2014학년도 수시모집 수학·과학 우수자 전형 수학사고력 평가 (수학) 출제 영역

1. 출제의도 및 문항해설

[출제의도]

2014학년도 수시모집 특별전형 수학 서술형평가 문항은 단편적인 수학적 지식, 단순한 문제해결 능력, 기계적 계산능력을 평가하는 것이 아니라 생활 속의 현상을 수학적으로 형상화하고, 제시되어 있는 조건들에 대한 분석 및 추론의 과정을 통하여 논리적으로 문제를 해결할 수 있는 통합적 사고능력을 평가하고자 하였다.

[문항해설]

본 문항은 고등학교 교육과정의 함수, 유리함수와 무리함수, 방정식과 부등식, 삼각함수, 함수의 극한과 연속, 미분법 단원과 연계하여 출제하였으며 문항별 분석은 다음과 같다.

【문항 1】

제시문 (나)에서 주어진 극소와 극솟값의 정의를 정확히 이해하고, 문항에서 주어진 조건에서 제시문에 근거하여 함수의 극소 개념을 논리적으로 설명할 수 있는 능력을 평가한다.

【문항 2】

제시문 (다)에서 최대‧최소의 정리를 정확하게 이해하고, 구체적으로 주어진 함수의 최솟값의 존재성을 논리적으로 설명하며, 이를 근거로 주어진 함수의 최솟값을 구체적으로 구하는 일련의 과정, 즉 문제를 해결하는 능력, 논리적 사고력과 응용 능력을 동시에 평가한다.

【문항 3】

3-1.

문장으로 제시된 생활 속의 현상을 유리함수와 무리함수, 방정식과 부등식 단원에서의 개념을 이용하여 구체적 수식으로 표현하고 그 의미를 해석할 수 있는지를 평가한다.

3-2.

제시문에 근거하여 최솟값의 존재성과 유일성을 미분법 단원에서 학습한 내용들을 종합적으로 적용하여 문제에서 요구하는 결론을 도출하는 과정을 논리적으로 추론할 수 있는 능력을 평가한다.

3-3.

제시문에 주어진 최단시간의 원리로부터 속도와 굴절각 사이를 관계를 논리적으로 도출할 수 있는 능력을 평가한다.

2. 종합평가 기준

문항	평가영역	평가내용	난이도	배점	출제영역
					교과목	교과서 개념
1	이해	극대와 극소의 정의를 이용한 증명	하	10	수학Ⅱ	극대와 극소
2	적용	함수의 최솟값 구하기	하	10	수학Ⅱ	최대‧최소의 정리
3-1	분석	주어진 조건을 이용한 분수함수의 관계식 구하기	중	10	수학 수학Ⅱ	분수함수 분수방정식
3-2	문제해결	도함수를 이용한 최소문제 해결	상	15	수학Ⅱ	함수의 증가‧감소와 극대‧극소
3-3	추론	미분계수와 극값의 관계를 이용한 추론	중	15	수학Ⅱ	함수의 극대와 극소

모 범 답 안

■ 모범답안

【문항 1】

함수 [eqn: f(x)`]가 [eqn: x=c]에서 미분가능하므로 제시문 (라)에 의해 [eqn: x=c]에서 연속이고, 좌우에서 [eqn: f'(x)]의 부호가 음에서 양으로 바뀐다는 가정에 의해 [eqn: x=c]를 경계로 좌에서 [eqn: f'(x) <0`]이므로 함수 [eqn: f(x)]는 감소상태에 있고, 우에서 [eqn: f'(x) >0]이므로 함수 [eqn: f(x)]는 증가상태에 있다. 따라서, 제시문 (나)에 의해 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=c`]에서 극소가 된다.

【문항 2】

제시문 (라)에 의해 [eqn: g prime (x)=1-2`cos`2x``]으로 모든 실수 [eqn: x`]에서 미분가능하므로 [eqn: g(x)`]는 닫힌 구간 [eqn: [0,` pi ]`]에서 연속이다. 따라서 제시문 (다)의 최대‧최소의 정리에 의해 최솟값이 존재한다.

함수 [eqn: g(x)=x-sin`2x``]는 열린 구간 [eqn: (0,` pi )`]에서 미분가능하다.

