부산대학교 수시모집 특별전형

수학과학우수자 수학사고력평가

2014학년도 부산대학교 수학사고력평가 예시문항(수학)

제 시 문
피보나치 수열(Fibonacci sequence)[eqn: bold{left{a_n right}_{n=1}^{infty}]은 귀납적으로 [eqn: bold{a_1`=1,``a_2`=1,][eqn: bold{a_{n+2}=a_{n+1}+a_n }](모든 [eqn: bold{n GEQ 1}])으로 정의된 수열이다. 이 수열의 항을 순서대로 적어보면 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, [eqn: CDOTS] 이다. 이 때 극한 [eqn: bold{ lim _{ n->inf} {{a_{n+1 } over a_n}]이 존재하고, 그 극한값 [eqn: bold{g= lim _{ n->inf} {{a_{n+1 } over a_n}]를 황금비(golden ratio)라고 한다.

(1) 황금비 [eqn: bold{g}] 가 이차방정식 [eqn: bold{x^2 -x-1=0}] 의 근임을 보이고, [eqn: boldg]의 값을

구하시오. (15점)

(2) [eqn: bold{beta}]가 이차방정식 [eqn: bold{x^2 -x-1=0}] 의 근이면, 모든 [eqn: bold{n GEQ 2}] 에 대하여,

[eqn: bold{beta`^n``=`a_n`beta`+`a_{n-1}]이 성립함을 증명하시오. (15점)

(3) 모든 [eqn: bold{n GEQ 1}] 에 대하여, [eqn: bold{a_n`=`1over{sqrt{5}}left{ left({1+sqrt{5}}over2 right)^n - left({1-sqrt{5}}over2 right)^n right}]이 성립함을   증명하시오. (15 점)

(4) 모든 [eqn: bold{n GEQ 1}]에 대하여, 실수 [eqn: bold{ 1over {sqrt5}` g`^n] 에 가장 가까운 자연수가 [eqn: bold{a_n}] 임을 증명하시오. (15점)

※출제의도 : 수열의 극한에 대한 이해능력과 수학적 귀납법을  올바르게 응용할 수 있는 지를 측정하고자 한다.

※ 예시답안:

(1) [eqn: bold{a_{n+1}over{a_n}`=`1+{a_{n-1}over{a_n}`=`1+`1over{{a_n }over{a_{n-1}}]이므로

[eqn: bold{g= lim _{n -> INF } {} ` {a _{n+1}} over {a _{n}} =`1+ {1} over {lim _{n -> INF } {} {a _{n}} over {a _{n-1}}} `=`1+ {1} over {g} RIGHT .}}]이고, 따라서 [eqn: bold{g`^2 `=g+1}]이다. 그러므로 [eqn: boldg] 는 이차방정식 [eqn: bold{x^2 -x-1=0}]의 한 근이고, [eqn: bold{g GEQ 1}] 이 되어 [eqn: bold{g={1+sqrt{5}}over2}] 이다.

(2) [eqn: bold{beta}]가 이차방정식 [eqn: bold{x^2 -x-1=0}]의 근이므로, [eqn: bold{beta`^2 =beta`+1}]이다. [eqn: bold{n GEQ 2}] 에 관한 수학적 귀납법으로 증명하자. [eqn: bold{a_1 =a_2 =1}]이므로 [eqn: bold{n=2}]일 때는

[eqn: bold{beta`^n``=`a_n`beta`+`a_{n-1}]이 성립한다. 이제 [eqn: bold{n GEQ 2}] 이고 [eqn: bold{beta`^n``=`a_n`beta`+`a_{n-1}]이 성립한다고 가정하자.

[eqn: bold{beta`^{n+1}`=beta`^n`beta```=`(a_n`beta`+`a_{n-1})beta`=a_n`beta`^2`+`a_{n-1}` beta`]

[eqn: bold{={a_n}(beta`+1)`+a_{n-1}``beta`=`(a_n +a_{n-1})beta`+a_n`=`a_{n+1}``beta``+`a_n]

이 되어 [eqn: bold{n+1}] 일 때도 성립한다.

(3) [eqn: bold{g={1+sqrt{5}}over2}]와 [eqn: bold{beta={1-sqrt{5}}over2}]가 이차방정식 [eqn: bold{x^2 -x-1=0}] 의 두 근이므로 위의 (2)에 의하여 [eqn: bold{g`^n`=`a_n`g`+`a_{n-1}]와 [eqn: bold{beta`^n``=`a_n`beta`+`a_{n-1}]가 성립한다.

그러므로 [eqn: bold{g`^n`-beta`^n`=a_n`(g-beta )`=`sqrt{5}``a_n}]이다. 따라서

[eqn: bold{a_n`=`1over{sqrt5}`{(g`^n -beta`^n`)=`1over{sqrt{5}}left{ left({1+sqrt{5}}over2 right)^n - left({1-sqrt{5}}over2 right)^n right}]이다.

(4) [eqn: bold{a_n`=`1over{sqrt5}`(g`^n`-beta`^n )]으로부터 [eqn: bold{ left|`a_n`-`1over{sqrt5}g^n` right|`=`1over{sqrt5} ({sqrt5 `-1}over2 )`^n``< `1over2}]을 얻는다. 그러므로 모든 [eqn: bold{n GEQ 1}] 에 대하여, 실수 [eqn: bold{ 1over {sqrt5}` g`^n] 에 가장 가까운 자연수가 [eqn: bold{a_n}]이다.

2014학년도 부산대학교 수학사고력평가 예시문항(물리)

[문항 1] ※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 모든 운동은 에너지와 관계가 있다. 그러나 에너지라는 용어는 일상 생활에서 다양하게 사용되고 있기 때문에 명쾌하게 정의하는데 어려움이 있다. 물리의 역학에서는 에너지와 일에 대한 명확한 정의를 통해서 물체의 운동을 기술한다. 에너지는 한 형태에서 다른 형태로 바뀔 수 있고, 또한 한 물체에서 다른 물체로 전달될 수도 있다. 하지만, 에너지의 총 합은 언제나 같다. 이와 같은 원리를 에너지 보존원리라고 하며, 물리학에서 중요한 원리로써 받아드려지고 있다.

