2016학년도 대학입학전형 대비 2차 모의논술고사

자연계 채점기준 및 모범답안

문항 1 출제의도

문항 1-1. 조합의 기본적인 개념에 관한 이해력을 평가한다.

문항 1-2. 조합에 관한 이해를 통한 적용력을 평가한다.

문항 1-3. 이항정리를 이용하여 새로운 공식을 얻는 이론적인 과정을 평가한다.

문항 1 평가기준

문항	평가영역	평가내용	난이도	배점	출제영역
					교과목	교과서 개념
1-1	이해력	조합에 관한 이해	중하	10	수학	조합
1-2	적용력, 계산력	조합과 급수의 적용 및 계산	중	10	수학	조합, 급수
1-3	이해력, 응용력	이항정리의 응용	중상	10	수학	조합, 이항정리

문항 2 출제의도

문항 2-1. 삼각함수에 관한 기본적인 이해와 삼각함수의 계산능력을 평가한다

문항 2-2. 2-1의 결과를 주어진 문제에 응용하는 능력을 평가한다.

문항 2 평가기준

문항	평가영역	평가내용	난이도	배점	출제영역
					교과목	교과서 개념
2-1	이해력, 계산력	삼각함수의 이해와 계산	중	15	수학	도형, 삼각함수
2-2	응용력, 계산력	삼각함수의 응용	상	15	수학	도형, 삼각함수, 극한

문항 3 출제의도

문항 3-1. 합성함수의 기본적인 개념에 관한 이해력을 평가한다.

문항 3-2. 급수와 소수에 대한 충분한 이해를 바탕으로 어떤 사실을 체계적인 이론을 거쳐 논증하는 능력을 평가한다.

문항 3 평가기준

문항	평가영역	평가내용	난이도	배점	출제영역
					교과목	교과서 개념
3-1	이해력, 적용력	합성함수에 관한 이해	중상	20	수학	함수, 급수
3-2	이해력, 응용력, 적용력	소수에 관한 이해와 수학적귀납법을 이용한 체계적인 논증	상	20	수학	함수, 급수, 약수와 소수

2차 모의논술 모범답안  (자연계)

(모범답안과 다른 방법으로 논술한 합당한 답안도 모두 인정한다)

【문항 1】

1-1. (10점) 제 집합 [eqn: A` _{n}]의 부분집합 중에서 짝수 개의 원소를 가지는 부분집합의 개수는

[eqn: {} _{n} rm C _{0} + _{it n rm} rm C _{2} ` it + _{n} rm C _{4} `+` CDOTS `+ _{it n rm} rm C _{it k` rm} it `] (단, [eqn: k`]는 [eqn: n`]보다 크지 않는 최대 짝수)     (3점)

이다. 제시문 [나]의 이항정리를 이용하여 [eqn: LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{n} `]을 전개하면

[eqn: LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{n} = _{n} rm C _{0} + _{it n rm} rm C _{1} ` it x`+ _{n} rm C _{2} it `x ^{2} +` CDOTS `+` _{n} rm C _{it r rm} `` it x ^{r} +` CDOTS `+ _{n} rm C _{it n` rm} it x ^{n} `]              (3점)

이고, 양변에 [eqn: x=1`]을 대입하면    [eqn: 2 ^{n} = _{n} rm C _{0} + _{it n rm} rm C _{1} ` it + _{n} rm C _{2} it `+` CDOTS `+ _{n} rm C _{it n` rm} it `],

또, 양변에 [eqn: x=`-1`]을 대입하면   [eqn: 0= _{n} rm C _{0} - _{it n rm} rm C _{1} ` it + _{n} rm C _{2} it `-` CDOTS `+ _{n} rm C _{it n` rm} it (-1) ^{n} `].

이 두식을 항별로 더하면,  [eqn: 2 ^{n} =2 _{n} rm C _{0} +2 _{it n rm} rm C _{2} ` it +2 _{n} rm C _{4} it `+` CDOTS `+2 _{n} rm C _{it k` rm} it `] 이고,               (4점)

따라서 [eqn: {} _{n} rm C _{0} + _{it n rm} rm C _{2} ` it + _{n} rm C _{4} `+` CDOTS `+ _{it n rm} rm C _{it k` rm} it `=2 ^{n-1} `] 이다.

그러므로 집합 [eqn: A` _{n}]의 부분집합 중에서 짝수 개의 원소를 가지는 부분집합의 개수는 [eqn: 2 ^{n-1} `]이다.

