∙문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

2005학년도 인천광역시 고2 학력진단평가 문제지

수리 영역

성명			수험번호						2

제 2 교시

∙답안지에 수험번호, 답을 표기할 때에는 반드시 ‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

∙문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

∙계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

고 2	수리 영역

	수리 영역	고 2

1. 두 실수 [eqn: ``x``,~y``]가  [eqn: {x} over {1``+``i} ``+`` {y} over {1-i} `=~2``+``i``]를 만족할 때, [eqn: `xy`]의 값은? (단, [eqn: i``=`` sqrt {-1`} `]) [2점]

① [eqn: -``6]             ② [eqn: -``3]             ③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]                ⑤ [eqn: 6]

2. [eqn: a`＞`0,~b`<`0`]일 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고르면?

[2점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: sqrt {a+b``} = sqrt {a``} `+ sqrt {b``}] ㄴ. [eqn: sqrt {a`b``} = sqrt {a} sqrt {b} `] ㄷ. [eqn: sqrt {{b} over {a}} `={sqrt {b``}} over {sqrt {a``}}]

① ㄱ             ② ㄴ             ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ          ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

3. 공집합이 아닌 세 집합 [eqn: rm A`,`B`,`C``]가 <조건>을 모두 만족할 때, 옳은 것은? [3점]

	<조 건>
∘ [eqn: rm A]에 속하지 않는 원소는 [eqn: rm B]에도 속하지 않는다. ∘ [eqn: rm A]에는 속하고 [eqn: rm B]에는 속하지 않는 원소가 있다. ∘ [eqn: rm C]에 속하는 원소는 [eqn: rm A]에 속하지 않는다.

① [eqn: rm A``-``B`` != phi ,`````A``-``C`` != `` phi]

② [eqn: rm A``-``B``=` `phi ,`````A``-``C`=`` phi]

③ [eqn: rm A``-``B`` != phi ,`````A``-``C`=`` phi]

④ [eqn: rm B``-``A`=`` phi ,`````C``-``A`=`` phi]

⑤ [eqn: rm B``-``A`` != phi ,````C``-``A`` != ` phi]

4. 두 실수 [eqn: a,~b`]에 대하여 연산 [eqn: `◎`]를 [eqn: a``◎`b=a+b+1`]로 정의할 때, 연산 [eqn: ◎`]에 대한 [eqn: -2]의 역원은? [3점]

① [eqn: -1]              ② [eqn: 0]              ③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]                ⑤ [eqn: 3]

5. 세 변량 [eqn: x _{1} ,```x _{2} ,```x _{3} ``]의 평균은 [eqn: 6`], 표준편차는 [eqn: sqrt {6`} `]이고,    다른 두 변량 [eqn: y _{1} ,```y _{2} `]의 평균은 [eqn: 6`], 표준편차는 [eqn: 1`]이다.     이 때, 이들 [eqn: 5`]개의 변량 [eqn: x _{1} ,```x _{2} ,```x _{3} ,```y _{1} ,```y _{2} `]의 표준편차는?

[4점]

① [eqn: sqrt {2}]               ② [eqn: sqrt {3}]               ③ [eqn: 2]

④ [eqn: sqrt {5}]               ⑤ [eqn: sqrt {6}]

6. 이차방정식 [eqn: x ^{2`} -(2+a)x+4=0]이 실근을 가지기 위한  양수 [eqn: a]의 최소값은? [3점]

① [eqn: 1]                ② [eqn: {3} over {2}]              ③ [eqn: 2]

④ [eqn: {5} over {2}]              ⑤ [eqn: 3]

7. 이차방정식 [eqn: x ^{2} -4x+k=0``]의 두 근 [eqn: alpha], [eqn: beta]에 대하여       [eqn: {5} over {2} <= alpha < 3]일 때, [eqn: LEFT [ beta RIGHT ]]의 값은? (단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x]를 넘지 않

는 최대 정수) [3점]

① [eqn: -1]                ② [eqn: 0]               ③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]                 ⑤ [eqn: 3]

8. 두 실수 [eqn: a,~b``]에 대하여, 부등식 [eqn: a ^{2} ``＜`b ^{2} `]가 성립하기 위한 필요충분조건은? [3점]

① [eqn: a``＜`b`]	② [eqn: a``＜ ``LEFT | `b` RIGHT |]

③ [eqn: LEFT| `{ a}` RIGHT | ＜`b`]	④ [eqn: LEFT| `{ a} `RIGHT | `<` LEFT|` { b}` RIGHT |]

⑤ [eqn: {1} over {a} `＜` {1} over {b}]

9. 다음은 평행사변형 [eqn: rm ABCD``]의 세 꼭지점을 [eqn: rm A it `(x _{1} ,```y _{1} )`], [eqn: rm B it `(x _{2} ,```y _{2} )`], [eqn: rm C it `(x _{3} ,```y _{3} )`]라 할 때, 나머지 한 꼭지점 [eqn: rm D it `]의 좌표를 외분을 이용하여 구하는 과정이다.

