2019학년도 수시모집 논술전형 논술고사 출제의도 및 예시답안

시험유형	인문․사회계	자연계	의학계
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출 제 의 도

[문항 1]

본 문항은 좌표공간에서 구와 평면에 의하여 생기는 원을 구할 수 있는지와 원에서의 접선을 이해할 수 있는지를 평가하고자 한다.

[1-1] 문제의 상황을 파악하고 구와 평면에 의해 생기는 원을 구할 수 있는지와 두 원에서의 접선의 관계를 구할 수 있는지를 평가하는 문항이다.

[1-2] 주어진 구와 평면에 의하여 생기는 원의 접선이 만드는 도형이 변하면서 나타나는 입체도형의 부피를 구할 수 있는지를 평가하는 문항이다.

[문항 2]

본 문항에서는 이차방정식의 근의 차가 정수일 조건을 구하고 자연수의 거듭제곱의 합의 계산을 활용하여 이차함수로 주어진 영역의 정수 좌표점을 구할 수 있는지를 평가하고자 한다.

[2-1] 거듭제곱 형태 다항함수의 정적분을 구할 수 있는지를 평가하는 문항이다.

[2-2] 이차방정식의 근의 차가 정수일 조건을 구하고, 이를 활용하여 이차함수로 주어진 영역의 정수 좌표점을 거듭제곱의 합의 계산을 활용하여 구할 수 있는지 평가하는 문항이다.

[문항 3]

본 문항에서는 합의 법칙과 같은 것이 있는 순열을 이용하여 주어진 상황을 만족하는 경우의 수를 구하고, 확률의 덧셈정리와 조건부확률을 이용하여 구하려는 값을 정확하게 계산할 수 있는지를 평가하고자 한다.

[3-1] 합의 법칙과 같은 것이 있는 순열을 이용하여 주어진 상황을 만족하는 경우의 수를 구할 수 있는지를 평가하는 문항이다.

[3-2] 확률의 덧셈정리와 조건부확률을 이용하여 구하려는 확률의 비의 값을 구할 수 있는지를 평가하는 문항이다.

문 항 해 설

[문항 1]

우리가 살고 있는 집이나 유명한 건축물 또는 우리 주변에서 볼 수 있는 사물들은 공간도형으로 이루어져 있다. 따라서 사물에 대한 이해는 공간도형의 기본성질을 이해하는 것으로부터 출발한다고 볼 수 있다. 본 문항은 좌표공간에서 구와 평면에 의해 생기는 원과 그 원에서의 접선을 이용하여 상황에 맞도록 문제를 해결하고 풀이를 논리적으로 전개할 수 있는지 평가한다.

[문항 2]

치환적분법과 부분적분법을 이용하여 다항함수의 적분을 변형하여 계산할 수 있는지를 평가한다. 이차방정식의 두 근을 이용하여 이차함수와 직선 사이의 넓이를 구할 수 있는지를 확인한다. 여기서 구한 값을 문제 상황에 적용할 수 있는지, 그리고 정수가 되기 위한 조건을 파악하여 문제를 해결할 수 있는지를 평가한다. [eqn: x= alpha +k`](단, [eqn: k`]는 정수)일 때, 영역 [eqn: D(a`,``b)`]에 포함된 [eqn: L`(a`,``b)`]의 값을 논리적으로 구하고, 자연수의 거듭제곱의 성질을 이용하여 문제에서 요구하는 내용을 표시할 수 있는지를 평가한다.

[문항 3]

주어진 상황에서 자신이 선택할 수 있는 방법 중에서 합리적인 방법을 선택할 수 있다는 것은 매우 중요하다. 본 문항은 합의 법칙, 같은 것이 있는 순열을 이용하여 주어진 상황에 맞는 경우의 수를 구할 수 있는지, 확률의 덧셈정리, 조건부확률을 이용하여 구하려는 두 확률의 값의 비를 구할 수 있는지, 풀이 과정을 논리적으로 전개할 수 있는지를 평가한다.

