특별전형 수학사고력평가 해설

수 학

※ 출제 의도

적분에서 중요한 계산방법 중의 하나인 치환적분법을 잘 이해하고 있으며, 실제 문제풀이에 이용을 할 수 있는지를 측정한다. 치환적분법을 활용하여 평면 도형의 넓이를 구할 수 있는지를 평가한다. 또한, 삼각함수와 그 성질을 적절하게 활용하는 능력을 갖추었는지를 평가한다.

※ 문제 해설

(A) [eqn: F]를 [eqn: f]의 한 부정적분(원시함수)라 하자. 즉, [eqn: int _{ } ^{ } {f(x) }dx = F(x) + C] ([eqn: C]는 상수)이다.

정적분의 기본 정리에 의하여

[eqn: int _{ a} ^{b } {f(x) `dx} `=` int _{ g(alpha)} ^{g(beta) } {f(x) `dx}`=` [F(x)]_g(alpha) ^ g(beta) = F(g(beta)) - F(g(alpha))] --------①

이다. ---------------------------------------(5점)

한편, 연쇄법칙과 [eqn: f(x)]와 이것의 한 부정적분인 [eqn: F(x)]의 관계 [eqn: F`' = f]에 의하여

[eqn: d over dt (F(g(t))) = F`'(g(t))g'(t)=f(g(t))g'(t)]

이고, 다시 정적분의 기본 정리에 의하여

[eqn: F(g(beta)) - F(g(alpha)) `=` [F(g(t))]_alpha ^ beta `= ` int _{ alpha} ^{beta } d over dt (F(g(t))`dt ` = int _{ alpha} ^{beta } {f(g(t))`g`'(t)`dt] -②

이다. ---------------------------------------(5점)

따라서 ①과 ②에 의하여

[eqn: int _{ alpha} ^{beta } {f(g(t))`g`'(t)`dt = int _{ a} ^{b } {f(x) `dx}]

이다. ---------------------------------------(5점)

(B)-(1) 좌표평면 위에 주어진 타원을 그리면 제1사분면에 있는 함수는

[eqn: y= b over a sqrt { a^2 -x^2}] 이다[그림1].

따라서 제1사분면에 위치한 타원의 일부분의 넓이를 [eqn: B]라 하고 타원고선과 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하면---------------- ----(5점)

[eqn: A & =4 TIMES B]                                  ---------(5점)

[eqn: =4 TIMES {b} over {a} `` int _{0} ^{a} {sqrt {a ^{2} -x ^{2}} `dx} `= {4b} over {a} `` int _{0} ^{a} {sqrt {a ^{2} -x ^{2}} `dx}]   --------(5점)

(B)-(2) 주어진 문제에서 [eqn: f(x) = sqrt { a^2 -x^2}], [eqn: g(t)=x= a sin t] 으로  [eqn: f]는 구간 [eqn: 0 LEQ x LEQ a]에서 잘 정의된 연속이고, [eqn: g]는 삼각함수로 항상 미분가능하고, 구간 [eqn: [0, pi/2]]에서 증가함수이다. 따라서 치환적분법을 이용할 수 있다. -------(5점)

[eqn: f(x) = f(a sint)= sqrt { a^2 -(a sin t)^2}`=` a cost], [eqn: g'(t) = a |cost|] 이용하면

구간 [eqn: [0, pi/2]]에서 [eqn: f(g(t)) g'(t)=a^2 (cost)^2] 이고 -----------------(5점)

또한 [eqn: g]는 구간 [eqn: [0, pi/2]]에서 증가함수이고

[eqn: g(alpha)=a sin alpha = 0 ````````` RARROW ``````` alpha = 0] & [eqn: g(beta)=a sin beta = a ````````` RARROW ``````` beta = pi over 2]

이다. 따라서 치환적분법을 적용하면

[eqn: int _{ 0} ^{a } {sqrt{a^2 -x^2}`dx`=``a^2 int _{ 0} ^{piover2 } {(cos `t)`^2 `dt}]

이 성립한다.   ------------------------------(5점)

