2014학년도 부산대학교 수시모집 일반전형

학업역량평가 자연계 문제지 (수학)

지원학과(학부)

수험번호

성명

【유의사항】

1. 시험시간은 수학과 과학 선택과목 시간을 합하여 100분입니다.

2. 답안은 답안지의 해당 문항 번호에 흑색 또는 청색 볼펜으로 작성하시오.

3. 문항 번호를 쓰고, 답을 작성하시오.

4. 학교명, 성명 등 자신의 신상에 관련된 사항을 답안에는 드러내지 마시오.

5. 답안 연습은 연습지를 활용하시오.

6. 답안지, 연습지 및 문제지 모두에 필요한 인적사항을 기입하시오.

7. 필수과목(수학)과 선택과목(과학)의 답안지를 반드시 확인한 후 해당 답안지에 작성하시오.

※ 다음 【제시문】을 읽고 각 문항의 문제를 푸시오.  모든 서술과정에서 근거와 이유를 명확히 밝히시오.

【제시문 1】

(1-가) 오른쪽 그림의 삼각형에 대하여 코사인 법칙

[eqn: c ^{2} =a ^{2`} `+`b ^{2} `-2`ab`cos` theta ^{```}]가 성립한다.

(1-나) 벡터 [eqn: vec{a}=(a_1 ,`a_2 , `a_3 )]의 크기는 [eqn: |vec{a}|=sqrt{a_1^2`+a_2^2 +`a_3^2}] 으로 정의하고,

두 벡터 [eqn: vec{a}]와 [eqn: vec{b}]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, 두 벡터의

내적을 [eqn: vec{a} BULLET vec{b} =| vec{a} |``| vec{b} |``cos` theta] 로 정의한다.

(1-다) 행렬 [eqn: {pmatrix{`a&`b#`c&`d`}}]에 대하여  [eqn: {dmatrix{`a&b#c&d`}}=ad-bc] 로 정의한다.

【문항 1-1】 두 벡터 [eqn: vec{a}=(a_1 ,`a_2 , `a_3 )]와 [eqn: vec{b}=(b_1 ,`b_2 , `b_3 )]에 대하여 [eqn: vec{a} BULLET vec{b} `=`a _{1} b _{1} `+`a _{2} b _{2}`+`a _{3} b _{3}] 임을 증명하시오. (10점)

【문항 1-2】 임의의 두 벡터 [eqn: vec{a}]와 [eqn: vec{b}]에 대하여, 부등식 [eqn: | vec{a} BULLET vec{b} | LEQ | vec { a} | `| vec { b} |] 가 성립함을 보이시오. 이를 이용하여

모든 실수 [eqn: x,``y,``z]에 대하여 부등식 [eqn: (x+2y+3z)^2 LEQ14(x^2 +y^2 +z^2 )] 이 성립함을 보이시오. (5점)

【문항 1-3】【문항 1-1】을 이용하여 두 벡터 [eqn: vec{a} =(a _{1} ,`a _{2} ,`0 )]와 [eqn: vec{b}=(b_1 ,`b_2 , `0 )]에

의하여 결정되는 평행사변형의 넓이는 [eqn: `|` {dmatrix{a _{1}&b _{1}#a _{2}&b _{2}}} `|] 임을 증명하시오.

(단, [eqn: `|` {dmatrix{a _{1}&b _{1}#a _{2}&b _{2}}} `|]의 바깥쪽 막대는 절댓값을 나타내는 기호이다.) (10점)

【제시문 2】

(2-가) 양의 정수 [eqn: n]과 양의 실수 [eqn: a _{1} ,``a _{2} ,``` CDOTS ,``a _{n} `]에 대하여, 산술평균과 기하평균 사이에는 부등식

[eqn: root {n} of {a _{1} a _{2} CDOTS `a _{n}} `` LEQ ` {a _{1} +`a _{2} `+`cdots`+`a _{n}} over {n}] 이 성립한다. 단, 등호는 [eqn: a_1 `=` a_2 `=` CDOTS `=`a_n] 일 때만 성립한다.

