2016학년도 대학입학전형 의학계 모의평가 문제지

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지원학과(학부)

응시번호

성명

【유의사항】

1. 시험시간은 100분입니다.

2. 답안은 답안지의 해당 문항 번호에 연필 또는 샤프로 작성하시오.

3. 답안 수정 시 지우개를 사용하시오.

4. 문항 번호를 기술하고, 답을 작성하시오.

5. 학교명, 성명 등 자신의 신상에 관련된 사항을 답안에는 드러내지 마시오.

6. 답안 연습은 연습지를 활용하시오.

7. 답안지, 연습지 및 문제지에 필요한 인적사항을 기입하였는지 확인하시오.

【 문항 1 】 다음 제시문을 근거로 하여 논제에 답하시오. (30점)

[가] 무한급수 [eqn: sum _{n=1 } ^{ INF }`a _{ n}`]에 대하여 부분합

[eqn: S_{ n}`=` a_{1 }`+`a_{2 }`+`a_{ 3}`+` CDOTS`+`a_{n }]

로 이루어진 무한수열 [eqn: LEFT { S_n RIGHT }`]이 실수 [eqn: S]에 수렴하면, 무한급수 [eqn: sum _{n=1 } ^{ INF }`a _{ n}`]은 [eqn: S`]에 수렴한다고 한다.

이 때, [eqn: S]를 이 무한급수의 합이라 하고 [eqn: sum _{n=1 } ^{ INF }`a _{ n}`=`S`] 로 나타낸다. 한편, 수열 [eqn: LEFT { S_n RIGHT }`]이 발산하면

무한급수[eqn: sum _{n=1 } ^{ INF }`a _{ n}`]이 발산한다고 하며, 발산하는 무한급수에 대해서는 그 합을 생각하지 않는다.

[나] 자연수 [eqn: n`]에 관한 명제 [eqn: P(n)`]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 성립함을 증명하려면 다음 두 가지를
밝히면 된다.

(1) [eqn: n=1`]일 때, 명제 [eqn: P(n)`]이 성립한다.

(2) [eqn: n=k`(k GEQ1)`]일 때, 명제 [eqn: P(n)`]이 성립한다고 가정하면

[eqn: n=k+1`]일 때도 명제 [eqn: P(n)`]이 성립한다.

이와 같이 증명하는 방법을 수학적 귀납법이라고 한다.

[다] 무한급수에서 합을 직접 구하지 않고 알려진 무한급수와 비교하여, 수렴과 발산을 간접적으로
판정할 수 있는 다음의 사실은 잘 알려져 있다.

(1) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 0 le a_n leb_n] 일 때, [eqn: sum _{n=1 } ^{ INF }`b _{ n}`]이 수렴하면 [eqn: sum _{n=1 } ^{ INF }`a _{ n}`]도 수렴한다.

(2) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 0 le a_n leb_n] 일 때, [eqn: sum _{n=1 } ^{ INF }`a _{ n}`]이 발산하면 [eqn: sum _{n=1 } ^{ INF }`b _{ n}`]도 발산한다.

1-1. 제시문 [나]를 이용하여, 무한수열

[eqn: 1 ^{2} `,````(1+2) ^{2} `,````(1+2+3) ^{2} `,```(1+2+3+4) ^{2} ,` CDOTS CDOTS `,`(1+2+3+ CDOTS +n) ^{2} ,` CDOTS CDOTS]

의 일반항을 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: a_n = 1^3`+`2^3`+`3^3`+` CDOTS`+n^3`]이 성립함을 증명하시오. (10점)

1-2. 무한수열 [eqn: LEFT { c_n RIGHT }`]이 [eqn: c _{n} `=` {cases{1~~~~~~(n`=1)#4n-2```````(n GEQ 2)}}] 으로 주어질 때, 무한수열

[eqn: {c _{1}} over {1 ^{3}} ,```` {c _{1} +c _{2}} over {1 ^{3} +2 ^{3}} ,```` {c _{1} +c _{2} +c _{3}} over {1 ^{3} +2 ^{3} +3 ^{3}} ,`` CDOTS CDOTS `,`` {c _{1} +c _{2} +c _{3} +` CDOTS `+c _{n}} over {1 ^{3} `+`2 ^{3} `+`3 ^{3} `+` CDOTS `+n ^{3}} ,` CDOTS CDOTS]

의 일반항 [eqn: b_n]을 구하고, 무한수열 [eqn: LEFT {n^2 b_n RIGHT }`]의 수렴, 발산을 판정하시오. (5점)