1-2. (10점) 집합 [eqn: A` _{8}]의 부분집합 중에서 원소의 개수가 [eqn: 3]개인 부분집합의 개수는 [eqn: {} _{8} rm C _{3} =56`]이고,

이 56개의 부분집합(원소의 개수가 3개인 집합 [eqn: A` _{8}]의 부분집합) 중에서

[eqn: A` _{8}]의 각 원소 [eqn: j``=`1,`2,` CDOTS `,`8`]에 대하여, [eqn: j`]를 포함하면서 원소의 개수가 3인 부분집합은 [eqn: j`]를 제외한

나머지 원소들 중에서 2개를 택하여 만들 수 있으므로, 그러한 부분집합의 개수는 [eqn: {} _{7} C _{2} `=`21] 이다.  (5점)

그러므로 [eqn: sum _{i=1} ^{k} `S` LEFT ( B _{i} RIGHT ) `= sum _{j=1} ^{8} `21 CDOT j=21 CDOT (1+2+` CDOTS `+8)=756`]이다.  (5점)

1-3. (10점) [eqn: LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{n} `]의 일반항은 [eqn: {} _{n} rm C _{it r rm} it ``x ^{r} `][eqn: (0 LEQ r LEQ n)`]이고 [eqn: LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{m} `]의 일반항은 [eqn: {} _{m} rm C _{it s rm} it ``x ^{s} it `][eqn: (0 LEQ s LEQ m)`]이므로

[eqn: LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{n} LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{m} `]의 일반항은 [eqn: {} _{n} rm C _{it r rm} it ``x ^{r} it `․` _{m} rm C _{it s rm} it ``x ^{s} it `=` _{n} rm C _{it r rm} it ``․` _{m} rm C _{it s rm} it ``x ^{r+s} `] 이다.   (5점)

따라서 [eqn: {} _{n} rm C _{0} `․` _{it m rm} rm C _{it k rm} `+` _{it n rm} rm C _{1} `․` _{it m rm} C _{it k-1 rm} `+` _{it n rm} rm C _{2} ``․` _{it m rm} rm C _{it k-2 rm} `+` CDOTS `+ _{it n rm} rm C _{it k rm} `․` _{it m rm} rm C _{0} `]은 [eqn: LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{n} LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{m} `]의 전개식에서

[eqn: x ^{k} `]의 계수의 합이다.

항등식 [eqn: LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{n} LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{m} = LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{n+m} `]이 성립하므로

[eqn: {} _{n} rm C _{0} `․` _{it m rm} rm C _{it k rm} `+` _{it n rm} rm C _{1} `․` _{it m rm} C _{it k-1 rm} `+` _{it n rm} rm C _{2} ``․` _{it m rm} rm C _{it k-2 rm} `+` CDOTS `+ _{it n rm} rm C _{it k rm} `․` _{it m rm} rm C _{0} `]은  [eqn: LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{n+m} `]의 전개식에서 [eqn: x ^{k} `]의 계수

[eqn: {} _{n+m} rm C _{it k rm} it `]와 같다.

그러므로 [eqn: {} _{n} rm C _{0} `․` _{itm} rm C _{itk} `+` _{itn} rm C _{1} `․` _{itm} C _{itk-1} `+` _{itn} rm C _{2} ``․` _{itm} rm C _{itk-2} `+` CDOTS `+ _{itn} rm C _{itk} `․` _{itm} rm C _{0} =` _{itn+m} rm C _{itk} `]이다.   (5점)

【문항 2】

2-1. (15점) 임의의 [eqn: m`]에 대하여 [eqn: {m} over {n} =tan( sum _{i=1} ^{m} theta _{i} ^{(n)} )] 이고 [eqn: tan( alpha + beta )= {tan alpha +tan beta } over {1-tan alpha `tan beta }]라는 사실로 부터

[eqn: {k} over {n} =tan( sum _{i=1} ^{k} theta _{i} ^{(n)} )=tan( theta _{k} ^{(n)} + sum _{i=1} ^{k-1} theta _{i} ^{(n)} )= {tan( theta _{k} ^{(n)} )+tan( sum _{i=1} ^{k-1} theta _{i} ^{(n)} )} over {1-tan( theta _{k} ^{(n)} )tan( sum _{i=1} ^{k-1} theta _{i} ^{(n)} )} `= {tan( theta _{k} ^{(n)} )+ {k-1} over {n}} over {1-tan( theta _{k} ^{(n)} ) {k-1} over {n}}]

가 성립하므로, 이를 정리하여 [eqn: tan( theta _{k} ^{(n)} )= {n} over {n ^{2} +k(k-1)}] 를 얻는다.  (15점)

2-2. (15점)

