2014학년도 부산대학교 수시모집 수학‧과학우수자 전형

수 학 사 고 력 평 가 문 제 지 (수 학)

감독관확인

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지원학과(학부)

수험번호

성명

【유의사항】

1. 시험시간은 수학과 과학 선택과목 시간을 합하여 100분입니다.

2. 답안은 답안지의 해당 문항 번호에 흑색이나 청색 볼펜으로 작성하시오.

3. 문항 번호를 기술하고, 답을 작성하시오.

4. 학교명, 성명 등 자신의 신상에 관련된 사항을 답안에는 드러내지 마시오.

5. 답안 연습은 연습지를 활용하시오.

6. 답안지, 연습지 및 문제지에 필요한 인적사항을 기입하였는지 확인하시오.

※ 다음 【제시문】을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 어떤 함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제는 실생활에서 유용하게 활용된다. 예를 들면 비용함수, 거리함수 및 시간함수에 대한 최대 혹은 최소를 구하는 문제 등이 이에 해당된다. 보통 함수의 최대 혹은 최소문제는 도함수를 이용하여 해결할 수 있는데, 도함수를 이용하여 주어진 함수의 증가와 감소 혹은 극대와 극소를 판정할 수 있기 때문이다.

(나) 함수 [eqn: f(x)`]가 [eqn: x=c`]에서 연속이고, [eqn: x=c`]를 경계로 [eqn: f(x)`]가 감소상태에서 증가상태로 바뀌면, [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=c`]에서 극소라 하고 함숫값 [eqn: f(c)]를 극솟값이라 한다.

(다) 함수 [eqn: f(x)`]가 닫힌 구간 [eqn: [a,`b]`]에서 연속이면, [eqn: f(x)`]는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다. 이것을 최대‧최소의 정리라 한다. 또한, 닫힌 구간 [eqn: [a,b]`]에서 연속인 함수 [eqn: y=f(x)`]의 최솟값은 구간의 양 끝점에서의 함숫값 [eqn: f(a),``f(b)`]와 이 구간에서의 극솟값 중에서 가장 작은 값이다.

(라) 함수 [eqn: y=f(x)]는 [eqn: x=a`]에서의 미분계수 [eqn: f prime (a)`]가 존재할 때, [eqn: x=a`]에서 미분가능하다고 한다. 그리고 함수 [eqn: y=f(x)]가 [eqn: x=a`]에서 미분가능하면 [eqn: y=f(x)]는 [eqn: x=a`]에서 연속이다.

(마) 최대·최소 문제는 빛을 연구하는 광학에서도 적용된다. [eqn: 17]세기 프랑스의 수학자 피에르 페르마는 최단시간의 원리(페르마 원리)를 발견하였는데, 빛이 반사와 굴절을 통하여 진행할 때 소요시간이 최소가 되는 경로를 따른다는 것이다.

【문항 1】[eqn: a<x<b`]에서 미분가능한 함수 [eqn: y=f(x)`]에 대하여 [eqn: f prime (c)=0`][eqn: (a<c<b)`]이고 [eqn: x=c`]의 좌우에서 [eqn: f prime (x)`]의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=c`]에서 극소가 됨을 증명하시오. (10점)

【문항 2】[eqn: 0 LEQ x LEQ pi `]에서 정의된 함수 [eqn: g(x)=x-sin`2x``]에 대하여 [eqn: g(x)`]의 최솟값의 존재성에 대하여 논하고, 만약 존재한다면 그 값을 구하시오. (10점)

(뒷면에 계속)

【문항 3】그림과 같이 평면이 [eqn: x`]축을 경계로 매질[eqn: rm A`] 영역과 매질[eqn: rmB`] 영역으로 나누어져 있다. 매질[eqn: rm A`]와 매질[eqn: rmB`] 영역에서의 빛의 속력이 각각 [eqn: v_A = 1], [eqn: v _{B} = {1} over {2} `]이고, [eqn: x`]축 위를 움직이는 점 [eqn: rm M`][eqn: (x,0)]과 [eqn: rm M`]을 지나면서 [eqn: x`]축에 수직인 직선을 [eqn: ell`]이라 하자. 두 점 [eqn: rmP(0,`1)], [eqn: rm Q(6,`-2)]에 대하여 직선 [eqn: ell`]과 두 선분 [eqn: rmPM], [eqn: rmMQ]가 이루는 예각을 각각 [eqn: \ theta _{A}], [eqn: \ theta_B]라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, 빛이 두 매질의 경계면에서 모두 반사되지는 않으며, [eqn: x`]축을 통과할 때 점 [eqn: rmM`][eqn: (x,0)`]를 지난다.)

3-1. 빛이 점 [eqn: rm `P`]에서 [eqn: x]축 위의 점 [eqn: rmM`]을 지나 점 [eqn: rmQ]까지 가는데 걸리는 시간을 [eqn: T``]라 할 때, [eqn: 0 LEQ x LEQ 6``]에서 정의되는 함수 [eqn: T=h(x)`]를 구하시오. (10점)

3-2. 제시문 (마)에서 언급된 최단시간의 원리(페르마 원리)를 만족하는 경로를 찾고자 한다. 빛이 점 [eqn: rm `P`]에서 점 [eqn: rmQ]까지 가는데 걸리는 시간 [eqn: T``]가 최소가 되게 하는 [eqn: x`]축 위의 점 [eqn: rmM`][eqn: `(c,`0)`]이 존재함을 보이고, 꼭 하나만 존재함을 이계도함수를 이용하여 설명하시오. (단, [eqn: 0 LEQ c LEQ 6`]) (15점)

3-3. 그림에서 최단시간의 원리(페르마 원리)를 만족하는 점 [eqn: rmM]에 의해 정해지는 [eqn: rm ` theta _{A} ,`` rm ` theta _{B}`]에 대하여 [eqn: {sin` theta _{rmA}} over {sin` theta _{\B}}]의 값을 구하시오. (15점)

* 주의사항 : 문제지, 연습지, 답안지에 필요한 인적사항을 기입하였는지 확인하시오.