2014학년도 부산대학교 수시모집 수학·과학우수자전형 모의 수학사고력평가 문제지	감독관 확인
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출신고교	( )고등학교	성명	( )	생년월일	( )	성별	(남,여)

수학 : 필수
과학 : 3과목 중 택1	물리	( )	화학	( )	생명과학	( )

	< 수험생 유의사항>
1. 시험시간은 100분입니다. 2. 과학은 3과목 중 1과목을 선택하시오. 3. 답안은 답안지의 해당 문항 번호에 흑색이나 청색 볼펜으로 작성하시오. 4. 문항 번호를 기술하고, 답을 작성하시오. 5. 학교명, 성명 등 자신의 신상에 관련된 사항을 답안에는 드러내지 마시오. 6. 답안 연습은 연습지를 활용하시오. 7. 답안지, 연습지 및 문제지에 필요한 인적사항을 기입하였는지 확인하시오.

【 수 학 】

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

피보나치 수열(Fibonacci sequence)[eqn: bold{left{a_n right}_{n=1}^{infty}]은 귀납적으로

[eqn: bold{a_1`=1,``a_2`=1,][eqn: bold{a_{n+2}=a_{n+1}+a_n }](모든 [eqn: bold{n GEQ 1}])으로

정의된 수열이다. 이 수열의 항을 순서대로 적어보면 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, [eqn: CDOTS] 이다. 이 때 극한 [eqn: bold{ lim _{ n->inf} {{a_{n+1 } over a_n}]이 존재하고, 그 극한값 [eqn: bold{g= lim _{ n->inf} {{a_{n+1 } over a_n}]를 황금비(golden ratio)라고 한다.

1. 황금비 [eqn: bold{g}] 가 이차방정식 [eqn: bold{x^2 -x-1=0}] 의 근임을 보이고, [eqn: boldg]의 값을 구하시오. (15점)

2. [eqn: bold{beta}]가 이차방정식 [eqn: bold{x^2 -x-1=0}] 의 근이면, 모든 [eqn: bold{n GEQ 2}] 에 대하여,

[eqn: bold{beta`^n``=`a_n`beta`+`a_{n-1}]이 성립함을 증명하시오. (15점)

3. 모든 [eqn: bold{n GEQ 1}] 에 대하여, [eqn: bold{a_n`=`1over{sqrt{5}}left{ left({1+sqrt{5}}over2 right)^n - left({1-sqrt{5}}over2 right)^n right}]이 성립함을 증명하시오. (15 점)

4. 모든 [eqn: bold{n GEQ 1}]에 대하여, 실수 [eqn: bold{ 1over {sqrt5}` g`^n] 에 가장 가까운 자연수가 [eqn: bold{a_n}] 임을 증명하시오. (15점)

【 과 학 (3과목 중 택1) 】

【물리】

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

[가] 모든 운동은 에너지와 관계가 있다. 그러나 에너지라는 용어는 일상 생활에서 다양하게 사용되고 있기 때문에 명쾌하게 정의하는데 어려움이 있다. 물리의 역학에서는 에너지와 일에 대한 명확한 정의를 통해서 물체의 운동을 기술한다. 에너지는 한 형태에서 다른 형태로 바뀔 수 있고, 또한 한 물체에서 다른 물체로 전달될 수도 있다. 하지만, 에너지의 총 합은 언제나 같다. 이와 같은 원리를 에너지 보존원리라고 하며, 물리학에서 중요한 원리로써 받아드려지고 있다.

[나] 운동하고 있는 물체는 운동에너지를 가진다. 물체가 빨리 움직일수록 운동에너지는 증가하며, 물체가 정지했을 때는 운동에너지가 없다. 또한 같은 속력으로 운동하는 물체라도 물체의 질량이 크면 운동에너지가 증가한다. 질량이 [eqn: m]인 물체가 속력이 [eqn: v]로 운동할 때, 운동에너지 (K)는 [eqn: K= {1} over {2} mv ^{2}]로 정의된다. 운동에너지의 단위는 영국의 과학자의 이름을 따서 줄 (J)이라고 한다.

