [eqn: D`(k,``0)]이다. [eqn: overlineAD = overline BD] 이므로

[eqn: k^2 =(k-800)^2 + 600^2]

[eqn: 1,600k = 1,000,000]   [eqn: ∴ ~k``=``625]

[eqn: D(k,0)]

[eqn: B`(800,```600)]

[eqn: C`(800,``-600)]

[eqn: 1000]

[eqn: 1000]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: CDOT]

[eqn: 1200]

[eqn: A]

27.【출제의도】점과 직선에 대한 대칭점 구하기

중점을 [eqn: M`]이라 하면 [eqn: M({3+a}over2 , ``{4+b}over2`)`]

이고 중점은 직선 위의 점이므로

[eqn: {3+a}over2 + {4+b}over2 ``+1 = 0]

[eqn: THEREFORE ~a + b = -9```` CDOTS `` ①]

대칭인 두 점을 연결한 직선은 주어진 직선에 수직이므로 [eqn: b-4overa-3 × (-1) = -1]

[eqn: THEREFORE ~a-b=-1```` CDOTS ``②]

①, ②에서 [eqn: a=-5`,```b=-4]  [eqn: THEREFORE ~a^2 + b^2 = 41]

[eqn: (a,b)]

[eqn: (`3,``4`)`]

[eqn: x+y+1=0]

[eqn: M]

․

․

28.【출제의도】부등식의 영역에서 최대 최소 문제 해결하기

[eqn: A,```B`]의 하루의 생산량을 각각 [eqn: x,```y`]개라 하면

[eqn: x `≧0,````y≧0,````2x + 3 y` ≦` 90,~3`x+2`y`≦120`]이다. 그러므로 만족하는 영역은 네 점 [eqn: O`(0,``0) `], [eqn: P`(40 ,``0) `], [eqn: Q``( 36, ``6) `],[eqn: R`(0,`` 30 ) `]으로 둘러싸인 부분이다. 생산량의 총합을 [eqn: k`]라고 두면, [eqn: k = x +y`]이다. [eqn: y`=-x+k]는 [eqn: Q`( 36,`` 6)`]을 지날 때, [eqn: y]절편 [eqn: k`]는 최대값 [eqn: 42 `]를 갖는다.

[eqn: Q``( 36, ``6)]

[eqn: R`(0,`` 30 )]

[eqn: O]

[eqn: y`]

[eqn: x`]

[eqn: P`(40 ,`` 0)]

[eqn: y`=-x+k]

29.【출제의도】이차함수 문제해결하기

[eqn: bar AC = x `]라 두면, [eqn: bar BC = 10-x `]이고,

[eqn: 0`＜`x``＜`10`]이다. 두 정사각형의 넓이의 합 [eqn: S`]는

[eqn: S = x^2 + (10-x)^2 = 2x^2 -20x + 100 = 2 (x-5)^2 +50]

그러므로 [eqn: x=5 `]일 때 [eqn: S`]의 최소값은 [eqn: 50`]이다.

30.【출제의도】삼각함수 그래프 이해하기

최대값은 [eqn: 5]이고, 최소값은 [eqn: 1]이므로

[eqn: a＋c＝5`], [eqn: －a＋c＝1`]  [eqn: THEREFORE ~a＝2`,] [eqn: c＝3`]

그리고 주기가 [eqn: { pi} over {2 }]이므로 [eqn: {2 pi } over {b} ＝ {pi } over {2} `]

[eqn: THEREFORE `b＝4]

[eqn: THEREFORE `a ^{2} `＋b ^{2} `＋c ^{2} `=2 ^{2} ＋4 ^{2} ＋3 ^{2} `=29]