예 시 답 안

[문항 1]

[1-1]

두 원 [eqn: C_1`], [eqn: C_2`]의 교점 [eqn: rm P]를 [eqn: (a`,``b`,``c)`]라 하면 [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} =1`]이다. 점 [eqn: rmP]를 지나며 구 [eqn: S`]와 접하는 평면의 법선벡터는 [eqn: rm vec{OP} `]이므로 이 평면의 방정식은 [eqn: ax+by+cz=1`]이다. 이 평면을 [eqn: alpha `]라 하자.

직선 [eqn: l_1`]은 평면 [eqn: beta `] 위에 있고, 또한 점 [eqn: rm P`]에서 구 [eqn: S`]에 접하는 직선이므로 평면 [eqn: alpha `] 위에도 있다. 따라서 직선 [eqn: l_1`]은 두 평면 [eqn: alpha `]와 [eqn: beta `]의 교선이다.

직선 [eqn: l_1]은 두 평면 [eqn: alpha `:ax+by+cz=1], [eqn: beta `:y=b]의 교선이므로 직선 [eqn: l_1]의 방정식은

[eqn: ax+cz=1-b ^{2} ,``y=b]

이고 방향벡터는 [eqn: {vec{u _{1}}} `=(c,0,-a)] 이다.

같은 방법으로 직선 [eqn: l_2]는 두 평면 [eqn: alpha]와 [eqn: gamma]의 교선이고 직선 [eqn: l_2]의 방정식은

[eqn: ax+by=1-c ^{2} ,``z=c]

이고 방향벡터는 [eqn: {vec{u _{2}}} `=(b,-a,0)]이다. ([그림 1])

[그림 1]

[eqn: alpha`]

[eqn: gamma`]

[eqn: \P`]

[eqn: \O`]

[eqn: l_1`]

따라서

[eqn: cos theta = {{vec{u _{1}}} CDOT {vec{u _{2}}}} over {LEFT | {vec{u _{1}}} RIGHT | LEFT | {vec{u _{2}}} RIGHT |} `=` {bc} over {sqrt {b ^{2} +a ^{2}} sqrt {c ^{2} +a ^{2}}} `= {bc} over {sqrt {1-b ^{2}} sqrt {1-c ^{2}}}]

한편, [eqn: 2bc LEQ b ^{2} +c ^{2} = 1 over 4 `]이므로 [eqn: bc LEQ {1} over {2} TIMES {1} over {4} `= {1} over {8}]이다.

[eqn: cos theta & = {bc} over {sqrt {1-b ^{2}} sqrt {1-c ^{2}}} `= {bc} over {sqrt {1-(b ^{2} +c ^{2} )+b ^{2} c ^{2}}}# & = {bc} over {sqrt {{3} over {4} +b ^{2} c ^{2}}} `= {1} over {sqrt {{3} over {4b ^{2} c ^{2}} +1}}# & LEQ {1} over {sqrt {{3 TIMES 8 ^{2}} over {4} +1}} `= {1} over {7}]

그러므로 [eqn: b= c = root{2} over 4 `]일 때, [eqn: cos theta]의 최댓값은 [eqn: {1} over {7}]이다.

[1-2]

[eqn: x ^{2} +y ^{2} =1-t ^{2}], [eqn: z=t] 위에 점 [eqn: {\P} left(a`,`` {sqrt {2}} over {2} `,``t right)`]와 [eqn: {\Q} left(-a`,`` {sqrt {2}} over {2} `,``t right)`]에서의 두 접선이 만나는 점을 [eqn: \R`]이라고 할 때, 직선 [eqn: \PR`]의 방정식은

[eqn: LEFT ( y- {sqrt {2}} over {2} RIGHT )` =`- sqrt {2} a(x-a)],

[eqn: y=`- sqrt {2} ax+ sqrt {2} LEFT ( a ^{2} + {1} over {2} RIGHT )]

이다. 따라서 점 [eqn: \R`]은 [eqn: LEFT ( 0`,`` sqrt {2} left(a ^{2} + {1} over {2} right)`,``t RIGHT )`]이다.

