<자연계열>

2018학년도 논술전형

모의고사 출제배경 및 해설

[문제 1]

2018학년도 논술전형 모의고사(자연계열)

1. 출제배경

이 문제는 현상을 설명하는 내용을 이해하고 수학적 언어로 서술할 수 있는지 살피는데 목적이 있다. 수학 개념을 이용하여 논리적으로 설명할 수 있는지를 묻는 문제이다. 또한 일상생활에서 직면하는 문제를 수학적으로 해결하는 능력을 물어보는 문제이다. 여기에 사용된 수학적 개념은 고등학생이면 누구나 알고 있는 간단한 내용이다.

각 세부 문항별 출제 의도는 다음과 같다.

[1.1] 주어진 상황을 수학적 표현으로 나타낼 수 있는지, 사이값 정리(중간값 정리)를 이용하여 원하는 결과를 논리적으로 유추할 수 있는지 평가한다.

[1.2] 시간과 거리와의 관계를 이용하여 간단한 유리방정식을 만들고 풀 수 있는지 평가한다.

[1.3] 미분가능 함수들에 대한 가장 중요한 정리중의 하나가 평균값 정리이다. 두 사람의 속도가 같은 시각이 두 번 이상이라면, 가속도가 같은 시각이 있음을 평균값 정리를 이용하여 논리적으로 설명할 수 있는지 평가한다.

2. 예시답안 및 해설

[1.1] 측정을 시작할 때 갑은 [eqn: 10 over 3 `{rm km}]되는 지점에 있고 [eqn: 1over6]시간 후에 반환점에 도달하며 [eqn: 1over3]시간 후에는 반환점으로부터 [eqn: 4 over 3 `{rm km}]되는 지점에 있다. 측정을 시작할 때 을은 출발점에 있고 [eqn: 1over3]시간 후에 반환점에 도달한다. 측정을 시작한지 [eqn: t]시간 후의 갑과 을의 출발지점으로부터의 거리를 각각 [eqn: A(t)], [eqn: B(t)]라 하면, [eqn: A(t)=B(t)]되는 [eqn: t]가 [eqn: 0]과 [eqn: 1over3] 사이에 존재함을 보이면 된다.

[eqn: f(t)=A(t)-B(t)]

라 하면, [eqn: f(t)]는 연속이고

[eqn: f(0)=A(0)-B(0)= {10} over {3} >0]

이고

[eqn: f LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) =A LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) -B LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) = {11} over {3} -5=- {4} over {3}<0]

이다. 사이값 정리(중간값 정리)에 의하여 [eqn: f(t)=A(t)-B(t)=0]되는 [eqn: t]가 존재한다. 즉 [eqn: A(t)=B(t)]되는 [eqn: t]가 존재한다.

[1.2] 출발점으로부터 [eqn: x`{rm km}] 떨어진 지점에서 두 사람이 만난다고 하자. [eqn: 1over6]시간 후에 갑은 반환점에 있고 을은 출발점으로부터 [eqn: 5over2 `{rm km}] 지점에 있다. 이때부터 [eqn: t]시간 후 두 사람이 만난다고 하면

[eqn: t= {5-x}over 8 ,~~t={x-5/2}over15]

이므로

[eqn: {5-x}over 8 ={x-5/2}over15]

이다. 이 방정식을 풀면 [eqn: 75-15x=8x-20]이므로 [eqn: x={95}over{23} `{rm km}]이다.

[1.3] [eqn: g(t)=v_1 (t)-v_2 (t)]라 하자. 두 사람의 속도가 같은 시각을 [eqn: t_1]과 [eqn: t_2]라 하면 [eqn: g(t_1 )-g(t_2 )=0]이다. 평균값 정리에 의하여

[eqn: 0={g(t_1 )-g(t_2 )}over{t_1 -t_2}=g`'(c)]

가 되는 [eqn: c]가 [eqn: t_1]과 [eqn: t_2] 사이에 존재한다. 그런데 [eqn: g`'(c)=v_1 '(c)-v_2 '(c)=a_1 (c)-a_2 (c)]이므로

[eqn: a_1 (c)=a_2 (c)]

이다.

3. 출제근거

「연속함수의 성질」, 『미적분I』(고등학교 교과서), 비상교육, 2017, 66-70쪽.

「평균값 정리」, 『미적분I』(고등학교 교과서), 비상교육, 2017, 100-103쪽.

「속도와 가속도」, 『미적분I』(고등학교 교과서), 비상교육, 2017, 116-118쪽.

「유리함수」, 『수학II』(고등학교 교과서), 지학사, 2017, 93-101쪽.