∙

[eqn: rm A it (x _{1} ,```y _{1} )]

[eqn: rm B it `(x _{2} ,```y _{2} )]

[eqn: rm C it `(x _{3} ,```y _{3} )]

[eqn: rm D it `(x _{4} ,```y _{4} )]

[eqn: {rmM}`(x,y)]

점 [eqn: rm D]의 좌표를 [eqn: it `(x _{4} ,```y _{4} `)`], 선분 [eqn: rm AC``]의 중점을 [eqn: rm M it `(x,```y`)`]라 하면

[eqn: x= {x _{1} +x _{3}} over {2}], [eqn: y= {y _{1} +y _{3}} over {2}]이다.

평행사변형의 대각선의 성질에 의하여,

점 [eqn: rm D it ``]는 선분 [eqn: rm BM`]을

(가)

로 외분하는 점이므로

[eqn: x _{4} =]	(나)	, [eqn: y _{4} =]	(다)

∴ [eqn: rm D`](

(나)	,	(다)

)

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: 2```:``1]	[eqn: x _{1} `-x _{2} +x _{3}]	[eqn: y _{1} `-y _{2} +y _{3}]
②	[eqn: 2```:``1]	[eqn: 2x _{1} `+x _{2} -x _{3}]	[eqn: 2y _{1} `+y _{2} -y _{3}]
③	[eqn: 2```:``1]	[eqn: x _{1} `+2x _{2} +x _{3}]	[eqn: y _{1} `-2y _{2} +y _{3}]
④	[eqn: 1``:``2]	[eqn: x _{1} `-x _{2} +x _{3}]	[eqn: y _{1} `-y _{2} +y _{3}]
⑤	[eqn: 1``:``2]	[eqn: 2x _{1} `+x _{2} -x _{3}]	[eqn: 2y _{1} `+y _{2} -y _{3}]

10. 그림의 직사각형 [eqn: rm ABCD``]에서 [eqn: rm bar{AB} =18,~ bar{AD} =12`]이고, 두 대각선의 교점은 [eqn: rmM``]이다. 삼각형 [eqn: rmABD``]의 무게중심을 [eqn: rm G], 삼각형 [eqn: rm CDM``]의 무게중심을 [eqn: rmH``]라 할 때, 두 점 [eqn: rm G``]와 [eqn: rm H``]사이의 거리는? [4점]

[eqn: rmM``]

[eqn: rm B]

[eqn: rmA]

[eqn: rm C]

[eqn: rmD]

[eqn: 18]

[eqn: 12]

① [eqn: 2sqrt { 5}]             ② [eqn: 3 sqrt {5}]             ③ [eqn: 4 sqrt {5}]

④ [eqn: 5 sqrt {5}]             ⑤ [eqn: 6 sqrt {5}]

11. 중심이 [eqn: (`2,``0`)`]이고 반지름이 [eqn: 2`]인 원과 직선 [eqn: y=m`x+1`]이 서로 다른 두 점에서 만날 때, [eqn: m] 값의 범위는? [3점]

① [eqn: m``＜`` {3} over {4}]         ② [eqn: -3``＜``m``＜``3]       ③ [eqn: m``＞``- {3} over {4}]

④ [eqn: - {3} over {4} ``＜``m``＜``1]    ⑤ [eqn: -1``＜``m``＜``0]

12. 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +2k`x-6y+k ^{2} =0]이 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1], [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -2]만큼 평행이동하면 직선 [eqn: x-y+2=0`]에 의하여 이등분된다. 이 때, 상수[eqn: ``k``]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]                 ② [eqn: 2]               ③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]                 ⑤ [eqn: 5]

13. 두 함수 [eqn: y=f``(x`)], [eqn: y=x`]의 그래프가 그림과 같을 때, [eqn: LEFT ( f CIRC (`f CIRC f```) ^{-1} RIGHT ) (d`)]의 값은? [4점]

[eqn: y]

[eqn: d]

[eqn: c]

[eqn: b]

[eqn: a]

[eqn: p]

[eqn: q]

[eqn: r]

[eqn: y=x]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

① [eqn: 0]               ② [eqn: a`]	③ [eqn: b`]

④ [eqn: c`]	⑤ [eqn: d`]

14. 세 부등식 [eqn: x` >= -1`], [eqn: y` >= -1`], [eqn: |`x``|+|`y``|` <= `2]을 동시에   만족하는 영역의 넓이는? [3점]

①[eqn: 4]                ②[eqn: 5]                ③[eqn: 6]

④[eqn: 7]                ⑤[eqn: 8]

15. 함수 [eqn: f``(x`)= {1} over {1-x}]에 대하여,

[eqn: f=f ^{1}], [eqn: f CIRC f`=f`` ^{2} `], [eqn: f CIRC f`` ^{2} ``=f`` ^{3} `], … , [eqn: f CIRC f`` ^{n} `=f`` ^{n+1} `]로 나타낼 때,  [eqn: f`` ^{2005} (2)]를 구하는 과정이다.