(나) 운동하고 있는 물체는 운동에너지를 가진다. 물체가 빨리 움직일수록 운동에너지는 증가하며, 물체가 정지했을 때는 운동에너지가 없다. 또한 같은 속력으로 운동하는 물체라도 물체의 질량이 크면 운동에너지가 증가한다. 질량이 [eqn: m]인 물체가 속력이 [eqn: v]로 운동할 때, 운동에너지 (K)는 [eqn: K= {1} over {2} mv ^{2}]로 정의된다. 운동에너지의 단위는 영국의 과학자의 이름을 따서 줄 (J)이라고 한다.

(다) 물체에 힘이 작용하고 있을 때, 물체의 위치에 따라 결정되는 에너지를 위치 에너지라고 한다. 물체에 작용하는 힘의 예로는 중력, 전기력, 탄성력 등과 같이 다양한 힘이 있으며, 물체가 받는 힘의 방향으로 이동하면 위치 에너지가 감소하고, 물체가 받는 힘의 반대 방향으로 이동하면 위치 에너지가 증가한다. 예를 들어 중력이 작용하는 질량이 [eqn: m]인 물체가 기준점으로부터 높이 [eqn: h]에 있을 때, 물체가 갖는 중력에 의한 위치 에너지 (U)는 [eqn: U=mgh]이다. 여기서 [eqn: g]는 중력가속도이다.

(라) 에너지는 물체에 일을 하는 과정에서 물체의 운동 상태를 기술하는데 중요한 역할을 하게 된다. 한 형태의 에너지는 물체에 힘이 작용하여 물체가 이동할 때 에너지가 다른 형태로 전환된다. 물체에 힘이 작용하여 물체가 힘의 방향으로 이동할 때 힘이 ‘일을 한다’고 하며, 물체에 힘을 가하여 물체의 속력이 빨라지면, 물체의 운동에너지가 증가한다. 반대로 물체의 운동 방향과 반대 방향의 힘이 작용하여 물체의 속력이 느려지면, 물체의 운동에너지는 감소한다. 아래 그림과 같이 물체에 한 일의 크기 (W)는 물체의 이동 방향 성분으로 물체에 작용하는 힘이 클수록, 이동하는 거리가 길수록 일을 많이 한 것으로 [eqn: W=Fscos theta =F _{x`} s]로 표현된다. 여기서 [eqn: theta]는 물체의 이동방향과 작용하는 힘 사이의 각도이고, [eqn: F _{x}]는 x방향의 힘의 크기이다.

(마) 물체에 여러 힘이 동시에 작용할 때, 물체에 작용하는 힘의 합을 알짜 힘이라고 하고, 물체가 한 일에도 같은 개념을 이용하여 두 개 이상의 힘이 작용할 때, 물체에 한 일을 알짜 일이라고 한다. 물체에 작용하는 알짜 일 ([eqn: W _{n}])과 물체의 운동에너지의 변화량 ([eqn: DELTAK])을 아래와 같이 표현하며, 이것을 일-운동에너지 정리라고 부른다.

[eqn: DELTA K=K _{f} -K _{i} =W _{n}]

여기서 [eqn: K_{ i}]와 [eqn: K _{f}]는 각각 처음 운동에너지와 나중 운동에너지를 나타낸 것이다.

최근에 우리나라에서 처음으로 우주발사체 나로호가 성공적으로 발사되었다. 연료와 나로과학위성을 포함한 나로호의 총 질량은 [eqn: M]이다. 추진력을 얻기 위한 연료 분사로 인한 질량의 변화없이 나로호의 총 질량이 [eqn: M]으로 유지되며, 중력 가속도는 [eqn: g]로 일정하다고 가정하자. 나로호에 작용하는 추진력의 크기는 일정하고, 추진력의 방향은 중력의 방향과 반대이다. (단, 나로호에 작용하는 힘은 추진력과 중력만을 고려하고, 모든 에너지 손실은 무시한다.)

[논제1] 나로호가 지표면에서 높이 [eqn: h]만큼 올라갔을 때 나로호의 속력은 [eqn: v _{0}]이다. 나로호가 우주로 올라가는데 필요한 추진력의 크기는 얼마인지 구하고, 풀이 과정을 설명하시오. [30점]

[논제2] 나로호가 지표면에서 높이 [eqn: h]만큼 올라갔을 때 나로호의 속력은 [eqn: v _{0}]이다. 나로호의 속력이 2[eqn: v _{0}]가 되었을 때, 지표면에서부터 중력에 의한 나로호의 위치에너지는 얼마인지 구하고, 풀이 과정을 설명하시오.  [30점]

[논제3] 나로호가 지표면에서 높이 [eqn: h]만큼 올라갔을 때까지 높이에 따른 나로호의 운동에너지와 위치에너지의 관계에 대한 그래프를 그리고 그래프를 이용하여 아래의 내용을 설명하시오. [40점]

(a) 그래프에서 높이 따른 운동에너지와 위치에너지의 식

(b) 높이에 따른 운동에너지와 위치에너지의 합

(c) 추진력이 물체에 한 일

Ⅰ. 출제의도

물리의 역학 부분에서 물체의 운동과 에너지, 그리고 일과의 관계에 대한 중요한 개념을 최근 발사에 성공한 나로우주선에 적용하는 문항이다. 고등학교 물리 교육과정의 범위 내에서 출제하기 위해서 우주선의 연료 분출에 의한 질량 변화와 열에 의한 에너지 손실 및 공기 마찰에 의한 복잡한 효과를 고려하지 않도록 하였다.

Ⅱ. 문제해설

에너지는 추상적인 개념으로써 힘과 달리 일상생활에서 다양하게 사용되고 있기 때문에 개념을 명확하게 가지는데 어려움이 있다. 제시문 (가)에서 물체에 전달된 에너지의 형태가 바뀔 수 있지만 에너지 보존원리가 중요하게 받아드려지고 있으며, 운동하는 물체가 가지는 운동 에너지에 대한 개념을 제시문 (나)에서 보여주고 있다. 그리고 제시문 (다)에서는 물체에 힘이 작용하고 있을 때, 물체의 위치에 따라 결정되는 위치 에너지에 대한 개념을 설명하고고등학교 교육과정에서 다루어지고 있는 중력에 의한 위치 에너지를 예를 들어 설명하고 있다. 제시문 (라)에서는 물체에 힘이 작용할 때 힘이 물체에 일을 하는 일과 힘의 관계를 설명하고 있으며, 마지막으로 제시문 (마)에서는 힘이 물체에 한 일이 물체의 운동에너지의 변화량과 관계를 설명함으로써 일과 운동에너지와의 관계를 설명한다. 앞에서 제시문을 통해서 논제들을 추론하여 해결할 수 있도록 문항을 구성하였다.

