<자연계열-온라인>

2019학년도

모의논술고사 출제배경 및 해설

[문제 1]

2018학년도 논술전형(자연계열-오전)

1. 출제배경

수학을 배우는 목적 중 하나는 수학 지식과 이해력을 변경된 조건에 응용하여 문제를 푸는 능력을 배양하는데 있다. 이 문제는 수학공식을 이해하고 주어진 문제에 대해 확대 적용하여 원하는 답을 얻어낼 수 있는지 묻는 문제이다.

각 세부 문항별 출제 의도는 다음과 같다.

[1.1] 두 개의 항을 갖는 이항정리의 개념을 정확히 이해하고, 이를 3개의 항을 갖는 식의 이항정리에 적용할 수 있는지 평가한다.

[1.2] 2차 함수의 최댓값과 최솟값을 이해하고 구할 수 있는지 평가한다. 또한 정적분과 부분적분법을 이용하여 두 곡선 사이의 넓이를 구할 수 있는지 평가한다.

[1.3] 경우의 수를 계산하고 확률을 구할 수 있는지 평가한다.

2. 예시답안 및 해설

[1.1] 이항전개에 의하여

[eqn: LEFT ( x+ {1} over {x} +1 RIGHT ) ^{7} & =x ^{7} +7x ^{6} LEFT ( {1} over {x} +1 RIGHT ) +21x ^{5} LEFT ( {1} over {x} +1 RIGHT ) ^{2} +35x ^{4} LEFT ( {1} over {x} +1 RIGHT ) ^{3} +cdots# &=x ^{7} + LEFT ( 7x ^{5} +7x ^{6} RIGHT ) +21x ^{5} LEFT ( {1} over {x ^{2}} + {2} over {x} +1 RIGHT ) +35x ^{4} LEFT ( {1} over {x ^{3}} + {3} over {x ^{2}} + {3} over {x} +1 RIGHT ) cdots# &= x ^{7} +7x ^{6} + LEFT ( 7x ^{5} +21x ^{5} RIGHT ) +(42x ^{4} +35x ^{4} )+cdots]

이다. 따라서 [eqn: x ^{4}]의 계수는 [eqn: 77]이다.

[1.2] [eqn: x=1]일 때 최댓값 [eqn: 3]을 가지므로 [eqn: f(x)=a(x-1)^2 +3]이고 [eqn: a<0]이다. 주어진 두 곡선 사이의 넓이는

[eqn: A&=int_2^3 {left{a^2 (x-1)^4 +6a(x-1)^2 +9 right}`ln(x-1)}`dx # &~+int_2^3 {left{{a^2}over5 (x-1)^4 +2a(x-1)^2 +{9x}over{x-1} right}}`dx]

인데, 첫 번째 정적분을 부분적분하면

[eqn: A&=left[left{{a^2}over5 (x-1)^5 +2a(x-1)^3 +9x right}`ln(x-1) right]_2^3 # &=left({32}over5 a^2 +16a+27 right)`ln 2 # &={32`ln2}over{5}left(a+ 5over4 right)^2 +17`ln 2]

이므로 [eqn: a=- 5over4]일 때 최솟값 [eqn: 17`ln2]를 갖는다. 이때

[eqn: f(x)=- 5over4 (x-1)^2 +3=- 5over4 x^2 + 5over2 x+ 7over4]

이므로 [eqn: a-b+c=- 5over4 - 5over2 + 7over4 =-2]이다.

[1.3] [eqn: X_1]과 [eqn: X_2]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: X_i]	1	2	3	4	합계
[eqn: P(X_i = x)]	0.1	0.2	0.3	0.4	1

여기서 [eqn: E(X_i ) = 3]이고, [eqn: {bar X } = {X_1 + X_2 } over 2]이라 하면, [eqn: E({bar X}} ) = 3]이다. 따라서

[eqn: E(X_1 +X_2 ) = 2 E({bar X} ) = 2 times 3 = 6]

이다.

3. 출제근거

「이항정리」, 『확률과 통계』(고등학교 교과서), 좋은책 신사고, 2017, 38-41쪽.

「곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이」, 『미적분II』(고등학교 교과서), 좋은책 신사고, 2017, 157-158쪽.

「부분적분법」, 『미적분II』(고등학교 교과서), 좋은책 신사고, 2017, 145-146쪽.

「표본평균」, 『확률과통계』(고등학교 교과서), 비상교육, 2016, 102, 127-130쪽.

