2019학년도 수시모집 논술전형 논술고사 출제의도 및 예시답안

시험유형	인문․사회계	자연계	의학계
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출 제 의 도

[문항 1]

본 문항에서는 정적분으로 정의된 함수 [eqn: f(x)]에 대해 제시된 조건을 만족하는 함수 [eqn: f(x)]를 찾아내어, 정적분의 값을 구할 수 있는지를 평가하고자 한다.

[1-1] 문제 상황을 파악하고 주어진 조건을 만족하는 함수 [eqn: f(x)]의 이계도함수 [eqn: f`''(x)]를 합성함수의 미분, 역함수의 미분을 활용하여 [eqn: f(x)]와 [eqn: f`''(x)]의 관계식을 구할 수 있는지를 평가하는 문항이다.

[1-2] [1-1]에서 구한 함수 [eqn: f(x)]를 활용하여 주어진 정적분의 값을 계산할 수 있는지를 평가하는 문항이다.

[문항 2]

본 문항에서는 타원과 직선이 접할 때, 제시된 입체도형의 부피의 최솟값을 구할 수 있는지를 평가하고자 한다.

[2-1] 문제 상황을 파악하고 상황에 맞는 타원과 직선의 위치 관계를 이해하여, 접선의 방정식을 구할 수 있는지를 평가하는 문항이다.

[2-2] 상황에 맞도록 입체도형의 부피를 식으로 나타내어, 부피의 최솟값을 구할 수 있는지를 평가하는 문항이다.

[문항 3]

본 문항에서는 합의 법칙과 같은 것이 있는 순열을 이용하여 주어진 상황을 만족하는 경우의 수를 구하고, 확률의 덧셈정리와 조건부확률을 이용하여 구하려는 값을 정확하게 계산할 수 있는지를 평가하고자 한다.

[3-1] 합의 법칙과 같은 것이 있는 순열을 이용하여 주어진 상황을 만족하는 경우의 수를 구할 수 있는지를 평가하는 문항이다.

[3-2] 확률의 덧셈정리와 조건부확률을 이용하여 구하려는 확률의 비의 값을 구할 수 있는지를 평가하는 문항이다.

문 항 해 설

[문항 1]

본 문항은 정적분으로 정의된 함수 [eqn: f(x)]에 대한 조건을 적절히 변형하여 함수 [eqn: f(x)]를 찾고, [eqn: f(x)]와 [eqn: f`''(x)]의 관계식, 치환적분을 이용하여 주어진 정적분의 값을 정확하게 계산할 수 있는지를 평가한다.

[문항 2]

타자가 야구공을 쳤을 때 공이 날아가면서 그리는 곡선, 햇빛이 비치는 바닥에 놓여 있는 공의 그림자의 경계, 태양 옆을 지나면서 다시는 태양계로 돌아오지 않는 비주기 혜성의 궤도 등 실생활에서 이차곡선의 예를 많이 찾아 볼 수 있다. 본 문항은 타원의 접선의 방정식을 나타내어 원하는 삼각형의 넓이를 구하고, 사면체의 부피의 최솟값을 음함수의 미분법과 몫의 미분법, 합성함수의 미분법을 이용하여 상황에 맞도록 문제를 해결하고, 풀이 과정을 논리적으로 전개할 수 있는지를 평가한다.

[문항 3]

주어진 상황에서 자신이 선택할 수 있는 방법 중에서 합리적인 방법을 선택할 수 있다는 것은 매우 중요하다. 본 문항은 합의 법칙, 같은 것이 있는 순열을 이용하여 주어진 상황에 맞는 경우의 수를 구할 수 있는지, 확률의 덧셈정리, 조건부확률을 이용하여 구하려는 두 확률의 값의 비를 구할 수 있는지, 풀이 과정을 논리적으로 전개할 수 있는지를 평가한다.

