부산대학교 제2회 특별전형 모의 수학사고력 평가

1. 지정과목 : 수학

(가) 부분적분법은 적분을 계산하는 중요하고 유용한 방법 중의 하나다. 실수 폐구간 [eqn: bold{a LEQ x LEQ b}]에서 연속이고 개구간 [eqn: bold{a<x<b}]에서 미분가능인 두 함수 [eqn: bold{f(x)}]와 [eqn: bold{g(x)}]에 대하여

[eqn: bold{ int _{a} ^{b} {f(x)`g` prime (x)`dx=` LEFT { f(b)`g(b)`-`f(a)`g(a)` RIGHT }`- int _{a} ^{b} {f` prime (x)`g(x)`dx}}]

이 성립한다는 것이 부분적분법의 내용이다.

(나) 삼각함수는 수학에서 중요한 함수로, 대단히 넓은 범위에까지 활용되고 있다.

이제 정수 [eqn: bold{n GEQ 0}]에 대하여 [eqn: bold{I`_n`= int _{ 0} ^{pi } {(cos`x)^n ``dx }] ([eqn: bold{n GEQ 0}]) 라 두고

수학적 귀납법과 부분적분을 이용하여 [eqn: bold{I`_n}] 의 값을 계산해보자.

(문제)

1. 부분적분법이 성립하는 이유를 설명하시오. (10점)

2. 정수 [eqn: bold{n GEQ 1}]에 대하여 [eqn: bold{f(x)=(cos`x)^{n-1}], [eqn: bold{g(x)=sin`x}] 라 두면

[eqn: bold{I`_n`= int _{ 0} ^{pi } {f(x)`g`'(x)`dx } }] 이 됨을 설명하시오. (5점)

3. 정수 [eqn: bold{n GEQ 2}]에 대하여, [eqn: bold{I`_n = {{n-1}over n}```I`_{n-2}] 이 성림함을 증명하시오. (15점)

4. [eqn: bold{I`_8`= int _{ 0} ^{pi } {(cos`x)^8 ``dx }] 를 계산하시오. (15점)

5. [eqn: bold{I`_81`= int _{ 0} ^{pi } {(cos`x)^81 ``dx }] 를 계산하시오. (15점)

출제의도: 적분계산에서 중요한 방법 중의 하나인 부분적분법을 올바로 이해하고 있으며 이를 실제 문제의 풀이에 잘 활용을 할 수 있는지를 측정한다. 또한 문제의 풀이에 수학적 귀납법을 적절하게 이용할 수 있는 능력을 갖추었는지를 평가한다.

(예시답안)

1. 주어진 구간에서 미분가능인 두 함수 [eqn: bold{f(x)}]와 [eqn: bold{g(x)}]에 대하여

[eqn: bold{left{f(x)`g(x) right}' = f(x)'`g(x)+ f(x)g(x)'}]이 성립하므로

[eqn: bold{ int _{a} ^{b} {left{f(x)`g (x) right}'`dx=` int _{ a} ^b{ } { } LEFT { f`'(x)`g(x)`+`f(x)`g`'(x)` right }`dx}] ------   5점

이다. 한편 [eqn: bold{ int _{a} ^{b} {left{f(x)`g (x) right}'`dx=`f(b)`g(b)-f(a)`g(a)]

이고 [eqn: bold{ int _{ a} ^b{ } { } LEFT { f(x)'`g(x)`+`f(x)`g(x)'` RIGHT }`dx`= int _{ a} ^{b } {f`'(x)`g(x) `dx`+ int _{ a} ^{ b} {f(x)`g`'(x) }dx }]

이므로 정돈하여

[eqn: bold{ int _{a} ^{b} {f(x)`g` prime (x)`dx=` LEFT { f(b)`g(b)`-`f(a)`g(a)` RIGHT }`- int _{a} ^{b} {f` prime (x)`g(x)`dx}}]

을 얻는다.  -------  5점

2. [eqn: bold{(sin`x)'=cos`x}]이므로, 정수 [eqn: bold{n GEQ 1}]에 대하여 [eqn: bold{f(x)=(cos`x)^{n-1}], [eqn: bold{g(x)=sin`x}] 라

두면, [eqn: bold{ int _{ 0} ^{pi } {f(x)`g`'(x)`dx }`` =` int _{ 0} ^{pi } {(cos`x)^{n-1} (sin`x)'`dx` } `=I`_n }]이다.   ------  5점

3. [eqn: bold{n GEQ 2}] 일 때,

[eqn: bold{I`_n`= int _{ 0} ^{pi } (cos`x)^{n} `dx``= int _{ 0} ^{pi } {(cos`x)^{n-1} (sin`x)'`dx` }]