[문제 2]

1. 출제배경

이 문제는 현상을 설명하는 내용을 이해한 뒤, 이를 수학적 언어로 서술하고 수학 개념을 이용하여 논리적으로 설명할 수 있는지 묻는 문제이다. 즉 급수의 합을 구하고 계산한 결과를 이용하여 또 다른 급수의 합과 수열의 성질을 증명할 수 있는지 물어보는 문제이다.

각 세부 문항별 출제 의도는 다음과 같다.

[2.1] 주어진 설명에 따라 [eqn: a_1]과 [eqn: a_2]의 값을 구할 수 있는지 평가한다.

[2.2] 급수의 합을 구할 수 있는지 평가한다.

[2.3] 부분분수로 나누어 부분합을 구하고, 부분합의 극한을 이용하여 급수의 합을 구할 수 있는지 평가한다.

[2.4] 주어진 성질를 수학적 귀납법을 활용하여 증명할 수 있는지 평가한다.

2. 예시답안 및 해설

[2.1] 첫째 날 학생 수는 2명이므로 [eqn: a_1 =3]이고, 둘째 날 학생 수는 3명이므로 3팀이고 9문제를 풀었다. 따라서 [eqn: a_2 =a_1 +9=12]이다.

[2.2] [eqn: n]번째 날 학생 수는 [eqn: n+1]명이므로 두 명씩 팀은 [eqn: {}_{n+1}C_2 ={n(n+1)}over2]개가 있고

[eqn: n 번째~ 날에~ 푼~ 문제~ 수= 3over2 n(n+1)]

이다. 따라서

[eqn: a_n &=3+ 3over2 cdot2 cdot 3 +cdots+ 3over2 n(n+1) # &= 3over2 sum_{k=1}^n k(k+1) # &= 3over2 left{{n(n+1)(2n+1)}over6 +{n(n+1)}over2 right} # &={n(n+1)(n+2)}over 2]

이다.

[2.3] 임의의 [eqn: n]에 관하여

[eqn: 1over{a_n}= 2over{n(n+1)(n+2)}= A over n +{B}over{n+1}+{C}over{n+2}]

라 하면 [eqn: A=1], [eqn: B=-2], [eqn: C=1]이므로, 부분합을 계산하면

[eqn: S_n &=sum_{k=1}^n 1over{a_k} = sum_{k=1}^n 2over{k(k+1)(k+2)} =sum_{k=1}^n left( 1over{k}- 2over{k+1}+ 1over{k+2} right) # &=left( 1- 2over2 + 1over3right)+left( 1over2 - 2over3 + 1over4 right)+cdots +left( 1over{n-1}- 2over{n}+ 1over{n+1}right)+left( 1over{n}- 2over{n+1}+ 1over{n+2}right)# &= 1over2 - 1over{n+1}+ 1over{n+2}]

이다. 따라서

[eqn: sum_{n=1}^infty 1over{a_n} =lim_{n->infty}{sum_{k=1}^n 1over{a_k} =lim_{n->infty}{left( 1over2 - 1over{n+1}+ 1over{n+2}right)= 1over2]

이다.

[2.4] 수학적 귀납법으로 증명해보자. [eqn: 4a_1 = 4cdot{1cdot2cdot3}over2 =a_2]이므로 [eqn: n=1]일 때 성립한다.

[eqn: n=k]일 때 성립한다고 하면

[eqn: a_{k+1}= 5over{k(k+4)}left{4a_1 +5a_2 +cdots+ (k+3)a_k right}]

이다. 이때

[eqn: 4a_1 +5a_2 +cdots+ (k+4)a_{k+1} &=left{4a_1 +5a_2 +cdots+ (k+3)a_k right}+(k+4)a_{k+1} # &={k(k+4)}over5 a_{k+1}+(k+4)a_{k+1} # &={(k+4)(k+5)}over5 a_{k+1} # &={(k+4)(k+5)}over5 cdot{(k+1)(k+2)(k+3)}over2 # &={(k+1)(k+5)}over5 a_{k+2}]

이므로

[eqn: a_{k+2}= 5over{(k+1)(k+5)}left{4a_1 +5a_2 +cdots+ (k+4)a_{k+1} right}]

이다. 즉, [eqn: n=k+1]일 때도 성립한다. 따라서 수학적 귀납법에 의해 모든 [eqn: n]에 대하여 성립한다.