[다] 물체에 힘이 작용하고 있을 때, 물체의 위치에 따라 결정되는 에너지를 위치 에너지라고 한다. 물체에 작용하는 힘의 예로는 중력, 전기력, 탄성력 등과 같이 다양한 힘이 있으며, 물체가 받는 힘의 방향으로 이동하면 위치 에너지가 감소하고, 물체가 받는 힘의 반대 방향으로 이동하면 위치 에너지가 증가한다. 예를 들어 중력이 작용하는 질량이 [eqn: m]인 물체가 기준점으로부터 높이 [eqn: h]에 있을 때, 물체가 갖는 중력에 의한 위치 에너지 (U)는 [eqn: U=mgh]이다. 여기서 [eqn: g]는 중력가속도이다.

[라] 에너지는 물체에 일을 하는 과정에서 물체의 운동 상태를 기술하는데 중요한 역할을 하게 된다. 한 형태의 에너지는 물체에 힘이 작용하여 물체가 이동할 때 에너지가 다른 형태로 전환된다. 물체에 힘이 작용하여 물체가 힘의 방향으로 이동할 때 힘이 ‘일을 한다’고 하며, 물체에 힘을 가하여 물체의 속력이 빨라지면, 물체의 운동에너지가 증가한다. 반대로 물체의 운동 방향과 반대 방향의 힘이 작용하여 물체의 속력이 느려지면, 물체의 운동에너지는 감소한다. 아래 그림과 같이 물체에 한 일의 크기 (W)는 물체의 이동 방향 성분으로 물체에 작용하는 힘이 클수록, 이동하는 거리가 길수록 일을 많이 한 것으로 [eqn: W=Fscos theta =F _{x`} s]로 표현된다. 여기서 [eqn: theta]는 물체의 이동방향과 작용하는 힘 사이의 각도이고, [eqn: F _{x}]는 x방향의 힘의 크기이다.

[마] 물체에 여러 힘이 동시에 작용할 때, 물체에 작용하는 힘의 합을 알짜 힘이라고 하고, 물체가 한 일에도 같은 개념을 이용하여 두 개 이상의 힘이 작용할 때, 물체에 한 일을 알짜 일이라고 한다. 물체에 작용하는 알짜 일 ([eqn: W _{n}])과 물체의 운동에너지의 변화량 ([eqn: DELTAK])을 아래와 같이 표현하며, 이것을 일-운동에너지 정리라고 부른다.

[eqn: DELTA K=K _{f} -K _{i} =W _{n}]

여기서 [eqn: K_{ i}]와 [eqn: K _{f}]는 각각 처음 운동에너지와 나중 운동에너지를 나타낸 것이다.

최근에 우리나라에서 처음으로 우주발사체 나로호가 성공적으로 발사되었다. 연료와 나로과학위성을 포함한 나로호의 총 질량은 [eqn: M]이다. 추진력을 얻기 위한 연료 분사로 인한 질량의 변화없이 나로호의 총 질량이 [eqn: M]으로 유지되며, 중력 가속도는 [eqn: g]로 일정하다고 가정하자. 나로호에 작용하는 추진력의 크기는 일정하고, 추진력의 방향은 중력의 방향과 반대이다. (단, 나로호에 작용하는 힘은 추진력과 중력만을 고려하고, 모든 에너지 손실은 무시한다.)

1. 나로호가 지표면에서 높이 [eqn: h]만큼 올라갔을 때 나로호의 속력은 [eqn: v _{0}]이다. 나로호가 우주로 올라가는데 필요한 추진력의 크기는 얼마인지 구하고, 풀이 과정을 설명하시오. [30점]

2. 나로호가 지표면에서 높이 [eqn: h]만큼 올라갔을 때 나로호의 속력은 [eqn: v _{0}]이다. 나로호의 속력이 2[eqn: v _{0}]가 되었을 때, 지표면에서부터 중력에 의한 나로호의 위치에너지는 얼마인지 구하고, 풀이 과정을 설명하시오.  [30점]

3. 나로호가 지표면에서 높이 [eqn: h]만큼 올라갔을 때까지 높이에 따른 나로호의 운동에너지와 위치에너지의 관계에 대한 그래프를 그리고 그래프를 이용하여 아래의 내용을 설명하시오. [40점]