Ⅲ. 예시 답안

[논제1]

지표면에서 우주선의 속력은 0이고, 높이 [eqn: h]에서의 속력은 [eqn: v _{0}]이다.

운동에너지의 변화량과 물체에 작용하는 알짜일은 다음과 같다.

[eqn: DELTA K= {1} over {2} Mv _{0} ^{2} `,``````W _{n} =F _{n} h]

여기서 [eqn: F _{n}]은 우주선에 작용하는 알짜힘이다. 따라서 일-운동에너지 정의에 따라서 아래와 같은 관계가 성립한다.

[eqn: {1} over {2} Mv _{0} ^{2} ``=F _{n} h]

우주선에 작용하는 알짜힘의 크기는 아래와 같이 표현되며,

[eqn: F _{n} `= {Mv _{0} ^{2}} over {2h}]

우주선에 작용하고 있는 추진력 ([eqn: F])과 중력의 방향이 반대이기 때문에 알짜힘은 아래와 같이 표현되고,

[eqn: F _{n} =F-Mg]

우주선에 작용하는 추진력은 [eqn: F= {Mv _{0} ^{2}} over {2h} +Mg]이다.

[논제2]

나로호의 추진력은 일정하다고 가정하였고, 나로호의 속력이 2[eqn: v _{0}]일 때, 일-운동에너지 정의에 따라서 아래와 같은 관계가 성립한다.

[eqn: {1} over {2} M(2v _{0} ) ^{2} ``=F _{n} s]

우주선에 작용하는 알짜힘의 크기는 아래와 같이 표현되며,

[eqn: F _{n} `= {Mv _{0} ^{2}} over {2h}]

나로호의 속력이 2[eqn: v _{0}]일 때 나로호의 높이 ([eqn: s])는 아래와 같이 표현된다.

[eqn: s=4h]

따라서 나로호의 속력이 2[eqn: v _{0}]일 때 중력에 의한 나로호의 위치에너지는 4[eqn: Mgh]이다.

[논제3]

(a) 그래프에서 높이 따른 운동에너지와 위치에너지의 식

높이가 0일 때 나로호는 정지해 있기 때문에 운동에너지와 일의 관계식 [eqn: {1} over {2} Mv _{0} ^{2} ``=F _{n} h]으로부터 운동에너지와 높이에 관계가 선형적으로 증가하는 그래프를 가진다. 선형으로 증가하는 그래프의 기울기는 [eqn: F _{n}]으로 주어진다. [eqn: F _{n}]은 [eqn: {Mv _{0} ^{2}} over {2h}]이다.

지표면을 기준으로 한 위치에너지와 높이와의 관계도 선형적으로 증가하는 그래프를 가지며, 중력가속도가 일정하다고 가정했으므로 선형으로 증가하는 그래프의 기울기는 [eqn: Mg]로 주어진다.

(b) 높이에 따른 운동에너지와 위치에너지의 합

운동에너지와 위치에너지가 모두 높이에 대해서 선형적으로 증가하기 때문에 두 에너지의 합([eqn: E])은 [eqn: E=( {Mv _{0} ^{2}} over {2h} +Mg)h]로 주어진다.

(c) 추진력이 물체에 한 일

나로호의 추진력은 [논제1]에서 얻어진 것과 같이 [eqn: F= {Mv _{0} ^{2}} over {2h} +Mg]이다. 이것은 추진력이 나로호에 해준 일 [eqn: E=Fh]와 같다.

2014학년도 부산대학교 수학사고력평가 예시문항(화학)

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 화합물을 이루는 원소의 종류와 수를 알아내는 실험을 원소 분석이라고 한다. 원소  분석 실험 장치를 이용하면 성분 물질이 포함된 연소 생성물의 질량을 구할 수 있다. 포도당을 연소시키면 물과 이산화탄소가 생성된다. 이때 생성되는 물은 염화칼슘관에 흡수되고, 이산화탄소는 수산화나트륨 관에 흡수된다. 따라서 각 관에서 증가한 질량을 측정하면 물과 이산화탄소의 질량을 알 수 있다.

(나) 원소 분석 실험으로 측정한 연소 생성물의 질량을 이용하여 성분 원소의 질량 백분율을 구한다. 그 다음 성분 원소의 질량을 각각의 원자량으로 나눠 가장 간단한 정수비로 나타내면 실험식을 구할 수 있다. 분자식은 실험식의 정수배로 나타낼 수 있는데, 여러 가지 방법으로 측정한 분자량과 실험식량을 이용하여 구한다.

(다) 물은 분자량이 비슷한 다른 물질에 비해 녹는점이나 끓는점이 매우 높다. 어떤 물질이 고체 상태에서 액체 상태, 또는 액체 상태에서 기체 상태로 변하기 위해서는 그 물질을 구성하는 분자들 사이의 인력을 끊어주어야 한다. 분자간 인력이 강한 물질일수록 분자들 사이의 인력을 끊어 주는데 더 많은 에너지가 필요하므로 끓는점이 높다. 물질 1 g의 온도를 1℃ 높이는데 필요한 열량을 비열이라 한다. 물의 비열은 4.18J /g℃으로 보통 다른 액체의 비열(2J/g℃ 정도)보다 크다. 따라서 물의 온도를 높이는데 많은 열이 필요하고, 반대로 물의 온도를 낮추어 주면 많은 열이 방출된다. 액체는 그 표면적을 될 수 있는 대로 작게 하려는 경향이 있어서 작은 양일 경우 구형을 취하게 된다. 이러한 현상은 액체 분자 사이의 인력 때문에 나타나며, 액체 표면에서는 표면에 수직인 방향으로 당겨지는 힘으로 나타나는데 이것을 표면장력이라 한다. 풀잎이나 꽃잎 등에 맺혀 있는 물방울들은 모두 둥근 모양을 하거나, 소금쟁이가 물 위에서 돌아다닐 수 있는 것은 모두 물의 표면 장력이 크기 때문이다. 물에 얼음을 넣으면 얼음은 물 위에 뜬다. 이것은 대부분의 다른 물질과 달리 물은 고체의 밀도가 액체의 밀도보다 작다는 것을 의미한다. 즉, 질량이 같은 경우 물의 부피보다 얼음의 부피가 더 큰 것이다. 이것은 물과 얼음에서 분자의 공간적 배열이 다르기 때문에 나타나는 현상이다.