예 시 답 안

[문항 1]

[1-1]

[eqn: f` prime (x)= sqrt {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} +1}]이고, [eqn: LEFT { f` prime (x) RIGHT } ^{2} = LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} +1`]이다. [eqn: left( LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} +1`>0`right)]

[eqn: f` prime (x)]를 미분하면

[eqn: f` '' (x)= {2f(x)`f` prime (x)} over {2 sqrt {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} +1}} = {f(x) sqrt {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} +1}} over {sqrt {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} +1}} =f(x)]

따라서 [eqn: f`''(x)=f(x)]이다.

이 식의 양변에 [eqn: f'(x)`]를 더하면

[eqn: f` '' (x)+f` prime (x)=f(x)+f` prime (x)]

이고, [eqn: f(x)+f` prime (x)=f(x)+ sqrt {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} +1} `>0] 이므로 양변을 [eqn: f(x)+f'(x)]로 나누면

[eqn: {f`'(x)+f`''(x)} over {f(x)+f`'(x)} =1]

이다. 양변을 부정적분하면

[eqn: int _{} ^{} {{f` prime (x)+f` '' (x)} over {f(x)+f` prime (x)}} dx= int _{} ^{} {1} dx]

따라서

[eqn: ln LEFT { f(x)+f prime (x) RIGHT } =x+C] (단, [eqn: C`]는 적분상수)

이다. 여기서

[eqn: f(0)= int _{0} ^{0} {sqrt {LEFT { f(t) RIGHT } ^{2} +1}} dt =0],  [eqn: f` prime (0)= sqrt {LEFT { f(0) RIGHT } ^{2} +1} =1]

이므로 [eqn: ln LEFT { f(0)+f prime (0) RIGHT } =ln1=C=0]이 성립한다. 그러므로

[eqn: ln LEFT { f(x)+f prime (x) RIGHT } =x]

이다. 따라서 [eqn: f(x)+f` prime (x)=`e ^{x}] 이다.
한편 [eqn: f` prime (x)= sqrt {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} +1}] 이므로 위 식에 대입하면

[eqn: f(x)+ sqrt {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} +1} =e ^{x}]

[eqn: sqrt {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} +1}=e^x -f(x)]

이다. 양변을 제곱하면

[eqn: {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} +1}=e^2x -2e^x f(x)+ {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2]

∴ [eqn: f(x)= {e ^{2x} -1} over {2e ^{x}} = {e ^{x} -e ^{-x}} over {2}]

[1-2]

[eqn: f` prime (x)= {e ^{x} +e ^{-x}} over {2}]이므로 [eqn: {f(x)} over {f` prime (x)} `= {e ^{x} -e ^{-x}} over {e ^{x} +e ^{-x}}] 이다.

[eqn: int _{0} ^{1} {LEFT { {f(x)} over {f`'(x)} RIGHT } ^{2} `dx}][eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT ( {e ^{x} -e ^{-x}} over {e ^{x} +e ^{-x}} RIGHT )} ^{2} dx][eqn: = int _{0} ^{1} {{LEFT ( e ^{x} +e ^{-x} RIGHT ) ^{2} -4} over {LEFT ( e ^{x} +e ^{-x} RIGHT ) ^{2}}} dx]

[eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT { 1- {4} over {LEFT ( e ^{x} +e ^{-x`} RIGHT ) ^{2}} RIGHT }} dx=1- int _{0} ^{1} {{4} over {LEFT ( e ^{x} +e ^{-x`} RIGHT ) ^{2}}} dx]
이다. 여기서

[eqn: int _{0} ^{1} {{4} over {LEFT ( e ^{x} +e ^{-x`} RIGHT ) ^{2}}} dx= int _{0} ^{1} {{4} over {LEFT ( e ^{x} + {1} over {e ^{x}} RIGHT ) ^{2} ``} dx``= int _{0} ^{1} {{4} over {LEFT ( {e ^{2x} +1} over {e ^{x}} RIGHT ) ^{2} ``} dx}}][eqn: = int _{0} ^{1} {{4e ^{2x}} over {LEFT ( e ^{2x} +1 RIGHT ) ^{2}} dx}]