[eqn: bold{=(cos`x)^{n-1}`sin`x`]_{x=0}^{pi}````- int _{ 0} ^{pi } {left {-(n-1)(cos`x)^{n-})'`(sin`x)^2``dx }]    ----- 5점

[eqn: bold{=(n-1) int _{ 0} ^{pi } {left{(cos`x)^{n-2}`-`(cos`x)^n`right} dx``=`(n-1)I`_{n-2`} -`(n-1)I`_n] ---- 5점

이고 정돈하여 [eqn: bold{I`_n = {{n-1}over n}```I`_{n-2}]                               ------ 5점

을 얻게 된다.

4. 위의 3번 관계식을 반복해서 적용하면

[eqn: bold{I`_8`=`7over8 cdot 5over6 cdot 3over4 cdot 1over2 I`_0 = {35over128} I`_0}]       -----  7점

이다. 한편 [eqn: bold{I`_0`=` int _{ 0} ^{pi } {dx``=pi} }]              -------  5점

이므로 [eqn: bold{I`_8`={35over128}pi]이다.                 -------  3점

5. 역시 3번 문제의 관계식을 반복해서 이용하면

[eqn: bold{I`_{81}`=`{80over81} cdot {78over79}``cdots``{4over5}cdot {2over3} `I`_1}]          ------  7점

이다. 한편 [eqn: bold{I`_1`=` int _{0} ^{pi } {cos`x`dx``=0} }]        ------  5점

이므로 [eqn: bold{I`_81``=0] 이다.                  ------- 3점

2. 선택과목 : 물리

물체의 평형은 역학 공부에 가장 기초가 되는 개념이다.

제시문 [가]에서 물체의 평형 상태가 무엇인지 제시하였고, 평형 상태가 깨어지면 물체가 어떤 운동을 하는지에 대한 개념을 제시문 [나]에서 보여주고 있다. 그리고 제시문 [다]에서는 이러한 물체의 평형 상태를 유체에 적용시키기 위하여 유체에 작용하는 힘, 부력에 대하여 설명하였다. 제시문을 통해서 논제들을 추론하여 해결할 수 있도록 문항을 구성하였다.

[문제1]

물체가 유체 위에 떠 있기 위해서는 부력이 물체의 무게보다 크거나 최소한 같아야 한다.

(중력) = [eqn: mg= rho _{물체} L ^{3} g] - ①

(부력) = [eqn: rho _{유체} L ^{3} g],  - ②

(부력) [eqn: GEQ] (중력)을 만족시키기 위해선 [eqn: rho _{유체} GEQ rho _{물체}]가 되어야 한다. - ③

[문제2]

물체에 작용하는 힘은 중력과 부력뿐이다.

밀도는 (질량)/(부피) 관계식을 이용하면,

(중력) = [eqn: mg=] [eqn: rho _{물체}]L3g - ①

(부력) = [eqn: rho _{유체}]L2[eqn: {L} over {2}]g - ②

힘의 평형상태에 있으므로 (중력) = (부력)이 되고 관계식을 정리하면 [eqn: rho _{물체} = {1} over {2} rho _{유체}] 가 된다. - ③

[문제3]

(a) force diagram

(b) 물체가 움직이지 않기 위해선 평형 상태를 이루어야 한다. 평형 상태를 이루기 위해선 힘의 평형과 돌림힘의 평형 두 가지가 필요한데 이 두 가지를 모두 만족시키는 가장 쉬운 방법은 물체 윗면의 정중앙 부분을 손으로 누르는 것이다. 가장자리를 누를 경우에는 힘의 평형 이외에도 돌림힘이 작용하는데 손으로 눌러서 생긴 돌림힘과 유압에 의해 생긴 돌림힘이 서로 평형을 이룰 때 물체가 평형상태를 유지할 수 있다.

보충 설명) 대표적 유체인 물을 예로 들면, 수심이 깊어질수록 수압이 더 커진다. 동일한 수심에선 동일한 수압이 발생하지만 위 그림처럼 물체가 기울어 진 경우는 수압이 같더라도 접촉면적의 변화가 발생한다. 힘은 (압력)x(면적)이므로 결국 수평 방향으로 힘이 생기고 이 힘이 손으로 눌러서 생긴 돌림힘과 서로 평형을 이루게 된다.

(c) 물체가 (L/2 + [eqn: y])만큼 눌러졌을 때 받는 알짜힘 F를 계산.

