2019학년도 대학입학전형 대비 모의논술고사 출제 영역 및 모범답안

시험유형	인문․사회계	자연계	의학계
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【 문항 총괄 】

문항번호		출제범위(고교 과목명)	핵심개념 및 용어	배점 (총 100점)
1	1-1	기하와 벡터	포물선의 성질, 정적분을 이용한 도형의 넓이, 포물선의 접선	7
	1-2	기하와벡터		13
	1-3	기하와 벡터		15
2	2-1	미분과 적분Ⅱ	극한과 적분을 이용하여 도형의 넓이구하기	10
	2-2	미분과 적분Ⅱ		10
	2-3	미분과 적분Ⅱ		15
3	3-1	확률과 통계	경우의 수, 조건부 확률	10
	3-2	확률과 통계		20

1. 자연계 문항1

출제 의도 및 문항해설

본 문항에서는 이차곡선 중 하나인 포물선의 정의를 활용하여 포물선이 가지고 있는 성질을 알아보고, 주어진 조건을 만족하는 도형의 성질을 찾을 수 있는지를 평가하고자 한다.

1-1. 포물선의 정의, 음함수의 미분법을 이용하여 포물선의 접선의 방정식을 구할 수 있는지를 평가하는 문항이다.

1-2. 포물선의 정의를 이용하여 주어진 조건을 만족하는 도형을 찾고, 정적분을 이용하여 도형의 넓이를 구할 수 있는지를 평가하는 문항이다.

1-3. 포물선의 정의를 이용하여 포물선의 접선이 가지고 있는 성질을 알아내고, 관련 문항을 해결 할 수 있는지를 평가하는 문항이다.

출제 근거

참고자료	도서명	저자	발행처	발행 연도	쪽수
고등학교 교과서	기하와 벡터	이준열 외	천재교육	2017	10-16 38-48
	미적분Ⅰ	이준열 외	천재교육	2017	200-206

출제 기준

하위 문항	채점 기준	배점
1-1	포물선의 정의를 이용하여 [eqn: rmbarPF} `=bar{PH} `= it x_1 +p] 를 구할 수 있다.	2
	접선의 방정식 [eqn: y= {2p} over {y _{1}} (x-x _{1} )+y _{1} `]을 구할 수 있다.	3
	[eqn: rmbar{FP' }=`it x_1 +p`]	2
1-2	점 [eqn: rmP`]가 나타내는 도형이 점 [eqn: rmG`]와 선분 [eqn: rmBC`]로부터 같은 거리에 있는 점들의 모임(포물선)의 일부와 같음을 찾을 수 있다.	2
	점 [eqn: rmP`]가 나타내는 도형([그림3])을 찾을 수 있다.	3
	포물선과 직선의 방정식을 바르게 세울 수 있다.	3
	(※)의 넓이를 바르게 구할 수 있다.	3
	점 [eqn: rmP`]가 나타내는 도형의 넓이를 바르게 구할 수 있다.	2
1-3	포물선 위의 점 [eqn: rmP`]에서의 접선이 [eqn: angle rm FPH`]를 이등분함을 알아낸다.	5
	직선 [eqn: l`]이 [eqn: angle rmMBC`]의 이등분선임을 알아낸다.	5
	[eqn: rmbar{BC } : bar{BM } = 8root3 : 12 = bar{CQ} : bar{QM }]의 비례식을 세울 수 있다.	2
	[eqn: rmbar{CQ }`]의 길이를 구할 수 있다.	3

예시 답안

[1-1]

점 [eqn: rmP`]에서 준선 [eqn: x=-p`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH`]라 하면 포물선의 정의에 의해서

[eqn: rmbarPF} `=bar{PH} `= it x_1 +p]

이다. 또한, 포물선 [eqn: y^2 = 4px`]을 미분하면 [eqn: 2y ` dy overdx =4p`]이므로 [eqn: dy overdx = 2p overy`]이 되어

[제시문 (다)]에 의해서 포물선 [eqn: y^ 2 = 4px`] 위의 점 [eqn: rmP(it x_1`,``y_1`)]에서의 접선의 기울기는 [eqn: dy overdx = 2p overy_1`]이고

[제시문 (가)]에 의해서 [eqn: rmP(it x_1`,``y_1`)]에서의 접선의 방정식은 [eqn: y= {2p} over {y _{1}} (x-x _{1} )+y _{1} `]이다.

