<자연계열-오후>

2017학년도

논술전형고사 출제배경 및 해설

[문제 1]

2017학년도 논술전형(자연계열)-오후

1. 출제배경

어떤 현상을 예측하고 그 예측이 맞는지 수학적으로 입증할 수 있는 능력은 이공계 대학 교육을 받는 학생에게 필수적인 요소이다. 이 문제는 주어진 상황에서 수학 개념을 적용하여 필요한 결론을 얻을 수 있는지를 평가한다.

이 문제를 풀기 위한 수학적 개념은 입체의 부피, 합성함수의 미분법, 극대와 극소의 판정 등 고등학생이 알아야 할 기본적인 내용이면서 이공계 대학생이 갖춰야 할 기초 지식이기도 하다.

각 문항별 출제 의도는 다음과 같다.

[1.1] 문제 설명을 이해하고 피타고라스 정리를 활용하여 항아리의 높이를 계산할 수 있는지 평가한다.

[1.2] 항아리의 부피를 구하는 문제이다. 구의 일부분인 아랫부분과 원기둥인 윗부분으로 나누어 계산하여야 함을 이해할 수 있어야 하고, 단면이 넓이를 구한 후 정적분을 이용하여 부피를 구할 수 있어야 한다.

[1.3] 수학을 공부하는 데는 수학적 계산 능력도 중요하지만 논리적인 근거로 예측하는 능력도 중요하다. 이 문항은 문제를 잘 이해하여 결과를 예측할 수 있는지 평가한다.

[1.4] 문항 [1.3]에서 예측한 결과가 맞는지 수학적으로 입증하는 문제이다. 이를 위해서는 합성함수의 미분법, 극대와 극소 판정법을 이해하고 적용할 수 있어야 한다.

2. 예시답안 및 해설

[1.1] 아래 그림과 같은 단면에서

원의 중심을 [eqn: O], 원과 직사각형이 만나는 점을 [eqn: A], 직사각형의 밑변의 중점을 [eqn: B]라 하면 피타고라스 정리에 의하여

[eqn: OB ^{2} =OA^2 -AB^2 = 400-300=100]

이므로 [eqn: OB=10]이다. 따라서 높이는 [eqn: 20+10+10=40`cm]이다.

[1.2] 수면은 항상 원이다. 먼저 [eqn: 0 le h le 30]이라 하자. [eqn: 0 le x le h]일 때 수면의 반지름을 [eqn: r]이라 하면 수면의 넓이 [eqn: S(x)]는

[eqn: S(x)= pi r^2 = pi[20^2 -(20-x)^2 ]=pi(40x-x^2 )]

이므로

[eqn: V&=int_0^h{pi (40x-x^2 )`dx}=pi left(20h^2 - 1over3 h^3 right)]

이다. 다음으로 [eqn: 30 le h le 40]이라 하자. [eqn: 30 le x le h]일 때 수면의 넓이 [eqn: S(x)]는

[eqn: S(x)= (10 sqrt3 )^2 pi = 300 pi]

이므로

[eqn: V(h)&=V(30)+ 300pi (h-30) # &=pi left( 20 times 30^2 - 1over3 times 30^3 right)+300 pi (h-30) =300pi h]

이다. 따라서

[eqn: V(h)= cases{pi left( 20h^2 - 1over3 h^3 right)~ & (0 le h < 30)# 300pi h~& (30 le h le 40)}]

이다.

[1.3] [eqn: h=20`cm]일 때이다.

[1.4] 문항 [1.3]에서 구한 [eqn: V(h)]를 [eqn: t]로 미분하면

[eqn: {dV}over{dt}= cases{pi left( 40h {dh}over{dt} - h^2 {dh}over{dt} right)~ & (0<h<30)# 300pi {dh}over{dt}~& (30<h<40)}]

이다. 그런데 [eqn: {dV}over{dt}=300pi]이므로

[eqn: {dh}over{dt}= cases{{300}over{40h-h^2}~ & (0<h<30)# 1~& (30<h<40)}]

이다. 여기서 [eqn: 0<h<30]일 때 [eqn: 40h-h^2 =-(h-20)^2 +400]이므로 [eqn: {dh}over{dt}]의 최솟값은 [eqn: h=20]일 때 [eqn: 3over4]이고, [eqn: 30<h<40]일 때 [eqn: {dh}over{dt}]의 값은 [eqn: 1]이다. 따라서 [eqn: {dh}over{dt}]의 최솟값은 [eqn: h=20]일 때이고, 이때 [eqn: h]의 증가율은 [eqn: 3over 4 `cm/분]이다.

3. 출제근거

｢함수의 증가와 감소, 극대와 극소｣, □고등학교 미적분I□, 비상교육, 2016, 104∼110쪽.

｢함수의 몫의 미분법｣, □고등학교 미적분II□, ㈜지학사, 2016, 109∼111쪽.

