2016학년도 대학입학전형 자연계 2차 모의평가 문제지

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지원학과(학부)

응시번호

성명

【유의사항】

1. 시험시간은 100분입니다.

2. 답안은 답안지의 해당 문항 번호에 연필 또는 샤프로 작성하시오.

3. 답안 수정 시 지우개를 사용하시오.

4. 문항 번호를 기술하고, 답을 작성하시오.

5. 학교명, 성명 등 자신의 신상에 관련된 사항을 답안에는 드러내지 마시오.

6. 답안 연습은 연습지를 활용하시오.

7. 답안지, 연습지 및 문제지에 필요한 인적사항을 기입하였는지 확인하시오.

【문항 1】다음 제시문을 근거로 하여 논제에 답하시오. (30점)

[가] 서로 다른 [eqn: n`]개에서 순서를 생각하지 않고 [eqn: r`(0<r LEQ n)`]개를 택하는 것을 [eqn: n`]개에서 [eqn: r`]개를 택하는 조합이라고 하며,
이 조합의 수를 기호로 [eqn: {} _{n} rmC _{itr} `]로 나타낸다.
또, [eqn: r`=0`]인 경우에 [eqn: {} _{n} rm C _{0} =1`]로 정의한다. 그리하면, [eqn: {} _{n} rm C _{it r rm} =` _{itn} rm C _{it n-r` rm} it `][eqn: (0 LEQ r LEQ n)`]이 성립한다.

[나] 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: LEFT ( a+b RIGHT ) ^{n} = _{n} rm C_{0} ` it a ^{n} + _{n} rm C_{1} ` it a ^{n-1} b`+_{n} rm C_{2} ` it a ^{n-2} b ^{2} +` CDOTS `+` _{n} rm C_{it r rm} ` it a ^{n-r} b ^{r} +` CDOTS `+_{n} rm C_{it n rm} ` it b ^{n} `]

이 성립하는데, 이를 이항정리하고 하고, 위의 전개식에서 각 항의 계수들

[eqn: {} _{n} rm C _{0`,} ```` _{it `n rm} rm C _{1`,} ``` _{it ```n rm} rm C _{2`,} ` CDOTS _{,} `` _{it ```n rm} rm C _{it r`, rm} `` CDOTS _{,} `` _{it ```n rm} rm C _{it n rm} `]

을 이항계수라 한다.

모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: A _{n} = LEFT { 1,``2,``3,` CDOTS `,``n RIGHT } `]이라고 두자.

1-1. 집합 [eqn: A` _{n}]의 부분집합 중에서 짝수 개의 원소를 가지는 모든 부분집합의 개수를 구하시오. (10점)

1-2. [eqn: n`=`8``]일 때, 집합 [eqn: A` _{8}]의 부분집합 중에서 [eqn: 3]개의 원소를 가지는 모든 집합을 [eqn: B _{1} ,``B _{2} `,` CDOTS `,``B _{k} `]

라고 하자. [eqn: S(B)``]를 집합 [eqn: B`]의 모든 원소들의 합이라고 할 때, [eqn: sum _{i=1} ^{k} `S` LEFT ( B _{i} RIGHT ) `]의 값을 구하시오. (10점)

1-3. 자연수 [eqn: n,``m,``k`]에 대하여 [eqn: k LEQ n`], [eqn: k LEQ m`]일 때, 등식

[eqn: {} _{n} rm C _{0} `․` _{itm} rm C _{itk} `+` _{itn} rm C _{1} `․` _{itm} C _{itk-1} `+` _{itn} rm C _{2} ``․` _{itm} rm C _{itk-2} `+` CDOTS `+ _{itn} rm C _{itk} `․` _{itm} rm C _{0} =` _{itn+m} rm C _{itk} `]

를 증명하시오. (10점)

【문항 2】다음 제시문을 근거로 하여 논제에 답하시오. (30점)

[가] 수열[eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ,~ LEFT { b _{n} RIGHT }]이 모두 수렴하고, [eqn: lim _{n -> INF } {} ~a _{n} = alpha ,~ lim _{n -> INF } {} ~b _{n} = beta ~]일 때,

[eqn: lim _{n -> INF } {``a _{n} b _{n}} `=` lim _{n -> INF } {``a _{n}} CDOT lim _{n -> INF } {`b _{n}} `=` alpha beta ~]

가 성립한다.

[나]  [eqn: lim _{x -> 0} {{tan`x} over {x} `=`1}] 이다.