(B)-(3)  (2)와 (3)의 과정에 의하여 주어진 타원의 넓이 [eqn: A]는

[eqn: A= {4b} over {a} `` int _{0} ^{a} {sqrt {a ^{2} -x ^{2}} `dx} `=`` 4ab int _{ 0} ^{piover2 } {(cos `t)`^2 `dt}] ----------------(5점)

[eqn: `=``4ab int _{ 0} ^{piover2 } { {1 + cos `2t} over 2 `dt} `=` 2ab int _{ 0} ^{piover2 } { {1 + cos `2t} `dt}]    ------------(5점)

[eqn: =2`ab` TIMES ` {pi} over {2} = pi ab]        ----------------------------(5점)

이다.

물 리

※ 출제 의도

만유인력을 구심력으로 하는 등속 원운동에서 에너지에 대한 이해도 평가

등속원운동을 만족할 조건에 대한 이해도와 에너지 보존에 대한 이해도 평가

만유인력과 전기력 사이의 유사성에 대한 이해와 일-에너지 정리에 대한 이해도 평가

※ 문제 해설

인공위성을 정상 궤도에 안착시키기 위해선 만유인력을 구심력으로 하는 등속 원운동에 대한 이해가 필요하다.

제시문 (가)에서 주어진 조건으로 등속 원운동을 하기 위해 필요한 구심력을 식을 통해 알려주었고, (나)에선 두 물체사이에 존재하는 만유인력을 식을 통해 알려주었다. 이를 통해 기본적으로 만유인력을 구심력으로 하여 등속 원운동을 하는 물체의 속도와 궤도 반경 사이의 관계를 알 수 있으며, 이 관계가 깨어질 경우 등속 원운동을 유지 할 수 없음을 이해해야한다.

그리고 제시문 (다)와 (라)에서는 운동하는 물체의 운동 에너지와 만유인력에 의한 위치 에너지의 식을 알려주었다. 이를 통해 궤도 변화에 따른 인공위성의 운동 에너지와 위치 에너지의 변화를 알 수 있다.

제시문 (마)와 (바)는 일-에너지 정리와 에너지 보존 법칙을 설명을 하고 있다. 이를 통해 궤도를 변경하는 인공위성의 에너지 변화와 원인을 유추해 낼 수 있다.

제시문 (가), (라), (마)를 통해 만유인력과 같이 거리의 제곱에 반비례하는 중심력인 전기력의 위치에너지를 유추할 수 있다.

제시문을 통해서 논제들을 추론하여 해결할 수 있도록 문항을 구성하였다.

※ 예시 답안

[논제1]

(a)

먼저, 인공위성의 운동에너지를 G, M, m로 표현해 보자.

인공위성이 지구 중심으로부터 거리 [eqn: r`]만큼 떨어져 있을 경우 만유인력의 크기는 [eqn: G {Mm} over {r ^{2}}]  이다.

질량이 [eqn: m]인 인공위성이 반경이 [eqn: r]인 원 궤도로 등속 원운동 할 때의 속력을 구하자.

이 만유인력이 인공위성이 원운동할 수 있는 구심력의 역할을 한다.

즉, 구심력의 크기는 만유인력의 크기와 같다. 그것을 식으로 나타내면,

[eqn: G {Mm} over {r ^{2}} =m {v ^{2}} over {r}] ㉠(2점)

[eqn: THEREFORE ``v=` sqrt {G {M} over {r}}] ㉡(1점) 이 된다.

따라서 궤도 [eqn: r`]에서 인공위성의 운동 에너지는

[eqn: E _{운동} (r)=G {Mm} over {2r}] ㉢(1점) 이다.

이 인공위성의 궤도를 지구 중심으로부터 거리가 [eqn: {101} over {100} r`]인 궤도로 궤도를 높이면 운동 에너지는

[eqn: E _{운동} ( {101} over {100} r)=G {50Mm} over {101r} `] ㉣(1점) 이다.