[eqn: f`` ^{1} `(x`)= {1} over {1-x}]

[eqn: f`` ^{2} `(x`)= {1} over {1-f ^{``1} (x)} =]

(가)

,

[eqn: f`` ^{3} `(x)= {1} over {1-f`` ^{2} `(x)} =]

(나)

,

…

따라서, [eqn: f ^{n} (x`)=]

(다)

이다.

[eqn: THEREFORE `f`` ^{2005} (2)=f``(2)=-1]

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

(단, [eqn: x` != `0,~x` != `1]) [4점]

(가)         (나)         (다)

①   [eqn: {x-1} over {x}]         [eqn: x]         [eqn: f`` ^{n+3} `(x`)]

②   [eqn: {x-1} over {x}]         [eqn: x]         [eqn: f`` ^{n+2} `(x`)]

③   [eqn: {x-1} over {x}]       [eqn: -x]         [eqn: f`` ^{n+3} `(x`)]

④   [eqn: {1-x} over {x}]         [eqn: x]         [eqn: f`` ^{n+3} `(x`)]

⑤   [eqn: {1-x} over {x}]       [eqn: -x]         [eqn: f`` ^{n+2} `(x`)]

16. 함수 [eqn: f(x)=x ^{2} -2x+2] ([eqn: x >= 1]) 의 역함수를 [eqn: f ^{-1`} (x)]라 할 때,  [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=f ^{-1} (x)]의 두 교점 사이의 거리는?

[3점]

①[eqn: sqrt {6`}]               ②[eqn: sqrt {5`}]               ③[eqn: 2]

④[eqn: sqrt {3`}]               ⑤[eqn: sqrt {2`}]

17. 그림과 같은 직각삼각형 [eqn: rmABC``]에서 [eqn: rm ANGLE ABD= theta `]이고, [eqn: rm bar{AC} =3`], [eqn: rm bar{BC} =4`]일 때, [eqn: sin theta ＋cos theta `]의 값을 구하면?

[3점]

[eqn: rmD]

[eqn: theta]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmA]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

① [eqn: - {3} over {5}]            ② [eqn: - {2} over {5}]            ③ [eqn: - {1} over {5}]

④ [eqn: {1} over {5}]               ⑤ [eqn: {2} over {5}]

18. 그림은 선분 [eqn: rmAB``]를 지름으로 하는 반원 위에 한 점 [eqn: rmP``]가 있다. [eqn: rm ANGLE PAB it ＝ alpha `], [eqn: rm ANGLE PBA＝ beta], [eqn: rmbar{AP} ＝4`], [eqn: rmbar{BP} ＝3`]일 때, [eqn: cos(2 alpha ＋ beta )`]의 값은? [4점]

[eqn: rmA]

[eqn: alpha]

[eqn: beta]

[eqn: rm B]

[eqn: rmP]

① [eqn: － {4} over {5}]             ② [eqn: － {3} over {5}]             ③ [eqn: － {1} over {5}]

④ [eqn: {3} over {5}]               ⑤ [eqn: {4} over {5}]

19. 이차함수 [eqn: y＝f`(x`)`]의 그래프가 그림과 같을 때, [eqn: t]에 대한 방정식 [eqn: f`(cost`)＝0`]의 서로 다른 실근의 개수는? (단, [eqn: 0` <= t`` <= 2 pi]) [4점]

[eqn: 1]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: x]

① [eqn: 1]개              ② [eqn: 2]개              ③ [eqn: 3]개

④ [eqn: 4]개              ⑤ [eqn: 5]개

20. 등식 [eqn: a`sin rm A it =b`sin rm B it +c`sin rm C it ``]를 만족하는 삼각형 [eqn: rmABC``]의 넓이는? (단, [eqn: a`,```b`,```c``]는 각각 [eqn: rm ANGLE A`,``` ANGLE B`,``` ANGLE C``]의 대변의 길이) [4점]

① [eqn: {sqrt {2`}} over {2} a`b]           ② [eqn: {1} over {2} a`b]           ③ [eqn: {1} over {2} a`c]

④ [eqn: {sqrt {3`}} over {2} b`c]            ⑤ [eqn: {1} over {2} b`c]

