2016학년도 대학입학전형 자연계 모의평가 문제지

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지원학과(학부)

응시번호

성명

【유의사항】

1. 시험시간은 100분입니다.

2. 답안은 답안지의 해당 문항 번호에 연필 또는 샤프로 작성하시오.

3. 답안 수정 시 지우개를 사용하시오.

4. 문항 번호를 기술하고, 답을 작성하시오.

5. 학교명, 성명 등 자신의 신상에 관련된 사항을 답안에는 드러내지 마시오.

6. 답안 연습은 연습지를 활용하시오.

7. 답안지, 연습지 및 문제지에 필요한 인적사항을 기입하였는지 확인하시오.

【 문항 1 】 다음 제시문을 근거로 하여 논제에 답하시오. (40점)

[가] 무한급수 [eqn: sum _{n=1 } ^{ INF }`a _{ n}`]에 대하여 부분합

[eqn: S_{ n}`=` a_{1 }`+`a_{2 }`+`a_{ 3}`+` CDOTS`+`a_{n }]

로 이루어진 무한수열 [eqn: LEFT { S_n RIGHT }`]이 실수 [eqn: S]에 수렴하면, 무한급수 [eqn: sum _{n=1 } ^{ INF }`a _{ n}`]은 [eqn: S`]에 수렴한다고 한다.

이 때, [eqn: S]를 이 무한급수의 합이라 하고 [eqn: sum _{n=1 } ^{ INF }`a _{ n}`=`S`] 로 나타낸다. 한편, 수열 [eqn: LEFT { S_n RIGHT }`]이 발산하면

무한급수[eqn: sum _{n=1 } ^{ INF }`a _{ n}`]이 발산한다고 하며, 발산하는 무한급수에 대해서는 그 합을 생각하지 않는다.

[나] 무한급수에서 합을 직접 구하지 않고 알려진 무한급수와 비교하여, 수렴과 발산을 간접적으로
판정할 수 있는 다음의 성질이 잘 알려져 있다.

(1) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 0 LEQ a _{n} LEQ b _{n} `]일 때, [eqn: sum _{n=1 } ^{ INF }`b _{ n}`]이 수렴하면 [eqn: sum _{n=1 } ^{ INF }`a _{ n}`]도 수렴한다.

(2) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 0 LEQ a _{n} LEQ b _{n} `]일 때, [eqn: sum _{n=1 } ^{ INF }`a _{ n}`]이 발산하면 [eqn: sum _{n=1 } ^{ INF }`b _{ n}`]도 발산한다.

1-1. 무한수열 [eqn: LEFT { c_n RIGHT }`]이 [eqn: c _{n} `=` {cases{1~~~~~~(n=1)#4n-2```````(n GEQ2) }}] 으로 주어질 때, 무한수열

[eqn: {c _{1}} over {1 ^{2}} ,`` {c _{1} +c _{2}} over {LEFT ( 1+2 RIGHT ) ^{2}} ,`` {c _{1} +c _{2} +c _{3}} over {LEFT ( 1+2+3 RIGHT ) ^{2}} ,`` CDOTS CDOTS `,`` {c _{1} +c _{2} +c _{3} +` CDOTS `+c _{n}} over {LEFT ( 1+2+3+` CDOTS `+n RIGHT ) ^{2}} ,` CDOTS CDOTS]

의 일반항 [eqn: a_n]을 구하고, 무한수열 [eqn: LEFT {n^2 a_n RIGHT }`]의 수렴, 발산을 판정하시오. (15점)

1-2. 1-1에서 주어진 무한수열 [eqn: LEFT { c_n RIGHT }`]에 대하여, 1-1의 결과와 제시문 [나]를 이용하여 무한급수

[eqn: {c _{1}} over {1 ^{2}} `+` {c _{1} +c _{2}} over {LEFT ( 1+2 RIGHT ) ^{2}} `+` {c _{1} +c _{2} +c _{3}} over {LEFT ( 1+2+3 RIGHT ) ^{2}} `+` CDOTS CDOTS `+ {c _{1} +c _{2} +c _{3} + CDOTS +c _{n}} over {LEFT ( 1+2+3+ CDOTS +n RIGHT ) ^{2}} `+` CDOTS CDOTS]

의 수렴, 발산을  판정하고, 수렴하는 경우에 이 무한급수의 합을 구하시오. (25점)

(뒷면에 계속)

【 문항 2 】 다음 제시문을 근거로 하여 논제에 답하시오. (30점)

[가] 함수 [eqn: f`:X`` -> Y`]가 정의 되어 있을 때, 정의역 [eqn: X`]의 임의의 원소 [eqn: x _{1} ,``x _{2}]에 대하여 [eqn: x_1 neq x_2]일 때

[eqn: f(x_1 ) neq f(x_2 )]가 성립하면, [eqn: f]를 일대일함수라고 한다.

