2016학년도 대학입학전형 대비 1차 모의논술고사

자연계 채점기준 및 모범답안

[문항 1]

문항 1-1. 제시문 [나]의 수학적 귀납법을 사용하여 수열의 일반항을 구하는 문제로, 수학적 귀납법을 정의대로 정확히 적용하는 능력을 평가하고, 수열의 일반항을 계산하는 데 필요한 기초적인 계산능력을 평가한다.

문항 1-2. 제시문 [나]에 주어진 방법대로 이미 수렴 또는 발산을 알고 있는 무한급수를 이용하여 주어진 무한급수의 수렴 또는 발산을 판정하고, 수렴하는 경우에 극한을 구하는 문제이다. 직접 극한을 구할 수 있으나, 제시문의 방법대로 잘 알고 있는 무한급수를 가져와서 적용하는 능력을 중요한 요소로 평가하는 문제이다.

문항 1 평가기준

문항	평가영역	평가내용	난이도	배점	출제영역
					교과목	교과서 개념
1-1	적용력	수학적 귀납법의 적용능력	중하	15	수학	집합과 논리
1-2	적용력, 계산력	무한급수의 합 계산능력 주어진 지식의 활용능력	상	25	수학	수열과 급수

[문항 2]

문항 2-1. 크기가 4인 집합 [eqn: X``]에서 [eqn: X``]로의 함수 중에서 자신이 자신의 역함수가 되는 함수들의 수를 구하는 문제로 조합론적으로 경우의 수를 계산하는 능력을 평가한다.

문항 2-2. 크기가 6인 집합 [eqn: X``]에서 [eqn: X``]로의 함수 중에서 세 번 적용하면 항등함수가 되는 함수들의 수를 구하는 문제로 조합론적으로 경우의 수를 계산하는 능력을 평가한다.

문항 2-3. 크기가 8인 집합 [eqn: X``]에서 [eqn: X``]로의 함수 중에서 특정한 원소만 고정시키는 함수들의 수를 구하는 문제로 조합론적으로 경우의 수를 계산하는 능력을 평가한다.

문항 2 평가기준

문항	평가영역	평가내용	난이도	배점	출제영역
					교과목	교과서 개념
2-1	계산력	함수, 순열과 조합의 계산능력	하	10	수학	함수, 순열과 조합
2-2	이해력, 계산력	함수, 순열과 조합의 이해력	중	10	수학	함수, 순열과 조합
2-1	이해력, 계산력, 창의력	함수, 순열과 조합의 이해력, 창의적인 기법	상하	10	수학	함수, 순열과 조합

[문항 3]

문항 3-1. 고정된 삼각형과 움직이는 삼각형의 넓이의 비가 2일 때의 시간을 구하는 문제로, 정사영의 넓이에 대한 이해와, 두 벡터의 사잇각 또는 두 평면의 이면각 내적을 이용하여 구하는 능력을 평가한다.

문항 3-2. 시간이 흐름에 따라 위의 두 삼각형의 사잇각이 변하여 취할 수 있는 범위를 구하는 문제로, 연속함수의 함숫값에 관한 개념을 평가한다.

문항 1-3. 정사영으로 얻은 삼각형의 한 강의 크기가 최대일 때의 시간을 구하는 문제로, 벡터의 사잇각에 대한 개념과 코사인 함수와의 관계에 대한 이해력와 적용력을 평가한다.

문항 3 평가기준

문항	평가영역	평가내용	난이도	배점	출제영역
					교과목	교과서 개념
3-1	이해력, 적용력	도형과 벡터에 관한 이해력	중상	10	수학	벡터와 도형
3-2	이해력, 적용력	직선의 방정식, 벡터, 연속함수에 관한 이해력과 적용력	중	10	수학	벡터와 도형, 함수
3-3	이해력, 계산력	벡터의 사잇각, 함수의 최대·최소에 관한 이해력과 적용력	중상	10	수학	벡터와 도형, 함수

모범답안 및 세부 배점기준  (자연계)