[eqn: a ^{2} +t ^{2} = 1 over 2`]이기 때문에 입체의 단면인 삼각형 [eqn: rmPQR]의 넓이를 [eqn: S(t)`]라 하면 [eqn: S(t)= sqrt {2} LEFT ( {1} over {2} -t ^{2} RIGHT ) ^{3 over 2}`]이다.

제시문 (마)에 의해 구하고자 하는 부피 [eqn: V``]는

[eqn: V= int _{- {1} over {2}} ^{{1} over {2}} {S(t)`dt}` = int _{- {1} over {2}} ^{{1} over {2}} {sqrt {2} left( {1} over {2} -t ^{2} right) ^{{3} over {2}} `dt} ` =2 sqrt {2} int _{0} ^{{1} over {2}} { left( {1} over {2} -t ^{2} right) ^{{3} over {2}} `dt}`]

이제 [eqn: t= {sqrt {2}} over {2} `sin theta]라고 치환하면, [eqn: dt= {sqrt {2}} over {2} `cos theta` d theta `]이고

[eqn: t=0`]일 때 [eqn: theta = 0`], [eqn: t= 1 over 2 `]일 때 [eqn: theta = pi over 4 `]이므로

[eqn: V=2 sqrt {2} int _{0} ^{{1} over {2}} {left( {1} over {2} -t ^{2} right) ^{{3} over {2}} `dt}` = root{2} over 2 int _{0} ^{{pi } over {4}} {cos ^{4} theta `d theta }`]

제시문 (라)를 이용하면

[eqn: V & = {root{2}} over 2 int _{0} ^{{pi } over {4}} {(cos ^{2} theta ) ^{2} d theta }# & = {root{2}} over 2 int _{0} ^{{pi } over {4}} {LEFT ( {cos2 theta +1} over {2} RIGHT ) ^{2} `d theta }# & = {sqrt {2}} over {8} int _{0} ^{{pi } over {4}} {LEFT ( cos ^{2} 2 theta +2cos2 theta +1 RIGHT ) `d theta }# & = {sqrt {2}} over {8} int _{0} ^{{pi } over {4}} {LEFT ( {cos4 theta +1} over {2} +2cos2 theta +1 RIGHT ) `d theta } #&= root{2} over 8 left[ 1 over 8 ` sin 4 theta + sin 2 theta + 3 over 2 theta right]_0 ^{pi over4} #& ={root{2}} over 8 + {3 root{2}} over 64 pi `]

그러므로 주어진 입체의 부피는 [eqn: {root{2}} over 8 + {3 root{2}} over 64 pi `]이다.

[문항 2]

[2-1]

제시문 (가), (나)에 따라

[eqn: f(x)=x-alpha`], [eqn: g `prime (x)=(x-beta ) ^{n}`], [eqn: a=alpha} `], [eqn: b= beta`]라 하고 부분적분법을 이용하면

[eqn: LEFT. int _{alpha } ^{beta } {(x- alpha )(x- beta ) ^{n} `dx} ` &= LEFT [ (x- alpha ) LEFT { {1} over {n+1} LEFT ( x- beta RIGHT ) ^{n+1} right} RIGHT ] _{alpha } ^{beta } - int _{alpha } ^{beta } {{1} over {n+1} LEFT ( x- beta RIGHT ) ^{n+1} `dx} # & =`- LEFT [ {1} over {(n+1)(n+2)} LEFT ( x- beta RIGHT ) ^{n+2} RIGHT ] _{alpha } ^{beta } #& = {1} over {(n+1)(n+2)} LEFT ( alpha - beta RIGHT ) ^{n+2}`]

이다.