[문제 2]

1. 출제배경

일상생활에서 빛은 사람이 살아가는 데 기본이 된다. 그만큼 물리학의 한 분야로서 광학은 빛을 다루는 기본적인 학문이다. 여기에 수학적인 개념은 빛의 성질을 이해하는데 매우 중요하다. 이 문제는 빛의 중요한 성질인 반사의 법칙을 미분법을 이용하여 풀고, 이를 응용해 주어진 두 개의 판 사이에서 빛의 이동 경로를 생각해보는데 있다. 이를 통해 일상생활에서 접하는 문제 현상을 수학 개념과 연결하여 해결할 수 있는지 평가하고자 하였다.

각 세부 문항별 출제 의도는 다음과 같다.

[2.1] ‘[eqn: 거리=시간 TIMES 속력]’ 공식을 이용하여 주어진 지점까지 도달하는데 걸리는 시간을 함수로 나타낼 수 있는지를 평가한다. 따라서 수학적 표현 능력을 평가한다.

[2.2] 시간으로 나타낸 함수에 대해 미분을 통해 입사각=반사각이 되는 것을 보일 수 있는지 평가한다.

[2.3] 평행하게 놓인 두 개의 판 사이에서 빛이 반사 디면서 이동하는 것과 주어진 상황을 만족하는 조건을 찾아내는 것으로 논리적 추론능력을 갖추고 있는지 평가한다.

[2.4] 반사될 때마다 빛의 세기가 감소한다는 조건에서 입사하는 빛의 세기의 반값에 비해 최종적으로 나오는 빛의 세기가 큰지 작은지를 판단하는 문제다. 수학적 계산 능력을 갖추고 있는 지 평가한다.

2. 예시답안 및 해설

[2.1] 이동거리는 선분의 길이 [eqn: {bar{rm AB}} + {bar{rm BC}}]이므로 시간 [eqn: f(x)={sqrt {a ^{2} +x ^{2}} + sqrt {a ^{2} +(b-x) ^{2}}}over{v}]이다.

[2.2] 시간 [eqn: f(x)]가 최소가 되는 조건을 찾으면 된다. [eqn: f(x)]를 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f`'(x)= {1} over {v} LEFT ( {2x} over {sqrt {a ^{2} +x ^{2}}} - {2(b-x)} over {sqrt {a ^{2} +(b-x) ^{2}}} RIGHT )]

이다. 그런데 [eqn: f`'(0)<0]이고 [eqn: f`'(b)>0]이므로 [eqn: f`'(x)=0]일 때 [eqn: f(x)]는 최소이다. 따라서

[eqn: sin theta _{a} = {x} over {sqrt {a ^{2} +x ^{2}}} = {(b-x)} over {sqrt {a ^{2} +(b-x) ^{2}}} =sin theta _{b}]

즉, [eqn: theta _{a} = theta _{b}]이다.

[2.3] [eqn: n]번 반사될 때 [eqn: tan theta = {10over2} over {100over{2n}} = {n} over {10}]이다.

[eqn: 16]번 반사될 때 [eqn: tan theta = {16} over {10} =1.6]이므로 [eqn: tan60 ^{o} = sqrt {3} =1.732]보다 작다. 하지만 18번 반사될 때는 [eqn: tan theta = {18} over {10} =1.8]이므로 [eqn: 1.732]보다 크다. 따라서 최대 반사 횟수는 [eqn: 16]번이다.

[2.4] 원래 빛 세기를 [eqn: I _{0}]라 하자.

[eqn: 1]번 반사되면 [eqn: I _{0} (1-0.04)=0.96I _{0}], [eqn: 2]번 반사되면 [eqn: 0.96I _{0} (1-0.04)=0.96 ^{2} I _{0}]이고, [eqn: n]번 반사되면 [eqn: 0.96 ^{n} I _{0}]가 된다. 최대 반사가 [eqn: 16]번이 가능하므로 나오는 빛 세기는 [eqn: 0.96 ^{16} I _{0}]이 된다.

이를 [eqn: 0.5I _{0}]와 비교해 보면 된다.

[eqn: 16log(0.96)=16log(log3+5log2-2)=16(0.477+5 TIMES 0.301-2)=-0.288]

이고

[eqn: log(0.5)=-log2=-0.301]

즉, [eqn: 0.96 ^{16} >0.5]이 성립하므로, 원래 빛 세기의 반값보다 크다.

3. 출제근거

「함수의 극대와 극소」, 『미적분I』(고등학교 교과서), 좋은책 신사고, 2016, 116-123쪽.

「로그」, 『수학II』(고등학교 교과서), 미래엔, 2017, 168-184쪽.

「삼각함수의 뜻과 그래프」, 『미적분II』(고등학교 교과서), 동아출판, 2016, 60-93쪽.

「여러 가지 미분법」, 『미적분II』(고등학교 교과서), 미래엔, 2016, 103-120쪽.

「평면운동」, 『기하와 벡터』(고등학교 교과서), 비상교육, 2016, 95-103쪽.