【문항 1】

1-1. (15점) 일반항 [eqn: a_n]은 논제 1-1 에 의하여  [eqn: a_{n} `= ` {1+6+10+14+` CDOTS `+(제n항)} over {LEFT ( 1+2+3+ CDOTS+n RIGHT ) ^{2}} `] ......(*)

[eqn: 2+6+10+ CDOTS+(4n-2)-1][eqn: =`2n^2`-1] 이고,                                                        (3점)

[eqn: {LEFT ( 1+2+3+ CDOTS+n RIGHT ) ^{2}} `][eqn: =LEFT { { 1} over {2 }n(n+1) RIGHT }^2]이므로                                                          (3점)

일반항은  [eqn: a_{n} `=` {4(2n^2`-1)} over {LEFT {n(n+1) RIGHT } ^{2}} `] 이다.                                                                   (2점)

[eqn: lim _{n -> INF } {n ^{2} `a _{n}} `=`][eqn: lim _{ n->inf} { {4n^2`(2n^2`-1)} over {LEFT {n(n+1) RIGHT } ^{2}} `][eqn: =lim _{ n->inf} { {4(2n^2`-1)} over { (n+1) ^{2}} `]= 8 이므로                                 (5점)

무한수열 [eqn: LEFT { n ^{2} a _{n} RIGHT } `]은 8에 수렴한다.                                                                    (2점)

1-2. (25점) 제시문 [나]에서 이미 수렴함을 알고 있는 무한급수[eqn: sum _{n=1 } ^{ INF }`b _{ n}`]의 일반항으로

[eqn: b _{n} `=` {8} over {n(n+1)} `]을 선택하면                                                                 (5점)

[eqn: sum _{n=1 } ^{ INF }`b _{ n}`][eqn: =`sum _{n=1 } ^{ INF }` { 8} over {n(n+1)} `][eqn: `=` lim _{n -> INF } {```} 8 sum _{k=1} ^{n} {1} over {k` LEFT ( k+1 RIGHT )} `][eqn: `=` lim _{n -> INF } {} `8 sum _{k=1} ^{n} LEFT { {1} over {k} - {1} over {(k+1)} RIGHT }]

[eqn: `=` lim _{n -> INF } {```} 8 LEFT { LEFT ( 1- {1} over {2} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {2} - {1} over {3} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {3} - {1} over {4} RIGHT ) +` CDOTS `+ LEFT ( {1} over {n} - {1} over {(n+1)} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: `=` lim _{n -> INF } {``} 8 LEFT ( 1- {1} over {n+1} RIGHT )] [eqn: =`8] 이다.                                                 (5점)

한편 주어진 무한급수의 일반항은 [eqn: a_{n} `=` {4(2n^2`-1)} over {LEFT {n(n+1) RIGHT } ^{2}} `] 이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: 0 le a_n `=` {4(2n^2`-1)} over {LEFT {n(n+1) RIGHT } ^{2}} `le` {8n^2`} over {n^2 (n+1)^{2}}`=` {8} over {(n+1)^{2}} `le` {8} over {n (n+1)}`=` b_n]

이므로 제시문 [나]에 의하여 무한급수 [eqn: sum _{n=1 } ^{ INF }`a _{ n}`]은 수렴한다.                                    (5점)

<주의> 비교대상의 수렴하는 무한급수[eqn: sum _{n=1 } ^{ INF }`b _{ n}`]은 다양하게 나타날 수 있음.

이제 그 합을 구해보면  [eqn: sum _{n=1 } ^{ INF }`a _{ n}`][eqn: =` lim _{ n->inf} { sum _{ k=1} ^{n } {4(2k^2`-1)} over {LEFT {k(k+1) RIGHT } ^{2}} `]이므로, 각 항을 부분분수로 고치기 위하여

[eqn: {4(2k ^{2} `-1)} over {LEFT { k(k+1) RIGHT } ^{2}} `=4 LEFT { {ak+b} over {k ^{2}} - {ck+d} over {(k+1) ^{2}} RIGHT }] 라 두고 [eqn: a,``b,``c,``d`]를 구하면 [eqn: a=`2,````b`=`-1,````c=`2,````d=1`]이다.