｢합성함수의 미분법｣, □고등학교 미적분II□, ㈜지학사, 2016, 112∼113쪽.

｢부피｣, □고등학교 미적분II□, ㈜지학사, 2016, 181∼183쪽.

[문제 2]

1. 출제배경

광선 추적 기법은 광 부품에서의 빛의 반사, 굴절 현상 해석에 근원을 두고 있다. 본 문제는 광학적으로 중요한 곡면 중의 하나인 포물면에서 반사에 의한 레이저 광선의 경로를 고등학생 수준의 벡터, 내적, 두 벡터가 이루는 각의 크기, 수열의 극한 등의 지식을 이용하여 분석할 수 있는지 평가한다.

각 문항별 출제 의도는 다음과 같다.

[2.1] 접점에서 곡선의 법선을 구할 수 있는지 평가한다.

[2.2] 두 벡터가 이루는 각의 크기와 내적과의 관계를 알고 있는지 평가한다.

[2.3] 두 벡터가 이루는 각의 크기를 알고 있을 때 직선의 방정식을 구할 수 있는지 평가한다.

[2.4] 반사 후 레이저 광선의 경로와 광축([eqn: x]축)이 만나는 지점을 구하고 극한을 이해할 수 있는지 평가한다.

2. 예시답안 및 해설

[2.1] 거울의 방정식과 레이저 광선의 방정식을 연립하여 풀면

[eqn: y ^{2}+4ny-8n-4 =0]

이므로

[eqn: (y-2)(y+4n+2)=0]

이다. 그런데 거울은 [eqn: y ge 0]에서만 정의되므로 교점 [eqn: rm P]의 좌표는 [eqn: (1,2)]이다. 또 [eqn: y ^{2} =4x]를 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: y'= {2} over {y}]

이므로 점 [eqn: rm P]에서 접선의 기울기는 [eqn: 1]이고, 법선의 기울기는 [eqn: -1]이다. 따라서 법선의 방정식은

[eqn: y-2=-(x-1)]

즉, [eqn: y=-x+3]이다.

[2.2] 직선 [eqn: y=- 1over n x+ {2n+1}over n]의 방향벡터는 [eqn: {vec{PA}} =(n,-1)]이고 법선의 방향벡터는 [eqn: {vec{PB}} =(1,-1)]이므로

[eqn: cos theta = {(n,-1) cdot (1,-1)} over {|(n,-1)|`|(1,-1)|} ={n+1} over {sqrt2 sqrt {n^2 +1}}]

이다.

[2.3] 직선 [eqn: l]의 방향벡터를 [eqn: vec u =(1,k)]라 하면, 법선의 방향벡터 [eqn: {vec{PB}} =(1,-1)]과 [eqn: vec u] 사이의 각이 [eqn: theta `]이므로

[eqn: {1-k} over {sqrt2 sqrt {1 +k ^{2}} } =cos theta = {n+1} over {sqrt2 sqrt {n^2 +1}}]

이어야 한다. 이 식을 간단히 하면

[eqn: nk ^{2} +(n^2 +1)k+n=0]

즉,

[eqn: (nk+1)(k+n)=0]

이므로 [eqn: k=- {1} over {n} ,`-n]이다. 여기서 [eqn: k=- 1over n]일 때는 주어진 직선 [eqn: y=- 1over n x + {2n+1}over n]의 방향벡터를 나타내므로, [eqn: k=-n]이다. 즉 직선 [eqn: l]의 방향벡터는 [eqn: (1, -n)]이다. 따라서 직선 [eqn: l]의 방정식은

[eqn: {x-1} over {1} = {y-2} over {-n}]

즉, [eqn: y=-nx+n+2]이다.

[2.4] 직선 [eqn: l]이 [eqn: x]축과 만나는 점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: {n+2}over n]이다. [eqn: lim_{n->infty} {{n+2}over n =1]이므로 점 [eqn: rm Q]는 점 [eqn: (1 ,0)]에 가까워진다.

3. 출제근거

｢인수분해｣, □고등학교 수학I□, 비상교육, 2016, 31∼36쪽.

｢포물선｣, □고등학교 기하와 벡터□, 비상교육, 2016, 11∼15쪽.

｢평면곡선의 접선｣, □고등학교 기하와 벡터□, 비상교육, 2016, 37∼41쪽.

｢평면벡터의 내적｣, □고등학교 기하와 벡터□, 비상교육, 2016, 79∼84쪽.

｢평면곡선을 이용한 직선과 원의 방정식｣, □고등학교 기하와 벡터□, 비상교육, 2016, 85∼90쪽.

｢평면 곡선의 접선｣, □고등학교 수능특강, 기하와 벡터□, EBS, 2016, 16∼20쪽.

｢평면벡터의 성분과 내적｣, □고등학교 수능특강, 기하와 벡터□, EBS, 2016, 38∼46쪽.