따라서 점 [eqn: rmP'`]의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: -x_1]이므로

[eqn: rmbar{FP' }=`it x_1 +p`]

이다. 그러므로 삼각형 [eqn: rmFPP'`]는 [eqn: rmbar{FP' }`=bar{FP}]인 이등변삼각형이다.

[1-2]

점 [eqn: rmP`]가 나타내는 도형은 [그림1]과 같이 점 [eqn: rmG`]와 선분 [eqn: rmBC`]로부터 같은 거리에 있는 점들의 모임(포물선)의 일부와 같다.

[그림1]

[eqn: rmB]

[eqn: rmA]

[eqn: rmG]

[eqn: rmC]

[eqn: rm P]

[eqn: rmH]

[eqn: C_1]

원 [eqn: C`]의 모든 점이 삼각형의 변 또는 내부에 있기 위해서는 [그림2]와 같이 포물선이 각 중선과 만나는 두 점 사이를 점 [eqn: rmP`]가 움직여야 한다. 즉, 점 [eqn: rmP`]가 나타내는 도형은 [그림3]과 같다.

[그림2]

[그림3]

따라서 구하는 도형의 넓이는

직선 [eqn: rmGH`], 직선 [eqn: rmGC`], 포물선 [eqn: C_1]으로 둘러싸인 도형(※)의 넓이의 [eqn: 6`]배와 같다.

[eqn: bar{rmGH} = 1over3 times bar{rmAH} = 1over3 times root3 over2 times 8root3 = 4`]

이므로 점 [eqn: rmG`]를 [eqn: (0`,``2)`], 점 [eqn: rmH`]를 [eqn: (0`,``-2)`], 점 [eqn: rmC`]를 [eqn: (4 sqrt {3} `,``-2)`]라 두고 주어진 도형을 좌표평면 위에 그리면

곡선 [eqn: C_1`]은 초점이 [eqn: rmG(0`,``2)`]이고, 준선이 [eqn: y=-2`]인 포물선이 되어

곡선 [eqn: C_1]의 방정식은 [eqn: x^2 = 8y] 즉, [eqn: y= 1over8 x^2`]이 된다.

(※)의 넓이는 곡선 [eqn: y= 1over8 x^2 `], [eqn: x=0`], [eqn: y= - 1 overroot3 x +2 ``(x ge0)`]로 둘러싸인 도형의 넓이와 같다.

두 곡선 [eqn: y= 1over8 x^2 `,``y= - 1 overroot3 x +2 ``(x ge0)`]는 점 [eqn: left({4root3} over3 `,``2over3 right)`]에서 만나므로

(※)의 넓이[eqn: = int _0 ^{ {4root3} over3} `left( - 1overroot3 x+2 - 1over8 x^2 right) `dx`][eqn: = {40ROOT3} OVER27]

따라서 점 [eqn: RMP`]가 나타내는 도형의 넓이는 [eqn: 6 times {40root3 } over27 = {80root3} over9`]이다.

[1-3]

문제 [1-1]의 삼각형 [eqn: rmFPP'`]에서 [eqn: rm bar{FP' } = bar{FP}`]이므로 [eqn: angle rm FP'P = angle FPP'`]이다.

또한, [eqn: rmbar{PH }``//`bar{FP'}]이므로 [eqn: rm angle FP'P = angle HPP'] (엇각)이다.

그러므로 [eqn: rm angle HPP' = angleFPP']이다. 즉, 포물선 위의 점 [eqn: rmP`]에서의 접선은 [eqn: angle rm FPH`]를 이등분한다.