[다]  탄젠트함수에 대하여 다음의 덧셈정리가 성립한다.
[eqn: tan( alpha + beta )= {tan alpha `+``tan beta } over {1`-`tan alpha ``tan beta } `,~~~~~~~tan( alpha - beta )= {tan alpha `-`tan beta } over {1`+`tan alpha ``tan beta } `.]

(뒷면에 계속)

그림과 같이 밑변과 높이가 모두 1인 직각이등변 삼각형 [eqn: TRIANGLE ABC``]에서 수직인 변 [eqn: {bar{BC}} `]를 [eqn: n`]등분하는

점들을 꼭짓점 [eqn: B``]에서 가까운 순서대로 [eqn: P _{0} =B,``P _{1} ,`P _{2} `,` CDOTS `,`P _{n} =C```]이라 하고, 각 [eqn: ANGLE P _{k-1} AP _{k}] 의

크기를 [eqn: theta _{k} ^{(n)} `]로 나타내기로 하자.

2-1. [eqn: tan` theta _{k} ^{(n) _{}} ``]를 [eqn: `n`]과 [eqn: `k]에 관한 식으로 나타내시오. (15점)

2-2. 모든 자연수 [eqn: `n`]에 대하여 위에서 구한 [eqn: tan` theta _{k} ^{(n)}]를 이용하여, [eqn: lim _{n -> INF } {{theta _{n} ^{(n)}} over {` theta _{1} ^{(n)}}}] 의 값을 구하시오. (15점)

【문항 3】다음 제시문을 근거로 하여 논제에 답하시오. (40점)

[가] 두 함수 [eqn: f`:`X```` -> ``Y] 와 [eqn: g``:`Y```` -> ``Z] 가 주어졌을 때, 집합 [eqn: X`]의 임의의 원소 [eqn: x]에 집합 [eqn: Z]의 원소 [eqn: g(f(x))]를
대응시켜서 [eqn: X`]를 정의역, [eqn: Z`]를 공역으로 하는 새로운 함수를 정의할 수 있다.

이 함수를 [eqn: f]와 [eqn: g]의 합성함수라고 하고, 기호로는 [eqn: g CIRC f] 로 나타낸다.

[나] 자연수 [eqn: n]에 대한 명제 [eqn: p(n)]이 모든 자연수에 대해 성립함을 보이려면 다음 두 가지가 성립함을 보이면 된다.

(1) [eqn: n=1]일 때, 명제 [eqn: p(n)]이 성립한다.

(2) [eqn: n=k]일 때, 명제 [eqn: p(n)]이 성립한다고 가정하면 [eqn: n=k+1]일 때에도 명제 [eqn: p(n)]이 성립한다.

이 방법으로 모든 자연수에 대하여 명제가 참임을 보이는 것을 수학적 귀납법이라고 한다.

함수 [eqn: f(x)= {cases{2x```&(0 LEQ x LEQ {1} over {2} )#2(1-x)```````````&( {1} over {2} <x LEQ 1)}}]   로 부터, 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: g _{1} `=`f,`````g _{2} ``=` {1} over {2} (f CIRC f),`````g _{3} ``= {1} over {3} (f CIRC f CIRC f),``` CDOTS `,`````g _{n`} = {1} over {n} ( UNDERBRACE {n`번} {f CIRC CDOTS CIRC f} ),` CDOTS]

으로 정의하였다고 하자.

3-1. 임의의 자연수 [eqn: n`]에 대하여, 구간 [eqn: (0,`1)`]에서 [eqn: g _{n} (x)=0`]이 성립하는 모든 [eqn: x]들의 합을

[eqn: a _{n`} `]이라고 할 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{ INF } {{a _{n}} over {3 ^{n}}}] 을 구하시오. (20점)

3-2. 모든 [eqn: k`]에 대하여, 함수 [eqn: g _{k} (x)`]의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: b _{n`} `]이라고

하자. 임의의 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{n} 2b _{k}] 을 기약분수로 나타내었을 때 [eqn: sum _{k=1} ^{n} 2b _{k} = {p _{n}} over {q _{n}}]이라고 하면,

[eqn: n!`]은 [eqn: q _{n}]으로 나누어떨어짐을 수학적 귀납법으로 보이시오.

(단, [eqn: n!`=`n CDOT (n-1)` CDOT CDOTS ` CDOT 2 CDOT 1] 이다.)  (20점)

* 주의사항 : 문제지, 연습지, 답안지에 필요한 인적사항을 기입하였는지 확인하시오.