(4점)

따라서 무한급수의 부분합은

[eqn: S _{n} `=` sum _{ k=1} ^{n } {4(2k^2`-1)} over {LEFT {k(k+1) RIGHT } ^{2}} `][eqn: =` sum _{ k=1} ^{n } `4 LEFT { { 2k-1} over {k^2} - {2k+1} over {(k+1)^2 } RIGHT }] [eqn: =`4 LEFT { 1 - {2n+1} over {(n+1)^2 } RIGHT }][eqn: =`LEFT { { 2n} over {(n+1) } RIGHT }^2]

이고, 무한급수의 합은

[eqn: sum _{n=1 } ^{ INF }`a _{ n}`][eqn: =` lim _{ n->inf} { S _{ n} }`][eqn: =` lim _{ n->inf} { LEFT { { 2n} over {(n+1) } RIGHT }^2][eqn: =`4] 이다.                                          (6점)

【문항 2】

2-1. (10점) 합성함수 [eqn: (f`circ f``)`(x`)`=x`]인 경우는

(ⅰ) 항등함수 1개,                                                                          (2점)

(ⅱ) 어느 한 쌍의 두 수가 서로 다른 수에 대응하는 경우 [eqn: {} _{4} C _{2}]개,                               (3점)

(ⅲ) (ⅱ)이 두 쌍인 경우 [eqn: {} _4} C _{2} TIMES][eqn: {} _{2} C _{2} TIMES {1} over {2!}]로 나누어진다.                                      (4점)

따라서, (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여  1 +[eqn: {} _{4} C _{2} +][eqn: {} _4} C _{2} TIMES][eqn: {} _{2} C _{2} TIMES {1} over {2!}] = 1 + 6 + 3 = 10(개)이다.       (1점)

2-2. (10점) [eqn: I(f)`]가 공집합이므로 모든 [eqn: `x IN X `]에 대하여 [eqn: f(x)``not=``x`]이다.

그리고 [eqn: (f CIRC f CIRC f )(x)`=`x`]를 만족해야 [eqn: f]는 일대일 대응이고 6개의 수가 세수씩 두 조로 편성하여

각조는 예를 들어

[예]          와 같이 대응되어야 한다.                                      (5점)

6개의 수를 세수씩 두 조로 편성하는 방법의 수 [eqn: {} _{6} C _{3} TIMES _{3} C _{3} TIMES {1} over {2!}]                               (2점)

각 조에서 [예]의 1이 3에 대응되는 경우로 나누어 곱의 법칙을 적용하면, 전체 경우의 수는

[eqn: {} _{6} C _{3} TIMES _{3} C _{3} TIMES {1} over {2!} TIMES 2 ^{2}] = 40(개)이다.                                                          (3점)

2-3. (10점) [eqn: `X`]가 [eqn: `n`]개의 원소를 가질 때, 모든 [eqn: `x IN X`]에 대하여 [eqn: f(x)``not=``x`]인 함수의 개수를 [eqn: a` _{`n} `] 이라고 하자.

[eqn: a` _{`1} `=`0`] (∵ 원소가 1개일 때는 없다.)

[eqn: a` _{`2} ``=`1`] (∵ 원소가 2개일 때는 서로 다른 수에 대응.)

[eqn: a` _{`3} `=`2`] (∵ 원소가 3개일 때는 2가지 경우이다.)                                            (3점)

[eqn: a` _{`4} `=`3`(a` _{2} `+`a` _{3} `)]= 9                                                                      (3점)

(∵) 1과 [eqn: 2LEQ`k` LEQ4]인 수 [eqn: k`]를 잡고 점화식을 구하면

ⅰ) 1에 [eqn: k`], [eqn: k`]에 1이 대응할 때: 남은 2개를 대응하는 것으로 [eqn: a_2]

ⅱ) 1에 [eqn: k`], [eqn: k`]에 1이 아닐 때: 1자리를 제외한 3개를 대응하는 것으로 [eqn: a_3]

따라서  4개를 완전순열로 대응하는 가짓수는 3개의 [eqn: k`]에 대해 [eqn: a` _{`4} `=`3`(a` _{2} `+`a` _{3} `)]이다.

