2015학년도 대학입학전형 자연계 모의평가 문제지

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지원학과

수험번호

성명

과목

수학

【유의사항】

1. 시험시간은 수학 및 과학을 포함하여 100분입니다.

2. 답안은 답안지의 해당 문항 번호에 연필 또는 샤프로 작성하시오.

3. 제목을 쓰지 말고 본문부터 시작하시오.

4. 학교명, 성명 등 자신의 신상에 관련된 사항을 답안에는 드러내지 마시오.

5. 답안 연습은 연습지를 활용하시오.

6. 답안지, 연습지 및 문제지에 필요한 인적사항을 기입하였는지 확인하시오.

1. 폐구간 [eqn: bold{[a,``b]]에서 연속인 함수는 최솟값과 최댓값을 가진다.

2. 폐구간 [eqn: bold{[a,``b]]에서 연속인 증가함수 [eqn: bold{y=f(x)}]의 최솟값을 [eqn: boldc], 최댓값을 [eqn: boldd]라 하면, 폐구간 [eqn: bold{[c,``d]}]에서 연속인 역함수 [eqn: bold{y=f``^{-1}(x)}]가 존재한다. 이 경우에 [eqn: bold{y=f(x)}]와 [eqn: bold{x=f`^{-1}(y)}]는 평면에서 같은 점을 나타낸다.

3. 실수구간에서 정의된 두 함수 [eqn: bold{f(x)}]와 [eqn: bold{g(x)}]에서 함수 [eqn: bold{f(x)}]의 치역이 함수 [eqn: bold{g(x)}]의 정의역에 포함되면 합성함수 [eqn: bold{g( f(x))}]는 정의된다.

두 함수 [eqn: bold{f(x)}]와 [eqn: bold{g(x)}]가 미분가능이면 합성함수 [eqn: bold{g( f(x))}]도 미분가능한 함수이고, 그 도함수는 [eqn: bold{(g(f(x)))`'= f`'(x)`` g`'(f(x))}]이다.

4. 미분가능한 함수 [eqn: bold{f(x)}]의 역함수 [eqn: bold{f`^{-1}(x)}]가 존재하고 [eqn: bold{f`'(x)!=0}] 이면 [eqn: bold{f`^{-1}(x)}]도 미분가능이다.

[ 문제 1 ]

(1.1) 함수 [eqn: bold{f(x)=x^3 -3x^2 +3x -1]은 전체 실수구간에서 증가함수임을 보여라. (5점)

(1.2) 적분 [eqn: bold{int _{ -1} ^{ 1} ``{f`^{-1}(x)`dx }]을 계산하여라.(15점)

[ 문제 2 ]

[eqn: bold{g(x)=sin`x]는 전체 실수구간에서 미분가능이고, 폐구간 [eqn: bold{[- {pi}over2`,``{pi}over2 ]]에서 증가함수이고, 이 구간에서 [eqn: bold{-1 LEQ sin`x` LEQ 1}] 이다. 폐구간 [eqn: bold{[- {pi}over2`,``{pi}over2 ]]에서 [eqn: bold{y=g(x)}]의 역함수를 [eqn: bold{y=g`^{-1}(x)}]라 할 때 다음 물음에 답하여라.

(2.1) 구간 [eqn: bold{-1 <x<1}] 에서 [eqn: bold{g`^{-1}(x )}]의 도함수를 구하여라.  (10점)

(2.2) 구간 [eqn: bold{-2 <x<2}] 에서 [eqn: bold{h(x)=g ^{-1} LEFT ( {1} over {2} x RIGHT )}]라 둘 때, [eqn: bold{h(x)}]의 도함수 [eqn: bold{h`'(x)}]를 구하여라.  (7점)

(2.3) [eqn: bold{x=0}]에서 곡선 [eqn: bold{y=h(x)}]의 접선의 방정식을 구하여라.    (8점)

(뒷면에 계속)

[ 문제 3 ]

벡터는 크기와 방향을 동시에 나타내는 물리량을 나타내는 수학적인 표현이다. 예를 들면 변위 · 힘 · 속도 · 가속도 등은 크기와 방향을 동시에 나타내는 벡터이다. 벡터는 평면이나 공간에서 도형의 성질이나 수학적인 성질을 밝히는데 다양하게 활용된다.

(3.1) 평면에 놓인 볼록 사각형에서 각 변의 중점을 차례로 연결하여 얻어진 새로운 사각형은 평행사변형이 됨을 벡터를 이용하여 보여라.  (8점)

(3.2) 평면에 놓인 삼각형 [eqn: TRIANGLEABC] 가 놓여 있다. 벡터 [eqn: vec { OA}+ { 1} over {2 } vec { AC} `+`x vec { BC}] 의 끝점이 삼각형의 내부에 놓이도록 [eqn: x]의 범위를 구하여라.  (7점)

* 주의사항 : 문제지, 연습지, 답안지에 필요한 인적사항을 기입하였는지 확인하시오.