【별해】

[eqn: int_ alpha ^beta (x - alpha ) (x- beta)^n `dx &= int_alpha ^beta left{ (x- beta) + (beta - alpha) right} (x-beta)^n `dx #& = int_ alpha ^beta left{ (x- beta)^n+1 +(beta - alpha) (x- beta)^n right}`dx #& = left[ 1 over n+2 (x- beta)^n+2 - (alpha - beta) (x- beta)^n+1 right]_alpha ^beta #& = `- 1 over n+2 (alpha - beta)^n+2 + 1 over n+1 (alpha - beta)^n+2 #& = 1 over {(n+1) (n+2)} (alpha - beta)^n+2`]

[2-2]

먼저 근의 공식을 이용하여 [eqn: x ^{2} -a`x-b=0`]의 두 근을 [eqn: alpha`], [eqn: beta`]([eqn: alpha <beta`])라 하면

[eqn: alpha = {1} over {2} LEFT (` a- sqrt {a ^{2} +4b} `RIGHT )`],  [eqn: beta = {1} over {2} LEFT ( `a+ sqrt {a ^{2} +4b} `RIGHT ) `]

이다. 한편 영역 [eqn: D(a`,``b)`]의 넓이는 [2-1]의 결과에 의해

[eqn: int _{alpha } ^{beta } {LEFT ( a`x+b-x ^{2} RIGHT )} `dx` & =`- int _{alpha } ^{beta } {(x- alpha )(x- beta )`dx`} =`- {1} over {6} ( alpha - beta ) ^{3}# & = {1} over {6} ( beta - alpha ) ^{3}# & = {1} over {6} (a ^{2} +4b) sqrt {a ^{2} +4b} `]

이다. 따라서 영역 [eqn: D(a`,``b)`]의 넓이가 유리수일 조건은 [eqn: sqrt {a ^{2} +4b}`]가 유리수이어야 한다.

[eqn: c`]를 구하면 [eqn: c=beta - alpha = sqrt {a ^{2} +4b}`]이며 [eqn: a`], [eqn: b`]가 자연수이므로 [eqn: c`]는 자연수이다.

이제 [eqn: alpha LEQ x LEQ beta`]에 대하여 [eqn: L(a`,``b)`]를 구하여 보자.

만일 [eqn: a`]가 짝수이면 [eqn: a^2 +4b`]가 [eqn: 4`]의 배수가 되어서 [eqn: c`]는 짝수가 되고, [eqn: a`]가 홀수이면 [eqn: a^2 +4b`]가 홀수가 되어서 [eqn: c`]가 홀수가 된다. (홀수)[eqn: `±`](홀수)[eqn: =](짝수), (짝수)[eqn: `±`](짝수)[eqn: =](짝수)이다.

따라서

[eqn: alpha = {1} over {2} LEFT ( `a- sqrt {a ^{2} +4b} ` RIGHT ) `= {1} over {2} LEFT ( a-c RIGHT ) `],  [eqn: beta = {1} over {2} LEFT ( `a+ sqrt {a ^{2} +4b} ` RIGHT ) `= {1} over {2} LEFT ( a+c RIGHT ) `]

이므로 [eqn: alpha`], [eqn: beta`]는 모두 정수이다.

[eqn: k=0`,``1`, ``CDOTS `,`` beta - alpha =c`]라 하자. [eqn: x= alpha +k`]에 대하여 영역 [eqn: D(a`,`b)`]의 [eqn: x`]좌표와 [eqn: y`] 좌표가 정수인 점의 집합과 집합의 개수 [eqn: L(a`,``b)`]를 구하여 보면

[eqn: k=0`] : [eqn: LEFT { ( alpha `,`` alpha ` _{} ^{2} ) RIGHT } `]이므로 [eqn: 1`]개

[eqn: k=1`] : [eqn: LEFT { ( alpha +1`,``d)`` LEFT | `` ( alpha +1) ^{2} le d le a( alpha +1)+b ` RIGHT } `]이고

[eqn: LEFT { a( alpha +1)+b RIGHT } `-( alpha +1) ^{2} +1 & = LEFT { ( alpha + beta )( alpha +1)- alpha beta RIGHT } `-( alpha +1) ^{2} +1`]

[eqn: = beta `- alpha =c`]

이므로 [eqn: c`]개

[eqn: vdots]