[ 물위를 걷는 소금쟁이 ]

(라) 공유 결합 분자는 극성 분자와 무극성 분자가 있으며, 이들 분자 사이에 작용하는 힘에는 다음의 것들이 있다. 무극성 분자가 서로 접근하면 분자들이 순간적인 유발 이중 극자 (유발 쌍극자)를 가질 수 있다. 이러한 순간적인 쌍극자 형성에 의하여 분자는 순간적으로 극성을 가지며, 주위 분자에 영향을 미쳐 주변의 분자들까지 극성을 갖게 하므로 이들 사이에 힘이 작용하게 된다. 이와 같이 무극성 분자와 무극성 분자 사이에 작용하는 인력을 분산력이라고 한다. 분산력은 모든 분자 사이에 작용하는 힘으로서 일반적으로 분자 내의 전자수가 많을수록 그 크기가 커진다. 극성 분자의 경우, 극성 분자의 부분 양전하를 띤 부분과 이웃 분자의 부분 음전하를 띤 부분이 서로 접근하여 정전기적 인력이 작용하게 되는데, 이 힘을 이중 극자 사이의 힘 (또는 쌍극자 사이의 힘)이라고 한다.

(마) 전기 음성도가 큰 F, O, N의 수소 화합물에서 H 원자는 부분 양전하를 띠고 F, O, N 원자는 부분 음전하를 띤다. 이들이 띠는 부분 전하는 극성 분자의 이중 극자가 띠는 전하보다 훨씬 더 크다. 따라서 부분 양전하를 띤 H 원자와 이웃 분자의 부분 음전하를 띤 F, O, N 원자 사이에 강한 정전기적 인력이 작용하며, 이를 수소 결합이라고 한다. 수소 결합은 극성 분자의 쌍극자-쌍극자 힘보다 훨씬 강하므로 수소 결합 물질은 분자량이 비슷한 다른 극성 물질보다 끓는점이 훨씬 높다.

[논제 1] 탄소(C), 수소(H), 산소(O)로 이루어진 어떤 물질(분자량 60) 45mg을 완전 연소 시켰더니 염화칼슘관의 질량은 27mg, 수산화나트륨관의 질량은 66mg 증가하였다. (단, 원자량은 C=12, H=1, o=16)

1-1. 이 물질의 실험식과 분자식을 구하고, 계산과정을 명시하시오.  [20점]

1-2. 만약 이 물질이 아세트산이고 이 물질의 분자량을 직접 측정했을 때 처음 예상했던 분자량 60의 2배인 120이 나왔다면, 제시문 (마)에 근거하여 그 이유를 설명하시오. [20점]

[논제2] 인체의 약 70 % 정도를 차지하고 있는 물은 생명유지에 절대적으로 필요 하다. 물(H2O)분자는 상온에서 기체로 존재하고 있는 이산화탄소(CO2)와 (CH4)과 분자량(일정한 수의 분자에 해당하는 무게)이 비슷하지만, 상온에서 액체 상태로 존재한다. 어떤 성질이 물 분자를 상온에서 액체로 존재하게 만드는지 분자 간 결합과 관련지어 설명하시오. [30점]

[논제3] 추운 겨울 기온이 영하로 내려가 강물이 얼어도 아래쪽에는 물이 얼지 않아 물고기가 살 수 있다. 이러한 현상을 물의 특성과 관련지어 설명하시오. [30점]

Ⅰ. 출제의도

화학식이 화합물의 조성을 원소 기호를 이용하여 나타낸 것으로, 원소 분석 실험을 통해 어떤 화합물의 실험식과 분자식을 구하는 것은 화학적 탐구활동의 기본 과정에 해당함을 깨닫도록 한다. 물 분자 간 수소결합을 통해서 나타나는 여러 특성들을 이해하고 있는지 종합적으로 묻고자 하였다. 물의 끓는점과 관련된 특성을 파악하고, 그러한 물의 특성이 나타나는 이유를 다양한 분자간의 힘 중에서 수소결합과 연관시켜 종합적으로 판단할 수 있는지를 측정하고자 한다. 그리고 밀도와 관련된 물을 특성과 수소결합을 관련지어 판단할 수 있는지를 측정하고자 한다.

Ⅱ. 문제해설

제시문 (가)는 원소 분석 실험 장치의 용도와 실험 원리를, (나)에서는 원소 분석 실험 결과를 바탕으로 실험식과 분자식을 구하는 과정을, (다)에서는 물 분자 간 수소결합을 통해서 나타나는 여러 특성들을 제시하였다. 제시문 (라)에서는 공유 결합 분자간 힘의 종류를, (마)에서는 수소 결합에 대한 정의와 수소 결합 물질의 특성을 제시하여 주어진 논제들을 해결하도록 하였다.

논제 1. 원소 분석 실험 결과로부터 주어진 물질의 실험식과 분자식을 구하고, 아세트산의 분자량이 예상했던 60의 2배인 120으로 측정되는 이유를 아세트산 분자 사이에 수소결합으로 이합체로 존재한다.

논제 2. 물 분자 간 수소결합을 통해서 다양한 성질이 나타난다. 먼저 분자량이 비슷한 다른 물질에 비하여 끓는점과 녹는점이 높다. 액체상태의 물이 기체상태의 수증기가 되거나, 고체상태의 얼음이 액체상태의 물이 되기 위해서는 물 분자간의 수소 결합을 끊어야 한다. 이러한 물 분자간의 강한 수소결합을 끊기 위해서는 많은 열량이 필요하므로 다른 물질에 비해서 물의 끓는점과 녹는점이 높아지게 된다. 물의 비열이 큰 이유도 물 분자 간에 형성된 강력한 수소결합 때문이다. 물에서 온도가 올라감에 따라 수소결합의 수가 감소하는데, 물의 온도를 올리기 위해서는 강력한 수소결합을 끊어야 함으로 많은 에너지가 필요하게 된다.