따라서 운동 에너지의 변화량은

[eqn: DELTA E _{운동} =G {50Mm} over {101r} -G {Mm} over {2r} =-G {Mm} over {202r} `] ㉤(1점) 이 된다.

(b)

궤도 [eqn: r`]에서 인공위성의 역학적 에너지는

[eqn: E _{역학} (r)=E _{운동} (r)+E _{위치} (r)=G {Mm} over {2r} -G {Mm} over {r} =-G {Mm} over {2r}] ㉠(2점) 이다.

이 인공위성의 궤도를 지구 중심으로부터 거리가 [eqn: {101} over {100} r`]인 궤도로 높이면 역학적 에너지는

[eqn: E _{역학} ( {101} over {100} r)=-G {50Mm} over {101r} `] ㉡(1점) 이다.

따라서 역학적 에너지의 변화량은

[eqn: DELTA E _{역학} =-G {50Mm} over {101r} -(-G {Mm} over {2r} )=G {Mm} over {202r} `] ㉢(1점) 이 된다.

(c)

인공위성의 궤도를 높임으로서 역학적 에너지가 증가한다.㉠(2점) 그 이유는 인공위성이 궤도를 높이기 위해 추진 기체를 원 궤도 중심방향으로 분사하면 추진 기체는 낮은 궤도로 가면서 에너지를 잃게 되고, 그만큼의 에너지를 인공위성이 얻게 되기 때문이다. ㉡(2점)

[논제2]

(a)

만유인력에 의한 위치에너지는 [eqn: E _{p} =`-G {Mm} over {r}] 이다. 위치에너지가 어떻게 변화하는지 알기위해서는 궤도 반경이 어떻게 변화하는지를 계산하면 된다.

등속원운동하는 인공위성의 운동방향 반대방향으로 기체를 분사하면, 인공위성의 속력이 감소한다.

인공위성이 지구 중심으로부터 거리 [eqn: r`]만큼 떨어져 있을 경우 등속원운동하기 위해서는 등속 원운동을 하기 위해서는  [eqn: m {v ^{2}} over {r}] 의 크기의 구심력이 필요하다. 등속원운동하는 인공위성의 궤도를 높이기 위해서는(궤도 반경 r이 크기 위해서는) 큰 속력을 내어야 한다. (큰 반경으로 등속원운동하기 위해서는 큰 속력이 필요하다.)㉠(2점)인공위성의 속력이 감소하면, [eqn: m {v ^{2}} over {r}]이 작아지게 된다. [eqn: {v}] 가 작아지면, 더 이상 같은 궤도에서 등속원운동 할 수 없게 된다. 따라서 더 이상 원운동을 유지할 수 없고, 만유인력에 의해 인공위성은 지구로 끌려가게 된다. ㉡(1점) 따라서 [eqn: r`]이 감소하므로 위치 에너지는 감소하게 된다. ㉢(1점)

(b)

추진 기체의 분사가 끝나면 인공위성에 작용하는 힘은 만유인력뿐이다. ㉠(3점) 따라서 인공위성에 작용하는 다른 외력이 없기 때문에, 에너지 보존 법칙에 의해 역학적 에너지는 보존된다. ㉡(3점)

[논제3]

(a)

궤도 반지름  [eqn: r]로 원운동하고 있는 전자에 대해 수소 원자핵과 전자 사이의 전기력은 [eqn: F _{전기력} =`-k {e ^{2}} over {r ^{2}}] 이다. ㉠(2점)

공통점은 첫째, 두 힘 모두 인력이며, 둘째, 힘의 크기가 거리의 제곱에 반비례한다는 것이다. ㉡   둘 중 하나만 쓰면 2점, 둘 다 쓰면 5점.