이다. [eqn: t=e ^{2x} +1`]로 놓으면 [eqn: {dt} over {dx} =2e ^{2x`}],
[eqn: x=0`]일 때 [eqn: t=2`]이고 [eqn: x=1`]일 때 [eqn: t=e ^{2`} +1]이므로

[eqn: int _{0} ^{1} {{4e ^{2x}} over {LEFT ( e ^{2x} +1 RIGHT ) ^{2}} dx``} = int _{2} ^{e ^{2} +1} {` {2} over {t ^{2}} dt}`][eqn: =2 LEFT [ - {1} over {t} RIGHT ] _{2} ^{e ^{2} +1} =`- {2} over {e ^{2} +1} +1]

이다. 따라서

∴ [eqn: int _{0} ^{1} {LEFT ( {e ^{x} -e ^{-x}} over {e ^{x} +e ^{-x}} RIGHT )} ^{2} dx=1- int _{0} ^{1} {{4} over {left(e ^{x} +e ^{-x`} right) ^{2}}} dx][eqn: =1- LEFT ( - {2} over {e ^{2`} +1} +1 RIGHT ) `= {2} over {e ^{2} +1}]

[문항 2]

[2-1]

[eqn: 2x over 9`+`left(2y over 4 right) {d y} over {dx } = 0 `]이므로 [eqn: {d y} over {d x} = LEFT ( - {2x} over {9} RIGHT ) LEFT ( {4} over {2y} RIGHT ) `=`- {4x} over {9y} `]이다.

따라서 접선의 방정식은	[eqn: y-y _{1} =`- {4x _{1}} over {9y _{1}} (x-x _{1} )`]	[eqn: cdotscdots] (*)

이다. 이 직선이 [eqn: rm P it(0,``t)`]를 지나므로

[eqn: t-y _{1} =`- {4x _{1}} over {9y _{1}} (0-x _{1} )`]

[eqn: t= {4x _{1} ` ^{2} +9y _{1} ` ^{2}} over {9y _{1}} `= {36} over {9y _{1}} `= {4} over {y _{1}}]

[eqn: therefore``````y _{1} = {4} over {t} `]

이것을 [eqn: {x_1`^2}over9 + {y_1`^2} over 4 = 1]에 대입하여 [eqn: x_1 `]을 구하면

[eqn: x _{1} =`± {3 sqrt {t ^{2} -4}} over {t}]

이다. 이때 구한 [eqn: x_1 `]과 [eqn: y_1`]을 (*)에 대입하면 두 접선의 방정식은 각각

[eqn: y= {sqrt{t^2 -4}over3 x +t `], [eqn: y=` - {sqrt{t^2 -4}over3 x +t `]

이 된다.

[eqn: x^2 over 9 + y^2 over 4 = 1`]

[eqn: \O`]

[eqn: x``]

[eqn: y=`-2`]

[eqn: y``]

[eqn: {\P}( 0,```t)`]

[2-2]

[eqn: rm P`]의 좌표는 [eqn: (0, ``t, ``0)`]이므로 (1)의 결과를 이용하면 두 접선이 직선 [eqn: y=`-2`], [eqn: z=0`]과 만나는 두 점 [eqn: rm A,``B `]는 각각

[eqn: rm A it left({-3(t+2)}oversqrt{t^2 -4}`,`` -2 , ``0 right)`], [eqn: rm B itleft({3(t+2)}oversqrt{t^2 -4}`,`` -2, ``0 right)`]

이므로 삼각형 [eqn: rm PAB` `]의 넓이 [eqn: S`]는

[eqn: S`={1} over {2} TIMES {6(t+2)} over {sqrt {t ^{2} -4}} TIMES (t+2)`= {3(t+2) ^{2}} over {sqrt {t ^{2} -4}}]

이다. 따라서 사면체 [eqn: rm QPAB]의 부피 [eqn: V`]는

[eqn: V` & = {1} over {3} TIMES (삼각형`` rm PAB의``넓이) TIMES {bar{PQ}}# & = {1} over {3} TIMES {3(t+2) ^{2 ^{`}}} over {sqrt {t ^{2} -4}} TIMES (t+2)= {(t+2) ^{3}} over {sqrt {t ^{2} -4}}]