[나] 함수 [eqn: f`:X`` -> Y`]가 일대일함수이고, 치역과 공역이 같으면 [eqn: f]를 일대일대응이라고 한다.

[다] 두 함수 [eqn: f``:`X``->Y] 와 [eqn: g``:`Y``->Z] 가 주어졌을 때, 집합 [eqn: X`]의 임의의 원소 [eqn: x]에 집합 [eqn: Z]의 원소

[eqn: g(f(x))]를 대응시켜서 [eqn: X`]를 정의역, [eqn: Z`]를 공역으로 하는 새로운 함수를 정의할 수 있다.

이 함수를  [eqn: f]와 [eqn: g]의 합성함수라고 하며, 이것을 기호로 [eqn: g CIRC f] 로 나타낸다.

함수 [eqn: f``:`X`` -> X``]에 대하여 [eqn: I(f)`=` LEFT { x` IN X````|~f(x)=x RIGHT } `]로 정의하자.

2-1. 집합 [eqn: X= LEFT { 1,`2,`3,`4 RIGHT } `]에서의 함수 [eqn: f`:X`` ->X`] 가운데서, 정의역의 모든 [eqn: x`]에 대하여

[eqn: (f CIRC f`)`(x)`=x`]가 성립하는 함수 [eqn: f``]의 개수를 구하시오. (10점)

2-2. 집합 [eqn: X= LEFT { 1,`2,`3,`4,`5,`6 RIGHT } `]에서의 함수 [eqn: f`:X`` ->X`] 가운데서, [eqn: I(f)`]가 공집합이고

[eqn: I(f CIRC f CIRC f)`=`X``]가 성립하는 함수 [eqn: f``]의 개수를 구하시오. (10점)

2-3. 집합 [eqn: X= LEFT { 1,`2,`3,`4,`5,`6,`7,`8 RIGHT } `]에서의 일대일대응 [eqn: f`:X`` ->X`] 가운데서, [eqn: I(f)`=` LEFT { `6,`7,`8 RIGHT }]가

성립하는 함수 [eqn: f``]의 개수를 구하시오. (10점)

【 문항 3 】 다음 제시문을 근거로 하여 논제에 답하시오.  (30점)

좌표공간의 [eqn: xy] 평면에서 세 점이 각각 [eqn: O(0,0,0),``P(2,1,0),``Q(1,2,0)``]에 놓여 있다.

시간이 0일 때 점들이 움직이기 시작하여, 시간이 [eqn: t]일 때의 위치는 각각 [eqn: O _{t} (0,0,t),`P _{t} (2,1,3t),`Q _{t} (1,2,4t)``]라고 한다. 이 때, 삼각형 [eqn: TRIANGLE O _{t} `P _ {t} Q _{t}]의 [eqn: xy]평면 위로의 정사영은 삼각형 [eqn: TRIANGLE OPQ``]이며, [eqn: yz]평면 위로의 정사영은 [eqn: O _{t} prime (0,0,t),``P _{t} prime (0,1,3t),`][eqn: Q _{t} prime (0,2,4t)``]를 세 꼭지점으로 하는 삼각형 [eqn: TRIANGLE O _{t} prime P _{t} prime Q _{t} prime ``]이다.

3-1. 삼각형 [eqn: TRIANGLE O _{t} `P _ {t} Q _{t}`]의 넓이가 삼각형 [eqn: TRIANGLE OPQ``]의 넓이의 [eqn: 2]배일 때의 시간 [eqn: t`]를 구하시오. (10점)

3-2. 삼각형 [eqn: TRIANGLE O _{t} `P _{t} Q _{t} `]를 포함하는 평면과 [eqn: xy]평면과의 사이각의 크기를 [eqn: lambda (t)]라 하자.

시간 [eqn: t`]가 구간 [eqn: [0, INF )`]위에서 변할 때, [eqn: lambda (t)]의 범위를 구하시오. (10점)

3-3. 시각 [eqn: t]일 때 각 [eqn: ANGLE P _{t} prime O _{t} prime Q _{t} prime]의 크기를 [eqn: theta (t)]라 하자.

[eqn: theta (t)]의 값이 최대일 때의 시간 [eqn: t]를 구하시오. (10점)

* 주의사항 : 문제지, 연습지, 답안지에 필요한 인적사항을 기입하였는지 확인하시오.