(b)

수소 원자에서 원운동하고 있는 전자가 받는 전기력은 만유인력과 마찬가지로 힘의 크기가 거리의 제곱에 반비례하며 인력이다. ㉡(1점)

일은 힘의 크기와 힘의 방향으로 이동한 거리의 곱으로 나타내어지며 ㉢(2점), 또한 일-에너지 정리에 의하면 물체의 위치에너지 음의 변화량이 위치에너지를 만드는 힘이 한 일과 같다.㉣(2점)

따라서 만유인력 [eqn: F _{만유인력} =G {Mm} over {r ^{2}}]에 의해 거리 [eqn: r`]만큼 떨어져 있는 물체의 만유인력에 의한 위치에너지가 무한히 먼 곳의 위치에너지를 0으로 했을 때 [eqn: E _{p} =`-G {Mm} over {r}] 이므로, 전기력 [eqn: F _{전기력} =`-k {Q`e} over {r ^{2}}]에 의해 수소 원자핵으로부터 거리 [eqn: r`]만큼 떨어져 있는 전자의 전기력에 의한 위치에너지는 무한히 먼 곳의 위치에너지를 0으로 했을 때 [eqn: E _{p,elec} =`-k {Q`e} over {r}]이 된다. ㉤(2점)

화 학

※ 출제 의도

본 문제는 전기 음성도의 개념을 통해 화학 결합 및 산화-환원 반응을 이해하고 있는지에 대한 물음이다. 전기 음성도의 차이에 따라 화학 결합(공유 결합, 이온 결합)의 성질이 결정됨을 알고 있는지와 전기 음성도와 산화-환원 반응에서 산화수와의 연관성을 통해 산화와 환원이 일어나는 물질을 결정할 수 있는지를 평가하고자 하였다.

※ 예시 답안

[문제 1]

(1-1) 2주기 원소로 이루어진 이성분 수소화물의 분자식은 LiH, BeH2, BH3, CH4, NH3, H2O, HF이다. 수소의 전기 음성도인 2.1과 2주기 원소에 해당하는 전기음성도의 차를 계산하면 LiH = 1.1, BeH2 =1.6, BH3 = 0.1, CH4 = 0.4, NH3 =1.1, H2O = 1.4, HF = 1.9이다. 전기 음성도의 차가 1.7보다 작으면 공유 결합성이 크므로 HF를 제외한 모든 수소화물은 공유 결합성이 더 크고 HF는 이온 결합성이 더 크다.

(1-2)  HF, LiF의 각 원소의 전기음성도 차이는 제시문 (가)의 표에 따라 HF = 1.9, LiF = 3.0로 계산된다. 그리고 결합의 이온성 백분율은 제시문 (가)에 나타나 식을 이용하여 계산할 수 있다. 문제에서 측정된 결합의 쌍극자 모멘트 값은 주어졌기 때문에 전자가 완전히 이동하였을 때의 쌍극자 모멘트를 계산해야한다. 전자가 완전히 이동하였을 때 HF의 두 전하 사이의 거리는 92 x 10-12m이라고 하였으므로 HF의 m0= 4.4 D이다. 마찬가지로 LiF의 두 전하 사이의 거리는 135 x 10-12m이라고 하였으므로 LiF의 m0= 6.47 D이다. 따라서 각 화합물 결합의 이온성 백분율은 HF = 1.83/4.4 x100 = 42%, LiF = 6.33/6.47 x100 = 98% 이다.

이온결합성백분율

전기 음성도 차이

0    0.5   1.0   1.5   2.0   2.5   3.0

100

%

50

%

0

%

●

●

[문제 2]

(2-1)

(a)의 경우 산소와의 접촉을 차단하므로  변색을 일으키는 산화 반응이 일어나지 않아 색깔이 나타나지 않는다. (b)의 경우는  변색을 일으키는 산화 반응이 일어나는 대신 비타민 C가 산소에 의해 산화되어 색이 변색되지 않는다.

(2-2)

N2O5의 N 산화수: +5 -> N이 가질 수 있는 최대 산화수인 +5이므로 더 이상 산화되지 않는다.

N2O의 N 산화수: +1

SO2의 S 산화수: +4

SO3의 S 산화수: +6 -> S가 가질 수 있는 최대 산화수인 +6이므로 더 이상 산화되지 않는다.