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmG]

[eqn: rmQ]

[eqn: l]

[eqn: rmM]

[eqn: rmH]

[eqn: rm P _{1}]

1) 점 [eqn: rmP`]가 나타내는 도형과 직선 [eqn: l`]의 접점을 [eqn: rmP_1`]이라 하면 [eqn: rm angle GP_1 B = angle HP_1 B`]

2) 포물선의 정의에 의해서 [eqn: rm bar{GP_1 }=bar{HP_1 }]

3) [eqn: rmbar{BP_1 }`]은 공통이므로 두 삼각형 [eqn: rmP_1 GB`], [eqn: rm P _{1} HB`]는 합동이다.

따라서 [eqn: bar{rmAC}`]의 중점 [eqn: rmM~]에 대하여 직선 [eqn: l`]은 [eqn: angle rmMBC`]의 이등분선이므로

[eqn: rmbar{BC } = 8root3 `,``bar{BM} = 12]에 대하여

[eqn: rmbar{BC } : bar{BM } = 8root3 : 12 = bar{CQ} : bar{QM }]

이 성립한다, 즉 [eqn: rm bar{QM} = root3 over2 bar{CQ}`],

그러므로 [eqn: bar{rmCM}= 4root3` = rm bar{CQ } + bar{QM}`]에 대하여 [eqn: rmbar{CQ }=bar{CM} times 1 over{ 1+ root3 over2 }= 16 root3 - 24] 이다.

2. 자연계 문항2

출제 의도 및 문항해설

본 문항은 부채꼴에 내접하는 2가지 형태의 정사각형에 대하여 주어진 중심각에 따른 넓이를 함수로 표현하고 이를 응용하는 문항이다.

2-1. [그림1]의 부채꼴에 내접하는 정사각형의 한 변의 길이 [eqn: l_1 (theta )`]를 찾고, [eqn: l_1 left( pi over 3 right)`]를 구할 수 있는지를 평가하는 문항이다.

2-2. 2-1처럼 [그림2]의 부채꼴에 내접하는 정사각형의 넓이 [eqn: left{ l_2 (theta) right}^2``]을 찾고, [eqn: theta = pi over 3 `]일 때의 값을 구할 수 있는지를 평가하는 문항이다.

2-3. 2-1, 2-2에서 구한 넓이 [eqn: left{ l_1 (theta) right}^2``], [eqn: left{ l_2 (theta) right}^2``]를 이용하여 함수 [eqn: f(theta)`]를 찾고 삼각함수를 이용하여 극한값과 정적분 값을 구할 수 있는지를 평가하는 문항이다.

출제 근거

참고자료	도서명	저자	발행처	발행 연도	쪽수
고등학교 교과서	미적분Ⅰ	이준열 외	천재교육	2017	59-75 200-206
	미적분Ⅱ	이준열 외	천재교육	2017	54-89 192-196

출제 기준

하위 문항	채점 기준	배점
2-1	정사각형의 대각선과 직각삼각형을 이용하여 관련 식을 작성할 수 있다.	3
	[eqn: l_1 (theta)`]를 구할 수 있다.	5
	[eqn: l_1 left( pi over 3 right)`]의 값을 구할 수 있다.	2
2-2	정사각형의 대각선과 직각삼각형을 이용하여 관련 식을 작성할 수 있다.	3
	[eqn: left{ l_2 (theta) right}^2``]를 구할 수 있다.	5
	[eqn: left{ l_2 left( pi over 3 right) right}^2``]의 값을 구할 수 있다.	2
2-3	[eqn: left{ l_1 ( theta ) right}^2``]과 [eqn: left{ l_2 (theta) right}^2``]의 대소 관계를 파악하고 함수 [eqn: f(theta)`]를 구할 수 있다.	5
	극한의 성절을 이용하여 [eqn: lim_{ theta``->``0+} {f(theta)} over {theta^2}`]의 값을 구할 수 있다.	3
	치환적분을 이용하여 [eqn: int_{pi over3} ^{pi over2} {f( theta)} over {sin^2 theta over 2} d theta``]의 값을 구할 수 있다.	7