21. [eqn: 6` rm km] 떨어진 두 기지 [eqn: A,~B``]가 있다. [eqn: A``]기지에서 전투기가 이륙하여 [eqn: 0.1` (rm km/]초[eqn: )]의 속력으로 [eqn: B``]기지의 상공을 날아간다. 전투기가 이륙하여 [eqn: 1]분 [eqn: 27`]초 후에 레이더가 이 사실을 탐지하고 [eqn: B``]기지에서 지면과 [eqn: 60 DEG]의 각을 이루도록 하여 [eqn: v``( rm km/]초[eqn: )]의 속력으로 미사일을 발사한다. 미사일이 발사된 지 [eqn: 3`]초 후에 전투기를 명중시키는 시뮬레이션 게임을 제작하려고 할 때,  [eqn: v``]의 값은? (단, 전투기와 미사일은 일정한 속도로 직선운동을 한다.) [4점]

[eqn: A]

[eqn: 6`rm km]

[eqn: B]

[eqn: 60 DEG]

① [eqn: －1＋ sqrt {2`}]       ② [eqn: －1＋ sqrt {3`}]        ③ [eqn: －1＋ sqrt {5`}]

④ [eqn: －1＋ sqrt {6`}]       ⑤ [eqn: －1＋2 sqrt {2`}]

단답형 문항 (22～30)

22. 다항식 [eqn: (``x``-``1``)(``x``+``2``)(``x``+``3``)(``x``+``4``)`]를 전개했을 때, [eqn: x ^{3} `]의 계수를 구하시오. [2점]

23. 다항식 [eqn: f`(x`)`]를 [eqn: `x``-``1`]로 나눈 나머지가 [eqn: 2`], [eqn: `x``-``3`]으로 나눈 나머지가 [eqn: 10`]이다. 다항식 [eqn: f`(x`)`]를 [eqn: x ^{2} ``-``4``x``+``3`]으로 나눈 나머지를 [eqn: R`(x`)`]라 할 때, [eqn: R`(2)`]의 값을 구하시오.

[3점]

24. 두 지점 [eqn: A,```B`] 를 갈 때에는 시속 [eqn: 60` rm km]로, 올 때에는 시속 [eqn: 40` rm km]로 왕복하였다. 두 지점 [eqn: A,```B`] 사이를 왕복할 때의 평균속력은 시속 몇 [eqn: rm km]인지 구하시오. [3점]

25. 둘레의 길이가 [eqn: 44`]인 직사각형이 있다. 이 직사각형의 넓이가 [eqn: 120`]이상일 때, 한 변의 길이의 최대값과 최소값의 곱을 구하시오. [3점]

26. 세 학교 [eqn: A,```B,```C``] 사이의 거리가 그림과 같고, 이들 세 학교로부터 같은 거리에 서점이 있다. 서점에서 학교까지의 거리가 몇 [eqn: rm m``]인지 구하시오. [4점]

[eqn: A]

[eqn: B]

[eqn: C]

[eqn: 1000`rm m]

[eqn: 1200`rm m]

[eqn: 1000`rm m]

27. 좌표평면에서 직선 [eqn: x+y+1=0`]에 대하여 점[eqn: (`3,```4`)`]의  대칭점을 [eqn: `(`a`,``b``)`]라 할 때, [eqn: `a ^{2} ``+``b ^{2} `]의 값을 구하시오. [3점]

28. 어느 공장에서 두 제품 [eqn: A,```B`]를 각각 [eqn: 1`]개 생산하는데 필요한 원료 Ⅰ, Ⅱ의 사용량은 표와 같다. 원료 Ⅰ, Ⅱ는 하루에 각각 [eqn: 90 rm kg]과 [eqn: 120 rm kg]까지 사용할 수 있다고 할 때, 제품 [eqn: A]와 [eqn: `B`]의 하루 총 생산개수의 합의 최대값을 구하시오. [4점]

제품 원료	[eqn: A]	[eqn: B]
Ⅰ	[eqn: 2 rm kg]	[eqn: 3 rm kg]
Ⅱ	[eqn: 3 rm kg]	[eqn: 2 rm kg]

29. 그림과 같이 길이가 10인 선분 [eqn: rm AB] 위에 점[eqn: rmC]을 잡아 선분 [eqn: rm AC]와 선분 [eqn: rm CB]를 한 변으로 하는 두 정사각형의 넓이의 합이 최소가 되게 할 때, 선분 [eqn: rm AC``]의 길이를 구하시오. [4점]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: 10]

30. 함수 [eqn: f`(x)＝a`sinb`x`＋c`]에 대하여 <조건>을 만족할 때, [eqn: a ^{2} `＋b ^{2} `＋c ^{2} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`＞0`], [eqn: b`＞0`]) [4점]

	<조 건>
∘ [eqn: f(x)]의 최대값은 [eqn: 5], 최소값은 [eqn: 1]이다. ∘ 모든 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x+ {pi } over {2} RIGHT ) =f(x)]이 성립한다.

● 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.