P4O6의 P 산화수: +3

(2-3)

HCl의 Cl 산화수: -1 -> 산화제로 사용하기 위해서는 자기 자신은 환원되어야 한다. -1의 산화수는 Cl이 가질 수 있는 최소 산화수 이므로 더 이상 환원될 수 없다.

HNO3의 N 산화수: +5 -> +5는 N의 최대 산화수이고 환원되어 가질 수 있는 산화수가 +4, +3, +2, +1, -3이 있다.

H2SO4의 S 산화수: +6 -> +6은 S의 최대 산화수이고 환원되어 가질 수 있는 산화수가 +4, +2, -2가 있다.

(2-4)

해당하는 화학 반응식은 H2O  + Cl2   -->  HClO + HCl

Cl2에서  Cl의 산화수는 0, HClO에서 Cl의 산화수는 +1, HCl에서 Cl의 산화수는 -1

생명 과학

※ 예시 답안

1-1. 온탕에 있을 때는 주위환경의 온도가 높으므로 막의 유동성을 줄일 필요가 있기 때문에 상대적으로 막의 유동성을 줄일 수 있는 포화지방으로 이루어진 인지질의 비율이 높을 것이다. 반대로 냉탕에서는 온도가 차므로 세포막의 유동성을 증가 시켜야 하므로 불포화지방으로 이루어진 인지질의 양이 증가할 것이다. 결국 세포는 온도가 높으나 일정한 정도의 막 유동성을 유지해야 물질의 운반을 일정하게 하므로 막의 구성 인지질의 종류를 바꾸어가며 막유동성의 항상성을 유지하려 한다

1-2.  막 파쇄물들은 지질로 구성되어 있기 때문에 물에 녹지 않아 침전물층에 존재한다. 그리고 막 단백질이 막의 지용성을 나타내는 부위에 존재하므로 이 단백질도 지용성이다(지용성 이기 때문에 인지질의 지용성부분에 잘 조화되어 존재한다). 따라서 물에서는 이 단백질이 녹지 않으므로 여전히 침전물의 형태로 침전물층에 존재할 것이다.

2.  이산화탄소를 생물학적으로 감소시키는 방법들 중 가장 쉽게 생각할 수 있는 것이 광합성생물의 광합성을 활용하는 것이다. 녹조류는 광합성을 하므로 공기중의 이산화탄소를 캘빈회로를 통해 포도당을 포함한 유기물로 전환시키므로 공기중의 이산화 탄소를 줄일 수 있고, 이 녹조류에서 얻어진 유기물질을 이용하여 에너지화한다. 녹조류는 일반 식물에 비해 개체의 증식이 빠르고 좁은 공간에서도 많은 량을 키울 수 있으므로 이산화탄소 저감화에 크게 기여가 가능하다.

3-1. 지점 A와 지점C에 호기성 세균이 많은 이유는 해캄의 광합성을 통하여 산소가 비교적 많이 생산이 되고(광합성이 활발히 진행됨) 지점 B에는 산소가 비교적 적게 생산이 되기 때문이다(광합성이 덜 일어남). 이 결과를 바탕으로 광합성을 하기 위해서는 녹색의 빛보다는 푸른빛이나 적색의 빛이 더 많이 이용된다는 것을 알 수 있다.

3-2. 식물 세포의 색을 이루는 색소들이 대부분 초록빛인 엽록소로 이루어져있기 때문인데, 이는 초록색을 띠는 파장의 빛이 광합성을 하기에는 적절하지 않아 흡수 되지 않고 반사가 되기 때문이다.

4.  호주는 남반구에 위치하고 있기 때문에, 정확히 2년뒤에는 더운 사막 기후와 여름에 적합하도록 적응을 할 것이다. 따라서 비교적 잎의 크기가 더욱 커지게 되고, 꽃과 잎이 무성하게 자랐을 것이라고 예측을 할 수 있다.

지구 과학

※ 출제 의도

[문제 1]  해양 과학적 측면에서 해상풍과 해류의 물리적 관계 이해, 문제 해결력을 평가함.