예시 답안

[2-1]

오른쪽 그림과 같이 [eqn: angle \AOB`]의 이등분선과 호 [eqn: \AB`]와 만나는 점을 [eqn: \C_1``], 정사각형과 선분 [eqn: rmOA`]의 교점을 [eqn: \D_1``], 정사각형의 대각선의 교점을 [eqn: \M_1``]이라 하고 [eqn: a=l_1 (theta)`]라 하자. 그러면

[eqn: bar {\M_1 C_1}= bar{\M_1 D_1} = root{2} over 2 a``], [eqn: {bar{rm OM _{1}}} =1- {sqrt {2}} over {2} it a``]

이다. [eqn: triangle \OD_1 M_1``]이 직각삼각형이고 [eqn: angle \D_1 OM_1 = theta over 2 `]이므로

[eqn: tan theta over 2 = { root{2} over 2 a} over { 1- root{2} over 2 a} `]

따라서 [eqn: l_1 (theta) =a = {root{2}` tan theta over 2} over {1+ tan theta over 2 } = {root{2}} over {cot theta over 2 +1} `][eqn: = {root{2} `sin theta over 2} over {cos theta over 2 + sin theta over 2} `]이고 [eqn: l_1 left( pi over3 right) = {root{6} - root{2}} over 2 `]이다.

[2-2]

오른쪽 그림과 같이 [eqn: angle \AOB`]의 이등분선과 정사각형의 교점 중 중심 [eqn: rmO`]에 가까운 점부터 차례로 [eqn: \H_1``]과 [eqn: \H_2``], 정사각형의 두 대각선의 교점을 [eqn: \M_2``]라 하자. 또, 정사각형이 호 [eqn: \AB`]가 만나는 점 중 점 [eqn: \A`]에 가까운 한 점을 [eqn: \C_2``], 선분 [eqn: \OA`]와 만나는 점을 [eqn: \D_2``]라 하고 [eqn: b= l_2 (theta)`]라 하자.

[eqn: bar {\C_2 H_2} = bar {\M_2 H_2}= bar{\M_2 H_1} = b over 2 `]

[eqn: angle \D_2 O H_1 = theta over 2`]이므로 [eqn: bar \OH_1 = it b over 2 `cot theta over 2 `]이다.

한편, [eqn: triangle \OC_2 H_2 ``]가 직각삼각형이고 [eqn: bar \OC_2 = 1`]이므로

[eqn: left( b+ b over 2 `cot theta over 2 right)^2 + left( b over 2 right)^2 = 1`]

위의 식을 정리하면 [eqn: left{ l_2 (theta) right}^2 ``][eqn: = b^2 = 4 over{left( cot theta over 2 +2 right)^2 +1} `][eqn: = {4 sin^2 theta over 2} over {4 sin^2 theta over 2 + 2 sin theta +1}`]이다.

그러므로 구하는 값은 [eqn: left{ l_2 left(pi over 3 right) right}^2 ``][eqn: = 4 over {3 + 4 root{3} + 5}`][eqn: =2 - root{3} `]이다.

[2-3]

[2-1], [2-2]에서 [eqn: left{ l_1 left( pi over 3 right) right}^2 = left{ l_2 left( pi over 3 right) right}^2 = 2 - root{3} `]이므로 [eqn: left{ l_1 (theta)right}^2 > left{ l_2 (theta) right}^2 ``]인 [eqn: theta``]의 범위를 구하자.

[eqn: {2} over { left(cot theta over 2 +1 right)^2} > 4 over { left(cot theta over 2 +2 right)^2 + 1}`]

[eqn: cot^2 theta over 2 +4 cot theta over 2 + 5 > 2 cot^2 theta over 2 + 4 cot theta over 2 + 2 `]

위 식을 정리하면 [eqn: 0 le cot thetaover 2 <root{3}`]이므로 만족하는 각 [eqn: theta``]의 범위는 [eqn: pi over 3 < theta le pi over 2 `]이다.