3-1. 그래프에서 높이 따른 운동에너지와 위치에너지의 식

3-2. 높이에 따른 운동에너지와 위치에너지의 합

3-3. 추진력이 물체에 한 일

【화학】

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

[가] 화합물을 이루는 원소의 종류와 수를 알아내는 실험을 원소 분석이라고 한다. 원소  분석 실험 장치를 이용하면 성분 물질이 포함된 연소 생성물의 질량을 구할 수 있다. 포도당을 연소시키면 물과 이산화탄소가 생성된다. 이때 생성되는 물은 염화칼슘관에 흡수되고, 이산화탄소는 수산화나트륨 관에 흡수된다. 따라서 각 관에서 증가한 질량을 측정하면 물과 이산화탄소의 질량을 알 수 있다.

[나] 원소 분석 실험으로 측정한 연소 생성물의 질량을 이용하여 성분 원소의 질량 백분율을 구한다. 그 다음 성분 원소의 질량을 각각의 원자량으로 나눠 가장 간단한 정수비로 나타내면 실험식을 구할 수 있다. 분자식은 실험식의 정수배로 나타낼 수 있는데, 여러 가지 방법으로 측정한 분자량과 실험식량을 이용하여 구한다.

[다] 물은 분자량이 비슷한 다른 물질에 비해 녹는점이나 끓는점이 매우 높다. 어떤 물질이 고체 상태에서 액체 상태, 또는 액체 상태에서 기체 상태로 변하기 위해서는 그 물질을 구성하는 분자들 사이의 인력을 끊어주어야 한다. 분자간 인력이 강한 물질일수록 분자들 사이의 인력을 끊어 주는데 더 많은 에너지가 필요하므로 끓는점이 높다. 물질 1 g의 온도를 1℃ 높이는데 필요한 열량을 비열이라 한다. 물의 비열은 4.18J /g℃으로 보통 다른 액체의 비열(2J/g℃ 정도)보다 크다. 따라서 물의 온도를 높이는데 많은 열이 필요하고, 반대로 물의 온도를 낮추어 주면 많은 열이 방출된다. 액체는 그 표면적을 될 수 있는 대로 작게 하려는 경향이 있어서 작은 양일 경우 구형을 취하게 된다. 이러한 현상은 액체 분자 사이의 인력 때문에 나타나며, 액체 표면에서는 표면에 수직인 방향으로 당겨지는 힘으로 나타나는데 이것을 표면장력이라 한다. 풀잎이나 꽃잎 등에 맺혀 있는 물방울들은 모두 둥근 모양을 하거나, 소금쟁이가 물 위에서 돌아다닐 수 있는 것은 모두 물의 표면 장력이 크기 때문이다. 물에 얼음을 넣으면 얼음은 물 위에 뜬다. 이것은 대부분의 다른 물질과 달리 물은 고체의 밀도가 액체의 밀도보다 작다는 것을 의미한다. 즉, 질량이 같은 경우 물의 부피보다 얼음의 부피가 더 큰 것이다. 이것은 물과 얼음에서 분자의 공간적 배열이 다르기 때문에 나타나는 현상이다.

[ 물위를 걷는 소금쟁이 ]

[라] 공유 결합 분자는 극성 분자와 무극성 분자가 있으며, 이들 분자 사이에 작용하는 힘에는 다음의 것들이 있다. 무극성 분자가 서로 접근하면 분자들이 순간적인 유발 이중 극자 (유발 쌍극자)를 가질 수 있다. 이러한 순간적인 쌍극자 형성에 의하여 분자는 순간적으로 극성을 가지며, 주위 분자에 영향을 미쳐 주변의 분자들까지 극성을 갖게 하므로 이들 사이에 힘이 작용하게 된다. 이와 같이 무극성 분자와 무극성 분자 사이에 작용하는 인력을 분산력이라고 한다. 분산력은 모든 분자 사이에 작용하는 힘으로서 일반적으로 분자 내의 전자수가 많을수록 그 크기가 커진다. 극성 분자의 경우, 극성 분자의 부분 양전하를 띤 부분과 이웃 분자의 부분 음전하를 띤 부분이 서로 접근하여 정전기적 인력이 작용하게 되는데, 이 힘을 이중 극자 사이의 힘 (또는 쌍극자 사이의 힘)이라고 한다.