⦁태풍에 따른 해수 표면 에크만 수송의 개념 이해

⦁에크만 수송과 그에 따른 해류의 연직 이동 이해

[문제 2] 해파의 물리적 특성에 따른 종류와 지진 해일의 해파 전파 속도 계산 능력과 지진 해일의 피해가 크게 발생하는 원리를 이해하는 능력을 평가함.

⦁지진 해일(천해파)의 개념과 속도 계산

⦁지진 해일의 발생 메커니즘 이해

⦁해파의 물리적 특성 비교

[문제 3] 우주에서의 거리 척도와 밝기와 등급, 거리 관계를 이해하는 과학적 사고력, 계산 능력, 개념의 응용력, 문제 해결 능력 등을 평가함.

⦁연주 시차와 파섹의 개념, 절대 등급과 고유 밝기의 개념의 이해

⦁그리고 그를 활용하여 실제 천체의 거리와 밝기와의 관계 이해

[문제 4] 방사능 물질이 유출될 경우 방사성 동위 원소의 반감기와 붕괴 속도의 개념을 이해하고, 개념의 수리적인 해석 능력을 평가함.

⦁방사성 동위 원소의 지수 함수 붕괴 곡선의 수리적 해석력과 물질마다 반감기가 일정함 이해

⦁화석의 연대 측정에 방사성 동위 원소가 어떻게 사용되는지 이해하는지 평가함.

※ 문제 해설

[문제 1] 대기와 해류의 상호 관계를 바탕으로 에크만 수송에 따른 해류의 이동성을 정확히 파악하고 있는가를 확인하고, 이를 태풍의 운동과 관련시켜 설명할 수 있는가를 평가하고자 함.

제시문 [가]는 실제 한반도 동남 지역 (부산, 거제, 기장 등)의 냉수대 사례를 제시하고 이들의 발생 기원이 연안을 따르는 지속적인 바람과 그에 따른 에크만 수송이라는 점을 제시하였다. 따라서 실제 관측된 해수면 온도 분포를 바탕으로 동남 지역 연안의 해수의 운동 즉 용승 현상에 따른 냉수대 발생을 고려하여 문제를 해결할 수 있는 자료를 제시함.

1-1. 제시문을 확장하여 원형의 선형풍과 해류 움직임의 관계를 제시함으로 이들에 따른 에크만 수송을 정확히 숙지하고 있는가를 평가하고자 함.

1-2. 1-1의 에크만 수송에 따라 수위가 낮아지고 이에 따라 해저 용승이 발생한다는 점을 이해하고 있는가를 평가하고자 함.

[문제 2] 해저 지진 등 바다에서 발생하는 역학적 운동이 전달되는 메커니즘을 이해하고, 연안 재해 중 가장 피해가 크게 발생하는 지진 해일(쓰나미)이 연안 지역에서 극대화 되는 원인을 정확히 이해하는 가를 평가하고자 함. 또한 천해파뿐만 아니라 해상에서 나타나는 파동 현상의 특성을 살펴서 각 파동 현상을 정확히 숙지하고 있는가를 평가하고자 함.

제시문 [나]는 지진 해일에 관한 기본적인 내용을 제시하여, 지진 해일이 천해파 운동이며, 이들이 연안 지역에서 파고(진폭)가 극대화됨을 제시함.

2-1. 지진 해일의 속도 계산을 통하여 천해파의 특성을 파악하고 있는가, 또한 이들의 전파 속도를 산출할 수 있는가를 평가하고자 함.

2-2. 지진 해일이 연안 지역에서 진폭이 극대화되는 현상과 이들을 에너지 관점에서 설명할 수 있는가를 평가하고자 함.

2-3. 해상에 나타나는 파동 현상을 천해파와 심해파로 구분하고 이들의 물리적 특성을 서술할 수 있는가를 평가하고자 함.

[문제 3] 우주에서의 거리 척도와 밝기와 등급, 거리 관계를 이해하는 과학적 사고력, 계산 능력, 개념의 응용력, 문제 해결 능력 등을 평가하고자 함.