따라서 구하는 함수 [eqn: f(theta)`]는

[eqn: f(theta) = cases{`` left{ l_2 (theta) right}^2 ~~ & left(0< theta < pi over 3 right) # `` left{ l_1 (theta) right}^2 & left( pi over 3 le theta le pi over 2 right)}`][eqn: = cases{``4 over { left( cot theta over 2 +2 right)^2 + 1 } ~~& left( 0< theta < pi over 3 right) # ~ 2 over {left( cot theta over 2 +1right)^2} & left( pi over 3 le theta le pi over 2 right)}`]	[eqn: = {cases{`` {4`sin ^{2} {theta } over {2}} over {4`sin ^{2} {theta } over {2} +2`sin theta +1} ~~&LEFT ( 0< theta < {pi } over {3} RIGHT )#~~~~~ {2`sin ^{2} {theta } over {2}} over {sin theta +1}&LEFT ( {pi } over {3} LEQ theta LEQ {pi } over {2} RIGHT )}} `]

이다.

(ⅰ) [eqn: 0< theta < pi over 3 `]에서 [eqn: f(theta) = left{ l_2 (theta) right}^2``]이므로 제시문 (가)에 의해

[eqn: lim_{theta``->``0+} {f(theta)} over theta^2 `][eqn: = lim_{theta``->``0+} 1 over theta^2 times{4`sin ^{2} {theta } over {2}} over {4`sin ^{2} {theta } over {2} +2`sin theta +1} `][eqn: = 1`]

(ⅱ) [eqn: pi over 3 le theta le pi over 2`]에서 [eqn: f(theta) = left{ l_1 (theta) right}^2``]이므로

[eqn: int_ {pi over 3} ^{pi over 2} { f(theta)} over {sin^2 theta over 2 }` d theta``][eqn: = int_{pi over 3} ^{pi over2} {2 csc^2 theta over 2} over { left(cot theta over 2 +1right)^2}` d theta``]

[eqn: x = cot theta over 2 `]로 치환하면 [eqn: theta = pi over 3 `]일 때 [eqn: x = root{3}`], [eqn: theta = pi over 2 `]일 때 [eqn: x=1`]이고

[eqn: dx = `- 1 over 2 ` csc^2 theta over 2 d theta``], [eqn: csc^2 theta over 2 d theta = `-2 `dx``]이므로 제시문 (나)에 의해 위의 식은

[eqn: int _{sqrt {3}} ^{1} {} {-4} over {(x+1) ^{2}} `dx``][eqn: = int _{1} ^{sqrt {3}} {} {4} over {(x+1) ^{2}} dx``][eqn: = int _{1} ^{sqrt {3}} {} 4(x+1) ^{-2} `dx``][eqn: = LEFT [ pile{`#`} - {4} over {x+1} RIGHT ] _{1}^{sqrt {3}} `][eqn: =4-2 sqrt {3} `]

이다.

그러므로 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: left( lim_{theta``->``0+} {f(theta)} over theta^2 right)`times int_ {pi over 3} ^{pi over 2} { f(theta)} over {sin^2 theta over 2}` d theta``][eqn: = 4 - 2 root{3} `]이다.

[별해]

(ⅰ) [eqn: lim_{theta``->``0+} {f(theta)} over theta^2 `][eqn: = lim_{theta``->`` 0+} 1 over theta^2 times 4 over { left( cot theta over 2 +2 right)^2 + 1 }`][eqn: = lim_{theta``->``0+} 1 over theta^2 times {4 tan^2 theta over 2} over {left( 1 + 2 tan theta over 2 right)^2 + tan^2 theta over 2}=1`]

(ⅱ) [eqn: int_ {pi over 3} ^{pi over 2} { f(theta)} over {sin^2 theta over 2 }` d theta``][eqn: = int_{pi over 3} ^{pi over 2} {left{ l_1 (theta) right}^2} over {sin^2 theta over 2} `d theta``][eqn: = int_{pi over 3} ^{pi over2} {2} over {sin theta +1} ` d theta``]

[eqn: tan theta over 2 = t``]로 치환하면 [eqn: sin theta over 2 = t over root{1 +t^2}`], [eqn: cos theta over 2 = 1 over root{1+ t^2} `]이므로 [eqn: sin theta = 2t over {1 + t^2}`]이다.