[eqn: k=t`] :  [eqn: LEFT { ( alpha +t`,``d)`` LEFT | `` ( alpha +t) ^{2} le d le a( alpha +t)+b ` RIGHT } `]이고	[eqn: LEFT { a( alpha +t)+b RIGHT } `-( alpha +t) ^{2} +1 & = LEFT { ( alpha + beta )( alpha +t)- alpha beta RIGHT } `-( alpha +t) ^{2} +1`# # ` & =`-t ^{`2} `+`t( beta - alpha )+1`# # ` & =`-t ^{`2} `+`c`t`+1]

이므로 [eqn: left( -t ^{`2} +c`t+1` right)]개

[eqn: vdots]

[eqn: k=c`] : [eqn: LEFT { ( beta `,`` beta ` _{} ^{2} ) RIGHT } `]이므로 [eqn: 1`]개

이다. 따라서 구하는 값은

[eqn: sum _{t=0} ^{c} LEFT ( -`t ^{``2} +c`t+1` RIGHT ) ` & =`- {1} over {6} c(c+1)(2c+1)+c` {c(c+1)} over {2} +(1+c)# & = {1} over {6} (1+c)(-2c` ^{2} -c+3c ^{``2} +6)# & = {1} over {6} (1+c)(c` ^{2} -c+6)`]

이다.

[문항 3]

[3-1]

[eqn: rmA]

[eqn: rm C]

[eqn: BULLET]

[eqn: BULLET]

[eqn: STAR]

[eqn: STAR]

[eqn: SWARROW `]방향으로 [eqn: 1`]만큼 이동하는 것을 [eqn: a`],

[eqn: SEARROW `]방향으로 [eqn: 1`]만큼 이동하는 것을 [eqn: b`],

[eqn: -> `]방향으로 [eqn: 1`]만큼 이동하는 것을 [eqn: c`],

[eqn: larrow `]방향으로 [eqn: 1`]만큼 이동하는 것을 [eqn: d`]라 하면

이동거리가 [eqn: 5`]인 경로는 다음과 같은 두 가지 경우가 있다.

(ⅰ) [eqn: a`,``a`,``a`,``b`,``c`]를 일렬로 나열하는 경우

[eqn: a`,``a`,``a`,``b`,``c`]를 일렬로 나열하는 전체 경우의 수는 [eqn: {5!} over {3!} =20`](가지)이다.

이 중에서 그림의 표시된 지점([eqn: STAR])에서는 [eqn: -> `]방향으로는 이동할 수 없으므로

1) [eqn: c`]를 먼저 선택하고 나머지 [eqn: a`,``a`,``a`,``b`]를 일렬로 나열하는 경우의 수 [eqn: {4!} over {3!} =4`](가지)

2) [eqn: b`,`c`]순으로 선택하고 나머지 [eqn: a`,``a`,``a`]를 일렬로 나열하는 경우의 수 [eqn: {3!} over {3!} =1`](가지)

의 [eqn: 5`]가지의 경우는 위 도로망에서 불가능하다.

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 20-5=15`](가지)이다.

(ⅱ) [eqn: a`,``b`,``b`,``b`,``d`]를 일렬로 나열하는 경우

(ⅰ)과 같은 방법으로 구하면 [eqn: 15`](가지)이다.

그러므로 (ⅰ), (ⅱ)에 의해서 이동거리가 [eqn: 5`]인 경로는 [eqn: 15+15=30`](가지)이다.

※ 참고

좌표평면 위에 [eqn: rmA]지점을 [eqn: (0`,``0)`]으로 두고, 각 방향으로 [eqn: 1`]만큼 이동하는 것을

[eqn: SWARROW `]방향 : [eqn: {vec{a}} `=(1`,``0)`],	[eqn: SEARROW `]방향 : [eqn: {vec{b}} `=(0`,``1)`]

[eqn: -> `]방향 : [eqn: {vec{c}} `=(-1`,``1)`],	[eqn: larrow `]방향 : [eqn: {vec{d}} `=(1`,``-1)`]

이라 하자. [eqn: rmC`]지점은 [eqn: (2`,``2)`]이므로 위 네 방향으로 이동하는 횟수를 각각 [eqn: x`,``y`,``z`,``w`]라 두면

[eqn: {cases{``x+y+z+w=5#``x-z+w=2#``y+z-w=2}}]

이 성립하고, 연립방정식을 풀면

[eqn: x=3`,``y=1`,``z=1`,``w=0`] 혹은 [eqn: x=1`,``y=3`,``z=0`,``w=1]

의 두 가지의 경우만 존재한다.