이다. 이것을 [eqn: f(t)`]라 두고 미분하면

[eqn: f` prime (t) & = {3(t+2) ^{2} sqrt {t ^{2} -4} -(t+2) ^{3} TIMES {not2 `t} over {not2 ` sqrt {t ^{2} -4}}} over {t ^{2} -4}# & = {2(t+2) ^{2 ^{` ^{`}}} (t-3)} over {(t-2) sqrt {t ^{2} -4}}]

이고

[eqn: t]	[eqn: cdots]	[eqn: 3]	[eqn: cdots]
[eqn: f`prime(t)]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(t)]	↘	[eqn: 25sqrt5]	↗

[eqn: t>2 `]이므로 위 증감표에 의해 [eqn: t=3`]일 때, [eqn: f(t)`]는 극소가 되면서 최솟값을 갖는다.

따라서 최솟값은 [eqn: t=3`]일 때

[eqn: f(3)= {1} over {3} TIMES {3 CDOT 5 ^{2}} over {sqrt {5}} TIMES 5= {125} over {sqrt {5}} =25 sqrt {5} `]

이다.

[문항 3]

[3-1]

[eqn: rmA]

[eqn: rm C]

[eqn: BULLET]

[eqn: BULLET]

[eqn: STAR]

[eqn: STAR]

[eqn: SWARROW `]방향으로 [eqn: 1`]만큼 이동하는 것을 [eqn: a`],

[eqn: SEARROW `]방향으로 [eqn: 1`]만큼 이동하는 것을 [eqn: b`],

[eqn: -> `]방향으로 [eqn: 1`]만큼 이동하는 것을 [eqn: c`],

[eqn: larrow `]방향으로 [eqn: 1`]만큼 이동하는 것을 [eqn: d`]라 하면

이동거리가 [eqn: 5`]인 경로는 다음과 같은 두 가지 경우가 있다.

(ⅰ) [eqn: a`,``a`,``a`,``b`,``c`]를 일렬로 나열하는 경우

[eqn: a`,``a`,``a`,``b`,``c`]를 일렬로 나열하는 전체 경우의 수는 [eqn: {5!} over {3!} =20`](가지)이다.

이 중에서 그림의 표시된 지점([eqn: STAR])에서는 [eqn: -> `]방향으로는 이동할 수 없으므로

1) [eqn: c`]를 먼저 선택하고 나머지 [eqn: a`,``a`,``a`,``b`]를 일렬로 나열하는 경우의 수 [eqn: {4!} over {3!} =4`](가지)

2) [eqn: b`,`c`]순으로 선택하고 나머지 [eqn: a`,``a`,``a`]를 일렬로 나열하는 경우의 수 [eqn: {3!} over {3!} =1`](가지)

의 [eqn: 5`]가지의 경우는 위 도로망에서 불가능하다.

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 20-5=15`](가지)이다.

(ⅱ) [eqn: a`,``b`,``b`,``b`,``d`]를 일렬로 나열하는 경우

(ⅰ)과 같은 방법으로 구하면 [eqn: 15`](가지)이다.

그러므로 (ⅰ), (ⅱ)에 의해서 이동거리가 [eqn: 5`]인 경로는 [eqn: 15+15=30`](가지)이다.

※ 참고

좌표평면 위에 [eqn: rmA]지점을 [eqn: (0`,``0)`]으로 두고, 각 방향으로 [eqn: 1`]만큼 이동하는 것을

[eqn: SWARROW `]방향 : [eqn: {vec{a}} `=(1`,``0)`],	[eqn: SEARROW `]방향 : [eqn: {vec{b}} `=(0`,``1)`]

[eqn: -> `]방향 : [eqn: {vec{c}} `=(-1`,``1)`],	[eqn: larrow `]방향 : [eqn: {vec{d}} `=(1`,``-1)`]

이라 하자. [eqn: rmC`]지점은 [eqn: (2`,``2)`]이므로 위 네 방향으로 이동하는 횟수를 각각 [eqn: x`,``y`,``z`,``w`]라 두면

[eqn: {cases{``x+y+z+w=5#``x-z+w=2#``y+z-w=2}}]

이 성립하고, 연립방정식을 풀면

[eqn: x=3`,``y=1`,``z=1`,``w=0`] 혹은 [eqn: x=1`,``y=3`,``z=0`,``w=1]

의 두 가지의 경우만 존재한다.