3. 출제근거

「조합」, 『확률과 통계』(고등학교 교과서), 좋은책 신사고, 2017, 32-34쪽.

「자연수의 거듭제곱의 합」, 『수학II』(고등학교 교과서), 비상교육, 2017, 134-136쪽.

「급수」, 『미적분I』(고등학교 교과서), 비상교육, 2017, 27-28쪽.

「수열의 극한값의 계산」, 『미적분I』(고등학교 교과서), 비상교육, 2017, 15-18쪽.

「수학적 귀납법」, 『수학II』(고등학교 교과서), 비상교육, 2017, 137-143쪽.

[문제 3]

1. 출제배경

이 문제는 공간도형에 관한 문제이다. 직선의 위치관계를 이해하고, 주어진 조건을 만족하는 평면의 방정식을 구하고, 이를 이용하여 두 직선 사이의 거리를 구할 수 있는지 묻는 문제이다.

각 세부 문항별 출제 의도는 다음과 같다.

[3.1] 두 직선이 꼬인 위치에 있음을 이해하고 보일 수 있는지 평가한다.

[3.2] 한 직선을 포함하고 또 다른 직선과 만나지 않는 평면을 구할 수 있는지 평가한다.

[3.3] 두 직선 사이의 거리를 구할 수 있는지 평가한다.

2. 예시답안 및 해설

[3.1] 직선 [eqn: l_1]의 방향벡터는 [eqn: vec d_1 =(1,3,4)], 직선 [eqn: l_2]의 방향벡터는 [eqn: vec d_2 =(2,3,2)]이고

[eqn: {vec d_1} ne k{vec d_2}]

이므로 두 직선은 평행하지 않다.

두 직선이 만나려면 [eqn: l_1 :x-1={y-2}over3 ={z+4}over{4}]와 [eqn: l_2 : {x-2}over2 ={y+1}over3 ={z}over{2}]를 동시에 만족하는 [eqn: x,y,z]가 있어야 한다.

[eqn: 3x-3=y-2], [eqn: 3x-6=2y+2]

를 풀면 [eqn: x=-2], [eqn: y=-7]이므로 [eqn: l_1]에서는 [eqn: z=-16]이고, [eqn: l_2]에서는 [eqn: z=-4]이다. 따라서 [eqn: l_1]과 [eqn: l_2]를 동시에 만족하는 [eqn: x,y,z]가 없으므로 두 직선은 만나지 않는다.

[3.2] 평면 [eqn: alpha]의 법선벡터를 [eqn: vec n =(a,b,c)]라고 하면 [eqn: vec n]은 [eqn: vec d_1], [eqn: vec d_2]와 서로 수직이므로

[eqn: {vec n}cdot {vec d_1}=a+3b+4c=0]

[eqn: {vec n}cdot {vec d_2}=2a+3b+2c=0]

이다. [eqn: b]를 소거하면 [eqn: -a+2c=0]이므로 [eqn: vec n =(2,-2,1)]이다. 따라서 [eqn: l_2] 위의 점, 예를 들면, 점 [eqn: (2,-1,0)]을 지나고 [eqn: vec n]에 수직인 평면을 구하면 되므로

[eqn: 2(x-2)-2(y+1)+z=0],

즉, [eqn: 2x-2y+z-6=0]이다.

[3.3] 직선 [eqn: l_1] 위의 점 [eqn: (1,2,-4)]와 평면 [eqn: alpha] 사이의 거리를 구하면

[eqn: d={|2-4-4-6|}over{sqrt{4+4+1}}=4]

이다.

3. 출제근거

「두 직선의 위치관계」, 『기하와 벡터』(고등학교 교과서), ㈜교학사, 2017, 126-127쪽.

「공간 벡터의 내적」, 『기하와 벡터』(고등학교 교과서), ㈜교학사, 2017, 169-172쪽.

「벡터의 내적과 수직」, 『기하와 벡터』(고등학교 교과서), ㈜교학사, 2017, 174-175쪽.

「좌표공간에서의 직선의 방정식」, 『기하와 벡터』(고등학교 교과서), ㈜교학사, 2017, 176-181쪽.

「평면의 방정식」, 『기하와 벡터』(고등학교 교과서), ㈜교학사, 2017, 182-186쪽.

「점과 평면 사이의 거리」, 『기하와 벡터』(고등학교 교과서), ㈜교학사, 2017, 188쪽.