같은 방법으로, [eqn: a` _{5} `=`4`(a` _{3} `+`a` _{4} `)]이고,                                                    (3점)

따라서 [eqn: a` _{5} `=`4`(2 `+`9 `)] = 44(개)이다.                                                     (1점)

【문항 3】

3-1. (10점) 고정된 시간 [eqn: t]에 대하여  [eqn: A=P _{t} -O _{t} ,````B=Q _{t} -O _{t} ,``a= LEFT ∥ A RIGHT ∥ ,```b= LEFT ∥ B RIGHT ∥]라 하자.

벡터 [eqn: A,``B]의 사이각을 [eqn: theta]라 하고 [eqn: TRIANGLE O _{t} ``P` _{t} `Q` _{t}]의 넓이를 [eqn: S _{t}]라 하면

[eqn: S _{t} `= TRIANGLE O _{t} ``P` _{t} `Q` _{t} 의```넓이= {1} over {2} ab`sin theta = {1} over {2} ab` sqrt {1-cos ^{2} theta }# `````= {1} over {2} sqrt {a ^{2} b ^{2} -(A BULLET B) ^{2}} = {1} over {2} sqrt {(4+1+4t ^{2} )(1+4+9t ^{2} )-(4+6t ^{2} ) ^{2}}# `````= {1} over {2} sqrt {9+17t ^{2}}]

이다.                                                                                       (5점)

[eqn: TRIANGLE OPQ``]의 넓이는 [eqn: {3} over {2}]이므로  [eqn: TRIANGLE O _{t} ``P` _{t} `Q` _{t}]의 넓이가 [eqn: TRIANGLE OPQ]의 넓이의 [eqn: 2]배가 될 때

[eqn: 2= {S _{t _{}}} over {S _{0}} = {sqrt {9+17t _{} ^{2}}} over {3}] 가 성립한다. 따라서 [eqn: t= {3 sqrt {51}} over {17}]이다.                                (5점)

다른풀이) 세 점 [eqn: O _{t} ,`P _{t} ,`Q _{t}]을 지나는 평면 [eqn: pi_t]의 방정식을  [eqn: pi_t `:`ax+by+cz+d=0] 라 하고,

세 점의 좌표를 대입하여 풀면, [eqn: pi _t`:`tx+4ty-3z+3t=0] 을 얻는다.

평면 [eqn: pi_t]의 법선벡터는 [eqn: {vec{u}} `=`(t,4t,-3)]이고 [eqn: xy] 평면의 법선벡터는 [eqn: {vec{v}} `=`(0,0,1)]이다.

[eqn: TRIANGLE O _{t} ``P` _{t} `Q` _{t}]의 넓이가 넓이가 두배일 때, 두 평면의 이면각을 [eqn: theta]라 하면 [eqn: cos` theta `= {TRIANGLE OPQ의```넓이} over {TRIANGLE O _{t} ``P` _{t} `Q` _{t} 의```넓이} = {1} over {2}]

이다. 한편  [eqn: cos` theta = {LEFT | {vec{u}} `․` {vec{v}} RIGHT |} over {LEFT ∥ {vec{u}} ` RIGHT ∥ LEFT ∥ {vec{v}} ` RIGHT ∥} = {|``t TIMES 0+4t TIMES 0+(-3) TIMES 1``|} over {sqrt {t ^{2} +(4t) ^{2} +(-3) ^{2}} sqrt {0 ^{2} +0 ^{2} +1 ^{2}}} = {3} over {sqrt {17t ^{2} +9}}] 이다.

따라서, [eqn: {3} over {sqrt {17t ^{2} +9}} = {1} over {2} ``]이 성립하고 [eqn: t= {3 sqrt {51}} over {17}]이다.