[eqn: g prime (x)=1-2cos`2x``=0`] [eqn: RARROW] [eqn: cos`2x``= {1} over {2} `]에서 [eqn: x= {pi } over {6} ,``` {5 pi } over {6}]

[eqn: g prime prime (x)=4sin`2x`]에서 [eqn: g prime prime ( {pi} over {6} )>0`], [eqn: g prime prime ( {5pi } over {6} )<0`]이므로 [eqn: x= {pi } over {6}]에서만 극솟값을 갖는다.

제시문 (다)에 의해 양 끝 점에서의 함숫값과 극솟값 중에서 가장 작은 값을 구하면

[eqn: g(0)=0`], [eqn: g( {pi } over {6} )= {pi } over {6} - {sqrt {3}} over {2} `], [eqn: `g( pi )= pi `]이므로 최솟값은 [eqn: {pi } over {6} - {sqrt {3}} over {2} `]이다.

【문항 3】

3-1. 그림에서 [eqn: rm bar{PM}][eqn: = sqrt {x ^{2} +1}], [eqn: rm bar{MQ}][eqn: = sqrt {(6-x) ^{2} +4}]이고, [eqn: 시간= {거리} over {속력}]이므로 [eqn: T & =h(x)][eqn: = {rm bar{PM}} over {v _{rm A}} + {rm bar{MQ}} over {v _{rm B}}]이다. 따라서, [eqn: h(x)= sqrt {x ^{2} +1} +2 sqrt {x ^{2} -12x+40}] [eqn: (0 LEQ x LEQ 6)]

3-2. 문제 3-1에서 구한 시간 [eqn: T & =h(x)]가 최소가 되는 [eqn: x=c`]가 존재함을 보이면 충분하다.

닫힌 구간 [eqn: [0,`6]`]에서 [eqn: h(x)= sqrt {x ^{2} +1} +2 sqrt {x ^{2} -12x+40}]는 연속이므로 제시문 (다)의 최대‧최소의 정리에 의해 최솟값이 존재한다. 따라서, 시간 [eqn: T``]가 최소가 되게 하는 [eqn: x]축 위의 점 [eqn: M`][eqn: `(c,`0)`]이 존재한다.

[eqn: h` prime (x)= {x} over {sqrt {x ^{2} +1}} - {2(6-x)} over {sqrt {x ^{2} -12x+40}}], [eqn: h '' (x)= {1} over {(x ^{2} +1) ^{3/2}} + {8} over {(x ^{2} -12x+40) ^{3/2}}]에서 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: h '' (x)>0]이므로 [eqn: h prime (x)]는 닫힌 구간 [eqn: [0,``6]]에서 증가함수이다. [eqn: h prime (0)<0], [eqn: h prime (6)>0]이므로 [eqn: h prime (x)=0]는 단 하나의 실근 [eqn: x=c`]를 가져 [eqn: h prime (c)=0]이고, 따라서 [eqn: T=h(x)`]는 [eqn: x=c`]를 경계로 감소에서 증가상태이므로 [eqn: x=c`]에서 극솟값을 가진다. 그러므로 함수 [eqn: T=h(x)`]의 그래프는 닫힌 구간 [eqn: [0,`6]`]에서 아래로 볼록이고 [eqn: x=c]에서 [eqn: h(c)]가 유일한 최솟값을 가진다. 따라서, 시간 [eqn: T``]가 최소가 되게 하는 [eqn: x]축 위의 점 [eqn: M`][eqn: `(c,`0)`]이 꼭 하나만 존재한다.

3-3. 최단시간의 원리(페르마 원리)를 만족하는 점 [eqn: rmM][eqn: `(c,`0)`]에 의해 정해지는 [eqn: \ theta _{A}], [eqn: \ theta_B]에 대하여

[eqn: sin theta _{A} = {c} over {sqrt {c ^{2} +1}}], [eqn: sin theta _{B} = {6-c} over {sqrt {c ^{2} -12c+40}}]이다.

또한, 시간 함수 [eqn: T=h(x)=` sqrt {x ^{2} +1} +2 sqrt {x ^{2} -12x+40}]가 [eqn: x=c]에서 미분가능하고 극소이므로

[eqn: h` prime (c)= {c} over {sqrt {c ^{2} +1}} - {2(6-c)} over {sqrt {c ^{2} -12c+40}} =0`]이다.

따라서, [eqn: sin theta _{A} -2sin theta _{B} =0]이고 [eqn: {sin theta _{A}} over {sin theta _{B}} =2]이다.