2016학년도 대학입학전형 대비 2차 모의논술고사

의학계 채점기준 및 모범답안

문항 1 출제의도

문항 1-1. 벡터의 내적에 관한 두 가지 계산방법이 사실상 일치한다는 것을 피타고라스의 정리 또는 코사인 제2법칙을 통하여 실질적으로 알고 있는 가를 평가한다.

문항 1-2. 주어진 세 점을 꼭지점으로 하는 삼각형의 널이에 관한 공식을 벡터의 내적을 이용하여 유도해내는 과정을 구체적으로 이해하고 있는 가를 평가한다.

문항 1-3. 원의 널이를 정다각형의 넓이의 극한으로 구해보는 문제로 정다각형의 넓이를 구하는 공식을 잘 설정하는 방법을 평가한다.

문항 1 평가기준

문항	평가영역	평가내용	난이도	배점	출제영역
					교과목	교과서 개념
1-1	이해력	내적의 이해	상하	10	수학	벡터
1-2	적용력, 계산력	내적의 적용 및 계산	중	10	수학	도형과 벡터
1-2	적용력, 계산력	벡터와 극한의 적용	중하	10	수학	극한

문항 2 출제의도

문항 2-1. 매개변수방정식에 의한 곡선의 표현에 대한 기본적인 이해력을 평가한다.

문항 2-2. 매개변수방정식에 의한 곡선의 기울기와 삼각함수의 가법정리에 관한 지식을 적용하는 능력을 평가한다.

문항 2-3. 문항 2-2와 동일하나 함수의 미적분에 관한 지식을 요구한다.

문항 2 평가기준

문항	평가영역	평가내용	난이도	배점	출제영역
					교과목	교과서 개념
2-1	이해력	매개변수방정식의 이해	중	10	수학	함수, 매개변수
2-2	창의력, 이해력, 적용력	곡선의 기울기와 사잇각	상	10	수학	도형, 함수
2-2	창의력, 이해력, 적용력	곡선의 기울기, 삼각함수, 함수의 미적분	상	20	수학	함수, 미적분

문항 3 출제의도

문항 3-1. 선분에 대한 기본적인 이해를 평가한다.

문항 3-2. 공간도형에서 거리의 최대, 최소에 관한 이해와 적용력을 평가한다.

문항 3-3. 기하적인 종합적인 응용력을 평가한다.

문항 3 평가기준

문항	평가영역	평가내용	난이도	배점	출제영역
					교과목	교과서 개념
1-1	이해력, 적용력	직선과 선분에 대한 개념	하	10	수학	직선과 선분
1-2	적용력, 계산력	도형에서 거리의 최대, 최소	중	10	수학	도형, 부등식
1-3	창의력, 응용력	평면도형에 관한 종합적인 이해력, 창의적 응용력	상	10	수학	평면기하

2차 모의논술 모범답안  (의학계)

(모범답안과 다른 방법으로 논술한 합당한 답안도 모두 인정한다)

【문항 1】

1-1. (10점)

[eqn: A][eqn: (a _{1} ,a _{2} )]

[eqn: alpha]               [eqn: gamma]

[eqn: d]

[eqn: q]

[eqn: O]([eqn: 0,0])           [eqn: beta]   c         [eqn: B][eqn: (b _{1} ,b _{2} )]

먼저, [eqn: alpha] = [eqn: | {vec{a}} |], [eqn: beta `=|` {vec{b`}} |], [eqn: gamma ``=`| {vec{a}} `- {vec{b}} |] 라 두자. 삼각형 [eqn: TRIANGLE][eqn: OAB]의 꼭지점 [eqn: A]에서 밑변 위로 수선을

내렸을 때, 만나는 점을 C 라 두고 그 수선의 길이를 d 라고 하자. 그리고  [eqn: q`=`| {vec{a}} |cos` theta `]라 두자.