[마] 전기 음성도가 큰 F, O, N의 수소 화합물에서 H 원자는 부분 양전하를 띠고 F, O, N 원자는 부분 음전하를 띤다. 이들이 띠는 부분 전하는 극성 분자의 이중 극자가 띠는 전하보다 훨씬 더 크다. 따라서 부분 양전하를 띤 H 원자와 이웃 분자의 부분 음전하를 띤 F, O, N 원자 사이에 강한 정전기적 인력이 작용하며, 이를 수소 결합이라고 한다. 수소 결합은 극성 분자의 쌍극자-쌍극자 힘보다 훨씬 강하므로 수소 결합 물질은 분자량이 비슷한 다른 극성 물질보다 끓는점이 훨씬 높다.

1. 탄소(C), 수소(H), 산소(O)로 이루어진 어떤 물질(분자량 60) 45mg을 완전 연소 시켰더니 염화칼슘관의 질량은 27mg, 수산화나트륨관의 질량은 66mg 증가하였다. (단, 원자량은 C=12, H=1, o=16)

1-1. 이 물질의 실험식과 분자식을 구하고, 계산과정을 명시하시오.  [20점]

1-2. 만약 이 물질이 아세트산이고 이 물질의 분자량을 직접 측정했을 때 처음 예상했던 분자량 60의 2배인 120이 나왔다면, 제시문 (마)에 근거하여 그 이유를 설명하시오. [20점]

2. 인체의 약 70% 정도를 차지하고 있는 물은 생명유지에 절대적으로 필요 하다. 물(H2O, 분자량 18) 분자는 상온에서 기체로 존재하고 있는 메테인(CH4, 분자량 16)과 분자량(일정한 수의 분자에 해당하는 무게)이 비슷하지만, 상온에서 액체 상태로 존재한다. 어떤 성질이 물 분자를 상온에서 액체로 존재하게 만드는지 분자 간 결합과 관련지어 설명하시오. [30점]

3. 추운 겨울 기온이 영하로 내려가 강물이 얼어도 아래쪽에는 물이 얼지 않아 물고기가 살 수 있다. 이러한 현상을 물의 특성과 관련지어 설명하시오. [30점]

【생명과학】

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

[가] 우리는 길거리에 돌아다니는 쥐를 보고 생물이라고 하지만 길바닥에 떨어져 있는 돌을 보고 생물이라고 하지 않는다. 이렇듯 우리가 생물을 생물이라고 할 수 있는 기준은 무엇일까? 무생물들과 달리 생물은 ‘세포’라는 구조적 기능적 기본단위를 바탕으로 아주 복잡하고 정교한 체계를 이루고 있다. 이러한 세포들이 모여 조직을 이루는데, 식물의 경우 이런 조직들이 또 모여 조직계를 이루고 조직계가 모여 기관을 이루어 개체를 이루게 된다. 한편, 동물들은 조직들이 모여 기관을 이루고 기관들이 모여 기관계를 이루어서 개체를 형성하는데, 아메바처럼 하나의 세포로 이루어진 단세포동물도 있다. 모든 생물들은 수명에 한계가 있으며, 생물들은 자신들의 한계를 극복하기 위해 생식과 유전을 한다. 생물은 생식을 통하여 자손을 번식시키는데, 자신의 형질이 담긴 유전물질인 DNA를 물려주어 번식시킨 자손들은 어버이를 닮게 된다. 생식을 통해 생긴 수정란은 수많은 세포분열과 분화를 거쳐 성숙하게 되는데, 이를 발생이라고 한다. 발생을 한 후에 성숙을 하면서 생물은 좀 더 구조적 기능적으로 발달을 하게 되고 자신의 세포의 수를 늘려 몸의 크기를 늘리게 되는데 이를 생장이라고 한다. 또한, 생물들은 무생물들과 달리 자극에 반응을 하고 자신의 몸 상태를 일정하게 유지하고자 하는 항상성의 특징을 가지게 되는데, 이는 환경이 계속 변하면서 생명활동에 영향을 미치기 때문이다. 생물들은 자신의 몸을 유지하기 위해서 스스로 에너지를 만들거나 외부의 물질을 섭취해야 하는데, 이를 생물의 몸 안에서 활용하기 위해서는 물질대사가 필요하다. 물질대사는 간단한 물질을 복잡한 물질로 합성하는 동화작용과 복잡한 물질을 간단한 물질로 분해하는 이화작용이 있다. 생물들의 의지와는 다르게 환경이 급격하게 변하기도 하는데, 이러한 환경변화에 따라 자신의 몸의 구조나 색 등을 변화시키는 것을 적응이라고 하며, 이를 통해 형질이 변화하여 새로운 종으로 분화되기도 하는데, 이를 진화라고 한다.