[3-2]

그림의 표시된 세 지점([eqn: STAR])에서는 [eqn: -> `]방향으로는

[eqn: rmA]

[eqn: rmB`]

[eqn: BULLET]

[eqn: BULLET]

[eqn: STAR]

[eqn: STAR _{1}]

[eqn: STAR _{2}]

이동할 수 없다.

즉, 뽑은 카드가 [eqn: 3`]이면 남은 두 장의 카드 중에서 한 장의 카드를 다시 뽑아야 하므로

[eqn: STAR]지점에서 각 방향으로 이동할 수 있는 확률은

[eqn: {1} over {3} + {1} over {3} times {1} over {2} = {1} over {2} `]

[eqn: STAR]지점 이외에서는 [eqn: rmB`]지점까지 이동할 때 지나는 모든 점에서 각 방향으로 이동할 수 있는 확률은 [eqn: {1} over {3} `]이다.

위 시행을 반복하였을 때

[eqn: rmA`]지점을 출발하여 [eqn: rmB`]지점에 도착하는 사건을 [eqn: L`]이라 하고,

이동한 거리가 [eqn: 3`]인 사건을 [eqn: D _{3}], 이동한 거리가 [eqn: 4`]인 사건을 [eqn: D _{4} `]라 하자.

[eqn: rm P( it X=3)`= rm P( it D _{3} `|`L)=` {rm P( it D _{3`} SMALLINTER `L)} over {rm P( it L)} `]이고

[eqn: rm ` rm P( it D _{3`} SMALLINTER `L)`]은 다음의 네 가지 경우로 나누어서 구할 수 있다.

(ⅰ) [eqn: STAR _{1}], [eqn: STAR _{2}] 두 지점을 모두 지나지 않는 경우 : [eqn: {1} over {2`} times {1} over {3} times {1} over {3} =` {1} over {18} `]

(ⅱ) [eqn: STAR _{1}]지점은 지나고, [eqn: STAR _{2}]지점을 지나지 않는 경우 : [eqn: {1} over {2`} TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {3} =` {1} over {12} `]

(ⅲ) [eqn: STAR _{1}]지점은 지나지 않고, [eqn: STAR _{2}]지점을 지나는 경우 : [eqn: 0`]

(ⅳ) [eqn: STAR _{1}], [eqn: STAR _{2}] 두 지점을 모두 지나는 경우 :  [eqn: {1} over {2`} TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {2} =` {1} over {8} `]

따라서 [eqn: rm P( it D _{3} `` SMALLINTER `L)= {1} over {18} + {1} over {12} + {1} over {8} `= {19} over {72} `]이다.

[eqn: rm P( it X=4)`= rm P( it D _{4} `|`L)=` {rm P( it D _{4`} SMALLINTER `L)} over {rm P( it L)} `]이고

[eqn: rm ` rm P( it D _{4`} SMALLINTER `L)`]은 다음의 네 가지 경우로 나누어서 구할 수 있다.

(ⅰ) [eqn: STAR _{1}], [eqn: STAR _{2}] 두 지점을 모두 지나지 않는 경우 : [eqn: {1} over {2`} TIMES {1} over {3} TIMES {1} over {3} times {1} over {3} times3=` {1} over {18} `]

(ⅱ) [eqn: STAR _{1}]지점은 지나고, [eqn: STAR _{2}]지점을 지나지 않는 경우 : [eqn: {1} over {2`} TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {3} TIMES {1} over {3} TIMES 2=` {1} over {18} `]

(ⅲ) [eqn: STAR _{1}]지점은 지나지 않고, [eqn: STAR _{2}]지점을 지나는 경우 : [eqn: {1} over {2`} TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {3} TIMES {1} over {3} TIMES 1=` {1} over {36} `]

(ⅳ) [eqn: STAR _{1}], [eqn: STAR _{2}] 두 지점을 모두 지나는 경우 : [eqn: {1} over {2`} TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {3} TIMES 2=` {1} over {12} `]

따라서 [eqn: rm P( it D _{4} ` SMALLINTER L)= {1} over {18} + {1} over {18} + {1} over {36} + {1} over {12} `= {2} over {9} ``]이다.