액체가 표면적의 크기를 되도록 작게 유지하려는 성질을 표면장력이라 한다. 표면장력이 작용하는 주된 이유는 액체 내부 분자와 액체 표면 분자간의 알짜 힘의 차이다. 액체 내부의 분자는 이웃한 분자에 의해 상하좌우 대칭적인 방향으로 인력이 작용하여 힘이 균형을 이루게 된다. 그러나 액체 표면의 분자는 상하 방향의 힘이 균형을 이루지 못하고, 아래 방향으로만 인력이 작용하게 되어 내부로 끌려 들어가는 힘이 커지게 된다. 그래서 액체는 되도록 표면적을 가능 한 작게 유지하려는 경향성을 가지게 되는데, 이처럼 표면적을 가장 작게 유지할 수 있는 구조가 구형이다. 그러므로 분자 간 강한 수소결합을 형성하는 물은 다른 액체에 비하여 표면적을 가능 한 작게 유지하려는 힘이 크다.

일반적으로 대부분의 물질은 액체가 고체보다 부피가 더 크다. 그런데 물의 경우에는 고체의 부피가 액체의 부피보다 더 크다. 액체 보다 낮은 온도에서 나타나는 고체(얼음)의 경우 물 분자사이에 수소결합이 형성되면서 분자의 배열이 육각 구조를 이루게 된다. 고체(얼음)상태의 육각 구조에서는 빈 공간이 생겨 고체 상태의 부피를 증가시킨다. 반면, 액체 상태가 되면 이러한 빈 공간을 가지는 육각형 구조가 깨어지면서 고체 상태에 비하여 부피가 감소하게 된다.

논제 3. 물 분자 간에 작용하는 수소결합으로 인해서 물은 다른 물질과는 다르게 고체의 밀도가 액체의 밀도보다 작다. 그래서 얼음은 물 위에 뜨게 된다. 물 위에 떠 있는 얼음은 열을 잘 전도하지 않기 때문에 단열효과가 나타나 강 표면의 찬 기운이 강 내부로 들어가는 것을 막아주어 강 전체가 어는 것을 막아준다.

Ⅲ. 예시 답안

[논제 1]

1-1. 생성되는 물은 염화칼슘관에 흡수되고 이산화탄소는 수산화나트륨 관에 흡수되므로 어떤 물질(시료) 속에 들어 있는 C, H, O의 질량은 다음과 같이 구할 수 있다.

․ C의 질량 = 66 × [eqn: rm{ C의 ~원자량} over {CO _{ 2}의~분자량 }] = 66 × [eqn: rm{12} over {44 }] = 18 mg

․ H의 질량 = 27 × [eqn: rm{H의 ~원자량 TIMES2 } over {H _{ 2}O의~분자량 }] = 66 × [eqn: rm{2} over {18 }] = 3 mg

․ O의 질량 = 연소 전 물질(시료)의 질량 - (시료 속 C와 H 질량)

= 45 - (18+3) = 24 mg

∴ 원자수의 비(C : H : O) = [eqn: { 18} over {12}] : [eqn: { 3} over { 1}] : [eqn: { 24} over { 16}] = 1 : 2 : 1

따라서, 실험식은 [eqn: rmCH _{2 }O]이다.

분자량 = 실험식량 × n 이므로, 60 = 30 × n에서 n=2이다.  따라서 분자식은 [eqn: rmC _{ 2} H _{4}O _{ 2}] 이다.

1-2. 아세트산의 분자량이 예상했던 60의 2배인 120으로 측정되는 이유를 아세트 분자 간 수소결합하며, 아세트산 2분자가 쌍둥이처럼 함께 행동하는 이합체(dimer)로 존재하기 때문이다.

[논제2]

액체상태의 물이 기체 상태의 수증기로 변하기 시작하는 온도를 물의 끓는점이라 한다. 액체 상태의 물이 기체 상태의 수증기가 되기 위해서는 물 분자사이의 결합이 끊어져야 가능한데, 물 분자들은 강한 수소결합으로 이루어져 있어서 결합이 끊어지는 데 많은 열량이 필요하게 된다. 그러므로 물은 분자량이 비슷하고 수소결합을 형성하지 못하는 이산화탄소(CO2)와 메탄(CH4)에 비해 끓는점이 훨씬 높게 나타난다.

[논제3]

강물의 공기가 차가워지면, 강 표면의 물이 냉각되기 시작한다. 강 표면의 물이 냉각되다가 물의 어는점인 0℃에 이르면 강 표면의 물이 얼기 시작한다. 물이 얼면 물 분자들은 수소 결합을 형성하여 분자 사이에 빈 공간이 많은 규칙적인 육각 고리 구조의 결정을 이루므로 부피가 커져서 밀도가 작아진다. 따라서 얼음의 밀도가 물보다 작으므로 얼음이 물 위에 뜨게 된다. 이렇게 만들어진 얼음은 열을 잘 전도하지 못하기 때문에 얼음 아래 부분의 강물이 어는 것을 막아준다. 그러므로 강물은 표면에서부터 얼게 되고, 이렇게 형성된 얼음은 강 내부의 물이 어는 것을 막아주어 물속에 사는 물고기(물고기뿐만 아니라 다른 동식물들)의 생존을 가능하게 해 준다.