F = (부력) - (중력) = [eqn: rho _{유체} gL ^{2} ( {L} over {2} +y)] - [eqn: rho _{물체} gL ^{3}]

문제 (2)에서 구한 결과를 대입하여 정리하면 알짜힘 F는 다음과 같다.

[eqn: F= rho _{유체} L ^{2} gy]

(d) 힘 [eqn: F= rho _{유체} L ^{2} gy] 로 변위 [eqn: y]에 비례하는 힘이기 때문에 물체는 단진동을 한다.

(e) 주기를 구하기 위해서 지문에 주어진 식과 계산한 알짜힘을 연관 지으면,

[eqn: F= rho _{유체} L ^{2} gy=m( {2 pi } over {T} ) ^{2} y] 이다. - ① (운동 방정식)

이 식을 T로 정리하면 [eqn: T=2 pi sqrt {{m} over {rho _{유체} gL ^{2}}}]가 된다. - ② (주기 공식 유도)

위의 주기 공식을 통해 [eqn: y]가 얼마이든 주기엔 변화가 없다는 사실을 알 수 있다.

[eqn: m= rho _{물체} L ^{3}], [eqn: rho _{물체} = {1} over {2} rho _{유체}]를 대입하여 주기 T를 정리하면,

[eqn: T= pi sqrt {{2L} over {g}}]이다. - ③ (최종 T 계산)

3. 선택과목 : 화학

[문제 1]

(1-1) 같은 주기에서 족 번호가 증가할수록 원자 번호 증가로 인하여 핵과 전자 사이의 반발력이 증가하게 되는데 탄소와 질소의 이러한 일반적인 경향에 대해서 예외성을 가진다. 그러한 예외성은 아래와 같이 탄소와 질소 원자의 전자배치를 이용하여 설명할 수 있다.

산소의 전자 배치는 질소처럼 2p 오비탈에 홀전자 세 개가 배치되고 하나의 전자가 추가로 배치되어 전자-전자 사이의 반발력이 증가하게 된다. 산소에서 전자를 제거하면 이러한 전자-전자 사이의 반발력을 제거할 수 있어서 산소의 이온화 에너지는 질소보다 더 작은 경향을 나타내게 된다.

(1-2) 나트륨, 마그네슘, 알루미늄의 원자가 전자 수는 각각 1, 2, 3개로 나트륨의 경우엔 1, 2차 이온화 에너지 사이의 에너지 차이가 크고 마그네슘은 2, 3차 이온화 에너지 사이의 에너지 차이가 크다. 그래프를 고찰하면 (나)의 그래프가 전자를 1개, 2개 제거했을 때의 에너지 차이가 가장 크기 때문에 (나)는 나트륨에 해당한다. 같은 원리로 전자를 2개, 2개 제거했을 때의 에너지 차이가 큰 (가)의 곡선이 마그네슘에 해당하며 곡선 (다)는 알루미늄의 순차적 이온화 에너지를 나타낸다.

[문제 2] 이온 결합 화합물은 양이온과 음이온 사이의 이온 결합의 규칙적인 반복으로 다양한 특성이 나타난다.

(2-1) 한 쌍의 기체 상태의 양이온-음이온 쌍 사이의 정전기적 인력으로 인하여 안정화 되는 정도에 비해서 3차원적으로 수 없이 많은 이온쌍들이 규칙적으로 배열되면 그 안정화 되는 정도가 커져서 더 안정한 화합물을 형성하게 된다. 따라서 단일 쌍 결합보다는 3차원적으로 많은 이온쌍들이 규칙적인 형태로 결합하게 된다.

(2-2) 3차원적인 규칙적인 양이온과 음이온의 배열을 가지는 결정 구조를 이용하면 다양한 이온결합화합물의 성질을 설명할 수 있다. 많은 이온쌍 사이의 이온결합력으로 이온결합 화합물은 일반적으로 단단하고 높은 녹는점 및 끓는점을 가지지만 외부 힘에 매우 약하여 쉽게 부러지기 쉽다. 이는 충분한 힘이 가해지게 되면 같은 전하를 갖는 이온들끼리 이웃하게 되어서 이들 간의 반발력으로 쉽게 부서지기 때문이다. 또한 이온 결합 모형에서 이온들은 반대 전하를 가지는 이온에 붙잡혀 있어서 고체상태에서는 전기를 통할 수 없지만 이러한 고체가 용융되거나 수용액 상태가 되면 이온들은 자유롭게 움직일 수 있어서 전기가 통할 수 있는 특성이 있다.