그러므로 [eqn: rm {P( it X=3) rm} over {rm P( it X=4) rm} `= rm {P( it D _{3} ` SMALLINTER `L) rm} over {rm P( it D _{4} ` SMALLINTER `L) rm} `= {{19} over {72}} over {{2} over {9}} `= {19} over {16} `]

【별해】

위 시행을 반복하였을 때

[eqn: rmA`]지점을 출발하여 [eqn: rmB`]지점에 도착하는 사건을 [eqn: L`]이라 하고,

이동한 거리가 [eqn: 3`]인 사건을 [eqn: D _{3}], 이동한 거리가 [eqn: 4`]인 사건을 [eqn: D _{4} `],

이동한 거리가 [eqn: 5`]인 사건을 [eqn: D _{5} `]라 하자.

(ⅰ) [eqn: rm P( it D _{3} `` SMALLINTER `L)= {1} over {18} + {1} over {12} + {1} over {8} `= {19} over {72} `]

(ⅱ) [eqn: rm P( it D _{4} ` SMALLINTER L)= {1} over {18} + {1} over {18} + {1} over {36} + {1} over {12} `= {2} over {9} ``]

(ⅲ) [eqn: rm ` rm P( it D _{5`} SMALLINTER `L)`]은 다음의 네 가지 경우로 나누어서 구할 수 있다.

1) [eqn: STAR _{1}], [eqn: STAR _{2}] 두 지점을 모두 지나지 않는 경우 : [eqn: {1} over {2`} TIMES {1} over {3} TIMES {1} over {3} TIMES {1} over {3} TIMES {1} over {3} times2=` {1} over {81} `]

2) [eqn: STAR _{1}]지점은 지나고, [eqn: STAR _{2}]지점을 지나지 않는 경우 : [eqn: {1} over {2`} TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {3} TIMES {1} over {3} TIMES {1} over {3} times1=` {1} over {108} `]

3) [eqn: STAR _{1}]지점은 지나지 않고, [eqn: STAR _{2}]지점을 지나는 경우 : [eqn: {1} over {2`} TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {3} TIMES {1} over {3} TIMES {1} over {3} times1=` {1} over {108} `]

4) [eqn: STAR _{1}], [eqn: STAR _{2}] 두 지점을 모두 지나는 경우 : [eqn: {1} over {2`} TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {3} TIMES {1} over {3} times1=` {1} over {72} `]

따라서 [eqn: rm P( it D _{5} ` SMALLINTER L)= {1} over {81} + {1} over {108} + {1} over {108} + {1} over {72} `= {29} over {648} `]

그러므로 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해서

[eqn: rm P( it L)= rm P( it D _{3} SMALLINTER L)+P( it D _{4} SMALLINTER L)+P( it D _{5} SMALLINTER L)= {19} over {72} + {2} over {9} + {29} over {648} `= {43} over {81} `]

[eqn: rm P( it X=3)`= rm P( it D _{3} `|`L)=` {rm P( it D _{3`} SMALLINTER `L)} over {rm P( it L)} `= {{19} over {72}} over {{43} over {81}} `= {171} over {344}]

[eqn: rm P( it X=4)`= rm P( it D _{4} `|`L)=` {rm P( it D _{4`} SMALLINTER `L)} over {rm P( it L)} `= {{2} over {9}} over {{43} over {81}} `= {18} over {43} `]

이므로 [eqn: rm {P( it X=3) rm} over {rm P( it X=4) rm} `={{171}over{344}}over{{18}over{43}}`= {19} over {16} `]