3-2. (10점) 세 점 [eqn: O _{t} ,`P _{t} ,`Q _{t}]을 지나는 평면 [eqn: pi_t]의 방정식은 [eqn: pi_t `:`ax+by+cz+d=0] 에 좌표를 대입하여 풀면
[eqn: pi _t`:`tx+4ty-3z+3t=0] 이다.                                                          (3점)

평면 [eqn: pi_t]의 법선벡터는 [eqn: {vec{u}} `=`(t,4t,-3)]이고 [eqn: xy] 평면의 법선벡터는 [eqn: {vec{v}} `=`(0,0,1)]이다.          (1점)

두 평면의 이면각을 [eqn: lambda (t)]라 하면

[eqn: cos` lambda (t)= {LEFT | {vec{u}} `․` {vec{v}} RIGHT |} over {LEFT ∥ {vec{u}} ` RIGHT ∥ LEFT ∥ {vec{v}} ` RIGHT ∥} = {|``t TIMES 0+4t TIMES 0+(-3) TIMES 1``|} over {sqrt {t ^{2} +(4t) ^{2} +(-3) ^{2}} sqrt {0 ^{2} +0 ^{2} +1 ^{2}}} = {3} over {sqrt {17t ^{2} +9}}] 이다.        (3점)

[eqn: cos` lambda (t)= {3} over {sqrt {17t ^{2} +9}}]에서 [eqn: t]가 무한히 커지면 [eqn: {3} over {sqrt {17t ^{2} +9}}]의 값은 [eqn: 0]으로 수렴하므로

중간값의 정리에 의하여 [eqn: cos` lambda (t)]는 [eqn: ( 0, lambda (0)]=(0,1]]의 값을 모두 갖는다.                     (2점)

그러므로 [eqn: lambda (t)]가 가질 수 있는 값의 범위는 [eqn: [0,infty)]이다.                                      (1점)

3-3. (10점) [eqn: ANGLE P _{t} prime O _{t} prime Q _{t} prime] 의 크기 [eqn: ` theta (t)`]에 대하여

[eqn: cos` theta (t)= {LEFT | {vec{O _{t} prime P _{t}}} prime `․` {vec{O _{t} prime Q _{t} prime }} RIGHT |} over {LEFT ∥ {vec{O _{t} prime P _{t} prime }} ` RIGHT ∥ LEFT ∥ {vec{O _{t} prime Q _{t} prime }} ` RIGHT ∥} = {(0,1,2t)`․`(0,2,3t)} over {LEFT ∥ (0,1,2t) RIGHT ∥ LEFT ∥ (0,2,3t)` RIGHT ∥} =][eqn: {2+6t ^{2}} over {sqrt {1+4t ^{2}} sqrt {4+9t ^{2}}}]       (4점)

이다. [eqn: f(t)``=`cos` theta (t)`= {2+6t ^{2}} over {sqrt {1+4t ^{2}} sqrt {4+9t ^{2}}}]라 두면,  [eqn: f(t)]가 최소일 때 [eqn: theta (t)]가 최대이다.    (1점)

[eqn: f` prime (t)= {2t sqrt {3t ^{2} -1}} over {LEFT ( 1+4t ^{2} RIGHT ) ^{{3} over {2}} LEFT ( 4+9t ^{2} RIGHT ) ^{{3} over {2}}}] = 0 이면 [eqn: t= {sqrt {3}} over {3}] 이고, 따라서 [eqn: f(t)]는 [eqn: t`= {sqrt {3}} over {3}]에서 극소값을 가진다.

(2점)

한편 [eqn: f(0)=1]이고, [eqn: t]가 한없이 커지면 [eqn: f(t)]는 [eqn: 1]에 수렴하므로, [eqn: f(t)]는 [eqn: t= {sqrt {3}} over {3}]에서 최소값을 가진다.

그러므로 [eqn: t= {sqrt {3}} over {3}]일 때, [eqn: theta (t)]의 값이 최대이다.                                              (3점)