｢공간좌표｣, □고등학교 수능특강, 기하와 벡터□, EBS, 2016, 76∼80쪽.

｢수열의 극한｣, □고등학교 미적분I□, 비상교육, 2016, 11∼14쪽.

[문제 3]

1. 출제배경

수학교육의 주요 목표는 주어진 상황을 수학적으로 이해하고 분석하여 현실에서 직면하는 다양한 문제를 해결하는 능력을 갖추는 것이다. 이러한 수학적 소양은 이공계 대학생의 전공 공부를 위해 필수적이다. 이 문제는 제시문에서 설명하는 상황을 이해하고, 이를 수학 문제로 변환하여 해결할 수 있는지 묻고 있다.

이 문제를 풀기 위한 수학적 개념은 평면에서 두 점 사이의 거리와 경우의 수 등 간단한 내용이다.

각 문항별 출제 의도는 다음과 같다.

[3.1] 주어진 조건을 만족하는 좌표를 구할 수 있는 수식을 만들 수 있는지, 또 만들어진 수식의 최솟값을 구할 수 있는지 평가한다.

[3.2] 앞의 문항과 유사하지만 조건이 달라졌을 때에도 위의 방법을 적용할 수 있는지 평가한다.

[3.3] 제한조건이 있을 때 경우의 수를 계산할 수 있는지 평가한다.

2. 예시답안 및 해설

[3.1] 물류센터의 위치를 [eqn: (m,n)]이라 하면, 가로방향의 운행거리의 합은

[eqn: f(m)=|m-1|+|m-3|+|m-5|+|m-2|+|m-7|+|m-4|]  ([eqn: m=1,2,cdots,7])

이므로

[eqn: m]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	[eqn: 7]
[eqn: f(m)]	[eqn: 16]	[eqn: 12]	[eqn: 10]	[eqn: 10]	[eqn: 12]	[eqn: 16]	[eqn: 20]

이다. 따라서 [eqn: m=3,4]일 때 최솟값 [eqn: 10]을 갖는다. 세로방향의 운행거리의 합은

[eqn: g(n)=|n-1|+|n-5|+|n-2|+|n-8|+|n-4|+|n-7|]  ([eqn: n=1,2,cdots,8])

이므로

[eqn: n]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	[eqn: 7]	[eqn: 8]
[eqn: g(n)]	[eqn: 21]	[eqn: 17]	[eqn: 15]	[eqn: 13]	[eqn: 13]	[eqn: 15]	[eqn: 17]	[eqn: 21]

이다. 따라서 [eqn: n=4,5]일 때 최솟값 [eqn: 13]을 갖는다. 그런데 [eqn: (3,5)]에는 이미 지점이 있으므로 물류센터의 위치는 [eqn: (3,4),`(4,4),`(4,5)]가 가능하다.

[3.2] 물류센터의 위치를 [eqn: (m,n)]이라 하면, 지점 [eqn: rm E,`F]는 2대씩 운행하므로 가로방향의 운행거리의 합은

[eqn: f(m)=|m-1|+|m-3|+|m-5|+|m-2|+2|m-7|+2|m-4|]  ([eqn: m=1,2,cdots,7])

이므로

[eqn: m]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	[eqn: 7]
[eqn: f(m)]	[eqn: 25]	[eqn: 19]	[eqn: 15]	[eqn: 13]	[eqn: 15]	[eqn: 19]	[eqn: 23]

이다. 따라서 [eqn: m=4]일 때 최솟값 [eqn: 13]을 갖는다. 세로방향의 운행거리의 합은

[eqn: g(n)=|n-1|+|n-5|+|n-2|+|n-8|+2|n-4|+2|n-7|]  ([eqn: n=1,2,cdots,8])

이므로

[eqn: n]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	[eqn: 7]	[eqn: 8]
[eqn: g(n)]	[eqn: 30]	[eqn: 24]	[eqn: 20]	[eqn: 16]	[eqn: 16]	[eqn: 18]	[eqn: 20]	[eqn: 26]

이다. 따라서 [eqn: n=4,5]일 때 최솟값 [eqn: 16]을 갖는다. 따라서 물류센터의 위치는 [eqn: (4,4),`(4,5)]가 가능하다.

[3.3] 지점 [eqn: rm A]에서 출발하여 [eqn: y=4]인 위치에 도달하면 세로로 한 칸 이동하여 [eqn: y=5]인 곳으로 이동한 후 지점 [eqn: rm F]까지 가면 된다. 따라서 여덟 번의 이동 경로 중에서 가로로 세 번 이동하면 되므로

[eqn: {} _{8} C _{3} =56]

가지이다.

3. 출제근거

｢두 점 사이의 거리｣, □고등학교 수학I□, 비상교육, 2016, 113∼116쪽.

｢조합｣, □고등학교 확률과 통계□, 비상교육, 2016, 29∼35쪽.