모범답안 및 해설

1-1>

임의의 실수 [eqn: boldx]에 대하여 [eqn: bold{{f prime (x)=3x ^{2}} -6x+3=3(x-1) ^{2} GEQ 0}]이므로 증가함수이다.

1-2>

[eqn: boldf(0)=-1]

[eqn: bold{f(2)=8-12+6-1=1]

[eqn: bold{f:[0,2]` -> `[-1,1]]

[eqn: bold{f ^{-1} :[-1,1]` -> `[0,2]] 증가함수 이므로

[eqn: bold{ int _{-1} ^{1} {f ^{-1} (x)dx=}]사각형의 넓이 [eqn: -] [eqn: boldf(x)]의 그래프 아래쪽의 넓이

[eqn: bold{=4- int _{0} ^{2} {f(x)+1} dx]

[eqn: bold=2]

2-1>

[eqn: bold{1= { d} over {dx } (x)= { d} over {dx } (siny)=cosy{ d} over {dx } (y)=cos(g ^{-1}( x)){ d} over {dx } (g ^{-1}( x))= sqrt {1-x ^{2}} { d} over {dx } (g ^{-1}( x))}]

이므로 [eqn: bold{{{ d} over {dx }} (g ^{-1} (x))= {1} over {sqrt {1-x ^{2}}}}]이다.

2-2>

[eqn: bold{h prime (x)=(g ^{-1} ) prime LEFT ( {1} over {2} x RIGHT ) ․ {1} over {2} = {1} over {sqrt {1- {x ^{2}} over {4}}} ․ {1} over {2} = {1} over {sqrt {4-x ^{2}}}}]

2-3>

[eqn: bold{h prime (0)= {1} over {2} `]

[eqn: bold{h(0)=g ^{-1} (0)=0}]

[eqn: bold{y= {1} over {2} x]

3-1>

[eqn: A][eqn: C][eqn: B]다음과 같이 사각형의 각 변을 벡터에 대응시키면

[eqn: D]

벡터의 합에 성질에 의해서 다음이 성립한다.

[eqn: vec { AB}``+`` vec { BC}``=`` vec { AD}``+ vec { DC}]

각 변의 중점을 각각 변 [eqn: AB]의 중점을 [eqn: a], 변 [eqn: BC]의 중점을 [eqn: b], 변 [eqn: CD]의 중점을 [eqn: c] 변 [eqn: DA]의 중점을 [eqn: d]라고 놓으면

[eqn: vec{ab} ``= {vec{AB`} ``+ vec{BC}} over {2}={vec{AD`} ``+ vec{DC}} over {2}= vec { cd}]

[eqn: vec{ac} ``= {vec{AD`} ``- vec{AB}} over {2}={vec{BC`} ``- vec{DC}} over {2}= vec { bd}]

이므로 두 쌍의 대변이 서로 평행하므로 사각형 [eqn: abcd]는 평행사변형이다.

3-2>

변 [eqn: AC]의 중점을 [eqn: M]이라 하면 [eqn: vec{OA} ``+ {1} over {2} vec{AC} ``= vec{OM}]이다.

따라서 [eqn: vec { OM}``+x vec { BC}]가 삼각형의 내부에 놓이기 위해서는 [eqn: - {1} over {2} <x<0]이다.