[문제 3]

1. 출제배경

고등학교 수학의 주요한 목표 중 하나는 확률과 통계의 개념을 이해하고 일상생활 속 다양한 문제를 해결하는데 응용하는 것이다. 이 문제는 우리 주위에서 흔하게 일어나는 일들을 확률과 통계의 개념을 이용하여 원하는 답을 얻어낼 수 있는지 묻는데 있다. 두 사람이 마일리지를 획득하는 게임을 할 때 경우의 수를 이해하고 있는지 확인하고 이에 따라 특정 사건의 확률과 기댓값을 계산할 수 있는지 확인하고자 한다.

각 세부 문항별 출제 의도는 다음과 같다.

[3.1] 주어진 조건에서 경우의 수를 구하고 이에 따라 특정 조건에서 특정 경우의 수에 대한 확률을 구할 수 있는지 평가한다.

[3.2] 연속되는 시행에 대해 일반화된 형태의 확률을 구할 수 있는지 평가한다.

[3.3] 주어진 조건에서 확률변수의 개념을 도입하여 확률분포를 구할 수 있는지 평가한다.

[3.4] 확률분포를 구했을 때 기댓값을 계산할 수 있는지 평가한다.

2. 예시답안 및 해설

[3.1] 현재 두 사람이 만났을 때 다음 게임에서

만날 확률은 [eqn: LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2} TIMES 3= {1} over {3}], 만나지 못할 확률은 [eqn: 1- {1} over {3} = {2} over {3}]

이다. 그리고 현재 두 사람이 만나지 못했을 때 다음 게임에서

만날 확률은 [eqn: LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2} TIMES 2= {2} over {9}], 만나지 못하는 확률은 [eqn: 1- {2} over {9} = {7} over {9}]

이다.

[3.2] [eqn: n]번째 게임에서 처음으로 만날 확률은 [eqn: LEFT ( {7} over {9} RIGHT ) ^{n-1} TIMES {2} over {9}]이다.

[3.3] 세 번의 게임 동안 한 사람이 획득하는 마일리지를 확률 변수 [eqn: X]라고 하자. 세 번의 게임 동안 만나는 횟수는 [eqn: 0,`1,`2,`3]이며 이에 따른 확률 변수 [eqn: X]의 값은 [eqn: 0,`9,`18,`27]이다.

(i) [eqn: P LEFT ( X=0 RIGHT ) = LEFT ( {7} over {9} RIGHT ) LEFT ( {7} over {9} RIGHT ) LEFT ( {7} over {9} RIGHT ) = {343} over {729}]

(ii) [eqn: P LEFT ( X=9 RIGHT ) = LEFT ( {2} over {9} RIGHT ) LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) LEFT ( {7} over {9} RIGHT ) + LEFT ( {7} over {9} RIGHT ) LEFT ( {2} over {9} RIGHT ) LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) + LEFT ( {7} over {9} RIGHT ) LEFT ( {7} over {9} RIGHT ) LEFT ( {2} over {9} RIGHT ) = {266} over {729}]

(iii) [eqn: P LEFT ( X=18 RIGHT ) = LEFT ( {7} over {9} RIGHT ) LEFT ( {2} over {9} RIGHT ) LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) + LEFT ( {2} over {9} RIGHT ) LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) LEFT ( {2} over {9} RIGHT ) + LEFT ( {2} over {9} RIGHT ) LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) = {34} over {243}]

(iv) [eqn: P LEFT ( X=27 RIGHT ) = LEFT ( {2} over {9} RIGHT ) LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) = {2} over {81}]

이때 확률변수 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: X]	0	9	18	27	계
[eqn: P LEFT ( X=x RIGHT )]	[eqn: {343} over {729}]	[eqn: {266} over {729}]	[eqn: {34} over {243}]	[eqn: {2} over {81}]	1

[3.4] 기댓값 [eqn: E LEFT ( X RIGHT )]는 다음과 같다.

[eqn: E LEFT ( X RIGHT ) &=9 TIMES P LEFT ( X=9 RIGHT ) +18 TIMES P LEFT ( X=18 RIGHT ) +27 TIMES P LEFT ( X=27 RIGHT )# &=9 TIMES {266} over {729} +18 TIMES {34} over {243} +27 TIMES {2} over {81} = {524} over {81}]

3. 출제근거

「조건부확률」, 『확률과 통계』(고등학교 교과서), 동아출판, 2017, 120-131쪽.

「조건부확률」, 『확률과 통계』(고등학교 교과서), ㈜지학사, 2017, 81-90쪽.

「확률분포」, 『확률과 통계』(고등학교 교과서), 동아출판, 2017, 152-156쪽.

「확률분포」, 『확률과 통계』(고등학교 교과서), ㈜지학사, 2017, 102-112쪽.