2016학년도 대학입학전형 의학계 2차 모의평가 문제지

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지원학과(학부)

응시번호

성명

【유의사항】

1. 시험시간은 100분입니다.

2. 답안은 답안지의 해당 문항 번호에 연필 또는 샤프로 작성하시오.

3. 답안 수정 시 지우개를 사용하시오.

4. 문항 번호를 기술하고, 답을 작성하시오.

5. 학교명, 성명 등 자신의 신상에 관련된 사항을 답안에는 드러내지 마시오.

6. 답안 연습은 연습지를 활용하시오.

7. 답안지, 연습지 및 문제지에 필요한 인적사항을 기입하였는지 확인하시오.

【문항 1】다음 제시문을 근거로 하여 논제에 답하시오. (30점)

[가] 좌표평면의 임의의 두 벡터 [eqn: {vec{`a}} ``=`(a _{1} ,``a _{2} ),`` {vec{b`}} ``=`(b _{1} ,``b _{2} )``]에 대하여,  [eqn: {vec{`a}} ``와``` {vec{b`}} ```]의 내적을

[eqn: {vec{a}} ` BULLET ` {vec{b`}} ````=`a _{1} b _{1} `+`a _{2} `b _{2} `]

로 정의하고, 벡터 [eqn: {vec{`a}} ``=`(a _{1} ,``a _{2} )]의 길이(또는 크기)를

[eqn: |` {vec{`a}} ``|] = [eqn: ` sqrt {a _{1} ^{2} ``+``a _{2```} ^{2} `}]

로 나타낸다.

[나]  [eqn: lim _{x-> 0} {{sin`x} over {x} `=`1}] 이다.

1-1.  좌표평면의 임의의 두 벡터 [eqn: {vec{a`}} ``=`(a _{1} ,``a _{2} )``]와 [eqn: {vec{b`}} ``=`(b _{1} ,``b _{2} )```]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때,

[eqn: {vec{a`}} ` BULLET {vec{`b`}} ````=`|` {vec{a`}} `|```| {vec{``b}} ``|```cos` theta `]

임을 증명하시오. (10점)

1-2. 점[eqn: O(0,`0),```A(a _{1} ,``a _{2} ),``B`(b _{1} ,``b _{2} )``]를 세 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: TRIANGLE][eqn: OAB``]의 넓이를 [eqn: S``]라고 할 때,

[eqn: `S```=` {|`a _{1} b _{2} ``-`a _{2} `b _{1} `|} over {2}]

임을 증명하시오. (10점)

1-3. 반지름이 [eqn: r]인 원에 내접하는 정[eqn: n`]각형의 넓이를 [eqn: S _{n`}]이라고 할 때, 제시문 [나]를 이용하여

의 값을 구하시오. (10점)

【문항 2】다음 제시문을 근거로 하여 논제에 답하시오. (40점)

[가] 곡선 [eqn: C``:f(x,`y)=0] 의 매개변수 방정식 [eqn: x=p(t),``y=q(t)] ([eqn: t`]는 매개변수)에 대하여,

[eqn: x=p(t)`]와 [eqn: `y=q(t)`]가 모두 매개변수 [eqn: t]에 관하여 미분가능 할 때, 곡선 위의 점[eqn: (x,`y)`]에서

접선의 기울기 [eqn: {dy} over {dx} `]는  [eqn: {dy} over {dx} `=` {{dy} over {dt}} over {{dx} over {dt}}] 로 주어진다.

[나] 탄젠트함수에 대하여 다음의 덧셈정리가 성립한다.
[eqn: tan( alpha + beta )= {tan alpha `+`tan beta } over {1-tan alpha ``tan beta } `,~~~~`````tan( alpha - beta )= {tan alpha `-`tan beta } over {1+tan alpha ``tan beta } `.]

좌표평면 위에 반직선 [eqn: {vec{OX}} `]가 [eqn: x]축과 나란히 놓여 있고, 이 반직선 위에 한 점 [eqn: P`]가 원점으로부터

거리가 [eqn: 1`]인 위치에 놓여 있다. 시각이 [eqn: t`=`0`]일 때 출발하여 반직선 [eqn: {vec{OX}} `]는 원점을 중심으로 하여

[eqn: 1`]라디안의 각속도로 시계반대방향으로 회전하고, 점 [eqn: P``]는 이 반직선 [eqn: {vec{OX}}] 위를 [eqn: f(t)]의 속도로

원점에서 멀어져간다고 하자. 여기서, [eqn: f(t)]는 시각 [eqn: t]에 관한 미분가능인 함수로서 모든 [eqn: t`]에 대하여

[eqn: f(t) GEQ 0``]이라고 한다.