그리고 [eqn: sec^2 theta over 2 times 1 over 2 d theta = dt``]이므로 [eqn: d theta = 2 over {1+t^2} dt``]이다.

따라서

[eqn: int_{pi over 3} ^{pi over 2} 2 over {sin theta +1} d theta``][eqn: = 2 int_{1 over root{3}} ^1 1 over {2t over {1+ t^2} +1} times 2 over {1+ t^2} dt``][eqn: = 2 int_{1 over root{3}} ^1 2 over {(t+1)^2}`dt ``][eqn: = 4 - 2 root{3}`]

이다.

3. 자연계 문항3

출제 의도 및 문항 해설

본 문항에서는 순열, 조합을 이용하여 조건을 만족하는 경우를 분류하고 확률을 구할 수 있는지와 주어진 확률변수 [eqn: X``]에 대하여 분산을 구할 수 있는지를 평가하고자 한다.

3-1. 동전을 뒤집는 실생활의 문제 상황을 이해하고, 같은 것이 있는 순열과 조합을 이용하여 조건을 만족하는 경우를 각각 분류하고 그 확률을 구할 수 있는지를 평가하는 문항이다.

3-2. 확률변수 [eqn: X``]에 대한 확률분포를 만들고 분산 [eqn: rmV` LEFT ( it X` RIGHT ) `]을 구할 수 있는지를 평가하는 문항이다.

출제 근거

참고자료	도서명	저자	발행처	발행 연도	쪽수
고등학교 교과서	확률과 통계	황선욱 외	좋은책신사고	2016	64-103

출제 기준

하위 문항	채점 기준	배점
3-1	한 개의 동전을 [eqn: 4]번, 다른 한 개의 동전을 [eqn: 1`]번 뒤집는 경우의 수를 구할 수 있다.	2
	두 개의 동전을 각각 [eqn: 2`]번, 다른 한 개의 동전을 [eqn: 1`]번 뒤집는 경우의 수를 구할 수 있다.	2
	한 개의 동전을 [eqn: 2`]번, 다른 한 개의 동전을 [eqn: 3`]번 뒤집는 경우의 수를 구할 수 있다.	2
	한 개의 동전을 [eqn: 5`]번 뒤집는 경우의 수를 구할 수 있다	2
	전체 확률을 구할 수 있다.	2
3-2	[eqn: X=1`]인 경우의 확률을 구할 수 있다.	5
	[eqn: X=3`]인 경우의 확률을 구할 수 있다.	5
	[eqn: X=5`]인 경우의 확률을 구할 수 있다.	5
	확률변수 [eqn: X`]의 분산을 구할 수 있다.	5

예시 답안

[3-1]

한 번 뒤집기를 할 때마다 [eqn: 4`]개의 동전 중에 하나를 뒤집어야 하므로 전체 경우의 수는 [eqn: 4 ^{5} `]이다.

한 개의 동전을 짝수([eqn: 0`]포함) 번 뒤집으면 앞면인 상태가 유지되고, 홀수 번 뒤집으면 뒷면이 된다. 그러므로 앞면이 [eqn: 3`]개, 뒷면이 [eqn: 1`]개 나오는 경우는 다음과 같다.

① 한 개의 동전을 [eqn: 4]번, 다른 한 개의 동전을 [eqn: 1`]번 뒤집는다.