[문제 3]

(3-1) 제시문에 의하면 공유결합을 하는 분자의 구조는 중심 원자에 존재하는 전자쌍의 종류와 개수와 밀접한 관련이 있다. 암모니아는 아래 그림과 같은 루이스 구조를 형성하며 중심 원자인 질소에 공유전자쌍 3개, 비공유전자쌍 1개가 존재하여 4개의 공유전자쌍만을 가지는 정사면체 구조보다 그 결합각이 줄어들어서 삼각뿔의 형태를 가지게 된다.

(3-2) 문제 반응의 계수를 완결하면 다음과 같다.

[eqn: rm 2NH_3 (g)``+``CO_2 (g)``->``CO(NH_2 )_2 (s)```+```H_2 O (l)]
따라서 요소 1몰을 합성하는 경우 암모니아는 2몰이 소모되게 된다. 요소 760 kg은 [eqn: rm 760000 (g)} over {76 (rm g/mol)} ``=``10,000] 몰이므로 암모니아는 20,000몰이 필요하다. 이를 부피로 환산하면 [eqn: rm 22.4 (L/mol) times 10,000 (mol)=224000 (L)]이다.

4. 선택과목 : 생명과학

출제 의도

제시문에는 항생제가 미생물 치료제로 사용되는 원리를 효소-기질 특이성 측면에서 접근하여 설명하고 있다. 나아가 효소의 반응 속도가 기질의 농도에 따라 달라지는 것을 그래프와 식으로 이해하고 분석할 수 있는지 묻고자 하였다.

문제 1.

실생활에서 쉽게 보기 어려운 사물이나 현상들은 컴퓨터 시뮬레이션이나 그래픽을 구현하여 간접적으로 이해하곤 한다. 그러나 컴퓨터 그래픽의 이미지로는 알 수 없는 아주 정밀한 틈이 존재할 수 있는데 바이러스의 경우에도 이에 해당된다. 바이러스의 미세한 부분에 들어맞는 항생제를 개발하여 바이러스에 대항하는 방법을 설명할 수 있는지, 페니실린과 같은 항생제가 세균을 죽이는 원리를 논리적으로 서술하고, 사람에게는 영향을 주지 않는 이유를 제시할 수 있는지 측정하고자 하였다. 페니실린이 세균의 세포벽 형성에 관여하는 효소의 작용을 방해하여 세균을 죽게 만들어 병을 치료할 수 있다. 효소가 결합하는 기질부위가 유사한 페니실린이 기질보다 먼저 결합함으로써 효소-기질 복합체 형성을 차단하여 세균의 세포벽에 필요한 물질 합성을 막아 세균을 죽게 하는 것이다. 이 문제에서는 이해력, 논리적인 서술력을 측정하고자 하였다.

문제 2.

이 문제에서는 기질의 농도에 따라 효소의 반응속도가 달라지는 것을 그래프와 수식으로 이해하고 분석한 후 논리적으로 답할 수 있는지를 측정하고자 하였다.

예시 답안

문제 1

컴퓨터그래픽 이미지에는 나타나지 않으나 폴리머클레이로 만든 바이러스 실물모형에는 단백질 간의 접면에 구명이 나타난다. 이 구멍의 크기를 측정하고, 모양을 확인하여 컴퓨터그래픽으로 그 구명의 크기와 모양에 적합한 약을 디자인하고서 그 디자인을 바탕으로 약을 합성하면 바이러스의 구멍에 맞는 약이 되므로 그 구멍에 잘 들어갈 것이다. 이 이 약이 바이러스의 구조를 망가뜨리면 바이러스가 파과 될 것이고, 만일 이 약이 효소적 기능을 저해하는 기능을 가지는 경우 이 약을 주입하면 바이러스의 합성에 관여하는 효소의 작용을 방해해 바이러스 합성을 막을 수 있을 것이다.

페니실린은 세균의 세포벽 형성에 관여하는 효소의 작용을 막아 세균의 증식을 억제하여 병을 치료하고 감염도 막아주기 때문에 ‘기적의 약’이라는 이름을 얻게 되었다. 세균의 효소가 기질과 결합하는 부위에 페니실린이 대신 결합하여 세균의 세포벽이 합성되는 것을 막는다. 그러면 세포 안팎의 농도차이 때문에 삼투현상이 일어나 물이 세균 내부로 들어가 세포벽의 보호를 받지 못하는 세균을 터뜨려 죽인다. 그러나 인간은 세포벽이 없으므로 페니실린으로부터 영향을 받지 않는다.

문제 2

아래의 ① 식에서 [S]가 아주 낮을 경우 분모의 [S]는 무시할 수 있으므로 ②식처럼 쓸 수 있고 이 때 V는 기질의 농도에 비례한다. Km보다 훨씬 클 경우 Km은 무시할 수 있으므로 ③식처럼 쓸 수 있고 이 때 반응속도 V는 기질의 농도에 관계없이 Vmax에 근접하여 최대속도를 가진다.