그러면, 피타고라스 정리에 의하여,

[eqn: alpha ^{2} ```=`q ^{2} +`d ^{2} ``=``q ^{2} +` gamma ^{2} -( beta -q) ^{2} `=`q ^{2} +` gamma ^{2} - beta ^{2} +`2 beta q`-`q ^{2} =`` gamma ^{2} - beta ^{2} `+`2 beta q]     (3점)

이고, 벡터의 크기에 의하여

[eqn: ```` alpha ^{2} ```=`a _{1} ^{2} +a _{2} ^{2} ,```` beta ^{2} ```=`b _{1} ^{2} +b _{2} ^{2} ,``# ``````````# ````` gamma ^{2} ```=`(a _{1} `-b _{1} ) ^{2} +(a _{2} `-b _{2} ) ^{2} ``=``a _{1} ^{2} +a _{2} ^{2} `+``b _{1} ^{2.} +b _{2} ^{2} `-2(a _{1} b _{1} +a _{2} b _{2} )``=` alpha ^{2} +` beta ^{2} -2(a _{1} b _{1} +a _{2} b _{2} )`.] (3점)

위의 식들에 의하여, [eqn: `| {vec{a}} |`| {vec{b`}} |`cos` theta ``=` beta q] [eqn: =`a _{1} b _{1} +a _{2} b _{2}] 이다.  (4점)

(별해) 제2코사인법칙에 의하여  [eqn: `| {vec{a}} `- {vec{b}} `| ^{2} `=``| {vec{a}} | ^{2} `+``| {vec{b}} `| ^{2} `-`2``| {vec{a}} `|``| {vec{b}} `|`] 이므로  (3점)

[eqn: (a _{1} `-b _{1} ) ^{2} +(a _{2} `-b _{2} ) ^{2} ``=``a _{1} ^{2} +a _{2} ^{2} `+``b _{1} ^{2} +b _{2} ^{2} `-2`| {vec{a}} |`| {vec{b}} |cos` theta .] (3점)

양변을 정리하면  [eqn: -2(a _{1} b _{1} +a _{2} b _{2} )``=`-2`| {vec{a}} |`| {vec{b}} |cos` theta .]

그러므로  [eqn: {vec{a}} `` BULLET `` {vec{b}} ````=`a _{1} b _{1} `+`a _{2} b _{2} ``=`| {vec{a}} `|`| {vec{b}} `|`cos` theta `] 이다.  (4점)

1-2. (10점) 1-1에 의하여 [eqn: cos` theta ``=` {{vec{a}} `` BULLET `` {vec{b}} `} over {`| {vec{a}} `|`| {vec{b}} `|`}] 이다.  (2점)

또 삼각형 [eqn: TRIANGLE][eqn: OAB]의 넓이는 [eqn: `S`= {1} over {2} | {vec{a}} |`| {vec{b}} |`sin` theta `]이다. (3점)

그러므로

[eqn: `S`=` {1} over {2} | {vec{a}} |`| {vec{b}} |` sqrt {1- LEFT ( {{vec{a}} BULLET ` {vec{b}}} over {| {vec{a}} |`| {vec{b}} |} RIGHT ) ^{2} `} `= {1} over {2} sqrt {(| {vec{a}} |`| {vec{b}} |) ^{2} `-`( {vec{a}} BULLET ` {vec{b}} ) ^{2} `} `=` {1} over {2} sqrt {(a _{1} ^{2} +a _{2} ^{2} )(b _{1} ^{2} +b _{2} ^{2} )`-`(a _{1} b _{1} +a _{2} b _{2} ) ^{2}} `# `````=` {1} over {2} sqrt {a _{1} ^{2} b _{2} ^{2} +a _{2} ^{2} b _{1} ^{2} `-`2a _{1} b _{1} a _{2} b _{2}} `= {1} over {2} sqrt {(a _{1} b _{2} `-a _{2} b _{1} ) ^{2}} ``= {1} over {2} |a _{1} b _{2} `-a _{2} b _{1} |]

이다. (5점)