(2-나) 양의 실수 [eqn: a _{1} ,``a _{2} ,``` CDOTS ,``a _{n} ``]과 [eqn: b _{1} ,``b _{2} ,``` CDOTS ,``b _{n} `]에 대하여, [eqn: a _{1} leq`b _{1} ,````a _{2} leq`b _{2} ,`` CDOTS ,```a _{n} `leq`b _{n} `]이 성립하면

[eqn: a _{1} a _{2} CDOTS `a _{n} `` LEQ b _{1} b _{2} ` CDOTS b _{n}] 이 성립한다.

【문항 2】[eqn: {1} over {1+x _{1}} ``+`` {1} over {1+x _{2}} ``+` {1} over {1+x _{3}} ``+` {1} over {1+x _{4}} `````=`1] 을 만족시키는 양의 실수 [eqn: x _{1} ,```x _{2} ,```x_3 ,```x_4]의

곱 [eqn: ``x _{1} `x _{2} `x _{3} `x _{4}]의 최솟값을 구하시오.   (10점)                                     (뒷면에 계속)

【제시문 3】

(3-가) 두 무한수열 [eqn: □`a _{n} `□ }]과 [eqn: □`b _{n} `□ }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n} ` LEQ `b _{n}] 을 만족시킨다고 하자.

수열 [eqn: □`a _{n} `□ }]이 양의 무한대로 발산하면 수열 [eqn: □`b _{n} `□ }]도 양의 무한대로 발산한다.

(3-나) 구간 [eqn: [a,``b]]에서 정의된 연속함수 [eqn: y=`f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=a]와 [eqn: x=b]로

둘러싸인 도형을 [eqn: x]축을 회전축으로 하여 회전시킬 때 생기는 회전체의 부피는

[eqn: `` pi int _{a} ^{b} LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} ``dx}] 이다.

(3-다) 구간 [eqn: [a,``b]]에서 정의되고 모든 함숫값이 0 이상인 연속함수 [eqn: y=`f(x)]의 그래프를 [eqn: x]축을

회전축으로 하여 회전시킬 때 생기는 곡면(회전면)의 넓이는

[eqn: `2` pi int _{a} ^{b} {`f(x)` sqrt {1+ LEFT { f` prime (x) RIGHT } ^{2}} `dx}] 이다.

(3-라) 함수 [eqn: y=`f(x)]는 구간 [eqn: [a,` INF )]에서 정의된 연속함수이다. [eqn: a]보다 큰 임의의 자연수 [eqn: n]에

대하여 [eqn: `A _{n} ``= int _{a} ^{n} {`f(x)``dx}]로 두면, 구간 [eqn: [a,` INF )]에서 함수 [eqn: y=`f(x)]의 정적분을

[eqn: ` int _{a} ^{infty} {`f(x)``dx``=` lim _{n-> INF } {`A _{n}}}] 으로 정의한다.

【문항 3-1】구간 [eqn: [1,` INF )]에서 함수 [eqn: f(x)``=` {1} over {x}]의 그래프와

[eqn: x]축 사이에 있는 영역을 [eqn: x]축을 회전축으로 하여

회전시키면, 무한히 긴 나팔 모양의 회전체가 생긴다.

이 회전체의 부피를 구하시오. (10점)

【문항 3-2】구간 [eqn: [1,` INF )]에서 함수 [eqn: f(x)``=` {1} over {x}]의 그래프를 [eqn: x]축을 회전축으로 하여 회전시키면,

무한히 긴 나팔 모양의 곡면이 생긴다. 이 곡면의 넓이가 무한하다는 것을 보이시오. (15점)

* 주의사항 : 문제지, 연습지, 답안지에 필요한 인적사항을 기입하였는지 확인하시오.