제시문 [다]는 연주 시차와 관련된 별의 거리 척도 관계를 설명하고, 밝기와 등급의 관계를 결정하는 개념을 정의하였고 외계 태양계에서 세 천제의 연주 시차와 겉보기 등급 자료를 제시함.

3-1. 별의 거리 척도인 파섹의 개념을 적용하여 연주 시차 측정 자료로부터 지구계에서의 별의 거리와 외계 행성계에서의 별의 거리를 비교 계산하는 능력을 평가하고자 함.

3-2. 절대 등급과 고유 밝기의 개념의 이해를 바탕으로 실제 천체의 거리와 밝기, 등급 등의 관계를 나타내는 거리 지수 관계식을 전개할 수 있는 능력을 평가하고자 함.

3-3. 외계 태양계에서 거리 지수 관계식을 적용하여 절대 등급을 계산하고, 이를 별의 고유한 밝기를 비교하여 순서를 나열할 수 있는지를 평가하고자 함.

[문제 4] 방사능 물질이 유출될 경우 방사성 동위 원소의 반감기와 자연 붕괴 속도의 개념을 이해하고, 개념의 수리적인 해석 능력을 평가하고자 함.

제시문 [라]는 방사성 동위 원소의 지수 함수 붕괴 곡선과 동위 원소 양의 감소 함수식, 반감기 개념을 제시함.

4-1. 방사성 동위 원소의 지수 함수 붕괴 곡선의 수리적 해석력과 물질마다 반감기가 일정함을 수리 해석적인 방법으로 설명할 수 있는 능력을 평가하고자 함.

4-2. 화석의 연대 측정에 방사성 동위 원소가 어떻게 사용되는지 이해하는지 평가함.

※ 예시 답안

【문제 1】

1-1. 태풍은 반시계 방향으로 회전하는 열대성 저기압이다. 따라서 바람에 의하여 작용하는 에크만 수송에 의하여 해수는 바람 회전 방향의 오른쪽 90° 방향으로 이동한다. 따라서 반시계 방향으로 회전하는 태풍의 눈 주변 해수는 바깥쪽으로 발산하게 된다. 따라서 태풍의 눈은 수위가 낮아져서 등고선이 낮게 나타난다.

1-2. 문제 1-1의 결과, 해수가 에크만 수송에 의하여 발산하게 되고, 수위가 낮아지게 되면서 저층의 차가운 해수가 용승하게 된다. 결과적으로 중심부의 해수면 온도는 낮아지고 주변부는 상대적으로 높게 나타난다.

【문제 2】

2-1. 지진 해일은 파장이 200 km에 달하는 긴 파장을 가지나 심해파가 아니라 천해파에 속한다. 그 까닭은 지진 해일의 파장 절반 이상에 해당하는 깊은 수심을 만날 수 없기 때문이다. 그래서 천해파의 속도 식 [eqn: v= sqrt { gh}] 을 이용해서 구할 수 있다. 중력 가속도와 수심을 단위를 맞추어 대입하면 [eqn: sqrt { (10m/s^2 ) TIMES4000m} =200m/s] 이다.

2-2. 수심이 깊으면 파동의 이동이 일정하지만, 수심이 얕아지면 앞선 파동은 해저 지면 마찰에 의하여 속도가 감소한다. 그러나 뒤의 파동은 속도가 그대로 이므로 파장이 감소하게 된다. 이때 일부 해수에 에너지가 집중되어 파고가 높아지게 된다.

2-3. 해파가 표면을 따라 이동해 갈 때 수심은 해파의 속도에 영향을 준다. 수심과 파장의 비율에 따라 심해파와 천해파로 나눌 수 있다.