① [eqn: V= {Vmax`[S]} over {Km+[S]}]	②[eqn: V image {Vmax} over {Km} [S]]	③[eqn: V≒Vmax]

5. 선택과목 : 지구과학

출제 의도

⦁ 공기의 압축·팽창을 통한 열역학적인 변화에 이해력 평가

⦁ 복사 에너지 평형에 관한 정량적인 계산 능력을 평가

⦁ 판구조론을 이해하고, 이들 판의 이동 속도를 추론하는 능력을 확인

문제 해설

지구과학적 자연 현상은 일반적으로 에너지의 평형 과정으로 설명할 수 있다. 따라서 에너지 평형과 관련된 다양한 지구과학적 현상을 이해하는가를 확인하고자 하였다.

제시문 [가]는 푄현상을 통하여 공기덩어리의 단열적 상승·하강 운동과 내부 열에너지의 이동의 관계를 설명하고, 복사 에너지의 법칙과 복사 평형에 대한 기본적인 정보를 제시문 [나]에서 제공한다. 그리고 제시문 [다]는 기후 변화 요인 중 판구조론에 대한 개념을 제시하고 이들로 설명할 수 있는 지질학적인 현상을 제시하였다.

[문제 1] 푄현상을 이용하여 공기의 단열 팽창·압축에 따른 온도 변화를 이해하고 이를 정량적으로 추론할 수 있는가를 알기 위함.

[문제 2] 제시문의 복사 법칙을 활용하여 복사 평형에 관한 개념을 이해하고 복사 평형 온도를 정량적으로 산출할 수 있는가 여부를 알기 위함.

[문제 3] 제시문에 나타난 판구조론의 개념과 실제 열점의 화산 자료를 바탕으로 판의 이동을 추론하여 이동 속도를 정량적으로 제시할 수 있는가를 알기 위함.

모범답안

[문제1-1]

1) 공기가 상승하면 단열 팽창에 의하여 기온이 감소한다. 건조한 공기의 감소율은 10℃/km 이므로 응결 고도(1500m)에서의 기온은 20℃ - (10℃/km ×1.5km) = 5℃.

2) 산 정상에서 공기의 기온은 응결 고도에서부터 습윤 단열적으로 감소하기 때문에  5℃ -(5℃/km×0.5km)=2.5℃.

3) 공기가 하강하면 단열 압축에 의하여 기온이 상승한다. 그리고 건조 단열적으로 하강하기 때문에 산을 넘고 난 후 지면(B)의 기온은 2.5 ℃ + (10℃/km ×2 km) = 22.5℃.

[문제1-2]

습윤 단열 감률은 포화 공기가 상승할 때 나타나는데, 단열 팽창에 따른 기온 하강으로 포화 상태에서 추가 응결이 나타나 잠열이 방출된다. 따라서 불포화 공기의 상승에 따른 기온 감소보다 작게 나타난다.

[문제2]

[eqn: {S}={pi {R sub E^2}{S sub o}} over {4 pi {R sub E^2}} ={S sub o} over 4}={1,380 over 4}=345 W" "{m^-2}]
	[eqn: {S}=ⅹ=σ{{T sub E}^4}] [eqn: 345=(5.67×{10^-8}){{T sub E}^4}] [eqn: ∴" "{T sub E}=279K]

[문제3-1]

1) 수이코 해산(위경도: 45°N, 175°E)과 다이카쿠지 해산(위경도:30°N, 175°E)은 동일한 경도상에 있고 위도 차이가 15°이다. 따라서 거리는 15° × 110 km = 1650 km 떨어져 있다.

2) 다이카쿠지 해산(위경도:30°N, 175°E)과 하와이(위경도:20°N, 155°W)은 경도가 30° 차이가 난다. 그러나 위도 역시 차이가 나는데, 이를 평균 위도에서 적용하면 위도 25°에서 경도 1°간의 거리는 (106.3+96.5)/2 = 101.4 km이다. 따라서 다이카쿠지 해산과 하와이 사이의 지표상의 거리는 30°×101.4 km = 3042 km가 된다.

[문제3-2]

하와이의 연령은 0.004 × 1000000 = 4000년

다이카쿠지의 연령은 42.4 ×1000000= 42400000년

수이코해산의 연령 59.6 ×1000000=  59600000년

따라서

하와이-다이카쿠지의 이동속도는 3042/42400000=7.17cm/year

다이카쿠지-수이코의 이동속도는 1650/(59600000-42400000)=9.59cm/year