[나] 멘델은 오스트리아에 살던 수도사로 우연히 완두콩을 재배하면서 유전법칙에 대한 아이디어를 얻었는데, 이후 몇 년 동안 완두콩을 재배하고 관찰을 하면서 다음과 같은 법칙들에 대해 정리하게 되었다.

우열의 법칙: 순종의 대립형질끼리 교배를 하게 되면 제 1대에서는 반드시 우성형질만 나타나게 된다.

분리의 법칙: 잡종 1대를 자가 번식 시키면 잡종 제2대에서는 표현형이 일정한 비율로 나타나게 되는데, 우성은 3 열성은 1의 비율로 나타나게 된다.

독립의 법칙: 두 쌍의 대립형질이 유전될 때 각각의 형질이 다른 형질의 유전에 영향을 주지 않고 독립적으로 유전이 된다.

이후 많은 과학자들이 유전자와 염색체의 구조에 대해 밝혀 내게 되었고, 이를 토대로 상동염색체의 존재와 대립유전자의 존재 그리고 여러 유전인자가 연관이 되어 염색체 위에 존재 할 수도 있음을 알게 되었다.

[다] 체세포 분열은 우리 몸을 구성하고 있는 세포들이 수를 늘리는 분열이다. 모세포와 딸세포의 유전적인 구성이나 염색체수는 동일 하고, 체세포 분열을 통하여 우리는 생장을 하게 된다. 이와는 달리 생식 세포 분열은 생식 세포에서 생식세포가 만들어질 때 일어나는 분열로 생식원세포가 체세포분열을 통해 남성은 세정관에서 정원세포러, 여성은 난소에서 난원세포로 분열한다. 이 원세포들은 제 1차 감수분열을 통해 상동염색체가 분리하게 되고, 제 2차 감수분열을 통하여 염색분체가 분리되어 딸세포들이 모세포의 염색체 수와 유전량이 모세포의 반으로 줄어드는 분열이다. 하지만 감수분열이 일어나는 동안 염색분체나 상동염색체가 분리되지 않는 비분리 현상이 일어나기도 하는데, 다운증후군의 경우 21번 염색체의 비분리가 일어나 21번염색체가 3개인 경우에 일어난다.

[라] 혈액은 우리 몸에 산소를 운반하는 적혈구의 주요 이동통로이기도 하지만 세균이나 바이러스 등의 이물질들로부터 우리 몸을 지키는 중요한 역할을 하기도 한다. 우리 몸에 상처가 나서 출혈이 생기게 되면 상처 부위에 혈소판들과 각종 혈장단백질들이 칼슘이온과 작용을 하여 혈구과 함께 뭉쳐 혈병을 형성함으로써 혈액이 응고되어 더 이상 외부물질이 출입하지 못하도록 막고, 백혈구들이 모세혈관에서 빠져 나와 이물질들을 식균작용을 통해 소화시키는데, 소화된 이물질들은 작은 절편이 되어 T림프구와 B림프구들이 인식을 할 수 있도록 한다. T림프구의 경우, 항원에 노출된 세포들을 직접 공격하여 파괴를 하는데, 이를 세포성 면역이라고 한다. 세포성 면역과는 다르게 체액성 면역은 항원절편들을 인식한 보조T림프구들이 B림프구의 증식과 분화를 촉진시켜 몇몇은 형질세포로 분화하여 항체를 생산하게 돕거나 기억세포로 분화하게 만들어 후일에 똑 같은 이물질이 침투를 하게 될 때에 빠르고 많은 양의 항체를 생산할 수 있게끔 한다. 림프구에서 항체를 생성 해내어 우리 몸이 면역반응을 일으키게 된다.