특징	심해파(표면파)	천해파(장파)
수심([eqn: h])과 파장([eqn: L])에 따른 분류 기준	① [eqn: h`>` {1} over {2} L]	② [eqn: h`<` {1} over {20} L] 또는 [eqn: h`<` {1} over {2} L]
물입자의 운동	원운동	타원운동
수심에 따른 물 입자 운동 변화	③ 원의 크기가 작아짐	④ 타원이 더욱 납작해짐
해저 마찰의 영향	없음	있음
해파의 전파 속도([eqn: v]) 방정식	⑤ [eqn: v= sqrt { { gL } over {2 pi } }]	⑥ [eqn: v= sqrt { gh}]

( [eqn: h]: 수심, [eqn: g]: 중력가속도, [eqn: L]: 파장, [eqn: v]: 파속)

【문제 3】

3-1. [eqn: d(pc)= {1} over {pi }]의 정의를 적용하면,

지구에서 SN3005까지의 거리는 [eqn: d _{1} =20]파섹

EP2070F에서 SN3005까지의 거리는 [eqn: d _{2} =50]파섹

그런데 EP2070F에서 정의한 1파섹은 지구에서 정의한 1파섹의 2배가 되므로,

[eqn: d _{1} /d _{2} =20/(50 TIMES 2)=1/5=0.2]

3-2.  등급이 10등급 증가하면 100배 밝아지므로, 등급과 밝기 사이에는 다음 관계가 있다

[eqn: m _{1} -m _{2} =5 CDOT log _{10} (l _{2} /l _{1} )]  ---- (1)

밝기는 거리의 제곱에 반비례하므로, 즉, [eqn: l _{1} /l _{2} =(d _{2} /d _{1} ) ^{2}]을 대입하면, 위 식은

[eqn: m _{1} -m _{2} =10 CDOT log _{10} (d _{1} /d _{2} )] ---- (2)

가 된다. 여기서  [eqn: m _{1} =m,```m _{2} =M,```d _{1} =d,```d _{2} =10 rm 0pc``]을 대입하면

[eqn: m-M=10 CDOT log _{10} (d/10)=10 CDOT log _{10} d-20] --- (3)

증명됨.

3-3. [eqn: M=m-10 CDOT log _{10} d+20] 을 적용하면,

SN3005: [eqn: M=+2.5-10 CDOT log _{10} 50+20=2.5-17+20=5.5]

PL5324: [eqn: M=-3.0-10 CDOT log _{10} 10+20=-3.0-10+20=7.0]

WR7311: [eqn: M=+2.0-10 CDOT log _{10} 100+20=2.0-20+20=2.0]

고유한 밝기가 밝은 순서대로 나열하면 WR7311, SN3005, PL5324 이다.

【문제 4】

4-1. 방사성 동위 원소가 최초 [eqn: X_0]의 양 만큼 유출된 이후 시간 [eqn: t]일 때 남아 있는 동위 원소의 양을 [eqn: X]라 하자. 그러면 제시문의 [eqn: N(t)=N _{0} e ^{- lambda t}] 관계식을 활용하면 [eqn: X=X_{0} `e ^{- lambda t}]로 나타낼 수 있다. 반감기([eqn: T_{1/2}])는 양이 절반([eqn: 1 over 2])으로 줄어들 때까지 걸린 시간을 뜻하므로 [eqn: X=X_{0} `e ^{- lambda t}]에서 [eqn: X] 대신 [eqn: X_0 over2]를 대입한 뒤 자연 로그를 취하면 다음과 같다.

[eqn: ln 1over2 = - lambda T_1/2]  ;  [eqn: {T_1/2}={ln 2} over lambda], ([eqn: T_1/2] ; 반감기)

위 식에서 반감기가 상수로 방사성 동위 원소의 양과는 무관하게 일정하게 된다.

4-2. 대기중의 14C와 12C의 비율은 일정하며, 이들을 광합성이 호흡을 통하여 흡수하는 생물체에 들어온 동위원소의 비율도 일정하다. 그러나 생물체의 사후, 방사성탄소인 14C은 붕괴를 시작하여 14N로 바뀌게 된다. 이때 방사성 탄소의 반감기는 5730년이다. 화석속의 방사성탄소(14C)와 안정한 탄소(12C)의 비율이 1/8×10-20이며, 대기중의 14C와 12C의 비가 10-20이라면 반감기를 3번 거쳤다는 것을 의미한다. 따라서 화석속 생물은 5730년 × 3회 = 17190년 전에 생존한 것을 의미한다.