1-3. (10점) 중심이 원점[eqn: O](0,0)이며 반경이 [eqn: r]인 원의 원주 위에 놓여 있는 [eqn: n]개의 점 [eqn: A _{k} `=`(r`cos` {2k pi } over {n} ,`r`sin {2k pi } over {n} )```]

[eqn: (k`=`0,`1,`...`,`n-1)]을 꼭지점으로 가지는 정[eqn: n]각형을 생각하자. 그리하면,

[eqn: A _{0`} `=`(r,0),`````A _{1} `=`(r`cos` {2 pi `} over {n} ,`r``sin` {2 pi `} over {n} )] 이다.     (3점)

[eqn: S _{n}]은 삼각형 [eqn: TRIANGLE][eqn: OA _{0} A _{1}]의 넓이의 [eqn: n]배이므로, 1-2에 의하여

[eqn: S _{n`} =`n CDOT TRIANGLE OA _{0} A _{1} `=`n` CDOT {1} over {2} `|`r` CDOT r`sin {2 pi } over {n} `+`0` CDOT r`cos {2 pi } over {n} |`=` {nr ^{2}} over {2} `sin {2 pi } over {n}]    (4점)

이다. 그러므로

[eqn: ` lim _{n -> INF } {S _{n} ``=`` lim _{n -> INF } {` {nr ^{2}} over {2} `sin` {2 pi } over {n} `= pi r ^{2} cdot` lim _{n -> INF } {` {sin` {2 pi } over {n}} over {` {2 pi } over {n}} ``=` pi r ^{2} cdot 1`=` pi r ^{2} ``} `} `}]. (3점)

【문항 2】시간 [eqn: t]에 원점으로 부터의 거리는 [eqn: F(t)=1+ int _{0} ^{t} {f(x)`dx}]이다.

2-1. (10점)  점 [eqn: P]의 속도가 2 이므로 시간 [eqn: t]에 원점으로 부터의 거리는 [eqn: F(t)=1+ int _{0} ^{t} {2`dx} `=`1+`2t]이다. (4점)

반직선 [eqn: {vec{OX}}] 와 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각이 [eqn: t``](라디안)이므로 [eqn: (x,y)=((1+2t)`cost,`(1+2t)`sint)``] 이다.

따라서 점 [eqn: rmP]의 자취 [eqn: C``]의 매개변수 방정식은

[eqn: x=(1+2t)`cost,~y=(1+2t)`sint``]   (6점)

이다.

2-2. (10점) 2-1에 의하여 시각 [eqn: t]에 점 [eqn: P _{t`}]의 좌표는 [eqn: ((1+2t)`cost,`(1+2t)`sint)``]이다.

접선 [eqn: l``]이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각을 [eqn: beta], 직선 [eqn: OP _{t}]가 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각을 [eqn: alpha]라고 하면,

접선 [eqn: l``]과 직선 [eqn: OP _{t}]가 이루는 각은 [eqn: theta _{t} `=` beta - alpha] 이다. 한편

[eqn: tan beta = {dy} over {dx} = {dy/dt} over {dx/dt} = {2`sint+2t`cost} over {2`cost-2t`sint} = {sint+t`cost} over {cost-t`sint} = {tant+t} over {1-t`tant}] 이고,  [eqn: tan alpha =tant] 이므로 (3점)

[eqn: tan( beta - alpha )`= {{tant+t} over {1-t`tant} -tant} over {1+ {tant+t} over {1-t`tant} `tant} `= {tant+t-tant+t`tan ^{2} t} over {1-t`tant+tan ^{2} t+t`tant} `= {t(1+tan ^{2} t)} over {1+tan ^{2} t}` =t]    (4점)

이다. 따라서 [eqn: tan` theta _{t} =tan( beta - alpha )=t]  이고 [eqn: lim _{t -> INF } {``tan` theta _{t} = lim _{t -> INF } {`t= INF }}]  이다.