1-3. 1-2 에서 주어진 무한수열 [eqn: LEFT { c_n RIGHT }`]에 대하여, 제시문 [다]를 이용하여, 무한급수

[eqn: {c _{1}} over {1 ^{3}} ``+`` {c _{1} +c _{2}} over {1 ^{3} +2 ^{3}} ``+`` {c _{1} +c _{2} +c _{3}} over {1 ^{3} +2 ^{3} +3 ^{3}} ``+` CDOTS CDOTS `+` {c _{1} +c _{2} +c _{3} +` CDOTS `+c _{n}} over {1 ^{3} `+`2 ^{3} `+`3 ^{3} `+` CDOTS `+n ^{3}} `+` CDOTS CDOTS]

의 수렴, 발산을 판정하고, 수렴하는 경우에 그 합을 구하시오. (15점)

(뒷면에 계속)

【 문항 2 】 다음 제시문을 근거로 하여 논제에 답하시오. (30점)

[가] 삼각형의 각 꼭지각을 이등분하는 직선들은 삼각형 안의 한 점에서 만나고, 이 점은 삼각형에 내접하는 원의 중심이 된다. 이 점을 삼각형의 내심이라 한다.

[나] 임의의 두 실수 [eqn: p,``q``]의 대소관계에 대하여 다음 중 꼭 하나의 관계만 성립한다.

(1) [eqn: p`<`q```]       (2) [eqn: p`=`q```]       (3) [eqn: p>`q```]

삼각형 [eqn: TRIANGLE ABC`]의 내심이 [eqn: O]이고 꼭지점 [eqn: C``]에서 선분 [eqn: {bar{AB}} `]에 내린 수선의 발을 점 [eqn: H`]라 하자.

또, 삼각형 [eqn: TRIANGLE ABC`]에 내접하는 원의 반지름을 [eqn: r], 선분 [eqn: {bar{AH}} `]의 길이를 [eqn: p,] 선분 [eqn: {bar{CH}} `]의 길이를

[eqn: q`]라 하자. 삼각형 [eqn: TRIANGLE ABC```]에 대하여 다음의 두 조건

[eqn: a+b+c`=` {bar{`CB}} + {bar{AC}} + {bar{BA}} `=`3],    [eqn: {bar{HB}} `=2 {bar{AH}} `=2p]

가 성립한다고 할 때, 다음의 물음에 답하시오.

2-1. 점 [eqn: O]에서 선분 [eqn: bar{CH}]에 이르는 거리 [eqn: d]와 내접하는 원의 반지름 [eqn: r`]을 [eqn: p`]와 [eqn: q`]로 나타내시오. (15점)

2-2. [eqn: p`]와 [eqn: q`]가 변함에 따라 내접하는 원의 넓이가 변한다. 내접하는 원의 넓이가 최대일 때 [eqn: p`]와 [eqn: q`]의
대소관계를 판정하고 그 이유를 밝히시오. ([eqn: p`]와 [eqn: q`]를 구체적으로 계산하지 않아도 된다.) (15점)

【 문항 3 】 다음 제시문을 근거로 하여 논제에 답하시오. (40점)

행렬 [eqn: A= LEFT ( ` {matrix{a`&``b#c`&``d}} ` RIGHT )]와 [eqn: B= LEFT ( ` {matrix{x`&``y#z`&`t}} ` RIGHT )]에 대하여 두 행렬 [eqn: A,`B``]의 곱 [eqn: AB``]와 행렬 [eqn: A]의 행렬식 [eqn: |A`|`]를 각각

[eqn: AB`= LEFT ( ` {matrix{ax+bz`&`````ay+bt#cx+dz`&`````cy+dt}} ` RIGHT )],        [eqn: |A`|=ad-bc`]

로 정의하면, [eqn: |AB``|=|A`|`|B``|]가 성립한다. (이는 잘 알려진 사실로 직접 계산하여 확인할 수 있다.)

집합 [eqn: LEFT . M`= LEFT { {pmatrix{a&-b#b&``````a-b}} ` LEFT | `` RIGHT . a,`b는````정수 RIGHT } RIGHT .]에 대하여, [eqn: M``]의 부분집합 [eqn: S`] 가운데서 다음의 두 조건

(1) [eqn: S`]는 공집합이 아닌 유한집합이다.

(2) [eqn: S`]에 속하는 임의의 두 행렬 [eqn: A,B`]에 대하여 두 행렬의 곱 [eqn: AB``]도 [eqn: S``]에 속한다.

를 만족시키는 부분집합 [eqn: S`]를 닫힌유한집합이라고 부르기로 하자.

3-1. 어떤 닫힌유한집합의 원소인 [eqn: A`]에 대하여, 가능한 [eqn: |A`|`]의 값을 모두 구하시오. (15점)

3-2. 어떤 닫힌유한집합의 원소가 될 수 있는 행렬 [eqn: A`]를 모두 구하시오. (10점)

3-3. [eqn: M``]의 부분집합 가운데서 닫힌유한집합을 모두 구하시오. (15점)

* 주의사항 : 문제지, 연습지, 답안지에 필요한 인적사항을 기입하였는지 확인하시오.