[eqn: {}_{4} rm C _{1} ` TIMES _{3} C _{1} TIMES {5!} over {4!} =4 TIMES 3 TIMES 5=60]

② 두 개의 동전을 각각 [eqn: 2`]번, 다른 한 개의 동전을 [eqn: 1`]번 뒤집는다.

[eqn: {}_{4} rm C _{2} ` TIMES _{2} C _{1} TIMES {5!} over {2!2!} =360]

③ 한 개의 동전을 [eqn: 2`]번, 다른 한 개의 동전을 [eqn: 3`]번 뒤집는다.

[eqn: {}_{4} rm C _{1} ` TIMES _{3} C _{1} TIMES {5!} over {2!3!} =120]

④ 한 개의 동전을 [eqn: 5`]번 뒤집는다.

[eqn: {}_{4} rm C _{1} `=4]

그러므로

[eqn: {60+360+120+4} over {4 ^{5}} = {544} over {1024} = {17} over {32}]

이다.

[3-2]

전체 경우의 수 [eqn: 5 ^{4} =625]

① 한 개의 동전을 짝수([eqn: 0`]포함) 번 뒤집으면 앞면인 상태가 유지되고, 홀수 번 뒤집으면 뒷면이 된다. 4번의 뒤집기를 하므로 앞면이 [eqn: 0`]개, [eqn: 2`]개, [eqn: 4`]개인 경우는 없다.

② 앞면이 [eqn: 1`]개, 뒷면이 [eqn: 4`]개인 경우, 즉 [eqn: X=3`]인 경우:

[eqn: 5`]개중에 [eqn: 4`]개를 한 번씩 뒤집는 경우이므로 [eqn: {}_{5} rmC _{4} TIMES 4!`=120`]

∴ [eqn: rm P LEFT ( it X=3 RIGHT ) = {120} over {625} = {24} over {125}]

③ 앞면이 [eqn: 3`]개, 뒷면이 [eqn: 2`]개인 경우, 즉 [eqn: X=1`]인 경우

(ⅰ) 한 개는 두 번 뒤집고 나머지 중 2개를 한 번씩 뒤집는 경우의 수

[eqn: {}_{5} rm C _{1} ` TIMES ` _{4} C _{2} times {4!} over {2!} =5 TIMES 6 TIMES 12=360`]

(ⅱ) 한 개는 세 번 뒤집고 나머지 중 [eqn: 1`]개를 한 번 뒤집는 경우의 수

[eqn: {}_{5} rmC _{1} times _{4} C _{1} times {4!} over {3!} =5times4times4=80]

그러므로 [eqn: rm P LEFT ( it X=1 RIGHT ) = {440} over {625} = {88} over {125}]이다.

④ 앞면이 [eqn: 5`]개, 뒷면이 [eqn: 0`]개인 경우, 즉 [eqn: X=5]인 경우

(ⅰ) 한 개를 네 번 뒤집는 경우의 수 [eqn: {}_{5} rmC _{1} =5]

(ⅱ) 두 개를 두 번씩 뒤집는 경우의 수 [eqn: {}_{5} rmC _{2} `times {4!} over {2!2!} =10`times6=60]

∴ [eqn: rm P LEFT ( it X=5 RIGHT ) = {65} over {625} = {13} over {125}]

그러므로

[eqn: X`]	[eqn: 1`]	[eqn: 3`]	[eqn: 5`]	계
[eqn: rmP LEFT ( itX=x RIGHT )]	[eqn: {88} over {125}]	[eqn: {24} over {125}]	[eqn: {13} over {125}]	[eqn: 1]

[eqn: rm E LEFT ( it X` RIGHT ) = {1 TIMES 88+3 TIMES 24+5 TIMES 13} over {125} = {225} over {125} = {9} over {5}]

[eqn: rmV LEFT ( it X` RIGHT ) = {1 ^{2} TIMES 88+3 ^{2} TIMES 24+5 ^{2} TIMES 13} over {125} `- LEFT ( {9} over {5} RIGHT ) ^{2} = {629-405} over {125} = {224} over {125}]

이다.