그러므로 [eqn: lim _{t -> INF } {`` theta _{t}} `=` {pi } over {2}]이고 수렴한다.   (3점)

2-3. (20점) 시각 [eqn: t]에서 점 [eqn: P]의 좌표를 [eqn: P(t)`]라 하자. [eqn: P(t)]의 좌표는 [eqn: (F(t)`cos`t,`F(t)sint)]이며

제시문 (가)로부터 [eqn: tan beta = {dy} over {dx} = {{dy} over {dt}} over {{dx} over {dt}} = {`F`` prime (t)sint+F(t)cos`t`} over {F`` prime (t)cost-F(t)sin`t} = {`tant+ {F(t)} over {F`` prime (t)}} over {1- {F(t)} over {F`` prime (t)} `tant}]이다.

또한 [eqn: theta _{t} `=` beta - alpha]이므로

[eqn: {`tant+ {F(t)} over {F`` prime (t)}} over {1- {F(t)} over {F`` prime (t)} `tant}=tan beta =tan( theta _{t} + alpha )=tan( theta _{t} +t)= {tant+tan theta _{t}} over {1-tan theta _{t} `tant}]이다.

이를 정리하면 [eqn: tan( theta _{t} `)(1+tan ^{2} t)= {F(t)} over {F``` prime (t)} (1+tan ^{2} t)]가 된다.  그러므로  [eqn: tan( theta _{t} `)= {F(t)} over {F``` prime (t)}]

(단, [eqn: F`` prime (t)`=`f(t)=0] 이면 [eqn: theta _{t} = {pi} over {2}])이다.

여기서, [eqn: F`` prime (t)`=`f(t)` GEQ `0`] 이고 따라서 [eqn: F(t)` GEQ `0] 이므로 [eqn: tan( theta _{t} `)= {F(t)} over {F``` prime (t)}]가 음이 아닌 상수이면

[eqn: {1} over {tan` theta _{t}} `= {F`` prime (t)} over {F`(t)}]도 음이 아닌 상수이다.

[eqn: {F`` prime (t)} over {F`(t)} `=`k]  ([eqn: k]는 음이 아닌 상수) 로 두고  양변을 적분하면  [eqn: ln LEFT | F(t) RIGHT | =kt+C]  ([eqn: C``]는 적분상수)이고,

[eqn: F(t) GEQ 0``]이므로   [eqn: F(t)=e ^{kt+C}]  (단, [eqn: k]는 음이 아닌 상수이고 [eqn: `C]는 상수) 이다.

[eqn: F(0)`=`1] 이므로 [eqn: e ^{C} ``=`1] 이고 따라서 [eqn: C`=0] 이다. 그러므로 [eqn: F(t)`=`e ^{kt}] 이고

[eqn: f(t)=F`` prime `(t)=`ke ^{kt}] ([eqn: k] 는 음이 아닌 상수) 이다.

(별해)

시각 [eqn: t]에서 점 [eqn: P]의 좌표를 [eqn: P(t)`]라 하자. [eqn: P(t)]의 좌표는 [eqn: (F(t)`cos`t,`F(t)sint)]이며

제시문 (가)로부터 [eqn: {dy} over {dx} = {{dy} over {dt}} over {{dx} over {dt}}]이므로 곡선 [eqn: C``]의 접선은 벡터

[eqn: ( {dx} over {dt} , {dy} over {dt} )=(F`` prime (t)cost-F(t)sin`t,`F`` prime (t)sint+F(t)cos`t`)]   (3점)

와 평행하다. 그러므로 선 [eqn: C``]의 접선과 반직선 [eqn: {vec{OX}}] (= [eqn: {vec{OP(t)}}])가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta _{t} `]라면

[eqn: cos( theta _{t} `) & = LEFT | {(F(t)`cos`t,`F(t)sint) CIRC (F`` prime (t)cost-F(t)sin`t,`F`` prime (t)sint+F(t)cos`t`)`} over {|`(F(t)`cos`t,`F(t)sint)|` CDOT `|`(F`` prime (t)cost-F(t)sin`t,`F`` prime (t)sint+F(t)cos`t`)`|} RIGHT |# & = LEFT | {F(t)F`` prime (t)} over {F(t) sqrt {F`` prime (t) ^{2} +F``(t) ^{2}}} RIGHT | = LEFT | {F`` prime (t)} over {sqrt {F`` prime (t) ^{2} +F``(t) ^{2}}} RIGHT |]