2014학년도 부산대학교 수학사고력평가 예시문항(생물)

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 우리는 길거리에 돌아다니는 쥐를 보고 생물이라고 하지만 길바닥에 떨어져 있는 돌을 보고 생물이라고 하지 않는다. 이렇듯 우리가 생물을 생물이라고 할 수 있는 기준은 무엇일까? 무생물들과 달리 생물은 ‘세포’라는 구조적 기능적 기본단위를 바탕으로 아주 복잡하고 정교한 체계를 이루고 있다. 이러한 세포들이 모여 조직을 이루는데, 식물의 경우 이런 조직들이 또 모여 조직계를 이루고 조직계가 모여 기관을 이루어 개체를 이루게 된다. 한편, 동물들은 조직들이 모여 기관을 이루고 기관들이 모여 기관계를 이루어서 개체를 형성하는데, 아메바처럼 하나의 세포로 이루어진 단세포동물도 있다. 모든 생물들은 수명에 한계가 있으며, 생물들은 자신들의 한계를 극복하기 위해 생식과 유전을 한다. 생물은 생식을 통하여 자손을 번식시키는데, 자신의 형질이 담긴 유전물질인 DNA를 물려주어 번식시킨 자손들은 어버이를 닮게 된다. 생식을 통해 생긴 수정란은 수많은 세포분열과 분화를 거쳐 성숙하게 되는데, 이를 발생이라고 한다. 발생을 한 후에 성숙을 하면서 생물은 좀 더 구조적 기능적으로 발달을 하게 되고 자신의 세포의 수를 늘려 몸의 크기를 늘리게 되는데 이를 생장이라고 한다. 또한, 생물들은 무생물들과 달리 자극에 반응을 하고 자신의 몸 상태를 일정하게 유지하고자 하는 항상성의 특징을 가지게 되는데, 이는 환경이 계속 변하면서 생명활동에 영향을 미치기 때문이다. 생물들은 자신의 몸을 유지하기 위해서 스스로 에너지를 만들거나 외부의 물질을 섭취해야 하는데, 이를 생물의 몸 안에서 활용하기 위해서는 물질대사가 필요하다. 물질대사는 간단한 물질을 복잡한 물질로 합성하는 동화작용과 복잡한 물질을 간단한 물질로 분해하는 이화작용이 있다. 생물들의 의지와는 다르게 환경이 급격하게 변하기도 하는데, 이러한 환경변화에 따라 자신의 몸의 구조나 색 등을 변화시키는 것을 적응이라고 하며, 이를 통해 형질이 변화하여 새로운 종으로 분화되기도 하는데, 이를 진화라고 한다.

(나) 멘델은 오스트리아에 살던 수도사로 우연히 완두콩을 재배하면서 유전법칙에 대한 아이디어를 얻었는데, 이후 몇 년 동안 완두콩을 재배하고 관찰을 하면서 다음과 같은 법칙들에 대해 정리하게 되었다.

우열의 법칙: 순종의 대립형질끼리 교배를 하게 되면 제 1대에서는 반드시 우성형질만 나타나게 된다.

분리의 법칙: 잡종 1대를 자가 번식 시키면 잡종 제2대에서는 표현형이 일정한 비율로 나타나게 되는데, 우성은 3 열성은 1의 비율로 나타나게 된다.

독립의 법칙: 두 쌍의 대립형질이 유전될 때 각각의 형질이 다른 형질의 유전에 영향을 주지 않고 독립적으로 유전이 된다.

이후 많은 과학자들이 유전자와 염색체의 구조에 대해 밝혀 내게 되었고, 이를 토대로 상동염색체의 존재와 대립유전자의 존재 그리고 여러 유전인자가 연관이 되어 염색체 위에 존재 할 수도 있음을 알게 되었다.

(다) 체세포 분열은 우리 몸을 구성하고 있는 세포들이 수를 늘리는 분열이다. 모세포와 딸세포의 유전적인 구성이나 염색체수는 동일 하고, 체세포 분열을 통하여 우리는 생장을 하게 된다. 이와는 달리 생식 세포 분열은 생식 세포에서 생식세포가 만들어질 때 일어나는 분열로 생식원세포가 체세포분열을 통해 남성은 세정관에서 정원세포러, 여성은 난소에서 난원세포로 분열한다. 이 원세포들은 제 1차 감수분열을 통해 상동염색체가 분리하게 되고, 제 2차 감수분열을 통하여 염색분체가 분리되어 딸세포들이 모세포의 염색체 수와 유전량이 모세포의 반으로 줄어드는 분열이다. 하지만 감수분열이 일어나는 동안 염색분체나 상동염색체가 분리되지 않는 비분리 현상이 일어나기도 하는데, 다운증후군의 경우 21번 염색체의 비분리가 일어나 21번염색체가 3개인 경우에 일어난다.

(라) 혈액은 우리 몸에 산소를 운반하는 적혈구의 주요 이동통로이기도 하지만 세균이나 바이러스 등의 이물질들로부터 우리 몸을 지키는 중요한 역할을 하기도 한다. 우리 몸에 상처가 나서 출혈이 생기게 되면 상처 부위에 혈소판들과 각종 혈장단백질들이 칼슘이온과 작용을 하여 혈구과 함께 뭉쳐 혈병을 형성함으로써 혈액이 응고되어 더 이상 외부물질이 출입하지 못하도록 막고, 백혈구들이 모세혈관에서 빠져 나와 이물질들을 식균작용을 통해 소화시키는데, 소화된 이물질들은 작은 절편이 되어 T림프구와 B림프구들이 인식을 할 수 있도록 한다. T림프구의 경우, 항원에 노출된 세포들을 직접 공격하여 파괴를 하는데, 이를 세포성 면역이라고 한다. 세포성 면역과는 다르게 체액성 면역은 항원절편들을 인식한 보조T림프구들이 B림프구의 증식과 분화를 촉진시켜 몇몇은 형질세포로 분화하여 항체를 생산하게 돕거나 기억세포로 분화하게 만들어 후일에 똑 같은 이물질이 침투를 하게 될 때에 빠르고 많은 양의 항체를 생산할 수 있게끔 한다. 림프구에서 항체를 생성 해내어 우리 몸이 면역반응을 일으키게 된다.

(마) 생체 내에서 면역반응으로 조직이 장애를 받아 병이 일어나는 경우가 있다. 특히 자신의 체성분을 외부항원으로 인식하게 되어 나타나는 질병을 자가면역질환이라고 한다. 자가면역질환을 치료하는 방법 중의 하나가 면역 억제작용과 항염증작용이 있는 부신피질 호르몬(코티졸)을 사용하여 면역반응의 정도를 낮추는 것이다. 코티졸은 1) 리소좀에서 단백질 가수분해 효소 방출을 감소시키고 2) 모세혈관 투과성을 감소시키며 3) 손상부위로 백혈구의 이동을 막고 4) T cell 생산을 막아 면역 체계를 억제하고 5) 백혈구의 발열 물질 생성을 막아 체온 상승을 억제한다. 환자가 코티졸에 내성을 나타내는 등의 한계가 있을 경우가 있는데, 이럴 경우에는 다른 면역억제제를 사용한다. 또한 면역억제제는 장기이식 때 거부반응을 억제하기 위해서도 사용된다.