[마] 생체 내에서 면역반응으로 조직이 장애를 받아 병이 일어나는 경우가 있다. 특히 자신의 체성분을 외부항원으로 인식하게 되어 나타나는 질병을 자가면역질환이라고 한다. 자가면역질환을 치료하는 방법 중의 하나가 면역 억제작용과 항염증작용이 있는 부신피질 호르몬(코티졸)을 사용하여 면역반응의 정도를 낮추는 것이다. 코티졸은 1) 리소좀에서 단백질 가수분해 효소 방출을 감소시키고 2) 모세혈관 투과성을 감소시키며 3) 손상부위로 백혈구의 이동을 막고 4) T cell 생산을 막아 면역 체계를 억제하고 5) 백혈구의 발열 물질 생성을 막아 체온 상승을 억제한다. 환자가 코티졸에 내성을 나타내는 등의 한계가 있을 경우가 있는데, 이럴 경우에는 다른 면역억제제를 사용한다. 또한 면역억제제는 장기이식 때 거부반응을 억제하기 위해서도 사용된다.

1. 갓 태어난 쥐가 몸집이 커지며 성장하는 것과 종유석 (동굴의 천장에 고드름처럼 매달린 원추형의 광물질)이 시간이 지남에 따라 커지는 것의 차이점을 제시문 [가]를 근거로 설명하시오. [3점]

2. 제시문 [나]와 [다]를 근거로 아래의 [보기 1]을 참고 하여 이자이식수술을 받기 이전에 낳은 자식 B와 이후에 낳은 자식 C의 당뇨병 발병 여부에 대해 근거를 들어 서술하시오. [7점]

[보기1] 선천적으로 당뇨병을 가진 A가 있다. A는 B라는 자식이 한 명이 있다. A의 당뇨병 증세가 더욱 심각해져서 의사들은 A의 조직과 잘 맞는 이자를 기증 받아 A의 이자를 이식하는 수술을 하였고, A는 성공적으로 수술을 마쳐 당뇨병이 완치 되었다. 그로부터 1년 후, A씨는 C라는 자식을 한 명 더 낳게 되었다 (단 A는 선천적 당뇨병유전인자가 반드시 자식B와 C에게 유전이 되었고, 아내인 D는 정상인이며, 선천적 당뇨병 유전인자는 우성이다).

3. 제시문 [라]와 연관하여 아래의 [보기]를 읽고 다음의 세 문제에 답하시오

[보기2] 사람이 인플루엔자 바이러스에 감염이 되면 독감을 앓게 된다. 일반적인 경우 독감이 걸려도 바이러스의 증식을 막기 위한 특별한 약을 처방 받지 않고 일정기간 후 스스로 극복하게 된다. 따라서 독감은 치료제가 없으니 주로 독감백신 접종을 통해 예방하는 것이 최선의 방법이다. 바이러스는 세균보다 크기가 작고, 핵산과 단백질로 구성되어 있으며, 세포의 구조를 갖추고 있지 않다. 바이러스는 독자적인 효소가 없어 숙주 세포 밖에서는 스스로 물질대사를 하지 못하고 핵산과 단백질의 결정체로 존재하여 무생물적 특성을 나타내지만 숙주 세포 내에서는 물질대사와 증식을 하여 생물적 특성을 나타내기도 하므로 무생물과 생물의 중간형으로 간주된다. 바이러스에 함유된 핵산의 돌연변이에 의해 변종 바이러스가 나타나기도 한다.

3-1. 사람에 감염을 일으키는 바이러스가 사람에 감염한 경우 이 바이러스의 증식을 막기 위한 약을 개발하기가 상당히 어려운데 그 이유를 서술하시오. [7점]

3-2. 독감백신 접종을 하면 독감이 예방되는 원리를 제시문 [라]를 근거로 설명하시오. [7점]

3-3. 한 번 독감에 걸렸던 적이 있는 사람이나 독감 예방접종을 한 사람도 매년 독감 예방접종 실시를 권유 받는데, 매년 독감 예방접종을 실시해야 하는 이유를 설명하시오. [6점]

4. 장기이식 수술 환자들에게 가장 우려되는 질병이 병원성 세균이나 바이러스에 대한 감염성 질병인데 우려하는 이유를 제시문 [라]와 [마]를 근거로 설명하시오. [10점]