이다.    (5점)

그러므로  [eqn: tan( theta _{t} `)= LEFT | {F(t)} over {F`` prime (t)} RIGHT | = {F(t)} over {F``` prime (t)}] ([eqn: F``'(t)`=`f(t)` GEQ `0`] 이고 따라서 [eqn: F(t)` GEQ `0] 이다).

(단, [eqn: f(t)=0] 이면 [eqn: theta _{t} = {pi} over {2}])이다.       (3점)

[eqn: tan( theta _{t} `)= {F(t)} over {F``` prime (t)}]가 상수이면  [eqn: {1} over {tan` theta _{t}} `= {F`` prime (t)} over {F`(t)}] 도 상수이다.     (3점)

[eqn: {F`` prime (t)} over {F`(t)} `=`k]  ([eqn: k]는 상수) 로 두고  양변을 적분하면  [eqn: ln LEFT | F(t) RIGHT | =kt+C]  ([eqn: C``]는 적분상수)이고,

[eqn: F(t) GEQ 0``]이므로   [eqn: F(t)=e ^{kt+C}]  (단, [eqn: k,`C]는 상수) 이다.  (3점)

[eqn: F(0)`=`1] 이므로 [eqn: e ^{C} ``=`1] 이고 따라서 [eqn: C`=1] 이다. 그러므로 [eqn: F(t)`=`e ^{kt}] 이고

[eqn: f(t)=F`` prime `(t)=`ke ^{kt}] ([eqn: k] 는 상수) 이다. (3점)

【문항 3】

3-1. (10점) [eqn: vec{OP} ``=t vec{OA} `+(1-t) vec{OB} ```=t vec{OA} `+ vec{OB} `-t vec{OB}] 이므로   (5점)

[eqn: vec{OP} `- vec{OB} ``=t( vec{OA} `- vec{OB} `)]  즉  [eqn: {vec{BP}} `=t {vec{BA}} `(0 LEQ t LEQ 1)]이다.  (5점)

그러므로 제시문 (나)에 의해 점 [eqn: P]의 자취는 선분 [eqn: AB]이다.

3-2. (10점) [eqn: {2} over {3} vec{OA} + {1} over {3} vec{OP`} `= vec{OQ}]라고 하면 점 [eqn: Q]는 제시문 (다)에 의해 선분 [eqn: PA]를 2:1로 내분하는 점이다.

[eqn: L ^{2} = LEFT | {2} over {3} {vec{OA}} `+ {1} over {3} {vec{OP}} RIGHT | ^{2} = {4} over {9} LEFT | {vec{OA}} RIGHT | ^{2} + {1} over {9} LEFT | {vec{OP}} RIGHT | ^{2} +2 {vec{OA}} ` BULLET {vec{OP}} `cos` theta]   (4점)

이므로, 따라서 [eqn: L]이 최대가 되는 경우는 [eqn: theta=0]일 때이다.

[eqn: □ {vec{PA}} `□=3 sqrt {3} -3], [eqn: □ {vec{PQ}} `□= {2} over {3} LEFT ( 3 sqrt {3} -3 RIGHT ) =2 sqrt {3} -2]           (3점)

이므로 [eqn: L]의 최댓값은 [eqn: L= LEFT | {vec{OP}} ``+ {vec{PQ}} RIGHT | =2 sqrt {3} `-2+3=1+2 sqrt {3}] 이다.        (3점)

3-3. (10점) [eqn: ` {vec{AB}} `=` it {vec{a}} ``], [eqn: ` {vec{AD}} `=it` {vec{b}} ``]라 하자.