[논제 1] [문제 1] 갓 태어난 쥐가 몸집이 커지며 성장하는 것과 종유석 (동굴의 천장에 고드름처럼 매달린 원추형의 광물질)이 시간이 지남에 따라 커지는 것의 차이점을 제시문 (가)를 근거로 설명하시오. [3점]

[논제 2] 제시문 (나)와 (다)를 근거로 아래의 [보기 1]을 참고 하여 이자이식수술을 받기 이전에 낳은 자식 B와 이후에 낳은 자식 C의 당뇨병 발병 여부에 대해 근거를 들어 서술하시오. [7점]

[보기 1]  선천적으로 당뇨병을 가진 A가 있다. A는 B라는 자식이 한 명이 있다. A의 당뇨병 증세가 더욱 심각해져서 의사들은 A의 조직과 잘 맞는 이자를 기증 받아 A의 이자를 이식하는 수술을 하였고, A는 성공적으로 수술을 마쳐 당뇨병이 완치 되었다. 그로부터 1년 후, A씨는 C라는 자식을 한 명 더 낳게 되었다 (단 A는 선천적 당뇨병유전인자가 반드시 자식B와 C에게 유전이 되었고, 아내인 D는 정상인이며, 선천적 당뇨병 유전인자는 우성이다).

[논제 3] 제시문 (라)와 연관하여 아래의 [보기]를 읽고 다음의 세 문제에 답하시오

[보기 2] 사람이 인플루엔자 바이러스에 감염이 되면 독감을 앓게 된다. 일반적인 경우 독감이 걸려도 바이러스의 증식을 막기 위한 특별한 약을 처방 받지 않고 일정기간 후 스스로 극복하게 된다. 따라서 독감은 치료제가 없으니 주로 독감백신 접종을 통해 예방하는 것이 최선의 방법이다. 바이러스는 세균보다 크기가 작고, 핵산과 단백질로 구성되어 있으며, 세포의 구조를 갖추고 있지 않다. 바이러스는 독자적인 효소가 없어 숙주 세포 밖에서는 스스로 물질대사를 하지 못하고 핵산과 단백질의 결정체로 존재하여 무생물적 특성을 나타내지만 숙주 세포 내에서는 물질대사와 증식을 하여 생물적 특성을 나타내기도 하므로 무생물과 생물의 중간형으로 간주된다. 바이러스에 함유된 핵산의 돌연변이에 의해 변종 바이러스가 나타나기도 한다.

3-1. 사람에 감염을 일으키는 바이러스가 사람에 감염한 경우 이 바이러스의 증식을 막기 위한 약을 개발하기가 상당히 어려운데 그 이유를 서술하시오. [7점]

3-2. 독감백신 접종을 하면 독감이 예방되는 원리를 제시문 (라)를 근거로 설명하시오. [7점]

3-3. 한 번 독감에 걸렸던 적이 있는 사람이나 독감 예방접종을 한 사람도 매년 독감 예방접종 실시를 권유 받는데, 매년 독감 예방접종을 실시해야 하는 이유를 설명하시오. [6점]

[논제 4] 장기이식 수술 환자들에게 가장 우려되는 질병이 병원성 세균이나 바이러스에 대한 감염성 질병인데 우려하는 이유를 제시문 (라)와 (마)를 근거로 설명하시오. [10점]

Ⅰ. 출제의도 및 논제해설

[논제 1] 제시문 (가)에 생물이 가지는 특성들을 열거하고 있다, 이를 이용하여 정확하게 생물과 비생물의 차이점에 대해 설명할 수 있는지에 대해 묻는 문제이다. 단순히 생물은 움직이고 안 움직이고의 문제가 아니라 비생물과 생물의 차이점을 명확하게 알아야 풀 수 있다.

[논제 2] 생식 원세포와 체세포는 다르다는 관점을 이해해야 풀 수 있는 문제이다. 생식 원세포가 돌연변이를 일으키지 않는 한 사람의 기관을 교체하거나 떼어내도 다음 세대의 아이는 원래 그 사람이 가진 유전자를 물려받을 것이다. 이 문제는 멘델의 법칙을 통해서 우성이나 유전에 대한 이해를 묻기 보다는 생식세포의 분열과 체세포의 분열은 다른 것이다라는 것을 인식하고 후천적으로 바뀐 형질은 생식 원세포가 바뀌지 않는 이상 후손이 획득하지 않는다는 것이다.

[논제 3-1] 바이러스의 생물학적인 요소와 무생물학적인 요소에 대한 이해가 충분해야 풀 수 있는 문제이다. 체내에 감염이 된 경우 그 감염요소의 증식 억제를 위해 약을 처방하여야 한다. 이때 이 약은 정상적인 숙주세포에는 별다른 영향을 주지 않고 감염체에만 특이적으로 작용해야 한다. 예를 들면, 잘 알려진 항생제인 페니실린은 세균의 세포벽합성을 방해하여 항생효과를 나타낸다. 동물세포는 세포벽을 가지고 있지 않으나 세균은 세포벽을 가지며, 그 세포벽을 구성하는 물질은 세균 특이적인 것이다.

[논제 3-2] 제시문 (라)에 나와 있는 면역반응 유도의 일반적인 과정과 그 면역의 활용에 관한 개념을 파악하고자 하는 하는 것이다. 1차로 항원이 몸에 들어오면 그 항원에 대해 비특이적인 면역반응과 특이적인 면역반응을 통해 항원을 제거하게 되는데, 특이적인 면역반응에 의해 기억세포가 생성된다는 원리를 알면 쉽게 답을 할 수 있는 부분이다.

[논제 3-3] 바이러스에 포함되어 있는 유전물질인 핵산은 돌연변이에 의해 염기서열이 바뀌어 질 수가 있는데, 이런 현상이 발생되면 변종 바이러스가 태어날 수 있다는 점과 독감바이러스는 호흡기를 통해서 전파되므로 특정형이 나타나면 어렵지 않게 넓은 지역으로 전파될 수 있다는 것을 알면 쉽게 접근이 가능한 문제이다.