[eqn: lim _{n -> INF } {{theta _{n} ^{(n)}} over {theta _{1} ^{(n)}} ``} =``` LEFT ( lim _{n -> INF } {{theta _{n} ^{(n)}} over {tan( theta _{n} ^{(n)} )}} RIGHT ) CDOT LEFT ( lim _{n -> INF } {{tan( theta _{n} ^{(n)} )} over {tan( theta _{1} ^{(n)} )}} RIGHT ) CDOT LEFT ( lim _{n -> INF } {{tan( theta _{1} ^{(n)} )} over {theta _{1} ^{(n)}}} RIGHT )# `````````````````````````````=``1 CDOT LEFT ( lim _{n -> INF } {{{n} over {2n ^{2} -n}} over {{1} over {n}}} RIGHT ) CDOT 1``=```` LEFT ( lim _{n -> INF } {{1} over {2- {1} over {n}}} RIGHT ) ```= {1} over {2}]

(15점)

【문항 3】

3-1. (20점) 정의에 따라 함수 [eqn: g _{n}]을 귀납적으로 구하면 다음과 같다.

[eqn: {1} over {3}]

[eqn: 1]

[eqn: {1} over {2}]

[eqn: 1]

[eqn: {1} over {2}]

[eqn: 1]

[eqn: {1} over {2}]

[eqn: 1]

[eqn: CDOTS CDOTS]

함수 [eqn: g _{n}]에 대하여 구간 [eqn: 0<x<1]에서 [eqn: g _{n} (x)=0]을 만족하는 해집합을 귀납적으로 구하면

[eqn: LEFT { {1} over {2 ^{n-1}} ,` {2} over {2 ^{n-1}} , {3} over {2 ^{n-1}} ,` CDOTS ,` {2 ^{n-1} -1} over {2 ^{n-1}} ` RIGHT } rm]이므로   (10점)

해집합의 총합 [eqn: a _{n}]을 구하면

[eqn: a _{n}= {1+2+3+ CDOTS +(2 ^{n-1} -1)} over {2 ^{n-1}} = {2 ^{n-1} -1} over {2}]  이다.   (5점)

따라서,  [eqn: sum _{n=1} ^{inf} { a_n} over {3^n }= {1} over {2} sum _{n=1} ^{INF } {2 ^{n-1} -1} over {3 ^{n}} = {1} over {2} sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {2 ^{n-1}} over {3 ^{n}} - {1} over {3 ^{n}} RIGHT ) = {1} over {4}] 이다.   (5점)

3-2. (20점) [eqn: b _{n} = {1} over {2n}]이므로 [eqn: sum _{k=1} ^{n} 2b _{k} =1+ {1} over {2} + CDOTS + {1} over {n} = {p _{n}} over {q _{n}}] 이다.  (5점)

[eqn: n=1]일 때, [eqn: p _{n} =1`,`q _{n} `=`1] 이므로 [eqn: ```1`|``1!`] 이므로 성립한다.

[eqn: n=k]일 때, 즉, [eqn: 1+ {1} over {2} + {1} over {3} +...+ {1} over {k} = {p _{k}} over {q _{k}}] , [eqn: (p _{k} ,q _{k} )=1] 이면 [eqn: q _{k} `|`k!`]이 성립한다고 가정하자.  (3점)

양변에 [eqn: {1} over {k+1}]을 더하면 [eqn: 1+ {1} over {2} + {1} over {3} +...+ {1} over {k} + {1} over {k+1} = {p _{k}} over {q _{k}} + {1} over {k+1} = {p _{k} (k+1)+q _{k}} over {q _{k} (k+1)}]      (3점)

(ⅰ) [eqn: (p _{k} (k+1)+q _{k} `,`q _{k} (k+1)`)`=1`]이면, [eqn: q _{k} (k+1)`|`(k+1)!`] 이므로 [eqn: n=k+1]일 때도 성립한다.  (3점)

(ⅱ) [eqn: (p _{k} (k+1)+q _{k} `,`q _{k} (k+1)`)` !=1`] 이면, 서로소인 [eqn: a _{k}]와 [eqn: `b _{k} `]가 존재하여

[eqn: {a _{k}} over {b _{k}} = {p _{k} (k+1)+q _{k}} over {q _{k} (k+1)}],   [eqn: b _{k} `|`q _{k} (k+1)]  이다.

따라서  [eqn: b _{k} `|`q _{k} (k+1)] 이고 [eqn: q _{k} (k+1)``|``(k+1)!] 이므로 [eqn: b _{k} ``|``(k+1)!`]  (4점)

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 [eqn: n=k+1] 일 때도 성립하므로 수학적 귀납법에 의해 [eqn: q _{n}]은 [eqn: n!]의 약수이다.  (2점)