(뒷면에 계속)

점 [eqn: P``]의 자취를 곡선 [eqn: C``]라 하고, 시각이 [eqn: t]일 때의 점 [eqn: P``]에서 곡선 [eqn: C``]의 접선과 반직선 [eqn: {vec{OX}}] 가

이루는 각의 크기를 [eqn: theta _{t} `]라고 하자.

2-1. 모든 [eqn: t`]에 대하여 [eqn: f(t)=2] 일 때, 점 [eqn: P]의 자취인 곡선 [eqn: C``]를 [eqn: t`]에 관한 매개변수 방정식으로

나타내시오. (10점)

2-2. 모든 [eqn: t`]에 대하여 [eqn: f(t)=2] 일 때, [eqn: lim _{t -> INF } {`` theta _{t}} `` _{`}]의 수렴, 발산을 판별하고, 수렴하는 경우에 극한값을

구하시오. (10점)

2-3. [eqn: t`>`0] 일 때, 시각 [eqn: t`]에 관계없이 [eqn: theta _{t} `]가 일정하게 되는 함수 [eqn: f(t)]를 구하시오. (20점)

【문항 3】다음 제시문을 근거로 하여 논제에 답하시오. (30점)

[가] 좌표평면 또는 좌표공간의 서로 다른 세 점 [eqn: A,`B,`C``]에 대하여, 아래의 세 명제는 서로 필요충분

조건이다.

(1) 점 [eqn: A,``B,``C```]는 한 직선 위에 있다.

(2) 벡터 [eqn: {vec{AB}} ``]와 [eqn: {vec{AC}} ```]는 평행하다.

(3) [eqn: {vec{AC it}} ``= it `k {vec{AB it}}] 가 성립하는 [eqn: 0]이 아닌 실수 [eqn: k]가 존재한다.

[나] 두 점 [eqn: A,`B``]의 위치벡터를 각각 [eqn: {vec{a}} `,`` {vec{b}} ``]라고 할 때, 선분 [eqn: {bar{AB}} ``]를 [eqn: m~:``n] [eqn: (m>0,~n>0)]으로

내분하는 점 [eqn: P``]의 위치벡터는  [eqn: {vec{p}} `= {m {vec{`b}} `+`n {vec{`a}}} over {m`+`n}] 이다.

3-1. 두 점 [eqn: A,`B``]에 대하여 [eqn: {vec{OP}} ``=`t` {vec{OA}} `+(1-t) {vec{OB}} ````(0 LEQ it `t LEQ 1)]가 성립하는 점 [eqn: P]의 자취는

선분 [eqn: {bar{AB}} ``]임을 증명하시오. 단, [eqn: O`]는 원점이다. (10점)

3-2. 좌표공간의 점 [eqn: A(3,3,3)]과 중심이 원점 [eqn: O`]인 구면 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =`9] 위를 움직이는 점 [eqn: P]에 대하여

[eqn: L``= LEFT | {2} over {3} {vec{OA}} ``+ {1} over {3} {vec{OP`}} ` RIGHT |] 이라고 하자. [eqn: L`]의 값이 최대인 경우에, 두 벡터 [eqn: {vec{OA}}] 와 [eqn: ` {vec{OP`}}] 가

이루는 각의 크기를 구하고, 그 때에 [eqn: L`]의 값을 구하시오. (10점)

3-3. 그림과 같이 사각형 [eqn: ABCD``]에서 선분 [eqn: AD``]의 중점을 [eqn: P], 선분 [eqn: BC``]의 중점을 [eqn: Q``]라 하자.

대각선 [eqn: AC`,``][eqn: BD``]및 선분 [eqn: PQ````]가 한 점에서 만날 때, 두 벡터 [eqn: {vec{BC it}} ```]와 [eqn: {vec{AD it}} ``]가 평행함을 보이시오.

(힌트 : 두 실수 [eqn: m`,``n`]에 대하여 [eqn: ` {vec{BC}} ``= it ``m {vec{`AB}} ``+`n {vec{`AD}} ``]일 때 [eqn: m``=0] 임을 보이면 된다.) (10점)

* 주의사항 : 문제지, 연습지, 답안지에 필요한 인적사항을 기입하였는지 확인하시오.