[논제 4] 장기이식 수술은 장기 공여자의 것과 수여자의 것이 아주 똑 같으면 받아들인 조직이자기의 것이므로 면역반응에 의한 거부반응을 하지 않지만 일반적으로 똑 같은 장기를 찾는다는 것은 거의 불가능하다. 따라서 공여자와 수여자간 최대한 비슷함을 바탕으로 장기이식을 실시하므로 여전히 공여된 장기에 대해 수여자는 거부반응을 일으킨다. 이 반응을 최대한 억제하기 위하여 면역억제제를 투여하여 면역반응을 최대한 낮춤으로써 거부반응을 줄인다. 특히 장기이식의 거부는 세포성면역 반응에 의한 것이다. 따라서, 장기 이식환자는 면역억제제에 의한 면역반응이 낮아지므로 자연히 감염성질병에 감수성을 가진다.

II. 예시 답안

[논제 1]

쥐의 몸집이 커지는 것은 쥐가 체세포분열을 통하여 자신의 세포를 복제하고 이들이 증식하여 수를 늘리고 분화하여 조직과 기관이 발달하면서 커지는 것이지만 종유석이 커지는 것은 종유석을 이루는 주성분인 탄산칼슘이 외부에서 종유석으로 운반되어 단순히 분자가 더 많이 붙어서 커지는 것이다.

[논제 2]

A는 이식수술 후 당뇨병이 치료가 되었지만 자신의 몸에 있는 모든 유전물질(DNA)이 교체되어 완치가 된 것이 아니라 새로 기증받은 이자만 선천적 당뇨병유전인자가 없는 것이다. 이자를 이식한다고 해서 생식 원세포의 염색체가 변하지는 않으므로 이자를 기증받기 전에 낳은 B나 기증 받고 난 후 태어난 C 모두 선천적 당뇨병 유전인자를 물려받았을 것이고, 이 둘 모두 당뇨병이 발병 할 것이다. 만약, 이자를 이식하면서 생식 원세포의 선천적 당뇨병유전인자가 유전자 치료법에 의해 치료되었다면 B는 당뇨병을 앓지만 C는 앓지 않는다.

[논제 3-1]

감염체인 바이러스의 체내 증식을 억제하기 위한 약을 개발하기 위한 중요한 전제조건의 하나가 숙주세포에는 영향을 주지 않는 범위에서 바이러스의 증식만을 억제시키는 것이다. 사람에 감염된 바이러스의 증식만을 억제하려면 바이러스 특이의 구조체를 형성하지 못하게 하거나 바이러스 특이의 물질대사가 일어나지 않도록 해야 한다. 하지만 바이러스를 이루는 구성물질은 일반적인 생물체들이 갖는 생물적 요소이고, 바이러스는 스스로 물질대사를 이루지 못하고 숙주의 것을 이용하는 비생물적인 요소를 가지고 있다. 어떤 약이 바이러스의 증식을 억제한다는 의미는 자연히 숙주세포의 대사활동에 방해를 하는 것이란 의미를 내포하므로 이 약은 함부로 사용할 수 없다. 이러한 이유로 바이러스 증식을 억제하는 약을 개발하는 것은 어려운 일이다.

[논제 3-2]

독감은 인플루엔자바이러스의 감염에 의한 감염성질병이다. 이 바이러스의 감염을 막기 위한 특별한 치료제가 없으므로 면역에 의한 예방이 최선의 방법이다. 물리적 또는 화학적으로 인플루엔자 바이러스를 변형시켜 독성이 없는 독감백신을 제조할 수 있다. 이를 혈관 또는 근육을 통해 몸에 주입하면 백혈구들이 식균작용을 통해 백신물질을 소화시켜 작은 절편으로 만든다. 독감백신의 작은 절편들을 T림프구와 B림프구들이 인식하고 난 후 여러 과정을 거쳐 최종적으로 독감바이러스에 감염된 세포를 공격할 수 있는 세포성면역과 항체 매개에 의한 체액성면역을 유도한다. 동시에 독감백신의 세포성면역과 체액성면역에 관여하는 세포들의 일부가 기억세포로 남아 오랜 기간 살면서 아주 낮은 정도의 면역을 일정하게 유지한다. 후에 병원성을 가진 독감바이러스가 유입되면 이들 기억 세포들은 이 바이러스를 아주 빠르게 인식하여 높은 면역능력을 나타내어 바이러스를 중화시키거나 바이러스가 함유된 세포를 죽이므로 독감 바이러스 감염의 예방이 가능하다.

[논제 3-3]

독감바이러스(인플루엔자 바이러스)는 변종이 쉽게 발생한다. 주로 인플루엔자바이러스가 숙주세포에 부착하고 들어가는데 필요한 요소(HA 및 NA)에 변이가 발생하여 숙주세포에 들어가는 특성이 바뀐 바이러스가 발생하게 된다. 뿐만 아니라 독감바이러스에 대한 숙주의 면역은 주로 독감바이러스의 부착과 관련된 요소(HA 및 NA)에 대한 면역이다. 만일, 올해에 독감백신을 접종 받았다면 그 독감바이러스의 HA 및 NA에 대한 면역이 유도되어 감염을 막을 수 있으나, 내년에는 변종이 발생하여 전파되는 경우 올해의 면역은 그 변종바이러스를 인지하지 못하므로 예방이 불가능하다. 이런 이유로 매년 독감백신의 접종을 통해 독감을 예방하고 있다.

[논제 4]

장기이식 수술을 받은 환자는 세포성면역반응에 의해 이식된 장기에 대하여 거부반응을 나타낸다. 이 거부반응을 줄이기 위하여 장기이식 환자에게 면역억제제를 투여 받는다. 이로 인해 그 환자의 면역은 약화된다. 특히, T림프구와 B림프구의 분열과 활성화가 이루어 지지 않아 세포성면역과 체액성면역이 약해져 전체적인 면역체계가 약해지게 된다. 따라서 이 환자는 세균이나 바이러스의 감염이 일어난 경우 이들의 체내 증식을 막을 수 있는 면역이 방생하지 않으므로 이들 병원체들은 체내에서 무한 증식이 가능하므로 심각한 감염을 유발 시킬 수 있다. 따라서, 장기이식 환자에게 특별히 감염성 질병에 대한 주의를 기할 필요가 있다.