[3-2]

그림의 표시된 세 지점([eqn: STAR])에서는 [eqn: -> `]방향으로는

[eqn: rmA]

[eqn: rmB`]

[eqn: BULLET]

[eqn: BULLET]

[eqn: STAR]

[eqn: STAR _{1}]

[eqn: STAR _{2}]

이동할 수 없다.

즉, 뽑은 카드가 [eqn: 3`]이면 남은 두 장의 카드 중에서 한 장의 카드를 다시 뽑아야 하므로

[eqn: STAR]지점에서 각 방향으로 이동할 수 있는 확률은

[eqn: {1} over {3} + {1} over {3} times {1} over {2} = {1} over {2} `]

[eqn: STAR]지점 이외에서는 [eqn: rmB`]지점까지 이동할 때 지나는 모든 점에서 각 방향으로 이동할 수 있는 확률은 [eqn: {1} over {3} `]이다.

위 시행을 반복하였을 때

[eqn: rmA`]지점을 출발하여 [eqn: rmB`]지점에 도착하는 사건을 [eqn: L`]이라 하고,

이동한 거리가 [eqn: 3`]인 사건을 [eqn: D _{3}], 이동한 거리가 [eqn: 4`]인 사건을 [eqn: D _{4} `]라 하자.

[eqn: rm P( it X=3)`= rm P( it D _{3} `|`L)=` {rm P( it D _{3`} SMALLINTER `L)} over {rm P( it L)} `]이고

[eqn: rm ` rm P( it D _{3`} SMALLINTER `L)`]은 다음의 네 가지 경우로 나누어서 구할 수 있다.

(ⅰ) [eqn: STAR _{1}], [eqn: STAR _{2}] 두 지점을 모두 지나지 않는 경우 : [eqn: {1} over {2`} times {1} over {3} times {1} over {3} =` {1} over {18} `]

(ⅱ) [eqn: STAR _{1}]지점은 지나고, [eqn: STAR _{2}]지점을 지나지 않는 경우 : [eqn: {1} over {2`} TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {3} =` {1} over {12} `]

(ⅲ) [eqn: STAR _{1}]지점은 지나지 않고, [eqn: STAR _{2}]지점을 지나는 경우 : [eqn: 0`]

(ⅳ) [eqn: STAR _{1}], [eqn: STAR _{2}] 두 지점을 모두 지나는 경우 :  [eqn: {1} over {2`} TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {2} =` {1} over {8} `]

따라서 [eqn: rm P( it D _{3} `` SMALLINTER `L)= {1} over {18} + {1} over {12} + {1} over {8} `= {19} over {72} `]이다.

[eqn: rm P( it X=4)`= rm P( it D _{4} `|`L)=` {rm P( it D _{4`} SMALLINTER `L)} over {rm P( it L)} `]이고

[eqn: rm ` rm P( it D _{4`} SMALLINTER `L)`]은 다음의 네 가지 경우로 나누어서 구할 수 있다.

(ⅰ) [eqn: STAR _{1}], [eqn: STAR _{2}] 두 지점을 모두 지나지 않는 경우 : [eqn: {1} over {2`} TIMES {1} over {3} TIMES {1} over {3} times {1} over {3} times3=` {1} over {18} `]

(ⅱ) [eqn: STAR _{1}]지점은 지나고, [eqn: STAR _{2}]지점을 지나지 않는 경우 : [eqn: {1} over {2`} TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {3} TIMES {1} over {3} TIMES 2=` {1} over {18} `]

(ⅲ) [eqn: STAR _{1}]지점은 지나지 않고, [eqn: STAR _{2}]지점을 지나는 경우 : [eqn: {1} over {2`} TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {3} TIMES {1} over {3} TIMES 1=` {1} over {36} `]

(ⅳ) [eqn: STAR _{1}], [eqn: STAR _{2}] 두 지점을 모두 지나는 경우 : [eqn: {1} over {2`} TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {3} TIMES 2=` {1} over {12} `]

따라서 [eqn: rm P( it D _{4} ` SMALLINTER L)= {1} over {18} + {1} over {18} + {1} over {36} + {1} over {12} `= {2} over {9} ``]이다.