[eqn: ` {vec{PQ}} `= {vec{PA}} `+ {vec{AB}} `+ {vec{BQ}} ``] [eqn: `=- {1} over {2} {vec{b}} `+ {vec{a}} `+ {1} over {2} (m {vec{a}} +n {vec{b}} )``][eqn: `````= {m+2} over {2} {vec{a}} + {n-1} over {2} {vec{b}} ``] .

두 대각선 [eqn: AC``]와 [eqn: BD``]의 교점을 [eqn: R``]이라고 하면

[eqn: ` vec{AC} `= vec{AB} `+ vec{BC} ``][eqn: ```= {vec{a}} `+(m {vec{a}} +n {vec{b}} )``][eqn: ``=(1+m+n) BULLET {(1+m) {vec{a}} +n {vec{b}}} over {1+m+n} ``]

이고 제시문 (다)에 의해 점 [eqn: R`]은 선분 [eqn: BD`]를 내분하는 점이므로

[eqn: vec{AR} =it` {(1+m) vec{a} +n vec{b}} over {1+m+n} ``]  [eqn: cdots``] ㉠                      (3점)

점 [eqn: R``]은 선분 [eqn: PQ``]위의 점이므로 문제 1에 의해

[eqn: ` vec{AR} `= vec{AP} `+t` vec{PQ} ``][eqn: = {1} over {2} {vec{b}} +t LEFT ( {m+2} over {2} {vec{a}} + {n-1} over {2} {vec{b}} RIGHT ) ``][eqn: ``= {(m+2)t} over {2} {vec{a}} + {(n-1)t+1} over {2} {vec{b}} ``]  [eqn: cdots``] ㉡

이다.                   (3점)

㉠과 ㉡을 비교하면  [eqn: ` {1+m} over {1+m+n} = {(m+2)t} over {2} ``] [eqn: cdots``] ㉢, [eqn: ` {n} over {1+m+n} = {(n-1)t+1} over {2} ``] [eqn: cdots``] ㉣

㉢과 ㉣을 더하면 [eqn: `1= {(m+n+1)t+1} over {2} ``]   [eqn: ` THEREFORE `t= {1} over {m+n+1} ``]

이를 ㉢에 대입하면 [eqn: ` {1+m} over {1+m+n} = {m+2} over {2(1+m+n)} ``]  [eqn: THEREFORE ```m=0``]

그러므로 [eqn: ` {vec{BC}} `= it ``m {vec{rm AB it}} `+n {vec{rm AD it}} ``]에서 [eqn: ` {vec{BC}} `= it ``n {vec{rm AD it}} ``]이므로 제시문 (나)에 의해 [eqn: {vec{BC}}]//[eqn: {vec{AD}}]이다.    (4점)

(별해)

[eqn: P=O] 원점이라 하고 [eqn: ` {vec{PD}} `=` it {vec{d}} ``], [eqn: ` vec{PQ} `=` it vec{q} ``], [eqn: ` vec{PC} `=` it vec{c} ``=m vec{d} +n vec{q}]라 하자.

선분 [eqn: bar{BD} ``]를 포함하는 직선 : [eqn: vec{d} +s(( vec{q} + vec{q} - vec{c} )- vec{d} )= vec{d} (1-s-ms)+ vec{q} (2s-ns)]

선분 [eqn: bar{AC} ``]를 포함하는 직선 : [eqn: - vec{d} +t( vec{c} -(- vec{d} ))=- vec{d} +t(m vec{d} +n vec{q} + vec{d} )= vec{d} (tm+t-1)+tn` vec{q}]   (5점)

[eqn: ` vec{PQ} `=` it vec{q} ``]와 만나므로 교점은 [eqn: s= {1} over {1+m} =``t], [eqn: s(2-n)=t`n]을 만족한다. 이를 정리하면

[eqn: n=1]을 얻을 수 있고  [eqn: ` vec{QC} `= vec{c} `-` vec{q} `=(m vec{d} + vec{q} `)- vec{q} `=`m vec{d}]가 되어 제시문(가)(3)에 의해

[eqn: {vec{BC}}]//[eqn: {vec{AD}}]이다.       (5점)