그러므로 [eqn: rm {P( it X=3) rm} over {rm P( it X=4) rm} `= rm {P( it D _{3} ` SMALLINTER `L) rm} over {rm P( it D _{4} ` SMALLINTER `L) rm} `= {{19} over {72}} over {{2} over {9}} `= {19} over {16} `]

【별해】

위 시행을 반복하였을 때

[eqn: rmA`]지점을 출발하여 [eqn: rmB`]지점에 도착하는 사건을 [eqn: L`]이라 하고,

이동한 거리가 [eqn: 3`]인 사건을 [eqn: D _{3}], 이동한 거리가 [eqn: 4`]인 사건을 [eqn: D _{4} `],

이동한 거리가 [eqn: 5`]인 사건을 [eqn: D _{5} `]라 하자.

(ⅰ) [eqn: rm P( it D _{3} `` SMALLINTER `L)= {1} over {18} + {1} over {12} + {1} over {8} `= {19} over {72} `]

(ⅱ) [eqn: rm P( it D _{4} ` SMALLINTER L)= {1} over {18} + {1} over {18} + {1} over {36} + {1} over {12} `= {2} over {9} ``]

(ⅲ) [eqn: rm ` rm P( it D _{5`} SMALLINTER `L)`]은 다음의 네 가지 경우로 나누어서 구할 수 있다.

1) [eqn: STAR _{1}], [eqn: STAR _{2}] 두 지점을 모두 지나지 않는 경우 : [eqn: {1} over {2`} TIMES {1} over {3} TIMES {1} over {3} TIMES {1} over {3} TIMES {1} over {3} times2=` {1} over {81} `]

2) [eqn: STAR _{1}]지점은 지나고, [eqn: STAR _{2}]지점을 지나지 않는 경우 : [eqn: {1} over {2`} TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {3} TIMES {1} over {3} TIMES {1} over {3} times1=` {1} over {108} `]

3) [eqn: STAR _{1}]지점은 지나지 않고, [eqn: STAR _{2}]지점을 지나는 경우 : [eqn: {1} over {2`} TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {3} TIMES {1} over {3} TIMES {1} over {3} times1=` {1} over {108} `]

4) [eqn: STAR _{1}], [eqn: STAR _{2}] 두 지점을 모두 지나는 경우 : [eqn: {1} over {2`} TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {3} TIMES {1} over {3} times1=` {1} over {72} `]

따라서 [eqn: rm P( it D _{5} ` SMALLINTER L)= {1} over {81} + {1} over {108} + {1} over {108} + {1} over {72} `= {29} over {648} `]

그러므로 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해서

[eqn: rm P( it L)= rm P( it D _{3} SMALLINTER L)+P( it D _{4} SMALLINTER L)+P( it D _{5} SMALLINTER L)= {19} over {72} + {2} over {9} + {29} over {648} `= {43} over {81} `]

[eqn: rm P( it X=3)`= rm P( it D _{3} `|`L)=` {rm P( it D _{3`} SMALLINTER `L)} over {rm P( it L)} `= {{19} over {72}} over {{43} over {81}} `= {171} over {344}]

[eqn: rm P( it X=4)`= rm P( it D _{4} `|`L)=` {rm P( it D _{4`} SMALLINTER `L)} over {rm P( it L)} `= {{2} over {9}} over {{43} over {81}} `= {18} over {43} `]

이므로 [eqn: rm {P( it X=3) rm} over {rm P( it X=4) rm} `={{171}over{344}}over{{18}over{43}}`= {19} over {16} `]